Tema 1

Matemáticas 6º
Tema 1
Sistema de numeración decimal: Nuestro sistema de numeración se llama
decimal porque las unidades aumentan y disminuyen de 10 en 10 , es decir, cada 10
unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior.
10 décimas = 1 unidad , 10 unidades = 1 decena , 10 decenas = 1 centena, ....
Valor absoluto de una cifra es el que la cifra tiene por su figura.
valor relativo de una cifra es el que la cifra tiene por el valor que ocupa.
Ejem. 585
Valor absoluto del 5 es 5.
Valor relativo del 5 es 5 unidades o 5 centenas.
En este número : 5.620.025.951.376.845,6347:
5 .- Unidad de millar de billón. ( UMb )
6 .- Centena de billón. ( Cb)
2 .- Decena de billón. ( Db )
0 .- Unidad de billón. ( Ub)
0 .- Centena de millar de millón. ( CMm)
2 .- Decena de millar de millón. ( DMm )
5 .- Unidad de millar de millón. ( UMm )
9 .- Centena de millón. ( Cm )
5 .- Decena de millón. ( Dm )
1 .- Unidad de millón. ( Um )
3 .- Centena de millar. ( CM )
7 .- Decena de millar. ( DM )
6 .- Unidad de millar. (UM ).
8 .- Centenas. ( C ).
4 .- Decenas. ( D ).
5 .- Unidades. ( U ).
6 .- Décimas. ( d )
3 .- Centésimas. ( c )
4 .- Milésimas. ( m )
7 .- Diezmilésimas. ( dm )
Suma
Términos de la suma : Los números a sumar se llaman sumandos y el
resultado de la operación se denomina suma o total.
27 + 54 = 81
Sumandos
suma o total
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1 --
Matemáticas 6º
Propiedades de la suma : Son tres: conmutativa, asociativa y elemento neutro.
• Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma .
Ejem:
8+6 = 6+8
8 + 6 = 14
6 + 8 = 14
• Asociativa : Para sumar 3 ó más sumandos, podemos sustituir dos o más de
ellos por su suma efectuada sin que el resultado varíe.
Ejem:
4+3+9 = 4+3+9
7 + 9 = 4 + 12
16 = 16
• Elemento neutro: Es el 0 porque cualquier número sumado con 0 nos dará el
mismo número.
Ejem:
6+0= 6
4+0= 4
Resta
Términos de la resta : En una resta el número mayor se llama minuendo y el
menor sustraendo. El resultado se llama diferencia o resto.
25 - 17 = 8
minuendo
sustraendo
--
2 --
diferencia o resto
Matemáticas 6º
Multiplicación
Una multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, es decir,
multiplicar dos números es hacer uno de ellos tantas veces mayor como unidades tiene
el otro.
Ejem: 8 x 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40
Los términos de la multiplicación se llaman factores ( multiplicando y
multiplicador ) y el resultado se llama producto.
multiplicador
27
x8
216
multiplicando
producto
Propiedades de la multiplicación: Son cuatro: conmutativa, asociativa, elemento
neutro y propiedad distributiva.
• Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto.
Ejem:
7x 9= 9x7
63 = 63
• Asociativa : En una multiplicación de 3 o más factores, podemos sustituir
dos o más de ellos por su producto efectuado, sin que el resultado varíe.
Ejem: 8 x 3 x 5 = 24 x 5 = 120
8 x 3 x 5 = 8 x 15 = 120
• Elemento neutro: Es el 1 porque cualquier número multiplicado por 1 nos
da siempre el mismo número.
Ejem:
7x 1 = 7
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3 --
Matemáticas 6º
• Propiedad distributiva: Para multiplicar un número por una suma de varios
sumandos, multiplicamos dicho número por cada uno de los sumandos y
sumamos sus resultados.
Ejem:
4 x ( 6 + 3 ) = ( 4 x 6 ) + ( 4 x 3 ) = 24 + 12 = 36.
( 5 + 2 ) x 7 = ( 7 x 5 ) + ( 7 x 2 ) = 35 + 14 = 49
Multiplicación por la unidad seguida de ceros:
• Para multiplicar un número entero por la unidad seguida de ceros, se añaden a
la derecha de dicho número tantos ceros como acompañen a la unidad.
