visualizacin y aprendizaje de la geometra

Visualización y aprendizaje de la geometría
GERMÁN TORREGROSA GIRONÉS
Universidad de Alicante
Septiembre 2002
ÍNDICE
VISUALIZACIÓN Y APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA.............. 1
1.- Introducción. ......................................................................................... 1
2.- Procesos que promueven el aprendizaje de la
Geometría: visualización, razonamiento y construcción ..... 6
3.- Visualización y resolución de problemas ................................. 11
3.1.- Relativo a la Aprehensión ............................................................. 14
3.2.- Resolución de tareas..................................................................... 23
3.3.- Tipos de Aprehensión ................................................................... 28
4.- Visualización y enseñanza de la Geometría ............................ 31
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................... 34
Germán Torregrosa Gironés
1
VISUALIZACIÓN Y APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA
1.- Introducción.
El tema de Visualización y Aprendizaje de la Geometría está
encuadrado en el Bloque II del Programa de la Asignatura Didáctica de la
Geometría, del que también forman parte: el tema de Procesos de
Razonamiento y el de Procesos de Construcción en entornos de geometría
dinámica, con los que está fuertemente relacionado.
Nuestro interés en este tema es caracterizar el concepto de
visualización y hacerlo operativo para aplicarlo a las diferentes tareas que debe
desempeñar un maestro cuando enseña, en este caso Geometría: diseñar
actividades de enseñanza, analizar materiales curriculares e interpretar los
resultados de los alumnos.
Los objetivos y los contenidos del tema están agrupados en tres
apartados:
1) La caracterización de la noción de visualización, como un proceso
cognitivo en Geometría, y su relación con el razonamiento y la
construcción.
2) La identificación de lo que la investigación nos ha aportado sobre los
procesos de visualización y la resolución de problemas.
3) Cómo utilizar la información sobre la visualización como instrumento
para el diseño de actividades de enseñanza, para el análisis de
materiales curriculares (textos de matemáticas, actividades apoyadas en
software dinámico o actividades interactivas de páginas web) y para
interpretar producciones de los alumnos.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
2
La organización de los procesos de enseñanza-aprendizaje de la
Geometría en Educación Primaria debe apoyarse en lo que empezamos a
conocer sobre la manera en que los alumnos aprenden. Es decir, sobre la
forma en que se generan determinados procesos cognitivos, como:
visualización, razonamiento y construcción, que deben constituirse en
referencias para la toma de decisiones de los maestros.
En el intento de conseguir enmarcar procesos relevantes para la
enseñanza y el aprendizaje de la Geometría, hemos revisado literatura de
varios autores que investigan en este campo. También hemos observado que,
desde la aparición de software de geometría dinámica, diseñado para apoyar el
estudio de la Geometría, como Cabri, Cinderella, etc., siempre se hace
mención a las grandes posibilidades de este material informático, siendo una
de sus características relevantes su potencial visual.
La visualización en Geometría
La visualización, generalmente, se refiere a la habilidad de
representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflexionar sobre
información visual (Hershkowitz, 1990), y ha tenido un papel relevante en la
investigación sobre Educación Matemática durante los últimos veinte años.
Para Bishop (1983), la visualización no sólo es importante en sí misma, sino
también por el tipo de procesos mentales que intervienen, que son necesarios y
se pueden transferir a otras áreas de las matemáticas. Según Fischbein (1987),
las representaciones visuales contribuyen a la organización de la información
de manera esquemática y es un factor importante de globalización, siendo
además un elemento que guía el desarrollo analítico de una solución.
Germán Torregrosa Gironés
3
En los últimos cinco años la importancia del papel de la
visualización ha emergido en numerosos estudios y experiencias llevadas a
cabo en todo el mundo. La visualización se concibe ahora como un proceso
cognitivo esencial para el aprendizaje en general y, en particular, de la
Geometría. Hershkowitz et al. (1996) afirman: entendemos visualización como
la
transferencia
de
objetos,
conceptos,
fenómenos,
procesos
y
sus
representaciones a algún tipo de representación visual y viceversa. Esto
incluye también la transferencia de un tipo de representación visual a otra.
Para Alsina et al. (1997), visualizar es tener la capacidad de
producir imágenes que ilustren o representen determinados conceptos,
propiedades o situaciones, y también es la capacidad de realizar ciertas
lecturas visuales a partir de determinadas representaciones.(40)
El proceso de visualización lo podemos entender como el de dar
“forma” mental o física a ciertos conceptos y procesos matemáticos no
necesariamente figurados.(25)
Si consideramos la Geometría como objeto de enseñanza, según
Hershkowitz et al. (1996), el estudio de la forma o el espacio puede realizarse
desde tres perspectivas:
•
Interactuando con las formas reales en el espacio,
•
Considerando formas y espacio como elementos fundamentales para
construir una teoría, y
•
Utilizando las formas o representaciones visuales para comprender
mejor los conceptos, procesos y fenómenos en áreas diferentes de las
matemáticas y la ciencia.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
4
Teniendo en cuenta que las fronteras entre estas perspectivas
son difusas, nosotros pretendemos estudiar Geometría incidiendo en el primer
y tercer punto de vista.
