UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA CICLO BÁSICO DE INGANIERÍA SEMESTRE III FÍSICA I Ing. José Faneite GUÍA DE CONTENIDOS 1.1. Magnitud física. Llamaremos magnitud física a aquellas cualidades de los cuerpos o de los fenómenos que se puedan medir. Las magnitudes físicas, pueden cuantificarse por comparación con un patrón o con partes de un patrón. Constituyen ejemplos de magnitudes físicas, la masa, la longitud, el tiempo, la densidad, la temperatura, la velocidad y la aceleración. El sabor, el olor de los objetos, el amor, el odio y demás sentimientos humanos no son magnitudes físicas, puesto que no son cuantificables. 1.1.1. Magnitudes fundamentales: magnitudes escalares y vectoriales. Magnitudes escalares: son las caracterizadas por un valor fijo independiente del observador y carecen de dirección y sentido, como por ejemplo, la masa. En física clásica la masa, la energía, la temperatura o la densidad de un cuerpo son magnitudes escalares ya que contienen un valor fijo para todos los observadores (en cambio en teoría de la relatividad la energía o la temperatura dependen del observador y por tanto no son escalares). Magnitudes vectoriales: son las magnitudes que cuentan con: cantidad (o módulo), dirección y sentido como, por ejemplo, la velocidad, la fuerza, la aceleración, etc. Además, al considerar otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación, las magnitudes vectoriales no presentan invariancia de cada uno de los componentes del vector y, por tanto, para relacionar las medidas de diferentes observadores se necesitan relaciones de transformación vectorial. En mecánica clásica también el campo electrostático se considera un vector; sin embargo, de acuerdo con la teoría de la relatividad esta magnitud, al igual que el campo magnético, debe ser tratada como parte de una magnitud tensorial. Las magnitudes tensoriales (propiamente dichas): son las que caracterizan propiedades o comportamientos físicos modelizables mediante un conjunto de números que cambian tensorialmente al elegir otro sistema de coordenadas asociado a un observador con diferente estado de movimiento o de orientación. 1.1.2. Medida de una magnitud. La medida de una magnitud física supone, en último extremo, la comparación del objeto que encarna dicha propiedad con otro de la misma naturaleza que se toma como referencia y que constituye el patrón. La operación que permite expresar una propiedad o atributo físico en forma numérica es precisamente la medida. 1.1.3. Sistemas de unidades C.G.S., M.K.S. y S.I. Se denomina sistema de unidades al conjunto de unidades fundamentales y derivadas relacionadas con un sistema de magnitudes. Sistema C.G.S. o cegesimal. Toma como magnitudes fundamentales la longitud, la masa y el tiempo. Sus unidades se denominan respectivamente centímetros (cm), gramo (g) y segundo (s). Su nombre está formado por las iníciales de estas unidades. Como las unidades de este sistema son relativamente pequeñas, dan lugar generalmente a medidas expresadas por números muy grandes. Sistema M.K.S. También establece como magnitudes fundamentales la longitud, la masa y el tiempo. Sus unidades reciben los nombres de metro (m), kilogramo (kg) y segundos (s). El S.I. es el sistema práctico de unidades de medidas adoptado por la XI Conferencia General de Pesas y Medidas celebrada en octubre de 1960 en París. Trabaja sobre siete magnitudes fundamentales (longitud, masa, tiempo, intensidad de corriente eléctrica, temperatura absoluta, intensidad luminosa y cantidad de sustancia) de las que se determinan sus correspondientes unidades fundamentales (metro, kilogramo, segundo, ampere, Kelvin, candela y mol). De estas siete unidades se definen las derivadas (coulomb, joule, newton, pascal, volt, ohm, etc.), además de otras suplementarias de estas últimas Unidades fundamentales Unidad de Longitud: El metro (m) es la longitud recorrida por la luz en el vacío durante un período de tiempo de 1/299 792 458 s. Unidad de Masa: El kilogramo (kg) es la masa del prototipo internacional de platino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesas y Medidas de París. Unidad de Tiempo: El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre dos niveles fundamentales del átomo Cesio 133. Unidad de Corriente Eléctrica: El ampere (A) es la intensidad de corriente, la cual al mantenerse entre dos conductores paralelos, rectilíneos, longitud infinita, sección transversal circular despreciable y separados en el vacío por una distancia de un metro, producirá una fuerza entre estos dos conductores igual a 2 x 10-7 N por cada metro de longitud. Unidad de Temperatura Termodinámica: El Kelvin (K) es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. Unidad de Intensidad Luminosa: La candela (Cd) es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertzio y que tiene una intensidad energética en esta dirección de 1/683 W por estereorradián (sr). Unidad de Cantidad de Sustancia: El mol es la cantidad de materia contenida en un sistema y que tiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Cuando es utilizado el mol, deben ser especificadas las entidades elementales y las mismas pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones, otras partículas o grupos de tales partículas. Las unidades base del Sistema Internacional de Unidades son: MAGNITUD BASE NOMBRE SIMBOLO longitud masa tiempo corriente eléctrica temperatura termodinámica cantidad de sustancia intensidad luminosa metro kilogramo segundo Ampere Kelvin mol candela m kg s A K mol cd 1.1.4. Importancia Del S.I. El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le Système International d'Unités), también denominado Sistema Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de unidades que se usa en la mayoría de los países y es la forma actual del sistema métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema métrico», especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su uso cotidiano. Fue creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas. En 1971 se añadió la séptima unidad básica, el mol. Una de las principales características, que constituye la gran ventaja del SI, es que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la magnitud masa, el kilogramo, que está definida como «la masa del prototipo internacional del kilogramo» o aquel cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el cumplimiento de las características de los objetos que circulan en el comercio internacional y su intercambiabilidad. Desde el 2006 se está unificando el SI con la norma ISO 31 para formar el Sistema Internacional de Magnitudes (ISO/IEC 80000). Hasta mayo del 2008 ya se habían publicado 7 de las 14 partes de las que consta. 1.1.5 Ecuaciones dimensionales y su aplicación. Hay tres modelos básicos de describir cualquier cantidad física, que son el espacio que ocupa, la materia que contiene y el tiempo que persiste. Todas las medidas, en último término, se reducen a la medición de la longitud, la masa y el tiempo. Cualquier cantidad física tiene una dimensión que se puede formar a partir de las tres dimensiones primarias las cuales son la longitud, la masa y el tiempo. Las dimensiones no se deben confundir con las unidades. Las dimensiones de un lado de una ecuación deben ser las mismas que las del otro lado. Usaremos las abreviaturas para la longitud [L], para la masa [M] y para el tiempo [T], y cualquier cantidad física tiene dimensiones que son combinaciones algebraicas de [LqTrMs], si q, r y s, son cero, esa combinación especial será adimensional. Los exponentes q, r y s pueden ser positivos, negativos, enteros o fraccionarios. Ejemplo 1: Verificar si las dimensiones de la siguientes ecuación son validas. Ejemplo 2: Veremos, al estudiar las fuerzas, que las dimensiones de las dimensiones de la fuerza F son [MLT-2]. La ley de la gravitación Universal de Newton dice que la fuerza entre dos cuerpos de masas m 1 y m2, separados por una distancia r, es mm F G 1 2 2 r Mediante el análisis dimensional, encuentre las unidades de la constante gravitacional G. 1.2.- Álgebra vectorial. 1.2.1 Vectores y escalares. Llamamos magnitud escalar, o simplemente escalar, a toda magnitud que puede expresarse simplemente con un único número. Por ejemplo, el peso o la altura de una persona es una magnitud escalar. Se denomina magnitud vectorial o vector a aquella medida para la cual necesitamos dar algo más que un sólo número". Por ejemplo, para saber la velocidad del viento además de su intensidad, es decir, tantos kilómetros por hora, se requiere conocer su dirección y sentido, y así saber si viene del norte hacia el sur, etc. . Este tipo de magnitudes se denominan vectores. Componentes de un vector Sea V=Vx+Vy; Vx = VCosø; Vy = VSenø Tgø=(Vy/Vx) Y V Vy ø Vx X Representaciones de vectores Existen dos vectores especiales en R2 que nos permiten representar otros vectores de R2 en una forma conveniente. Denotaremos el vector (1,0) con el símbolo i y el vector (0,1) con el símbolo j Si v = (a, b) = ai+jb con esta representación decimos que v esta resuelto en sus componentes vertical y horizontal. En R3 v = (a, b, c) = ai + jb + zk 1.2.2 Suma de vectores: Método analítico, método geométrico. Resta de vectores V = V1 - V2 Ejemplo 3: Dado los vectores: A de 6 unidades haciendo un ángulo de + 36º con el eje X; B de 7 unidades y en la dirección negativa del eje X. Hallar (a) la suma de los dos vectores; (b) la diferencia de los dos vectores; y (C) Las direcciones del vector suma y resta resultante. 