BACH GD | 2 Columnas SITUACIONES EN DONDE APARECEN DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. Se te muestra una representación en la que se te dan detalles para definir la variable aleatoria ’número de lenguas diferentes a la materna habladas por los habitantes de Europa’: a)Define a partir de esos datos la función de probabilidad y distribución de la v.a y representa ambas. La información que se nos muestra nos permite conocer la proporción de personas que no conoce otra lengua aparte de la materna. Para calcular las personas que conocen exclusivamente una lengua materna deberemos de restar la proporción de las que conocen al menos dos (0,56) , de la correspondiente a las que hablan al menos una (0,56) resultando 0,28. Lo mismo se haría para la proporción de las personas que hablan exactamente dos y tres. Juntando todo ello resulta la siguiente función de probabilidad Lenguas diferentes 0 1 2 3 a la materna x f(x) 0,44 0,28 0,17 0,11 La función de distribución se obtiene acumulando las probabilidades correspondientes a los grupos anteriores al que se esté considerando Lenguas diferentes 0 1 2 3 a la materna x F(x) 0,44 0,72 0,89 1 A continuación se presentan las representaciones de ambas. 1.-LOS SEGUROS: UN JUEGO ESPECIAL. Las compañías de seguros utilizan el concepto de variable aleatoria para fijar el precio de sus pólizas en función del riesgo. Si la indemnización por fallecimiento asciende a una media de 30000 €. Una empresa del sector quiere determinar la prima que por un lado deben pagar los chicos A en sus pólizas y la correspondiente a las chicas B de forma que obtenga beneficios. a)A partir de los datos de accidentalidad del anterior gráfico define la variable aleatoria beneficios de la empresa de seguros para los chicos y para las chicas. Resultado chicos Beneficio empresa No muerte +A€ Muerte 30000€-A€ Resultado chias Beneficio empresa No muerte +B€ Muerte 30000€-B€ b)¿Son discretas o continuas? ¿Por qué? Son discretas por que los valores numéricos asociados son dos. c)Obtén la función de probabilidad. Valor VA benef empresa chicos +A€ -30000€+A€ Valor VA benef empresa chicos +B€ -30000€+B€ prob 0,99882 0,00118 prob 0,99996 0,00004 d)Calcula la esperanza matemática de ambas distribuciones.¿cuánto debe valer A para que el beneficio sea de 10 €? E(benef con chicos)=+A€*0,99882+(30000€+A€)*0,00118. Para que sea igual a 10€ A debe valer 35,4€. 2.-LENGUAS HABLADAS POR LOS EUROPEOS 3: DEFINIENDO UNA Distribución DE PROBABILIDAD. b)¿Cómo se interpreta en este caso F(2)F(1)? Sería igual a f(2) y representaría a la proporción de personas que conocen exactamente dos lenguas aparte de su lengua materna. 1|5 BACH GD | 2 Columnas c)Calcula la media y la desviación típica de la variable aleatoria. E(lenguas habladas)=+0*0’44+1*0’28+2*0’17+3*0’11. S(lenguas habladas)=+raíz(((02*0,44)+(12*0,28)+( 22*0,17)+(32*0,11))-E2(lenguas habladas)) 4.-DISTRIBUCIÓN DE VIVIENDAS SEGÚN SU PRECIO. Observa la distribución de viviendas según el coste del metro cuadrado en Etremadura y en España. 3.- LENGUAS HABLADAS POR LOS EUROPEOS 2: UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DEFINIDA A PARTIR DE LA INFORMACIÓN CONTENIDA EN UN GRÁFICO. a)¿Qué se representa en el eje horizontal? ¿y en el vertical? En el eje X se representa el precio por metro cuadrado de la vivienda.. El eje Y representa la proporción de viviendas de cada clase. b)En el gráfico correspondiente a España aparecen unos puntos por lo que es fácil deducir que el mismo no es más que un polígono de frecuencias.Lo mismo podría hacerse hecho en la curva correspondiente a Extremadura. Calcula la función de probabilidad y distrbución correspondiente a Extremadura. De la lectura de la gráfica se deduce la siguiente función de probabilidad. Precio 15 30 60 90 120 150 180 210 x F(x) Y la siguiente función de distribución Consideremos la variable aleatoria ‘número de personas al seleccionar 5 personas al azar