También Alsina et al. (1997), han propuesto las distintas
perspectivas indicadas, que pueden influir sobre la enseñanza de la Geometría:
“Los objetos reales en Geometría pueden ser edificios,
paisajes, seres, caminos, etc., cualquier forma en movimiento
observable en nuestro entorno puede considerarse como un objeto
real ‘geometrizable’. Pero tan real es el objeto medible, táctilmente
palpable, como las experiencias visuales que podemos captar.
Las representaciones visuales permiten comprender los
conceptos muchísimo más eficazmente que determinadas frases
verbales o descripciones sintéticas.” (26)
Hay razones muy importantes para considerar el desarrollo de la
percepción visual como un objetivo básico en los cursos de Educación Primaria
y, por tanto, como un contenido esencial de la Formación de Maestros. Según
Hershkowitz et al. (1996), algunas de estas razones son:
•
De tipo cognitivo. La visualización es una acción esencial en la actividad
humana; una mejor comprensión del espacio y la forma facilita el
aprendizaje de las matemáticas.
•
De tipo social. El hecho de que más personas acceden a la educación
matemática, ejerce una presión de cambio sobre los métodos de
enseñanza y aprendizaje, las alternativas para el aprendizaje de la
Geometría promoverán el pensamiento visual como herramienta para
comprender los gráficos dinámicos de los recursos tecnológicos.
•
Debido a los cambios en la visión de la naturaleza de las matemáticas.
Las matemáticas se conciben como un proceso en el que se realizan
Germán Torregrosa Gironés
5
conjeturas que hay que validar o rechazar y en este proceso los
recursos visuales juegan un papel importante.
•
Debido a un cambio gradual en la visión sobre la naturaleza de la
educación matemática, en particular en los tipos de actividades
matemáticas. La idea principal es que los estudiantes estén activamente
implicados en situaciones de aprendizaje que surjan de su realidad
cotidiana.
Así mismo, Senechal (citada en el trabajo anterior) sugiere que los temas
relacionados con la forma, tratados en la Escuela, se deben orientar por tres
ejes principales:
•
La identificación y clasificación de formas,
•
el análisis de formas, y
•
las representaciones y visualizaciones de formas.
En definitiva, estos aspectos posibilitan el reconocimiento de
formas geométricas, que permiten organizar los objetos en el espacio y,
además, son la base para posteriores aprendizajes geométricos como son la
proporcionalidad geométrica y la semejanza (Luengo, 1990).
Como se puede deducir de los apartados anteriores, hay
diferentes aspectos desde los que se puede abordar el estudio de la
visualización. Nosotros estamos interesados en conseguir métodos operativos
para la enseñanza-aprendizaje de la Geometría y, por ello, estudiamos la
visualización desde una perspectiva cognitiva, apoyándonos en Duval (1998),
para el que el estudio de la Geometría involucra tres tipos de procesos
cognitivos que cumplen funciones epistemológicas específicas: Procesos de
Visualización; Procesos de Construcción y Procesos de Razonamiento en
relación con Procesos discursivos.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
6
2.- Procesos que promueven el aprendizaje de la Geometría:
visualización, razonamiento y construcción
Como ya se ha señalado, podemos distinguir tres tipos de
procesos cognitivos involucrados en el estudio de la Geometría:
Los procesos de visualización, que intervienen en relación con la
representación del espacio, para la ilustración de un resultado, la exploración
heurística de una situación compleja, para tener una visión sinóptica de la
misma, o como forma de obtener una verificación subjetiva.
El razonamiento, en relación con procesos discursivos, para la
ampliación del conocimiento, para la prueba, para la explicación.
Los procesos de construcción mediante herramientas que sirven
para elaborar configuraciones, que pueden actuar como modelos en los que
realizar acciones, y los resultados obtenidos se pueden relacionar con los
objetos matemáticos representados.
Estos procesos, considerados individualmente, pueden actuar de
manera independiente. Es decir, en relación con la visualización, podemos
acceder a una figura cualquiera que sea el método con el que se ha construido:
Germán Torregrosa Gironés
Y,
7
recíprocamente,
aunque
la
construcción
implique
la
visualización, puesto que necesitamos ‘ver’ lo que estamos construyendo, los
procesos de construcción de figuras dependen sólo de las conexiones entre las
propiedades matemáticas y las restricciones técnicas de las herramientas
utilizadas en la construcción, por ejemplo:
Contruir el triángulo ABC, con el lado AB que mide 5 cm., el lado AC mide 7
cm. y el ángulo BAC mide 38 grados.
B
B
B
5
5
5
38º
38
A
A
C
A
7
En este ejemplo, se puede observar que el proceso de
construcción es un proceso empírico: se toma un segmento AB de longitud 5
cm. y se traza una semirrecta, con origen en A, que forme con dicho segmento
38 grados. A continuación se mide desde el origen de la semirrecta una
longitud de 7 cm. y se une dicho punto, C, con el extremo libre B, del primer
segmento. La construcción está sujeta a las restricciones de precisión de la
regla para medir y del transportador de ángulos.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
8
De la misma manera, si bien la visualización es, en ocasiones,
una ayuda intuitiva para encontrar la demostración de un resultado, el
razonamiento depende exclusivamente del conjunto disponible de hechos
geométricos (definiciones, axiomas, teoremas, etc.), como veremos más
adelante con un ejemplo.
