ESTADISTICA DESCRIPTIVA 1. DEFINICION La estadística es una

ESTADISTICA DESCRIPTIVA
1. DEFINICION
La estadística es una ciencia que facilita la toma de decisiones:
Mediante la presentación ordenada de los datos observados en tablas y gráficos
estadísticos.
Reduciendo los datos observados a un pequeño numero de medidas estadísticas que
permitirán la comparación entre diferentes series de datos.
Y estimando la probabilidad de éxito que tiene cada una de las decisiones posibles.
2. RAMAS DE LA ESTADISTICA
ESTADISTICA DESCRIPTIVA: la cual se encarga de la recolección, clasificación y
descripción de datos muéstrales o poblacionales, para su interpretación y análisis.
ESTADISTICA MATEMATICA O INFERENCIAL: que desarrolla modelos teóricos que se
ajusten a una determinada realidad con cierto grado de confianza. Basada en la Teoría
de Probabilidades, también conocida como Estadística Deductiva o Inferencia
Estadística.
3. CONCEPTOS BASICOS
3.1 POBLACION, COLECTIVO O UNIVERSO
“cualquier conjunto de personas, objetos, ideas o acontecimientos que se someten a la
observación estadística de una o varias características que comparten sus elementos y que
permiten diferenciarlos”.
Son poblaciones por ejemplo, los diferentes automóviles que se encuentran en un
concesionario o las diferentes religiones de un país.
3.2 VARIABLE
Las variables se clasifican en continuas o discretas, según admitan o no infinitos valores
intermedios entre dos valores próximos respectivamente. En la practica, la distinción entre
variable discreta y continua no es fácil, ya que todas las variables pueden ser consideradas
discretas, porque los instrumentos de medida no permiten pasar de un cierto limite de
precisión.
4. DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
4.1 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS SIMPLE
4.1.1 Frecuencia absoluta simple
Es el número de veces que se presenta un determinado dato de un carácter en los diferentes
elementos de una población. Se presenta por na .
La frecuencia absoluta es, por tanto, el número de repeticiones de un determinado valor de la
variable o una determinada modalidad del atributo. La frecuencia absoluta también representa
el número de elementos de la población que tienen el mismo valor o modalidad. La suma total
de todas las frecuencias absolutas es el tamaño de la población de elementos observados. Se
representa por N.
4.1.2 Frecuencia relativa simple
Se obtiene dividiendo la frecuencia absoluta de un determinado dato entre la suma de las
frecuencias absolutas de todos los datos observados, es decir, entre el tamaño de la población.
Se representa por fr = na / N
La frecuencia relativa es, una proporción entre el número de veces que se repite un dato y el
tamaño de la población.
Las frecuencias relativas se suelen presentar en porcentaje (%fr) que se obtiene al multiplicar
por 100 el valor correspondiente de la frecuencia relativa. En este caso, la suma total de todas
las frecuencias relativas porcentuales será 100.
4.1.3 Frecuencia absoluta acumulada
La frecuencia absoluta acumulada de un dato es igual a la frecuencia absoluta de este dato
más la suma de las frecuencias absolutas de los datos anteriores. Se representa por Na. Esta
frecuencia representa, cuando existe una relación de orden, el número de elementos de la
población que quedan por encima o por debajo del elemento cuyo valor o modalidad se
observa.
4.1.4 Frecuencia relativa acumulada
La frecuencia relativa acumulada de un dato es igual a la suma de las frecuencias relativas de
todos los datos menores o iguales de dicho valor. Se representa por Fa. Al igual que las
frecuencias relativas simples, se suelen presentar en porcentajes (%Fa).
EJEMPLO:
Se ha realizado un estudio del numero de empleados de 15 ferreterías de una zona de Madrid
con los siguientes resultados: 4; 5; 4; 3; 3; 6; 4; 5; 3; 3; 4; 5; 3; 6. Construir la tabla estadística
empleando frecuencias absolutas simples y acumuladas y, también, frecuencias relativas en
porcentaje, simples y acumuladas.