Ejem:
47 x 100 = 4700
1000 x 51 = 51000
• Para multiplicar un número decimal por la unidad seguida de ceros, se corre
la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros acompañen a la unidad. Si
no hay lugares suficientes se completan con ceros.
Ejem:
8,7642 x 100 = 876,42
5,3 x 1000 = 5300
Multiplicación de dos números decimales:
Para multiplicar dos números decimales o un número entero por un número
decimal, se realiza la multiplicación como si fuesen números enteros y luego se separan
con una coma de derecha a izquierda del producto tantas cifras decimales como
decimales tengan entre los dos factores.
Ejem:
2 , 35
x 3
7 , 05
--
43 , 5
x2,6
2610
870 .
1 1 3,1 0
4 --
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Operaciones combinadas:
En una serie de operaciones combinadas cuando aparecen paréntesis se resuelve
primero la operación que esta dentro del paréntesis.
Ejem:
( 15 - 2 ) x 6 = 13 x 6 = 78
Cuando no aparecen paréntesis, primero se resuelven las multiplicaciones y
divisiones y luego las sumas y restas.
15 - 2 x 6 = 15 - 12 = 3
División
Dividir es repartir una cantidad en partes iguales. Ejem: 16 : 2 = 8
Los términos de la división son:
• Dividendo: Es la cantidad que se reparte. ( D ).
• Divisor: Es el número de partes que se hacen. ( d )
• Cociente: Es la cantidad que le toca a cada parte. ( c )
• Resto: Cantidad que queda sin repartir. ( r )
Dividendo ( D )
358
148
1
21
17
Divisor ( d )
Cociente ( c )
resto ( r )
Una división es exacta cuando su resto es cero y una división es entera o
inexacta cuando su resto es distinto de cero.
35 7
0 5
19
4
división exacta
5 .
3
división entera o inexacta
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5 --
Matemáticas 6º
Prueba de la división: Para comprobar que la división está correctamente efectuada
multiplicaremos divisor por cociente y al resultado de esta multiplicación le sumaremos
el resto. El resultado final tiene que ser igual al dividendo.
( Divisor x Cociente ) + resto = Dividendo
(dxc)+r = D
350
50
5
15
23
( 15 x 23 ) + 5 = 345 + 5 = 350
( d x c )+ r = D
Propiedad fundamental de la división: Siempre que multiplicamos o dividimos el
dividendo y el divisor por el mismo número, el cociente no varía pero el resto queda
multiplicado o dividido por ese número.
120
8
16
7
x2
60
4
8
7
:2
30
2
4 .
7
División de números decimales:
• División de un número decimal entre un número entero: Realizamos la
división como si los dos números fuesen enteros, pero al bajar la primera cifra
decimal pondremos una coma en el cociente.
Ejem:
42,3
030
0
6
7,05
3,8625
26
22
25
1
--
6 --
4
.
0,9656
Matemáticas 6º
• Si el divisor es un número decimal tenemos que convertirlo en entero
multiplicándolo por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga
el divisor. Para que la división no varíe, multiplicaremos también el
dividendo por el mismo número por el que hemos multiplicado el divisor.
Ejem:
1725
8,75
x 10
2,3
x 100
7,35
87,5
172500
23
.
735 .
Potencias
Potencia es el producto de un número por sí mismo varias veces, o lo que es lo
mismo, un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales.
6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 65
Términos de una potencia:
• El factor que se repite se llama base.
• Exponente: Indica el número de veces que se multiplica la base por sí misma.
exponente
3 5 = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243
base
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Potencias especiales
1. Las potencias que tienen de exponente la unidad son iguales a la base, luego todo
número se puede expresar como potencia de exponente 1.
Ejem:
41 = 4
81 = 8
19 = 19 1
1728 = 1728 1
2. Las potencias de exponente 0 valen siempre 1, excepto 0 0 = 0.
Ejem:
17 0 = 1
245 0 = 1
9853 0 = 1
3. Las potencias de base 1 valen siempre 1 sea cual sea su exponente.
Ejem:
1 85 = 1
1 2405 = 1
10 = 1
4. Las potencias de base 10 son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica
el exponente.
Ejem.
10 5 = 100000
10 4 = 10000
10 8 = 100000000
Operaciones con potencias
Producto de potencias con la misma base: Es igual a otra potencia con igual
base y de exponente la suma de los exponentes.
Ejem.