Por otro lado, a veces, la visualización puede producir intuiciones
erróneas, engañosas o imposibles:
¿Tres o cuatro baldas?
Brick imposible
Sin embargo, todos estos procesos cognitivos señalados están
íntimamente relacionados y su sinergia es cognitivamente necesaria para la
adquisición de competencia en Geometría. En el diagrama siguiente, Figura 1,
se representa la relación existente entre los procesos (Duval, 1998),
caracterizados (determinados) por las acciones que se indican:
La visualización: para identificar configuraciones en 2D y 3D; esta
identificación depende de leyes particulares que son independientes de la
construcción y del discurso.
La construcción utilizando regla y compás, o bien las primitivas disponibles en
un software geométrico.
El razonamiento, que puede subdividirse según se utilice:
a) lenguaje natural (interno o externo) para nombrar, describir o
argumentar.
Germán Torregrosa Gironés
9
b) proposiciones con estatus teórico de definiciones, teoremas, etc., para
organizar deductivamente el discurso.
VISUALIZACIÓN
2
1
4
3
CONSTRUCCIÓN
RAZONAMIENTO
5 (a)
5 (b)
Fig. 1.- Interacciones cognitivas subyacentes involucradas en la actividad
geométrica (Duval,1998, 38)
En la Fig. 1, cada flecha representa la manera en que uno de los
procesos involucrados puede apoyar a otro tipo de proceso en la realización de
tareas. La flecha 2 está punteada porque la visualización no siempre ayuda al
razonamiento. La flecha 5 (b) destaca que el razonamiento se puede
desarrollar de forma independiente y la 5(a) que la visualización puede estar
incluida en un proceso discursivo (lo que a veces se llama “razonamiento
figural”) En muchos casos podemos considerar un circuito más largo, por
ejemplo, el camino 2 - 5 (b) - 3 puede representar la forma de encontrar un
orden en la construcción de una figura dada; el camino 4- 2 - 5 (a) o bien 5 (b)
puede representar formas de describir una construcción ordenada.
Según Duval (1998), el problema básico de la enseñanza de la
Geometría, desde Primaria hasta el Bachillerato, es: ¿Cómo conseguimos que
los alumnos vean las relaciones entre estos tres tipos de procesos? Las
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
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dificultades de la demostración son bien conocidas, y parece más natural
favorecer en primer lugar los procesos de construcción y visualización. Pero
entonces surge otra cuestión general: la práctica de uno de los procesos
¿conlleva el desarrollo de los otros dos tipos?
Duval afirma que los resultados de sus investigaciones permiten
poner en evidencia el siguiente marco de análisis:
1.- Los tres tipos de procesos deben desarrollarse separadamente.
2.- En el currículo se precisa trabajar la diferenciación entre distintos
procesos de visualización y entre diferentes procesos de razonamiento,
pues hay varias formas de ver una figura, igual que hay diferentes tipos
de razonamiento.
3.- La coordinación entre estos tres tipos de procesos puede tener lugar
sólo tras este trabajo de diferenciación.
Según el marco propuesto por Duval, del punto primero podemos
deducir la conveniencia de estudiar los procesos de forma individual, aunque
no independiente, lo que justifica la propuesta de este Módulo y los dos
siguientes del Programa. Igualmente, en el punto segundo se indica la
necesidad de distinguir distintos procesos de visualización que, en una etapa
posterior, tratamos de coordinar con los distintos tipos de razonamiento. Para
realizar este trabajo de distinción de procesos de visualización, vamos a
introducir
la
terminología
que
necesitamos
conocer,
para
establecer
características de las acciones que permitan hacer operativa esta distinción.
Proponemos la realización de dos problemas que, una vez
resueltos, nos permitirán realizar un análisis de cada una de las soluciones
aportadas, que constituirán una primera aproximación a los procesos de
visualización.
Germán Torregrosa Gironés
11
3.- Visualización y resolución de problemas
En lo que sigue, consideraremos el modelo de Duval adaptándolo
a nuestros propósitos. Para ello es conveniente que concretemos algunos
términos que vamos a utilizar.
Se sabe que debemos insistir para conseguir que los estudiantes
no confundan objeto representado y su representación, pero también es cierto
que los dos términos: representante y representado, son descritos por distintos
autores de muy diversas formas. Por este motivo consideramos necesario
describir los términos que vamos a usar, dándoles el sentido real en que los
utilizamos, centrándonos en el estudio de la Geometría.
-
Cuando hablamos de figura nos referiremos a la configuración
figural, es decir, la imagen de la forma que tenemos en la mente
(Alsina et al., 1997).
Y usaremos la palabra configuración para expresar una unión de
figuras simples que constituyen una figura más compleja.
-
Nos referiremos a dibujo como representación gráfica de una figura,
en sentido amplio: sobre papel, ordenador o modelo físico (Alsina et
al.,1997).