Solución:
Nº
empleados
por tienda
Frecuencia
absoluta
simple (n )
a
Frecuencia
absoluta
acumulada (N )
Frecuencia relativa
simple en % (%f )
r
a
Frecuencia
relativa
acumulada
en % (%F )
a
3
5
5
5/ 15 = 0.33(x 100)
= 33.3%
33,3
4
4
9
4/15 = 0.26 (x 100)
= 26.6%
60
5
3
12
3/15 = 0.2 (x 100) =
20%
80
6
3
15
3/15 = 0.2 (x 100) =
20%
100
En primer lugar, se ordenan las tiendas de menor a mayor número de empleados,
segunde detalla en la primera columna de la tabla inferior. En la segunda columna
figuran las veces que se repite un mismo valor (la frecuencia absoluta). La suma de las
frecuencias absolutas (15) es el número de elementos de la población.
En la tercera columna aparecen las frecuencias absolutas acumuladas, cuyos valores se
obtienen sumando al valor de la frecuencia absoluta correspondiente, la suma de
todas las frecuencias absolutas anteriores.
En la cuarta columna están las frecuencias relativas simples en porcentaje, obtenidas
al dividir el valor de la frecuencia absoluta correspondiente entre el numero de
elementos de la población, y multiplicadas por 100.
En la quinta columna están las frecuencias relativas acumuladas en porcentaje,
resultado de la suma del valor de la frecuencia relativa en porcentaje correspondiente
mas, la suma de todas las frecuencias relativas en porcentaje anteriores.
4.2 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS POR INTERVALOS O DATOS CONTINUOS
Usualmente los valores de los datos no permiten un agrupamiento de ellos en una tabla de
frecuencias simple, debido a que se encuentran distribuidos a través de todo el recorrido y el
número de veces que se repite cada observación no es significativo en todos los casos, y en la
mayoría de ellos su frecuencia es baja.
5. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central, llamadas así porque tienden a localizarse en el centro de la
información, son de gran importancia en el manejo de las técnicas estadísticas, sin embargo,
su interpretación no debe hacerse aisladamente de las medidas de dispersión, ya que la
representatividad de ellas está asociada con el grado de concentración de la información.
Las principales medidas de tendencia central son:
5.1 MEDIA ARITMÉTICA
Cotidiana e inconscientemente estamos utilizando la media aritmética. Cuando por ejemplo,
decimos que un determinado fumador consume una cajetilla de cigarrillos diaria, no
aseguramos que diariamente deba consumir exactamente los 20 cigarrillos que contiene un
paquete sino que es el resultado de la observación, es decir, dicho sujeto puede consumir 18,
un día; 19 otro; 20, 21, 22; pero según nuestro criterio, el número de unidades estará
alrededor de 20.
Matemáticamente, la media aritmética se define como la suma de los valores observados
dividida entre el número de observaciones.
Donde:
∑
: é : : ! " , $ % EJEMPLO
Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana.
Lunes: 18
Viernes: 20
Martes: 21
Sábado: 19
Miércoles: 22
Domingo: 19
Jueves: 21
Solución: Entonces la media aritmética es
∑
∑& &
' ( ) )
(
&
El fumador consume en promedio 20 cigarrillos diarios.
Cuando la variable está agrupada en una distribución de frecuencias, la media aritmética se
calcula por la fórmula:
∑+
* * * + *+
*
Ejemplo:
1. Cantidad de cigarrillos consumidos por un fumador en una semana dada
Cantidad 18
19
20
21
22
Frecuencia *
1
2
1
2
1
7
∑+
',- ),- (,- ,- , *
(
&
(
./0112234
50
2. Calculo de La Media Aritmética. El Salario/día de 50 Operarias.
MILES $/DIA Xi
fi
Xi fi
50
1
50
51
3 153
52
5 260
53
9 477
54
12 648
55
10 550
56
5 280
57
3 171
58
2 116
SUMAS O TOTAL 50 2705
∑) *
&(6
67. 6(
67. (( 9:434/50
3. Si la información está relacionada en una distribución de frecuencias por intervalos,
se toman como valores de la variable las marcas de clase de los intervalos,
entiéndase por marca de clase el punto medio entre los límites de cada clase o
intervalo.