4 2 x 4 3 = 4 2 + 3 = 4 5 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1.024
7 x 7 3 = 7 1+ 3 = 7 4
= 7 x 7 x 7 x 7 = 2.401
Producto de potencias con igual exponente: Es igual a otra potencia de base el
producto de las bases y de igual exponente.
Ejem.
2 5 x 7 5 = ( 2 x 7 ) 5 = 14 5 = 14 x 14 x 14 x 14 x 14 = 537.824
4 3 x 6 3 = ( 4 x 6 ) 3 = 24 3 = 24 x 24 x 24 = 13.824
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8 --
Matemáticas 6º
Cociente de potencias de igual base: Es igual a otra potencia que tiene la misma
base y de exponente la diferencia de los exponentes.
Ejem.
4 7 : 4 2 = 4 7 − 2 = 4 5 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1.024
Potencia de otra potencia: Es iagual a otra potencia con la misma base y de
exponente el producto de los exponentes.
Ejem.
( 5 3 ) 2 = 5 3 x 2 = 5 6 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 15.625
Potencia de una fracción: Para elevar una fracción a una potencia, se eleva cada
término de la fracción al exponente de dicha potencia.
Ejem.
2 5
25
2x 2x 2x 2x 2
32
(
) = 5 =
=
3
3x 3x 3x 3x 3
243
3
Múltiplos y divisores
Los múltiplos de un número son los números que obtenemos cuando
multiplicamos ese número por los números naturales.
Ejem.
Múltiplos de 2 = { 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 , ..... }
Los múltiplos de un número son infinitos.
Para saber si un número ( por ejemplo el 48 ) es múltiplo de otro ( por ejemplo el
8 ) , tendremos que dividir el primero ( el 48 ) entre el segundo ( el 8 ), si la división da
exacta es múltiplo.
Ejem. ¿ Es 48 múltiplo de 8 ?
Luego 48 es múltiplo de 8 ( 6 x 8 = 48 )
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9 --
48
0
8 .
6
Matemáticas 6º
Propiedades de los múltiplos:
1. Cualquier número es múltiplo de sí mismo.
2. El 0 es múltiplo de todos los números.
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Los divisores de un número son todos aquellos que lo dividen exactamente. Un
número ( por ejemplo el 4 ) es divisor de otro ( por ejemplo el 32 ) si al hacer la división
da exacta.
Ejem. ¿ Es 4 divisor de 32 ?
32
0
4 . Luego 4 es divisor de 32
8
Propiedades de los divisores:
1. El 0 no es divisor de ningún número porque la división de un número entre 0 no se
puede realizar.
2. El 1 es divisor de cualquier número, ya que cualquier número dividido entre 1 da
siempre división exacta.
3. Todo número es divisor de sí mismo, ya que cualquier número dividido entre el
mismo da división exacta.
4. Todo número excepto el 0 tiene al menos 2 divisores; el mismo y la unidad.
Reglas de divisibilidad:
Divisibilidad por 2 : Un número es divisible por 2 si acaba en 0 ó en cifra par.
Ejem: 484 , 690 , 1952 , 86356 . . .
Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores absolutos de
sus cifras es 3 o múltiplo de 3.
Ejem: 123 ( 1 + 2 + 3 = 6 que es múltiplo de 3 )
45021 ( 4 + 5 + 0 + 2 + 1 = 12 que es múltiplo de 3 )
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10 --
Matemáticas 6º
Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5 si acaba en 0 ó en 5.
Ejem: 890 , 7485 , 20 , 95 . . .
Divisibilidad por 11: Un número es divisible por 11 si la suma de las cifras que
ocupan el lugar par menos la suma de las cifras que ocupan el lugar impar da 0 , 11 ó
múltiplo de 11.
Ejem: 825
5 + 8 = 13
13 - 2 = 11
es divisible por 11.
891.231
lugar par
3 + 1 + 8 = 12
lugar impar
1 + 2 + 9 = 12
12 - 12 = 0 Luego 11 es divisor de 891.231.
-------------------------------------------------------
Número primo: Un número es primo si sólo es divisible por el mismo y la
unidad.
Ejem: 2 , 7 , 13 , 29 ......
Número compuesto: Un número es compuesto cuando tiene más divisores que
el mismo y la unidad.
Ejem: 14 , 44 , 86 , 125 , 1402 ........
Elaboración de una tabla de números primos hasta el 100
1º Escribimos los números del 1 al 100.
2º Rodeamos el primer número primo, el 1.