Es necesario hacer la siguiente aclaración: A pesar de que
nuestro interés es utilizar un lenguaje geométrico adecuado, hay una tendencia
muy fuerte, en los textos de Geometría, a llamar figura a la representación de
los conceptos geométricos teóricos, y nosotros hemos mantenido esta
denominación “incorrecta” en los enunciados de los problemas propuestos, ya
que pensamos que el contexto no da lugar a confusión.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
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¿Qué ocurre cuando miramos un dibujo?
Lo que un dibujo nos deja ver es una o varias figuras 1D/2D (de
dimensión 1 representada en 2 dimensiones) o 2D/2D (líneas rectas o curvas,
la frontera cerrada de un triángulo, de un cuadrilátero, etc.) o bien figuras
3D/2D (cubos, esferas, etc.). La identificación visual de estas figuras se basa
en leyes de organización perceptiva, y estas figuras se pueden usar para
representar objetos reales u objetos matemáticos. Las figuras se ‘ven’ más
fácilmente cuando se construyen sus dibujos (bien con regla y compás o
mediante primitivas de software geométrico).
Por ejemplo: si vemos los siguientes dibujos, Figura 2:
1
3
2
4
5
6
Figura 2.-
Podrían ser identificados, en virtud de las leyes de organización perceptiva que
hemos indicado, como: silla (1); mesa (2); segmento (3); triángulo (4); línea
curva (5) y dibujo de cuatro segmentos (6). Todos, salvo el número (5), están
constituidos por líneas rectas, que pueden representar figuras 1D/2D; el (1) y el
(2) se pueden ver como figuras 3D/2D y el (4) puede representar una figura
Germán Torregrosa Gironés
13
2D/2D; el (5) sería como la representación de una figura 1D/2D y está formada
por una línea curva. El (6) puede ‘verse’ como una figura 2D/2D (un trapecio)
unión con una figura 1D/2D (segmento que prolonga un lado), pero también
puede ‘verse’ como una configuración (la unión de cuatro segmentos de una
manera imprecisa).
Por otra parte, también es claro que los dibujos (1), (2) y (4)
pueden representar configuraciones que están constituidas por figuras que
guardan alguna relación que los caracterizan, respectivamente, como silla,
mesa y triángulo. Pero sólo la configuración representada por el (4) podría
vincularse a una afirmación (la definición de triángulo, en este caso) que fija
algunas propiedades de la figura representada (triángulo), y esta vinculación es
la que da paso a la entrada de las matemáticas en la figura.
Para introducirnos en las cuestiones que vamos a abordar en este
Módulo, proponemos realizar tareas, que consisten, en la primera fase, en la
resolución, por cualquier método, de un problema, cuyo enunciado se
acompaña de una representación gráfica de la situación (dibujo) que verifica las
condiciones iniciales del problema. En la segunda fase, analizamos las
soluciones aportadas desde el punto de vista de nuestro centro de interés.
El objetivo es que “vean” una configuración geométrica, en
principio, complicada. Tras un tiempo de observación, empiezan a distinguir
subconfiguraciones (en el primer problema, dos triángulos superpuestos). A
partir de ese momento, aparecen distintas soluciones que nos permiten indagar
sobre los distintos procesos que llevan a cada solución, lo que aprovechamos
para destacar el papel de la visualización e introducir los términos de la
clasificación que luego estudiaremos con detalle.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
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3.1.- Relativo a la Aprehensión
Nos interesa conocer el significado de la palabra aprehensión
porque es un término menos genérico que visualización y se puede caracterizar
a través de la realización de una acción. El diccionario de la RAE (1980) indica
que la aprehensión es la acción y el efecto de aprehender, y que aprehender es
concebir las especies de las cosas sin hacer juicio de ellas o sin afirmar ni
negar.
PROBLEMA 1
En la figura, los puntos G y B dividen el segmento MR en tres partes
congruentes, y los puntos G y P también dividen el segmento AC en tres partes
congruentes. Sabemos que AG y BG son congruentes. Demuestra que los
ángulos de vértices R y C son congruentes.
Actividades: a) Resuelve el problema
b) ¿Qué conceptos geométricos aparecen en la resolución?
NOTA.- Es válida cualquier forma de solución que podáis encontrar.
Germán Torregrosa Gironés
15
Este problema se presenta a los alumnos para que lo resuelvan
en grupo. Posteriormente se recogen y analizan todas las soluciones. A
continuación se expone un resumen de los resultados obtenidos en el curso
2001-02.
Solución I.- a) Medimos los ángulos de vértices C y R, con un transportador de
ángulos, y comprobamos que tienen la misma medida.
b) Los conceptos geométricos que hemos utilizado son: ángulos y medida de
ángulos.
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN: PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
A partir de los comentarios realizados por los alumnos,
consideramos que la solución ha sido hallada mediante la simple percepción.
Independientemente de los datos del problema, y sin tenerlos en cuenta para
nada, han identificado los dos ángulos (concepto geométrico que conocen), y
16
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
han percibido que los ángulos en los que se tienen que fijar parecen iguales,
miden para verificarlo y, en caso afirmativo, ya está resuelto el problema.
