Control Moderno - Ing. Electrónica Trabajo práctico 9: Análisis de

Control Moderno - Ing. Electrónica
Trabajo práctico 9: Análisis de estabilidad por Lyapunov
Ejercicio 1: Demuestre, usando el argumento de Lyapunov, que el sistema ẋ = Ax es estable si
existen matrices P y Q definidas positivas tal que AT P + P A = −Q. Esta ecuación se conoce como
ecuación de Lyapunov. (Ayuda: use V = xT P x)
Ejercicio 2: Demuestre, usando el argumento de Lyapunov, que el sistema x(k + 1) = Ax(k), es
estable si existen matrices P y Q definidas positivas tal que AT P A − P = −Q. Esta ecuación se
conoce como ecuación discreta de Lyapunov. (Ayuda : use V (k) = xT (k)P x(k))
Ejercicio 3: Encuentre una función de Lyapunov para los siguientes sistemas lineales:
"
a. ẋ =
−1
1
2 −3
"
b. x(k + 1) =
#
x,
0,8 0
1 0,9
#
x(k).
Ejercicio 4: Encuentre los puntos de equilibrio de estos modelos de estados y determine su estabilidad empleando Lyapunov.
(
ẋ1 = −x1 + 2x21 x2
ẋ2 = −x2
(
ẋ1 = x31 − x1
ẋ2 = 0
(
ẋ1 = x1 (3 − x1 − 2x2 )
ẋ2 = x2 (2 − x1 − x2 )
a.
b.
c.
(
Ejercicio 5: Dado el sistema:
ẋ1 = ẋ31 − x1
ẋ2 = 0
determine sus puntos de equilibrio y las caracterı́sticas de estabilidad (tipo de estabilidad) en el
entorno de estos puntos de equilibrio empleando Lyapunov.
Ejercicio 6: Sea el siguiente modelo de estados correspondientes a un péndulo:
(
ẋ1 = x2
ẋ2 = −sin(x1 ) − b2 x2
1
Analice la estabilidad de sus puntos de equilibrio utilizando el primer y el segundo método de
Lyapunov. Utilice el método que crea conveniente para cada caso y considere los casos b=0 y b 6=0.
Ejercicio 7: Analice la estabilidad de los siguientes sistemas realimentados utilizando el criterio
de Lyapunov.
a.
r=1
e
- h −6
r=1
e
- h −6
b.
u = e3
x3
-
x
R
R
x
q
y
-
q-
x2
Ejercicio 8: Determine, aplicando Lyapunov (sin hallar autovalores), el rango de valores de k para
los cuales los siguientes sistemas son estables.
"
a. ẋ =
(
b.
0
1
−1 −1
#
"
x+
0
1
#
u, realimentado según la ley de control u = −[k
1]x.
ẋ1 = x2 + x31 (k − 1)
ẋ2 = −x1
Ejercicio 9: Analice mediante el segundo método de Lyapunov la estabilidad de los puntos de
equilibrio del siguiente sistema de tiempo discreto:
x(k + 1) = 0,1x(k) − 0,1x2 (k) + 1
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