3º Rodeamos el segundo número primo, el 2.
4º A partir del 2 contamos de 2 en 2 y vamos tachando ( son los múltiplos de 2 ).
5º El tercer número primo es el 3. Lo rodeamos.
6º A partir del 3 tachamos de 3 en 3 ( son los múltiplos del 3 ).
7º Hacemos lo mismo con el 5 ( tachamos de 5 en 5 ).
8º Igual con el 7 ( tachamos de 7 en 7 ).
y así sucesivamente.
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Matemáticas 6º
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 ,
15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,
27 , 28 , 29 , 30 , 31 , 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 37 , 38 ,
39 , 40 , 41 , 42 , 43 , 44 , 45 , 46 , 47 , 48 , 49 , 50 ,
51 , 52 , 53 , 54 , 55 , 56 , 57 , 58 , 59 , 60 , 61 , 62 ,
63 , 64 , 65 , 66 , 67 , 68 , 69 , 70 , 71 , 72 , 73 , 74 ,
75 , 76 , 77 , 78 , 79 , 80 , 81 , 82 , 83 , 84 , 85 , 86 ,
87 , 88 , 89 , 90 , 91 , 92 , 93 , 94 , 95 , 96 , 97 , 98 ,
99 , 100 ......
Los números que quedan sin tachar son los números primos hasta el 100: 1-2-35-7-11-13-17-19-23-29-31-37-41-43-47-53-59-61-67-71-73-79-83-89-97…..
Números primos entre sí: Dos o más números son primos entre sí cuando el
único divisor común a todos ellos es la unidad.
Ejem: 14 , 9 y 25.
Divisores de 14 = { 1 , 2 , 7 , 14 }
Divisores de 9 = { 1 , 3 , 9 }
Divisores de 25 = { 1 , 5 , 25 }
El único divisor que tienen en común es el 1, luego 14 , 9 y 25 son primos entre sí
Forma de saber si un número es primo o compuesto sin hacer la tabla
Se va dividiendo el número por los números primos { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 ...... }
hasta que tengamos un cociente menor o igual que el divisor. Si hasta entonces ninguna
división ha dado exacta, el número es primo.
Ejem: 283
Por las reglas de divisibilidad que ya conocemos, sabemos que no es divisible
ni por 2, ni por 3, ni por 5 , ni por 11.
283
03
7
40
283
23
10
13
21
283
113
11
17 .
16
El cociente es menor que el divisor luego 283 es un número primo
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Matemáticas 6º
Descomposición de un número en factores primos
Descomponer un número en factores primos es hallar los números primos que
dividen a ese número de manera que el producto de todos ellos nos dé el número dado.
54
27
9
3
1
2
3
3
3
150
75
25
5
1
54 = 2 x 3 3
2
3
5
5
150 = 2 x 3 x 5 2
Máximo común divisor ( M.C.D. )
El M.C.D. de varios números es el mayor de todos los divisores comunes a
dichos números. Para hallar el M.C.D. de 2 o más números hallaremos todos los
divisores de cada uno de los números. De los divisores que tengan en común elegiremos
el mayor.
Ejem. M.C.D. de 12 y 15:
Divisores de 12 = { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 }
Divisores de 15 = { 1 , 3 , 5 , 15 }
Los divisores comunes a 12 y 15 son { 1 , 3 }. El mayor ( máximo ) de los divisores
comunes es el 3.
M.C.D de 12 y 15 = 3
Para poder calcular el M.C.D. sin tener que escribir todos los divisores de cada
número haremos de la siguiente forma:
Ejem: M.C.D de 12 y 15
1º) Descomponemos los números en factores primos:
12
6
3
1
1
2
2
3
1
12 = 2 2 x 3 x 1
15 = 3 x 5 x 1
15 3
5 5
1 1
2º) Se eligen sólo los factores primos comunes a todos los números elevados al
menor exponente.
En este caso serían el 3 y el 1.
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13 --
Matemáticas 6º
3º) El M.C.D. será el producto de los factores primos comunes de menor
exponente.
M.C.D. = 1 x 3 = 3
Ejem. Vamos a hallar el M.C.D. de 150 , 20 y 430.