1.2.3 Producto escalar, producto vectorial. Definición de producto escalar de dos vectores. Se define el producto escalar de dos vectores libres a y b como el producto de los módulos de cada uno de ellos por el coseno del ángulo que forma a b a b cos Consecuencias de esta definición: 1.- el producto escalar es 0 si alguno de los dos vectores es nulo 2.- el producto escalar es 0 cuando ambos son perpendiculares, ya que (cos 90 = 0) Otra definición de producto escalar: Es la que se usa cuando se dan las componentes de ambos vectores. a b x1 x2 y1 y2 * Consecuencia de ello el resultado del producto escalar es un escalar, es decir, un número entero. No ocurre lo mismo en el producto vectorial, del que como su propio nombre indica se obtiene un vector. Propiedades: Conmutativa: Distributiva: Para cualquier número: a·b=b·a a (b+c)= a·b + a·c (·a)·b = (a·b) Interpretación geométrica del producto escalar El valor absoluto de (a·b) es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro vector sobre él. Demostración: (a · b) = [a]·[b]· (cos) cos OH = [b] · cos OH C. opuesto b Hipotenusa (a · b)= [a] · OH (a · b) = [a]·[b] · cos Definición de producto vectorial de dos vectores Como ya sabemos de su resultado se obtiene otro vector. Propiedades: El punto de aplicación es el mismo Módulo de C a • b • sin La dirección de c es perpendicular a la de a y b Sentido se obtiene de la regla de MAXWELL (ijk) EJEMPLO 4. EJEMPLO 5. 1.2.4. Sistema cartesiano trirrectángular: componentes, módulos cósenos, directores y expresión analítica de un vector. Modulo y cósenos directores Módulo de a (ax ) 2 (a y ) 2 (az ) 2 Los cósenos directores corresponden a las fórmulas: ax a ay cos a az cos a cos EJEMPLO 6. EJERCICIOS PROPUESTOS. ANALISIS DIMENSIONAL. 1.- La ecuación de la velocidad de un móvil viene dada por: . . Donde a = aceleración y x = longitud recorrida. Comprobar si la ecuación es dimensionalmente correcta. 2.- Supongamos que al resolver un determinado problema llegamos a la expresión de una velocidad lineal dada por: Donde R es una longitud y t un tiempo dado. ¿La ecuación es dimensionalmente correcta? 3.- Como resultado de unos cálculos se encontró que la aceleración de un móvil es igual a ¿Los cálculos fueron realizados correctamente? 4.- La velocidad v de un objeto que cae del reposo depende del tiempo t y de la aceleración de la gravedad g que es una constante con dimensiones LT -2. A partir sólo de consideraciones dimensionales, averiguar una posible relación entre v, g y t. 5.- La distancia d que un objeto recorre al caer desde el reposo depende también del tiempo t y de la aceleración g. Hallar una relación existente entre d, g y t. 6.- Para mantener a un objeto que se mueve en círculo a velocidad constante se requiere una fuerza llamada “fuerza centrípeta”. Haga un análisis dimensional de la fuerza centrípeta. 7.- Un hito importante en la evolución del universo, justo después de la Gran Explosión es el tiempo Planck tp, cuyo valor depende de tres constantes fundamentales: (1) la velocidad de la luz (la constante fundamental de la relatividad), c = 3,00 x 108 m/s; (2) la constante de gravitación de Newton (la constante fundamental de la gravedad), G = 6,67 x 10-11 m3/s2 . kg; y (3) la constante de Planck (la constante fundamental de la mecánica cuántica), h = 6,63 x 10-34 kg . m2/s. Con base en un análisis dimensional, halle el valor del tiempo Planck. 8.- Una sala tiene las dimensiones 21 ft x 13 ft x 12ft. ¿Cuál es la masa de aire que contiene?. La densidad del aire a la temperatura ambiente y la presión atmosférica normal es de 1,21 kg/m3. 9.- Una persona sometida a dieta pierde 2,3 kg (correspondientes a unas 5 lb) por semana. Exprese la tasa de pérdida de masa en miligramos por segundo. 10.- Supongamos que nos toma 12 h drenar un recipiente con 5700 m3 de agua. ¿Cuál es la tasa del flujo de masa (en kg/s) de agua del recipiente?. La densidad del agua es de 1000 kg/m3. 11.-La roca porosa a través de la cual se mueve el agua subterránea es llamada manto acuífero. El volumen V de agua que, en un tiempo t, se mueve a través de un área A de la sección transversal del manto acuífero está dado por , Donde H es el declive del manto acuífero a lo largo de la distancia horizontal L. Esta relación se llama ley de Darcy. La cantidad K es la conductividad hidráulica del manto acuífero. ¿Cuáles son las unidades SI de K.? EJERCICIOS CALCULOS DE VECTORES. 1.- Hallar los componentes rectangulares de los vectores comprendidos en el plano xy y que tienen un módulo A formando un ángulo con el eje x, como se ve en la figura para los siguientes valores de A y Caso A a 10 m 30ª b 5m 45ª c 7m 60ª d 5m 90ª : e 15 m/s 150ª f 10 m/s 240ª g 8 m/s2 270ª Y X 2.- Hallar el módulo y dirección de los siguientes vectores: (a) A = 5i + 3j; B = 10i – 7j; (c) C = -2i – 3j + 4k. 3.-