POTENCIAL GRAVITACIONAL CREADO POR UNA ESFERA

POTENCIAL GRAVITACIONAL CREADO POR UNA ESFERA SÓLIDA DE
RADIO R Y UNA MASA
UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA.
1) r > R Para puntos fuera del cascarón.
Una esfera se puede considerar como la contribución de infinitos cascarones con el
mismo centro. Cada cascarón posee su propia masa Mi, así que:
es potencial gravitacional del cascarón de masa Mi, producido en el punto r; por
lo tanto el potencial total será:
, (1)
El resultado es idéntico al caso anterior. La masa de la esfera se puede considerar
concentrada en un centro.
2) r<R. Para puntos dentro de la
esfera.
Este caso se puede obtener como
la suma de dos contribuciones. La
primera se debe a la esfera
interior de radio r. La segunda, se
debe a la suma de cascarones
con radios mayores que r.
Primera contribución:
,(2)
En virtud del resultado (1)
Segunda contribución: Cada cascarón de radio r>r produce en el punto r un diferencial de
potencial
en virtud del resultado para puntos interiores a un cascarón. El
diferencial de masa constituye así
donde
es un diferencial de volumen
y
es la densidad de la masa constante. Esta segunda contribución la llamamos por lo
tanto,
, (3)
Así que el potencial total es:
Pero
por lo tanto
Este resultado se puede rescribir como :
Multiplicando en el lado de la ducha arriba y abajo por
, el potencial será:
la que se puede escribir finalmente como :
Se propone hacer el gráfico V(r) en función de la distancia desde r=0 hasta
masa sólida esférica.
para una