150
75
25
5
1
2
3
5
5
20 2
10 2
5 5
1
430 2
215 5
43 43
1
150 = 2 x 3 x 5 2
20 = 2 2 x 5
M.C.D= 2 x 5 = 10
430 = 2 x 5 x 43
Si los números de los cuales pretendemos hallar el M.C.D. no tienen ningún
factor común ( son números primos entre sí ) su M.C.D. será la unidad.
Ejem. M.C.D. de 15 y 32.
15 3
5 5
1
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
15 = 3 x 5
32 = 2 5
M.C.D. = 1
Mínimo común múltiplo ( m.c.m. )
Llamamos m.c.m. de dos o más números al menor de todos los múltiplos
comunes a esos números.
Ejem:
m.c.m. de 6 , 8 , 12.
Múltiplos de 6 = { 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 54 , 60 , 66 , 72 .........}
Múltiplos de 8 = { 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 56 , 64 , 72 , 80 , 88 , 96 .........}
Múltiplos de 12 = { 12 , 24 , 36 , 48 , 60 , 72 , 84 , 96 , 108 , 120 , 132 ......}
Los múltiplos comunes a estos tres números son { 24 , 48 , 72, ......} y el menor
( mínimo ) de todos ellos es el 24 , luego el m.c.m. de 6 , 8 , 12 es el 24.
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14 --
Matemáticas 6º
Para calcular el m.c.m. de 2 o más números sin tener que hallar los múltiplos de
cada uno de los números, primero descompondremos cada uno de los números en
factores primos.
150
75
25
5
1
Ejem:
m.c.m. de 150 , 20 y 430.
2
3
5
5
20
10
5
1
2
2
5
430
215
43
1
150 = 2 x 3 x 5 2
20 = 2 2 x 5
430 = 2 x 5 x 43
2
5
43
Se eligen todos los factores primos comunes y no comunes de mayor exponente.
150 = 2 x 3 x 5 2
20 = 2 2 x 5
430 = 2 x 5 x 43
Comunes = 2 2 y 5 2
No comunes = 3 y 43
El m.c.m. será el producto de los factores primos comunes y no comunes de
mayor exponente.
m.c.m. { 150 , 20 , 430 } = 2 2 x 5 2 x 3 x 43 = 12.900
Las fracciones
Cuando una unidad, objeto o figura, la partimos en trozos iguales y nos
referimos a uno o varios de esos trozos utilizamos fracciones.
Fracción es cada na de las partes iguales en que se divide la unidad entera.
2
3
Ejem.
Términos de la fracción: Son dos, numerador y denominador.
• El numerador se escribe en la parte superior e indica el número de
partes que se toman de la unidad.
• El denominador se escribe en la parte inferior e indica el número de
partes iguales en que se divide la unidad entera.
5
7
Ejem:
denominador
--
15 --
numerador
Matemáticas 6º
Clases de fracciones.
Las fracciones pueden ser:
• Propias: Son las que tienen el numerador menor que el denominador y por lo
tanto valen menos que la unidad.
Ejem:
3
<1
4
• Impropias: Son las que tienen el numerador mayor o igual que el
denominador y por lo tanto valen más o igual que la unidad.
5
>1
3
Ejem:
7
=1
7
• Fracciones equivalentes: Son las fracciones que representan la misma parte
de la unidad.
Ejem:
1
2
y
2
4
Para reconocer si 2 fracciones son equivalentes las multiplicamos en cruz, es
decir, el numerador de la 1ª por el denominador de la 2ª y esta multiplicación tiene que
dar igual que el producto del denominador de la 1ª por el numerador de la 2ª.
Ejem:
1
2
y
2
4
1
2
2
4
2x2=4
1x4=4
Luego
1
2
y
son fracciones equivalentes.
2
4
Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes.
Si se multiplica o divide numerador y denominador de una fracción por un
mismo número, la fraccíon no varía, resulta otra fracción equivalente.
Ejem:
4
4 x2
8
=
= ;
3
3x 2
6
4
8
y
son fracciones equivalentes.
3
6
8
8:2
4
=
= ;
16
16:2 8
8
4
y
son fracciones equivalentes.
16
8
--
16 --
Matemáticas 6º
Simplificación de fracciones
Simplificar una fracción es hallar otra fracción equivalente con términos más
sencillos. Para simplificar una fracción se dividen numerador y denominador por un
mismo número ( divisor común ).
Ejem:
144
72
36
18
6
=
=
=
=
120
60
30
15
5
:2
Las fracciones
:2
:2
:3
144 72 36 18 6
,
,
,
, son equivalentes.