Cálculo de La Media Aritmética de la Resistencia de 100 Baldosas
∑& *
77'((
77'
((
La resistencia promedio de las 100 baldosas es de 448 Kg/Cm².
5.2 LA MEDIANA
No se basa en la magnitud de los datos, como la media aritmética, sino en la posición central
que ocupa en el orden de su magnitud, dividiendo la información en dos partes iguales,
dejando igual número de datos por encima y por debajo de ella.
5.2.1
La Mediana Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos.
Partiendo de la información bruta, ordenamos los datos ascendente o descendentemente:
<= ,
<> ,
<? … … … . . <A … … … <B
D:50
0 D: E
F
G,
4 :4 +901 ò
E
G ,
F-
D:50
0 D: Ejemplo:
C 4 :4 901
1. En el ejercicio de los cigarrillos, consumidos por un fumador tenemos lunes 18, martes
21, miércoles 22, jueves 21, viernes 20, sábado 19, y domingo 19. Ordenando
ascendentemente:
<= 18, <> 19, <? 19, <L 20, <O 21, <P 21, <Q 22
n, es impar, entonces
D:50
0 D: E
F
G
,
&F
7 (
2. Consumo mensual de agua, en m3, por la fábrica de confecciones “la hilacha”
Enero= 10
Mayo= 14
Septiembre = 18
Febrero = 12
Junio= 19
Octubre = 22
Marzo= 15
Julio= 17
Noviembre = 15
Abril = 18
Agosto= 18
Diciembre = 13
<= 10, <> 12, <? 13, <L 14, <O 15, <P 15, <Q 17, <V 18, <W 18,
<=X 18, <== 19, <=> 22
D:50
0 D: D: E
G ,
F
E
G
,Y- & 6 &
Y
,
F
Como se puede observar, en este caso la mediana no es un dato perteneciente a la
información, es un parámetro que divide la información dejando el 50% por encima y el 50%
por debajo de ella.
5.2.2
La Mediana Cuando la Información se Encuentra Agrupada en Intervalos
Si la información esta agrupada en intervalos iguales, entonces la mediana se calcula según la
siguiente expresión:
Z[ 2
\ C,A]=CA
^
Me: Mediana
LI: Limite inferior del intervalo donde se encuentra la mediana (intervalo mediano), el cual se
determina observando en que clase se encuentra la posición n/2.
n: Numero de observaciones
C,A]=- : _ CA : _ A: Amplitud del intervalo.
EJEMPLO
En la columna de frecuencia acumulada advertimos que la observación número 50 se halla en
el cuarto intervalo 4.
((
\ *0,]\ d6
b c D: (( 776. 76 e//f+
D: `a *
d6
Se concluye que el 50% de las baldosas resiste menos de 445.45 Kg/Cm2 y el 50% resiste mas
de 445.45 Kg/Cm2.
5.3 LA MODA
La moda, como su nombre lo indica, es el valor más común (de mayor frecuencia dentro de
una distribución. Una información puede tener una moda y se llama unimodal, dos modas y se
llama bimodal, o varias modas y llamarse multimodal. Sin embargo puede ocurrir que la
información no posea moda.
5.3.1
La Moda Cuando los datos no están Agrupados en Intervalos
El valor que más veces se repite es 54 con una
frecuencia de 12, entonces decimos que la moda
es Mo = 54.000.00 pesos diarios.
Los valores de mayor frecuencia corresponden a 19 y
21, por lo tanto se trata de una distribución bimodal
con Mo1=19 y Mo2=21.
5.3.2
Cálculo de la Moda Cuando la Información está Agrupada en Intervalos
Cuando la información se encuentra agrupada en intervalos de igual tamaño la moda se calcula
con la siguiente expresión.
