Ejercicios resueltos de suma de series (6.04.16)

Ejercicios resueltos de suma de series (6.04.16)
a) Descomposición de
P
an en suma o diferencia de series convergentes.
Utilizamos la P.5 de las series: “La combinación lineal de series convergentes es convergente y su suma es la c. l. de las sumas”. Si al descomponer el término general de la
serie resulta an = bn ± cn , donde bn yPcn corresponden
a series convergentes de sumas Sb
P
y Sc , la serie estudiada será c. l. de
bn y
cn . Entonces su suma será Sa = Sb ± Sc .
∞
∞
X
X
1
π2
2n2 + 2n + 1
.
,
tomando
como
dato
=
Ej. 1.- Calcular
2
2
2
6
n
(n
+
1)
n
n=1
n=1
Descomponemos 2n2 + 2n + 1 = n2 + n2 + 2n + 1 = n2 + (n + 1)2 =⇒ an =
Entonces
∞
X
n=1
1
1
.
2+
n
(n + 1)2
∞
∞
X
X
1
1
π2 π2
π2
an =
+
=
+
−1=
− 1.
6
6
3
n2 n=1 (n + 1)2
n=1
∞
X
2n + 1
1
1
.
2 . Observamos que an = · · · = 2 −
n (n + 1)
n
(n + 1)2
n=1
2
∞
∞
∞
X
X
X
2n + 1
1
1
π2
π
Por lo tanto
=
−
=
−
− 1 = 1.
6
6
n2 (n + 1)2
n2 n=1 (n + 1)2
n=1
n=1
Ej. 2.- Calcular
2
Nota 1.: En ambos ejercicios es fácil ver previamente que la serie que estudiamos
2
converge (an ∼ α con α > 1). Pero no es imprescindible hacerlo, pues se descomponen
n
en suma o diferencia de convergentes, luego serán convergentes.
Nota 2.: El Ej. 2. puede también resolverse como serie telescópica.
b) Descomposición de an en suma o diferencia de series divergentes.
Si varios de los términos en que se descompone an corresponden a series divergentes,
no podemos sumarlos por separado, sino que hay que estudiar una suma parcial del
término general en conjunto. En el siguiente ejemplo, que se resolvió en clase por otro
método, se utiliza la serie armónica.
∞
X
3/2
2
1/2
n+2
. Descomponemos el to¯ general: an =
− +
.
Ej. 3.- Obtener
3
n−1 n n+1
n −n
n=2
La suma parcial vale:
n
n
n
n
X
X
3/2
2
1/2
3X 1
1 1X 1
Sn =
=
− +
−2
+
=
n
−
1
n
n
+
1
2
i
−
1
i
2
i
+
1
i=2
i=2
i=2
i=2
3 1 1
1
1
1
1 1
1
+ ···
−2
+ ···
+
+ ···
=
2 1 2
n−1
2
n
2 3
n+1
3
1
1
1
1
Hn −
− 2 (Hn − 1) +
Hn − 1 − +
=
2
n
2
2 n+1
3
1
3 1
1 1
13
5
3
1
5
−2+
Hn −
+2+
−
= −
+
=⇒ lı́m Sn =
n→∞
2
2
2n
2 n+1 2 2
4 2n 2n + 2
4
∞
X
1
1
Propuesto:
. Solución: S = .
3
4
n −n
n=2