Este tipo de acción se corresponde con lo que llamamos
aprehensión perceptiva, que caracterizamos de la siguiente manera:
La aprehensión perceptiva implica la identificación de figuras o conceptos
geométricos conocidos o la identificación de formas o conceptos geométricos
que deben aprender, en las tareas propuestas (a partir de dibujos, modelos
tridimensionales, etc.) para construir nuevo conocimiento, sin poner en
evidencia el significado o significados geométricos que subyacen en dichas
formas o conceptos que están siendo identificados o aprendidos.
Solución II.- a) A la vista de que la figura parece simétrica, hemos trazado una
recta que pasa por G y K y luego hemos doblado el papel por esta recta,
probando con ello que la figura es simétrica y los ángulos pedidos serán
congruentes.
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17
b) Los conceptos geométricos que hemos utilizado: simetría axial; eje de
simetría; giro en el espacio (nos salimos del plano); ángulos congruentes.
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN: PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
En este caso, se ha identificado una subconfiguración de la figura
inicial (la formada por los tres triángulos AGB, GKB y KRB, o bien la
subconfiguración complementaria), que se puede hacer coincidir (mediante un
movimiento en el espacio, un giro, abandonando el plano) con la
subconfiguración restante. Esta acción asocia entonces la figura (el dibujo), con
un eje de simetría (en el plano inicial). Esta asociación entre una figura y una
afirmación matemática (definición, propiedad, teorema, etc.), caracteriza lo que
llamamos aprehensión discursiva. A su vez, esta asociación puede realizarse
de dos maneras:
-
a partir de la figura llegamos a la afirmación matemática, o bien
-
a partir de la afirmación matemática llegamos a la figura
Por este motivo, decimos que la aprehensión discursiva implica cambio de
anclaje:
-
de visual a discursivo, o
-
de discursivo a visual.
Solución III.- a) Hemos considerado los dos triángulos superpuestos que
forman la figura dada y tratamos de probar que son congruentes. Para ello,
hemos considerado una recta r paralela a MP y hallamos el triángulo simétrico
de MPR respecto de r, que llamamos M’P’R’. Finalmente trasladamos M’P’R’
18
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
con un vector definido por M’A, por ejemplo, viendo que se superponen
exactamente. Luego los ángulos pedidos son congruentes.
b) Los conceptos geométricos que hemos utilizado: triángulos; congruencia de
triángulos; recta paralela; movimiento de simetría axial; eje de simetría; vector
de traslación; movimiento de traslación.
Germán Torregrosa Gironés
19
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN: PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
En
esta
solución
vemos
que
se
han
identificado
dos
subconfiguraciones relevantes: los dos triángulos y, a continuación, se piensa
en realizar uno o más movimientos para hacerlos coincidir. Esto implica, igual
que en el caso anterior, asociar las subconfiguraciones con los significados de
dichos movimientos (simetría, giro o traslación). Estamos por tanto ante una
aprehensión discursiva, igual que en el caso anterior, con cambio de anclaje de
visual a discursivo.
Solución IV.- a) Por los datos del problema deducimos que los triángulos ABG
y PMG son congruentes por L-A-L (figura 1), de donde los segmentos AB y PM
son congruentes, y los ángulos de vértices A y M son congruentes. Por otro
lado, AC y MR son congruentes por las hipótesis (figura 2). Entonces
consideramos los triángulos ABC y MPR que son congruentes por el criterio LA-L (figura 3), y por tanto los ángulos de vértices R y C, que son
correspondientes en esta congruencia, son, a su vez, congruentes.
figura1
figura 2
figura 3
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
20
b) Los conceptos geométricos que hemos utilizado son: segmentos y
triángulos; congruencia de segmentos y triángulos; criterio de congruencia de
triángulos (L-A-L, que hemos utilizado dos veces) y de segmentos; lados y
ángulos correspondientes en una congruencia de triángulos (orden).
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN: PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
En este caso observamos que la figura de partida nos sirve de
apoyo para estructurar un razonamiento deductivo. Dicho razonamiento se
realiza sobre conclusiones generales, a partir de definiciones, teoremas,
postulados, etc., y de las condiciones iniciales del problema. Puede constituir
un ejemplo de la independencia (en ocasiones) de los procesos de
visualización y razonamiento.
NOTA.- Se puede observar que con este problema, del que han aparecido
cuatro soluciones, hemos tenido ocasión de estudiar, analizar, recordar o
incluso introducir varios contenidos geométricos del currículo escolar:
Segmento; recta; triángulo; recta paralela; eje de simetría; simetría axial; giro
en el espacio alrededor de un eje; congruencia de segmentos (medida de
segmentos); ángulo; medida de ángulos; congruencia de triángulos; y
elementos correspondientes (pares de lados y ángulos) en dos triángulos
congruentes (orden en la aplicación de los criterios).
Esto provoca que los estudiantes para profesor reflexionen sobre su propio
conocimiento de dichos contenidos, y nos permite: completar significados
incompletos, detectar y corregir errores conceptuales; ayudar a superar las
dificultades que se identifican; y estudiar el contenido curricular geométrico de
Germán Torregrosa Gironés
21
Educación Primaria (en la medida de lo posible), mediante la actividad,
haciendo geometría.