D3 `a *+ \ *,+]b
*+ \ *,+]- \ *,+F-
Donde:
Mo: Moda
LI: Limite inferior del intervalo modal
*+ : Frecuencia de la clase modal
*,+]-: Frecuencia de la clase premodal.
*,+F-: Frecuencia de la clase posmodal.
A: Amplitud de los intervalos.
EJEMPLO
D3 `a c D3 7(( *+ \ *,+]b
*+ \ *,+]- \ *,+F-
dd \ (( 777. 77 e//f+
,dd- \ \ '
A pesar que el valor 444.44 no es un dato real de la información asumimos ese parámetro
como el de mayor ocurrencia.
6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN
Para medir el grado de dispersión de una variable, se utilizan principalmente los siguientes
indicadores:
6.1 RANGO O RECORRIDO
Es la medida de dispersión mas sencilla ya que solo considera los dos valores extremos de una
colección de datos, sin embargo, su mayor utilización está en el campo de la estadística no
paramétrica.
R = Xmax – Xmin
Xmax, Xmin son el máximo y el mínimo valor de la variable X, respectivamente.
En el ejemplo introductorio, vemos que el rango para la primera información es R1=95-5=90,
mientras que R2=51-49=2, se hace pues manifiesta la gran dispersión de la primera
información contra la homogeneidad de la segunda.
6.2 DESVIACIÓN MEDIA
La desviación media, mide la distancia absoluta promedio entre cada uno de los datos, y el
parámetro que caracteriza la información. Usualmente se considera la desviación media con
respecto a la media aritmética:
gD Donde,
∑+
| \ |*
DM: Desviación media
: Diferentes valores de la variable X
* : Numero de veces que se repite la observación : Media aritmética de la información
n: tamaño de la muestra
m: Numero de agrupamientos o intervalos.
EJEMPLO:
gD ∑+
&(
| \ |*
. 7
6(
1.400.00 es el error promedio que se
comete al remplazar los ingresos
diarios de cada una de las 50 obreras
por 54.100 pesos.
6.3 VARIANZA
La varianza obvia los signos presentes en la desviación estándar elevando las diferencias al
cuadrado, lo cual resulta ser más elegante, aparte de que es supremamente útil en el ajuste de
modelos estadísticos que generalmente conllevan formas cuadráticas.
Numéricamente definimos la varianza, como desviación cuadrática media de los datos con
respecto a la media aritmética:
i Donde,
∑+
- *
,j \ j
i> : Varianza
<A : valor de la variable x
<k : Media aritmética de la información
CA : Frecuencia absoluta de la observación <A
n: Tamaño de la muestra
m: Numero de agrupamiento o intervalos.
EJEMPLO: 1)
i ∑+
- * Y(. 6(
,j \ j
d. 6(
Como los datos están expresados en miles de pesos y la varianza se encuentra en forma
cuadrática obtenemos una varianza de 3’210.000 pesos. Sin embargo para una mejor
comprensión debemos recurrir a la desviación típica o estándar definida como la raíz cuadrada
de la varianza:
i li m
∑+
- *
,j \ j
c i √d. . &)
El error estándar es de 1.791 pesos/diarios.
2) En el ejemplo de las baldosas:
∑+,j \ j
- *
i li m c i √)6)Y 7( e//f+
6.4 COEFICIENTE DE VARIABILIDAD
El coeficiente de variabilidad tiene en cuenta el valor de la media aritmética, para establecer
un número relativo, que hace comparable el grado de dispersión entre dos o mas variables, y
se define como:
fo i
((
Comparemos la homogeneidad de las dos informaciones anteriores, las cuales tienen diferente
unidad de medida.
Ejemplo:
9:434
. &)
50
fo 9:434 (. (dd c fo d. d%
67. 50
1) para el salario:
2) para la resistencia
7( e//.+
fo (. d6 c fo d. 6%
77' e//.+
Concluimos que es mucho más dispersa la información correspondiente a la resistencia de las
baldosas.