120 60 30 15 5
Cuando la fracción simplificada tiene el numerador y denominador que son
números primos entre sí, decimos que la fracción es irreducible, no se puede simplificar
más ( el M.C.D. de numerador y denominador es 1 ).
Para obtener la fracción irreducible a una dada, dividimos numerador y
: 24
denominador por su M.C.D.
144
6
=
120
5
Ejem:
: 24
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
120
60
30
15
5
1
2
2
2
3
5
144 = 2 4 x 3 2
120 = 2 3 x 3 x 5
M.C.D.= 2 3 x 3 = 24
Números mixtos.
Un número mixto es el que está formado por un número entero y una fracción.
( Suma de un número entero y una fracción ).
Ejem: 2
2
2 (2 x 3) + 2 6 + 2
8
=2+ =
=
=
3
3
3
3
3
--
17 --
Matemáticas 6º
Un número mixto se puede convertir en una fracción impropia multiplicando el
número entero por el denominador de la fracción y al resultado se le suma el numerador.
de denominador se le pone el mismo que tenía.
Ejem: 4
1
1 (4 x5) + 1 20 + 1 21
=4+ =
=
=
5
5
5
5
5
Una fracción impropia se puede convertir en un número mixto, para ello
dividiremos el numerador entre el denominador. El cociente será el número entero y la
fracción tendrá el resto de numerador y el mismo denominador.
45
3
= 7
6
6
Ejem:
45
3
6 .
7
Fracciones y números decimales
Una fracción se puede convertir en un número decimal, éste se obtiene al dividir
el numerador entre el denominador.
30 15 .
0 0,2
3
= 0,2
Ejem:
15
Un número decimal se puede convertir en fracción ( fracción decimal ), para
ello escribimos en el numerador el número sin la coma ( de forma entera ) y en el
denominador la unidad seguida de tantos ceros como decimales tenga el número
decimal.
Ejem: 0,45 =
45
100
3,2 =
32
10
0,0068 =
68
10000
Operaciones con fracciones
Fracción de una cantidad: Para calcular la fracción de una cantidad, dividimos
la cantidad entre el denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador.
Ejem:
2
de 100 €.
5
2
de 100 = ( 100 : 5 ) x 2 = 20 x 2 = 40 €.
5
Suma y resta de fracciones: Se pueden dar dos casos, que las fracciones tengan
el mismo denominador o que las fracciones tengan distinto denominador.
--
18 --
Matemáticas 6º
1º) Suma de fracciones con igual denominador: Es otra fracción con la suma de
los numeradores en el numerador y el mismo denominador
Ejem:
1 3 5
1+ 3 + 5 9
+ + =
=
2 2 2
2
2
Para restar fracciones con el mismo denominador se restan los numeradores y se
deja el mismo denominador.
Ejem:
10 2 4
10 − 2 − 4 4
- - =
=
5 5 5
5
5
2º) Suma de fracciones con distinto denominador: Primero tenemos que obtener
fracciones equivalentes a las dadas que tengan el mismo denominador, para ello
calcularemos el m.c.m de los denominadores que será el nuevo denominador
( denominador común ).
Luego el m.c.m. se divide entre cada denominador ( la división tiene que dar
exacta ) y el resultado se multiplica por el numerador. Por último sumaremos las
fracciones obtenidas.
3 2 4
+ + =
8 4 6
Ejem:
8 2
4 2
2 2
1
4 2
2 2
1
24
0
8
3
8 = 23
4 = 22
6= 2x3
6 2
3 3
1
24
0
m.c.m. = 2 3 x 3 = 24
4
6
24 6 .
0 4
3
9
=
8 24
2 12
=
4 24
4 16
=
6 24
x3
x6
x4
3 2 4
9
12 16 37
+ + =
+
+
=
8 4 6 24 24 24 24
Resta de fracciones con distinto denominador: se hace de la misma manera que
en la suma pero al final se restan los numeradores.
--
19 --
Matemáticas 6º
Producto de fracciones
El producto de 2 o más fracciones es igual a otra fracción que tiene de
numerador el producto de los numeradoes y de denominador el producto de los
denominadores.