A continuación proponemos otro problema pues estamos
interesados en que aparezcan, de manera natural, nuevos tipos de
visualización. En este problema sólo comentamos una de las soluciones
aportadas.
PROBLEMA 2
Dada la figura, con los segmentos RS y QT congruentes, y los segmentos RT y
QS congruentes. Probar que los ángulos de vértices R y Q son congruentes.
Solución.- Trazando el segmento ST, podemos considerar los triángulos RST
y QTS, que por el criterio L-L-L son congruentes. Luego los ángulos de vértices
R y Q son congruentes.
22
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
ANÁLISIS DE LA SOLUCIÓN: PROCESOS DE VISUALIZACIÓN
En las soluciones analizadas del Problema 1 hemos observado
distintas formas de percibir la figura y, a partir de cada una de ellas, se han
realizado acciones encaminadas a llegar a la solución. Pero no se ha añadido
nada a la figura de partida, no hemos cambiado la figura inicial.
En este problema, sin embargo, la solución aportada implica
trazar un segmento que no está en la figura inicial y, por tanto, se modifica la
figura de partida. Esta acción, que produce la modificación de la figura inicial,
caracteriza un tipo de aprehensión que llamamos aprehensión operativa. La
aprehensión operativa implica la identificación de subconfiguraciones, que
pueden ser combinadas para formar una nueva figura, para la resolución del
problema o para destacar los pasos más importantes de una demostración. En
el caso en que sólo se realice una reorganización de las subconfiguraciones
identificadas en la figura inicial para constituir una nueva figura la llamamos:
aprehensión operativa de Reconfiguración, y cuando se añaden a la figura de
partida una o varias configuraciones nuevas, tras un anclaje discursivo, la
llamamos aprehensión operativa de cambio figural.
A través de la aprehensión operativa se consigue una idea
(insigth) que nos permite obtener la solución del problema. Lo que confiere a la
visión su poder heurístico en la resolución de problemas es la aprehensión
operativa.
En la solución que hemos presentado se pueden observar,
mediante el segmento añadido, dos subconfiguraciones que parece que son
semejantes. Lo único que hace falta entonces es probar su congruencia.
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23
3.2.- Resolución de tareas
Para reforzar los contenidos geométricos introducidos como
consecuencia de la resolución de los problemas anteriores, pasamos a analizar
la resolución de nuevos problemas seleccionados como ejemplos de los
diferentes tipos de Aprehensión
Ejemplo 1: Aprehensión discursiva.
Problema 1. Tomemos un paralelogramo ABCD. Sean I y J los
puntos medios de CD y AB respectivamente. Probar que los segmentos DP,
PQ y QB son congruentes.
En esta figura inicial:
A
B
J
P
D
Q
I
C
se pueden ver varias subconfiguraciones, pero para resolver el problema se
deben distinguir las siguientes:
A
A
B
J
J
B
A
Q
Q
J
B
P
Q
P
D
D
I
I
C
D
I
C
subconfiguración A
subconfiguración B
subconfiguración C
Figura 2 .- Subconfiguraciones relevantes del Problema 1 (Duval, 1998, p. 41)
C
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
24
Centrarse en las subconfiguraciones B y C requiere haber
pensado explícitamente en el teorema de la paralela media. Estamos ante una
aprehensión discursiva con anclaje en las proposiciones (de discursiva a
visual): la distinción de subconfiguraciones se provoca con la aplicación de
definiciones y teoremas. La figura juega un papel de ayuda intuitiva para la
aplicación de las proposiciones.
A pesar de que en su trabajo Duval afirma que para resolver este
problema hay que pensar en el teorema de la paralela media, es posible otra
configuración:
1
2
Se puede pensar en otras soluciones del problema. Por ejemplo
utilizando el teorema: “Si un sistema de rectas paralelas intercepta segmentos
congruentes en una transversal, intercepta segmentos congruentes en
cualquier transversal”. Se aplica dos veces y por la propiedad transitiva
llegamos a la solución. Sin embargo, es cierto que se debe probar el
paralelismo de los segmentos 1 y 2 teniendo en cuenta una de las
subconfiguraciones señaladas (la A). Aunque hay anclaje discursivo, no
estamos en el caso de aprehensión discursiva, pues el procedimiento de
resolución señalado implica un cambio configural (se han añadido dos rectas
paralelas por los vértices del paralelogramo) al que haremos referencia de
nuevo, más adelante.
Germán Torregrosa Gironés
25
Ejemplo 2: Aprehensión perceptiva
La situación es muy diferente en el problema 2 donde ningún
conocimiento explícito (definiciones, teoremas…) se necesita para ver la figura
y
encontrar
las
subconfiguraciones
relevantes;
podemos
explorar
completamente la situación por aprehensión perceptiva:
Problema 2. En la siguiente figura, AC es la diagonal de un rectángulo ABCD.
Compara las áreas de los dos rectángulos sombreados, cuando el punto U se
mueve sobre la diagonal.