en Europa que habla dos lenguas o más aparte de su idioma materno. a)¿Por qué sigue el modelo binomial? La elección de cada una de las personas se puede entender cómo independiente una de la otra.En cada prueba hay dos posibles resultados(encontrar a una persona que hable como mínimo dos lenguas o no encontrarla) y constancia de la probabilidad de cada uno de esos resultados (la selección se hace entre todos los Europeos que son 400 millones y aunque se haga sin reemplazamiento la probabilidad puede considerarse que no varía) b)¿Construye la función de probabilidad y de distribución de la variable aleatoria? c)¿Qué probabilidad hay de elegir un grupo de 5 Europeas donde la mayoría de sus componentes hablen aparte de la materna dos lenguas o más? Ambas cuestiones pueden contestarse a partir de los resultados de la imagen. Precio x F(x) 15 30 60 90 120 150 180 210 c)Calcula los parámetros de la distribución obtenida. d)Calcula los deciles de la distribución. Supón que en cada intervalo de los construidos los datos se distribuyen uniformemente. Decil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x e)Compara los deciles obtenidos con los de una distribución normal de los mismos parámetros. ¿Se aproxima a la distribución de precios de las viviendas a la normal? Decil 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Normal f)Determina con la ayuda de un histograma el porcentaje de viviendas cuyo precio se desvía en menos de una desviación típica del valor de la media. Haz esos mismo con los de dos y los de tres.Compara los resultados obtenidos con los de una normal que tenga los mismos parámetros. 2|5 BACH GD | 2 Columnas c)Calcula sus parámetros e interpretalos. OTRAS SITUACIONES RESOLVER: PARA Considera para cada emplazamiento la variable aleatoria continua “velocidad del viento en un día elegido al azar? a)Formaliza su definición. b)Haz un esbozo de la gráfica de su función de densidad. c)En qué emplazamiento la gráfica obtenida: a. Es más simétrica. b. tiene menos dispersión. c. Presenta una mayor probabilidad de días con viento superior a 30 km/h. d. Se parece más a la gráfica del modelo normal. TAREA 2 Una empresa eléctrica que quiere establecer un parque eólico manda a los cuatro emplazamientos del gráfico a técnicos durante 20 días elegidas al azar para que realicen .Considera la variable aleatoria ‘número de días con viento adecuado’ en cada emplazamiento. a)¿Por qué siguen el modelo binomial? b)Estima en cada emplazamiento el valor del parámetro probabilidad de día con viento adecuado usando la información de los diagramas c)Construye la función de probabilidad y de distribución en cada caso. d)Represéntalas gráficamente. e)De acuerdo a tus estimaciones, ¿En qué lugares es más probable que la mitad de los días que está el equipo técnico haga viento adecuado? A VUELTAS CON LAS PRIMAS DE SEGUROS. a)De forma similar a lo indicado en la situación 1, define para cada año y por separado variables aleatorias para las ganancias por póliza de una compañía de seguros en el caso de las motos y de los coches sabiendo que el precio de las primeras es A y el de las segundas B.La indemnización media por muerte es de 30000€. b)Representa la función de distribución de probabilidad mediante un gráfico. c)Calcula para cada año y tipo de vehículo la esperanza matemática de su distribución de probabilidad. d)Si desde el año 2003 la empresa ha obtenido un beneficio medio de 10 € por póliza realizada estima la evolución del coste de las pólizas cada año tomando como base la siniestrabilidad del año anterior. EL INFORME PISA Los siguientes gráficos han sido extraídos de las conclusiones del Informa PISA sobre el rendimiento de los alumnos de diferentes países en la asignatura de Ciencias Naturales EL PARQUE EÓLICO. TAREA 1 Las gráficas anteriores se refieren a las características de cuatro posibles emplazamientos para un parque Eólico. En ellas se representa la velocidad media