UNIDAD IV. INTERÉS COMPUESTO 4.4. Ecuaciones

Matemáticas para la toma de decisiones
4.4. Ecuaciones de valores equivalentes
UNIDAD IV. INTERÉS COMPUESTO
4.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Como se ha visto en temas pasados, el dinero cambia de valor en el
tiempo, y $1 peso en el presente no valdrá lo mismo que un peso en el
futuro; la relación de equivalencia que hemos estudiado entre el monto
o valor futuro y el capital o valor presente viene dado por la ecuación:
M=C(1+i) n
Ejemplo 1. Determine la cantidad que debe pagarse en un solo pago
trimestral vencido para saldar una deuda de 3 pagos mensuales
vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 2%
mensual capitalizable mensualmente.
Otra forma es considerando el mes 0 como fecha focal, entonces la
ecuación queda:
X
(1 + 0.02 )
3
=
$100
(1 + 0.02 )
1
+
$100
(1 + 0.02 )
2
+
$100
(1 + 0.02 )
3
La cual al despejar:
X
$100
$100
$100
=
+
+
3
1
2
3
(1 + 0.02 ) (1 + 0.02 ) (1 + 0.02 ) (1 + 0.02 )
X=
$100 (1 + 0.02 )
3
+
$100 (1 + 0.02 )
3
+
$100 (1 + 0.02 )
3
(1 + 0.02 )
(1 + 0.02 )
(1 + 0.02 )
2
1
X=$100 (1 + 0.02 ) + $100 (1 + 0.02 ) + $100=$306.04
1
2
3
Primero debemos hacer la gráfica que relacione las cantidades en el
tiempo, esta gráfica se le conoce comúnmente como diagrama de flujo
de caja.
X (Pago trimestral)
Mes
0
transcurrido
$100
$100
1
2
$100
3
Hay varias formas de igualar el pago trimestral desconocido X con el
valor al cual equivalen los pagos mensuales. Todas estas formas es
variando la fecha o el punto en el tiempo de referencia (fecha focal).
Una manera es considerando la fecha focal ubicada en el pago
trimestral. Quedando de la siguiente forma:
X=$100 (1 + 0.02 ) + $100 (1 + 0.02 ) + $100=$306.04
2
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
1
1
Matemáticas para la toma de decisiones
4.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Ejemplo 2. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en
dos pagos de $250,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos
trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales,
siendo el primero de $100,000 el segundo de $200,000 ¿Cuál debe ser
el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es de 36%
anual capitalizable mensualmente.
El diagrama de flujo simplificado en miles de pesos:
X
X
$15
$15
$15
Nuevamente realizamos el diagrama de flujo de caja.
100mil
Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con
pagos de $15,000 a pagar en 30, 60 y 90 días; si se desea pagar en dos
exhibiciones iguales de 30 y 60 días ¿Cuál debe ser el importe de estos
últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de 3.5%
mensual; capitalizable mensualmente.
$200mil
X
$250mil
$250mil
Mes
0
transcurrido
0
1
2
3
4
5
4
Por lo tanto al despejar el valor de X queda:
2
 0.36 
 0.36 
 0.36 
X = $250 1 +
 + 250 − $200 1 +
 − $100 1 +

12 
12 
12 



X = $198.451 (en miles de pesos)
X = $198,451 (en pesos normales)
Ver este problema en video: http://youtu.be/2_gdeiDHQAI
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
3
Tomando la fecha focal como el mes 1, queda (en miles de pesos para
ahorrar espacio):
X
$15
$15
= $15 +
+
X+
(1 + 0.035)
(1 + 0.035) (1 + 0.035)2
3
 0.36 
 0.36 
 0.36 
X + $200  1 +
 + $100  1 +
 = $250  1 +
 + 250
12 
12 
12 



3
2
6
Podemos usar la fecha focal como el mes número 6; quedando las
ecuaciones de la siguiente manera (en miles de pesos para ahorrar
espacio):
2
1
4
Factorizando el valor de X:


1
$15
$15
X 1 +
+
 = $15 +
(1 + 0.035) (1 + 0.035)2
 (1 + 0.035 ) 
$15
$15
$15 +
+
(1 + 0.035) (1 + 0.035)2
X=
= $22.121
1
1+
(1 + 0.035)
X = $22,121.75 (en pesos normales)
2
Matemáticas para la toma de decisiones
EL ALUMNO REALIZA LOS EJEMPLOS 1, 2 Y 3 NUEVAMENTE
PERO CON LAS SIGUIENTES MODIFICACIONES:
Ejemplo 1 Modificado. Determine la cantidad que debe pagarse en un
solo pago trimestral para saldar una deuda de 3 pagos mensuales
vencidos de $100. Si el dinero cambia de valor a una tasa del 20%
anual capitalizable mensualmente.
Ejemplo 2. Se tiene una deuda bancaria que se ha planeado liquidar en
dos pagos de $250,000 cada uno realizados en el mes 3 y 6 (son pagos
trimestrales); si se desea liquidar dicha deuda en pagos bimestrales,
vencidos siendo el primero de $100,000 el segundo de $200,000 ¿Cuál
debe ser el valor del último pago? La tasa a la cual cambia el dinero es
de 40% semestral capitalizable mensualmente.
Ejemplo 3. Al comprar un automóvil se pagarán 3 documentos con
pagos de $15,000 a pagar en 2, 4 y 6 meses; si se desea pagar en dos
exhibiciones iguales en los meses 2 y 4 ¿Cuál debe ser el importe de
estos últimos pagos? Considere que el dinero cambia a una tasa de
35% semestral; capitalizable mensualmente.
Ejemplo 4. Para una deuda que se planea liquidar en un solo pago
trimestral vencido, determine el valor equivalente de 3 pagos
mensuales vencidos; la tasa de interés es del 30% anual capitalizable
mensualmente. El valor de los pagos mensuales es de $12,000.
Ejemplo 5. Para una deuda en el presente (no ha transcurrido ningún
mes) de $100,000; se desea liquidar con dos pagos bimestrales
vencidos, determine el valor de dichos pagos bimestrales si la tasa de
interés es del 10% anual capitalizable al mes.
Ejemplo 6. Para una deuda que se planea pagar con $100,000 en el
mes 1 y con $200,000 en el mes dos, se liquidará con dos pagos iguales
que ocurrirán en el mes 3 y 4; determine el valor de dichos pagos si la
tasa es del 16% anual capitalizable mensualmente.
Recomendación: consulta más ejemplos por tu cuenta usando los
libros de la biblioteca.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
4.4. Ecuaciones de valores equivalentes
Actividad 4.4. Ecuaciones de valores equivalentes. Resuelve los
siguientes ejercicios:
1.- En la compra de un televisor con valor de $14,500 se realizan dos
pagos iguales a 3 y 6 meses ¿Cuál es el importe de dichos pagos si la
tasa es del:
a) 2% mensual capitalizable mensualmente
b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente
c) 24% anual capitalizable mensualmente
d) 20% anual capitalizable trimestralmente
2.- Para realizar la compra de un terreno se paga $160,500 de enganche
y se firman dos documentos por la misma cantidad a pagar dentro de 1
y 2 años. Si se desea comprarlo solo en dos pagos iguales; uno de
enganche y el otro al cabo de un año, determine el monto de dichos
pagos si la tasa de interés es del:
a) 2% mensual capitalizable mensualmente
b) 6% trimestral capitalizable trimestralmente
c) 24% anual capitalizable mensualmente
d) 20% anual capitalizable trimestralmente
3.- Una empresa compra una maquinaria con valor de $50,000; si se
realiza un pago de $10,000 de contado ¿Qué cantidad deberá liquidar
la deuda al cabo de 6 meses si la tasa de interés es del:
a) 30% anual capitalizable al mes.
b) 20% anual capitalizable al semestre
Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS,
siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección:
http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm
Puede enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes
direcciones: marcelrzm@hotmail.com; marcelrzm@hotmail.com;
marcelrzm@yahoo.com.mx y marcelrz2002@yahoo.com.mx
Recuerde enviar dicho correo con copia a usted mismo y en asunto
colocar “4.4. Ecuaciones de valores equivalentes”.
PROPUESTA: Después de haber hecho esta actividad a mano,
incorpore las ecuaciones en EXCEL para confirmar.
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Matemáticas para la toma de decisiones
4.4. Ecuaciones de valores equivalentes
OTROS EJERCICIOS ADICIONALES.
Ejemplo 7. Para la compra de una maquinaria se ha pactado realizar
un pago de contado de $40,000 pesos y dos pagos de $10,000 dentro
de uno y dos meses respectivamente; si dicho contrato se cambia por
tres pagos iguales dentro de 2, 3 y 4 meses respectivamente; indique el
valor de los pagos si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable al
mes.
Ejercicio en video. Ecuaciones
equivalentes.
http://youtu.be/ubT15gUt3Ms
de
valores
Otro ejercicio en video:
http://www.youtube.com/watch?v=ubT15gUt3Ms
Ejemplo 8. Una empresa tiene que pagar $35,000 cuando transcurren 2
meses; $40,000 a los 3 meses y $60,000 a los 5 meses. Dado que el
efectivo lo tiene disponible desea pagar de inmediato $30,000 al
transcurrir un mes pagar $35,000; pero el gerente desea saber de que
valor tienen que ser dos pagos iguales cuando hayan transcurrido 4 y 6
meses para saldar la deuda. El dinero cambia de valor a una tasa del
15% anual capitalizable al trimestre. Nótese que debe tener una tasa
que sea capitalizable mensualmente para este problema.
Ejemplo 9. Se tiene una deuda que debe pagarse de la siguiente forma:
$20,000 dentro de un mes, $30,000 dentro de dos meses y $50,000
dentro de 5 meses. Se desea liquidar dicha deuda en dos pagos iguales
en el mes 4 y 5 ¿de que valor deben ser dichos pagos? El dinero
cambia bajo una tasa del 10% anual capitalizable mensualmente.
Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez
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