A
U
B
U
D
C
Igual que antes, se pueden ver muchas subconfiguraciones y figuras
constituyentes 1D/2D (o 2D/2D) en esta figura inicial, pero para encontrar la
solución deben distinguirse las siguientes:
subconfiguraciones A y A’
subconfiguraciones B y B’
Figura 3 .- Subconfiguraciones relevantes para el Problema 2 (Duval 1998, p.42)
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
26
Las subconfiguraciones A y A’ se identifican rápidamente y
permanecen invariantes cuando el punto U se mueve sobre la diagonal. Las
subconfiguraciones B y B’ están incluidas en A y A’, respectivamente, y se
percibe que coinciden por superposición, cualquiera que sea la posición de U
sobre la diagonal. No se precisa ninguna referencia de conocimiento
geométrico explícito para ver esto en la figura inicial. Aquí la visión puede ser el
único medio que conduce a la solución del problema. La principal dificultad está
en la identificación de las subconfiguraciones B y B’ (Mesquita, citada por
Duval, 1998).
Ejemplo 3: Aprehensión operativa
En los problemas que acabamos de ver no se requiere ningún
cambio figural, nada debe ser transformado o añadido en la figura de partida:
todas las subconfiguraciones relevantes vienen dadas con la figura inicial. No
ocurre igual en la solución alternativa que se ha señalado del problema 1 o en
las conocidas pruebas del teorema de Pitágoras:
a
c
b
c
b
a
a
Figura de partida
I. Configuración que incluye la figura inicial
II.- Reconfiguración
Figura 4 .- Una demostración clásica (Duval, 1998, p.43)
Germán Torregrosa Gironés
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El triángulo rectángulo debe incluirse en una configuración mayor,
un cuadrado externo de lado (a+b) con un cuadrado interno de lado igual a c.
Esto es un cambio figural. Posteriormente esta configuración puede
reconfigurarse cambiando algunas figuras constituyentes (los cuatro triángulos)
para que el cuadrado interno quede dividido en dos cuadrados más pequeños
de área a2 y b2 .
El primer cambio figural, como en el problema 1, implica un
anclaje discursivo. Este anclaje se produce por las propiedades establecidas en
la relación: a2 + b2 = c2 .
El segundo cambio figural (la reconfiguración) depende sólo de
las posibilidades de reorganización de las figuras constituyentes: las figuras
constituyentes de la configuración que incluye la figura de partida se cambian
como las piezas de un puzzle (los cuatro triángulos rectángulos dentro de la
‘caja’ formada por el cuadrado exterior), para conseguir otra configuración que
sea relevante para la solución. En el contexto de un problema dado, una o
varias reorganizaciones son relevantes mientras que otras no lo son.
A este cambio figural lo llamamos aprehensión operativa. Este
cambio figural, o aprehensión operativa, es lo que da a la visión su potencia
heurística para la resolución de problemas.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
28
3.3.- Tipos de Aprehensión
La aprehensión perceptiva
Es la identificación de una figura.
Por ejemplo: el dibujo dado (representación de una figura 2D/2D),
puede ‘verse’ como un tejado, como la parte superior de una mesa, como un
cuadrado en un plano distinto del frontal, como un paralelogramo, etc.
La aprehensión discursiva
Es la asociación de la figura y la afirmación (definición, teorema,
relación entre las figuras de la configuración, etc.) que determina el objeto
representado. A su vez esta asociación se puede establecer, mediante un
cambio de anclaje (“anchorage”), de dos formas:
a) del anclaje Visual
al anclaje Discursivo
A
B
“ABCD es un paralelogramo”
D
C
Germán Torregrosa Gironés
29
En el contexto de una proposición geométrica, esta figura 2D/2D
es una configuración predominante 2D/2D de varias figuras constituyentes
1D/2D (aquí los segmentos son los lados de un paralelogramo).
La aprehensión discursiva implica un cambio dimensional en la
aprehensión perceptiva de la figura.
b) del anclaje Discursivo
al anclaje Visual
B
A
“Sea ABCD un paralelogramo ”
D
C
A
D
B
C
Para el objeto matemático “paralelogramo” hay varias
configuraciones posibles: en cada una, las relaciones entre los segmentos (las
propiedades del objeto representado) son destacadas con trazos: lados
opuestos congruentes y paralelos; las diagonales de un paralelogramo se
cortan en sus respectivos puntos medios.
La aprehensión operativa
Consiste en la modificación de la figura de partida, que
puede realizarse mental o físicamente, a través de varias acciones. Estas
acciones constituyen un proceso específico que confiere a los dibujos una
función heurística.
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
30
A su vez, dependiendo de la manera en que se modifique la
figura inicial, podemos distinguir:
− Aprehensión operativa de Cambio Figural: cuando se añaden
nuevas figuras a la figura inicial.
− Aprehensión
operativa
de
Reconfiguración:
cuando
las
subconfiguraciones identificadas en la figura inicial se manipulan
como las piezas de un puzle.