del viento en los diferentes días del año. Se precisan velocidades superiores a los 30 km/h para que las instalaciones sean rentables económicamente TAREA 1 A partir de la información recogida en este gráfico construye las variables aleatorias discretas rendimiento del alumnado para tres países distintos. En cada caso: a)Define la función de probabilidad. b)Define la función de distribución. c)Obtén representaciones gráficas de ambas. d)Calcula sus parámetros. e)¿En qué condiciones esta variable aleatoria podría considerarse continua? Compara las conclusiones obtenidas para los países considerados tomando como base los trabajos anteriores. TAREA 2 Obseva este diagrama. Se define para cada emplazamiento la variable aleatoria discreta“ jornada con velocidad del viento superior a 30 Km/h”. a)Formaliza matemáticamente su definición. a)Calcula su función de probabilidad a partir de la información incluida en el gráfico. b)Representalas gráficamente. 3|5 BACH GD | 2 Columnas a)Define la función de probabilidad y la función de distribución. b)Representa en sendos gráficos de barras las funciones de probabilidad y de distribución. c)Calcula la esperanza y desviación típica de las diferencias de puntuación entre hombres y mujeres. d) que los hombres en matemáticas? Considera las variables aleatorias ‘número de alumnos en un grupo de 8 con un nivel inferior en la materia de Ciencias Naturales’ en La Rioja y en España. a)Indica porqué siguen el modelo binomial. b)Construye la función de probabilidad de ambas variables aleatorias. c)Representa mediante un diagrama de barras dicha distribución de probabilidad. d)A partir de lo obtenido en cada variable calcula la probabilidad de que en el grupo haya: -ningún alumno con nivel inferior en la materia. -más de un alumno con nivel inferior en la materia. TAREA 3 DISTRIBUCIÓN DE HOTELES. Define a partir de la tabla anterior la variable aleatoria ‘categoría de los hoteles de Extremadura’. Hazlo también y por separado con los establecimientos hoteleros de la provincia de Cáceres y Badajoz. Para ello define a)La función de probabilidad y de distribución de las tres variables aleatorias. b)Representa gráficamente la función de probabilidad de las tres variables aleatorias. c)Representa gráficamente en unos mismos ejes las funciones de distribución de las tres variables aleatorias. Interpreta sus diferencias. d)Calcula los parámetros para cada una de las tres variables aleatorias definidas e interpreta el resultado. Define variables aleatorias discretas para cuatro regiones españolas relativas al nivel de estudios alcanzados en el hogar. Usa para ello una codificación numérica para cada nivel de estudios y…: a)Define en cada caso la correspondiente función de probabilidad y a partir de ella la función de distribución. b)Elabora gráficos de barras que permitan comparar las diferentes funciones de probabilidad. c)Elabora polígonos de frecuencias correspondientes a las diferentes funciones de distribución y superponlas sobre unos mismos ejes usando diferentes colores. Saca conclusiones de las diferencias. d)Calcula los parámetros de las diferentes distribuciones reprobabilidad. TAREA 4 A PARTIR DE UN DIAGRAMA DE DISPERSIÓN. a)Considera las variables aleatorias ‘Crecimiento anual del PIB en países de la UE’ y ‘crecimiento anual del empleo en países de la UE’. Construye en cada caso un histograma normalizado con barras asociadas a cada intervalo valores de la variable aleatorios proporcionales al valor de la correspondiente probabilidad. b)Determina los parámetros de ambas variables aleatorias. c)Calcula los deciles. d)Determina el área comprendida entre la media y una desviación típica en ambas distribuciones y comparalas con la de la normal de sus mismos parámetros. A partir del siguiente diagrama define la variable aleatoria ‘diferencia de puntuación de hombre sobre mujeres en matemáticas en países de la OCDE’ 4|5 BACH GD | 2 Columnas 5|5