Ejem:
4 2 2 4 x 3x 2 24
2
x x =
=
=
5 3 6 5x 2 x 6 60
5
: 12
24
12
6
3
1
2
2
2
3
60
30
15
5
1
2
2
3
5
24 = 2 3 x 3
60 = 2 2 x 3 x 5
M.C.D. = 2 2 x 3 = 12
División de fracciones
El cociente de dos fracciones es otra fracción obtenida al multiplicar en cruz los
términos de las 2 fracciones, es decir, el numerador de la 1ª por el denominador de la 2ª
( el resultado del producto lo escribimos en el numerador ) y denominador de la 1ª por
el numerador de la 2ª ( el resultado del producto lo escribimos en el denominador ).
Ejem:
4
5
4 x7
28
:
=
=
3
7
3 x5
15
Comparación de fracciones
1º) Cuando las fracciones tienen todas el mismo denominador, es mayor la que
tiene el mayor numerador.
Ejem: Ordena de mayor a menor:
9 7 3 12 5
, , ,
,
2 2 2 2 2
12
9 7 5 3
>
> > >
2
2 2 2 2
2º) Cuando las fracciones tienen igual numerador, es mayor la que tiene el
menor denominador.
--
20 --
Matemáticas 6º
Ejem: Ordena de mayor a menor:
5 5 5 5
, , ,
2 4 3 9
5 5 5 5
> > >
2 3 4 9
3º) Cuando las fracciones tienen distinto denominador y numerador, podemos
compararlas de dos formas distintas:
• Transformamos las fracciones en números
números decimales:
1 4
Ejem: Ordena de mayor a menor : ,
4 5
1
= 0,25
4
decimales y comparamos los
,
6
2
4
= 0,8
5
40
0
10 4
20 0,25
0
6
=3
2
5
0,8
6
0
2 .
3
6
4 1
>
>
2
5 4
3 > 0,8 > 0,25
• Hallando fracciones equivalentes a las dadas con el mismo denominador. Para
ello utilizaremos el m.c.m. de los denominadores.
Ejem: Ordena de mayor a menor :
60
30
15
5
1
2
2
3
5
15 3
5 5
1
8 2
4 2
2 2
1
60 = 2 2 x 3 x 5
15 = 3 x 5
m.c.m = 2 3 x 3 x 5 = 120
8 = 23
14
28
=
60
120
x2
120
60
00
2
7
56
=
15
120
6
90
=
8
120
x8
120
15
00
8
x 15
120
8 .
40
15
0
90
56
28
>
>
120 120 120
--
14 7 6
,
,
60 15 8
6
7 14
>
>
8 15 60
21 --
Matemáticas 6º
Anexo tema 9
Unidades de superficie
Las unidades de superficie son las que sirven para medir dos dimensiones; el
largo y el ancho. Su unidad principal es el m 2 .
El metro cuadrado es la superficie de un cuadrado que tiene 1 m de lado.
1m
1m
1 m2
Múltiplos del m 2 :
Miriámetro cuadrado--Kilómetro cuadrado ---Hectómetro cuadrado--Decámetro cuadrado ---
Mm 2 ----- 100.000.000 m 2 .
Km 2 ----- 1.000.000 m 2 .
Hm 2 ----10.000 m 2 .
2
dam ----100 m 2 .
La unidad principal es el m 2
Submúltiplos del m 2 :
decímetro cuadrado ------ dm 2 ------ 0,01 m 2 .
centímetro cuadrado ----- cm 2 ------ 0,0001 m 2 .
milímetro cuadrado ----- mm 2 ----- 0,000001 m 2 .
Mm 2 -- Km 2 -- Hm 2 -- dam 2 -- m 2 -- dm 2 -- cm 2 -- mm 2
--
22 --
Matemáticas 6º
Unidades agrarias
Son medidas de superficies que sirven para medir terrenos, fincas y solares. Las
unidades agrarias principales son:
( unidad principal )
Hectárea ---- ha --- Hm 2 ----- 10000 m 2
área ----- a ----- dam 2 ------ 100 m 2
Centiárea ---- ca ----- m 2
ha --- a --- ca
Unidades de volumen
Sirven para medir tres dimensiones: largo, ancho y alto. Su unidad principal es
el metro cúbico ( m 3 ). El metro cúbico es igual al volumen de un cubo de 1 m. de
arista.