Se ve la diferencia entre la aprehensión perceptiva, por una parte,
y la discursiva en sus dos variantes a) y b), (que generalmente se confunden),
por la otra. En la aprehensión perceptiva lo que se ve es sólo una figura que
puede mostrar cualquier objeto: tejado, rectángulo desde una perspectiva
particular,… En la discursiva, la misma figura se puede ver como una
configuración de varias figuras constituyentes, cada una de las cuales
representando, por ella misma, un segmento o un punto, porque la figura
percibida está descrita como un paralelogramo. Luego la visualización
discursiva es diferente de la perceptiva.
La visualización discursiva requiere un movimiento interno entre la
configuración predominante 2D y las figuras constituyentes 1D/2D mezcladas
en una totalidad. Este movimiento interno implica un cambio dimensional en la
organización perceptiva de la manera de ver.
El cambio dimensional interno y el cambio de anclaje son las
características de la manera matemática de mirar una figura o una
configuración.
Germán Torregrosa Gironés
31
La aprehensión operativa es menos conocida que las anteriores.
Mediante la aprehensión operativa podemos conseguir ‘la idea’ (insight) para la
solución cuando miramos una figura. En un problema de Geometría, cuando
realizamos acciones sobre el dibujo, alguna de estas acciones puede resaltar
una modificación de la figura inicial que muestre la solución o puede sugerir los
pasos principales de una demostración. La aprehensión operativa implica un
cambio figural.
4.- Visualización y enseñanza de la Geometría
¿Cómo trabaja la visión en la resolución de problemas? En una
figura geométrica hay más figuras constituyentes y más subconfiguraciones
posibles que las que se movilizan explícitamente para su construcción o que se
nombran explícitamente en las hipótesis. Algunas subconfiguraciones (o
algunas figuras constituyentes) dan las ideas clave para una solución o una
explicación. Desde un punto de vista cognitivo, esta afirmación da lugar a la
cuestión de la visibilidad de estas subconfiguraciones relevantes: ¿cómo
pueden distinguirse?
Se ha observado, entre los factores que provocan o inhiben la
visibilidad de una subconfiguración de una figura inicial:
La complementariedad (si o no) de las figuras constituyentes de la
subconfiguración.
La convexidad (si o no) de la subconfiguración.
La
existencia
de
otras
subconfiguraciones
predominantes que enmascaran la subconfiguración clave.
visualmente
Visualización y Aprendizaje de la Geometría
32
Los tres ejemplos estudiados, como todos los ejemplos, son
específicos y están limitados a algún dominio particular del conocimiento
geométrico. Se puede imaginar la complejidad creciente de la visualización con
figuras que representen situaciones geométricas más ricas. Pero los problemas
presentados nos han servido para relacionar el fenómeno general sobre
visualización en la geometría. Así, la visualización en geometría implica
necesariamente, al menos uno de los tres cambios que hemos señalado:
•
cambio dimensional,
•
cambio figural, y
•
cambio de anclaje.
El cambio dimensional es el más obvio, al menos en geometría
del espacio, donde lo primero que necesitamos es distinguir las diferentes
secciones planas posibles de un sólido, por ejemplo, para seleccionar las
relevantes. El cambio desde la percepción sensori-motor de un objeto 3D a su
representación 3D/2D ni es evidente ni inmediata: hay un largo camino que
pasa por las representaciones planas.
Tanto en la geometría plana como en la geometría del espacio, el
cambio dimensional es un proceso cognitivo básico en la forma de mirar una
representación de una figura.
El cambio figural es más complejo y, puede ser, menos
consciente. Se debe distinguir de la aprehensión perceptiva con la que está
conectado, y de la aprehensión discursiva (que está anclada sobre hipótesis y
sobre el conocimiento de definiciones, teoremas…) de la que está separada.
Esto da sentido al análisis de la contribución heurística de una figura inicial
para un problema específico y esperar las dificultades y bloqueos que se
Germán Torregrosa Gironés
33
pueden producir. El cambio figural es como una acción que transforma la
organización visual de una configuración. Es interesante destacar aquí que la
aprehensión operativa puede ser más o menos visible dependiendo de los
mismos factores que provocan o inhiben la distinción de subconfiguraciones.
En el caso presentado en el ejemplo 2, las subconfiguraciones B y
B’ están formadas, a su vez, por dos subconfiguraciones no complementarias,
B y B’ no son convexas y, además, en la figura inicial, parecen estar
enmascaradas por los rectángulos sombreados, que visualmente son
subconfiguraciones predominantes. Luego se explica la gran dificultad de los
alumnos de 12-13 años y mayores para encontrar las subconfiguraciones B y
B’.
El cambio de anclaje en la aprensión discursiva es el más familiar.
Vemos y hablamos (en voz alta o mentalmente) sobre lo que miramos. De ese
modo la distinción visual despierta palabras al menos implícitamente, y las
palabras mentalmente pronunciadas pueden variar el centro de atención hacia
algunos aspectos inadvertidos de la figura. Este cambio de anclaje a menudo
pasa inadvertido.
Los estudiantes para Maestro deben utilizar la información
estudiada, como ya hemos indicado, para interpretar producciones de alumnos
de Educación Primaria y para analizar materiales curriculares.
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Visualización y Aprendizaje de la Geometría
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