Múltiplos del m 3 :
Miriámetro cúbico ------ Mm 3 ---------1.000.000.000.000 m 3
Kilómetro cúbico -------- Km 3 --------1.000.000.000 m 3
Hectómetro cúbico ------ Hm 3 --------1.000.000 m 3
3
Decámetro cúbico ------- dam --------1.000 m 3
La unidad principal es el m 3
Submúltiplos del m 3 :
Decímetro cúbico --------- dm 3 ---------- 0,001 m 3
Centímetro cúbico --------- cm 3 ----------- 0,000001 m 3
Milímetro cúbico ---------- mm 3 ---------- 0,000000001 m 3
Mm 3 -- Km 3 -- Hm 3 -- dam 3 -- m 3 -- dm 3 -- cm 3 -- mm 3
--
23 --
Matemáticas 6º
Relación entre diferentes unidades de medida
1 kg = 1 l = 1 dm 3 = 1000 cm 3
Anexo tema 12
Área del cuadrado:
A = l x l = l2
l = longitud del lado.
l
Área del rectángulo:
b = base
h = altura
h
A=bxh
b
Área del triángulo:
h
bxh
A=
2
b
b = base
h = altura
Área del rombo:
diagonal mayor ( D )
A=
Dxd
2
diagonal menor ( d )
Área del trapecio:
A=
b
( B + b) xh
2
B = base mayor
h
b= Base menor
--
24 --
B
h = altura
Matemáticas 6º
Área del polígono regular:
A=
Pxap
2
Perímetro ( P ) .- Es la suma de todos sus lados, es decir, la medida de su
contorno.
Apotema ( ap ) .- Es el segmento que va desde el centro del polígono hasta el
punto medio de uno de sus lados ( divide al lado en dos partes iguales ).
Clasificación de triángulos
Clasificación según sus lados:
• Equilátero: Tiene todos sus lados iguales.
• Isósceles: Tiene dos lados iguales y uno desigual.
• Escaleno: Tiene todos los lados diferentes.
Clasificación según sus ángulos:
• Rectángulo: Cuando tiene un ángulo recto.
• Acutángulo: Todos sus ángulos son agudos.
• Obtusángulo: Tiene un ángulo obtuso.
--
25 --
Matemáticas 6º
ANEXOS
Clasificación de los ángulos
Según el número de regiones angulares ocupadas los ángulos pueden ser:
•
•
•
•
Convexo: Ocupa una región angular
Llano: Ocupa dos regiones angulares.
Cóncavo: Ocupa tres regiones angulares.
Completo: Ocupa las cuatro regiones angulares.
Según su amplitud, los ángulos pueden clasificarse en:
• Recto: Mide 90º
• Agudo: Mide menos de 90º
• Obtuso: Mide más de 90º y menos de 180º
• Llano: Mide 180º
• Completo: Mide 360º.
Cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados. Los cuadriláteros
pueden ser paralelogramos o no paralelogramos.
Se llaman paralelogramos a los cuadriláteros que tienen todos sus lados
opuestos paralelos y son: el cuadrado, rectángulo, rombo y romboide.
• Cuadrado: Es el cuadrilátero paralelogramo que tiene todos sus lados
y ángulos iguales y rectos.
• Rectángulo es el cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados
opuestos iguales y sus ángulos iguales y rectos.
--
26 --
Matemáticas 6º
• Rombo es el cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados iguales y
los ángulos opuestos iguales.
• Romboide es el cuadrilátero paralelogramo que tiene los lados
opuestos iguales y los ángulos opuestos iguales.
Se llaman cuadriláteros no paralelogramos a los que no tienen sus lados
opuestos paralelos. Pueden ser: Trapecios y trapezoides.
• El trapecio es el cuadrilátero no paralelogramo que sólo tiene dos lados
paralelos. El trapecio a su vez puede clasificarse en:
⇒ Trapecio rectángulo: Son cuadriláteros no paralelogramos que
tienen 2 ángulos rectos.
⇒ Trapecio isósceles: Es el cuadrilátero no paralelogramo que
tiene sus lados no paralelos iguales.
⇒ Trapecio escaleno: Es el cuadrilátero no paralelogramo que
tiene los lados y los ángulos desiguales.
--
27 --
Matemáticas 6º
• Trapezoide: Es el cuadrilátero no paralelogramo que no tiene ningún lado
paralelo a otro.
CUADRILÁTEROS
cuadrado
rectángulo
rombo
romboide
Paralelogramos
Trapecio
No paralelogramos
Trapezoide
--
28 --
Trapecio rectángulo
Trapecio isósceles
Trapecio escaleno