Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov Gustavo A. González Armoa Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Nacional de Asunción E-mail: omicron.aa@gmail.com 8 de febrero de 2010 Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 1/49 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 2/49 Motivación 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 3/49 Motivación Motivación Consideremos la ecuación de calor (difusión pura) unidimensional en Ω = [0, L], dado por: ∂t w(x, t) = ∂xx w(x, t) + f (x, t), para (x, t) ∈ Ω × [0, T ); (1) sujeta a las condiciones de frontera de Dirichlet e iniciales dadas por: w(0, t) w(x, 0) = = w(L, t) = 0, w0 (x). (2) Donde, ∈ R es el parámetro de difusión, t representa el tiempo, x representa la variable espacial, ∂t w(x, t) representa la variación temporal, ∂xx w(x, t) representa la variación espacial y f (x, t) representa el término forzante. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 4/49 Motivación Usando el método de Galerkin obtenemos M ż(t) z (0) = = A z(t) + B b(t), z0 , (3) donde z, b ∈ Rm son los vectores de incógnitas y forzante, respectivamente. Las matrices M, A, B ∈ Rm×m son las matrices de masa, rigidez y entrada, respectivamente. Es importante notar que las matrices M y A dependen del parámetro de discretización espacial de la malla h. Además la matriz A depende de . Discretizando el intervalo de tiempo [0, T ] en n intervalos iguales y usando el θ- método para la discretización temporal obtenemos: M z j+1 − z j τ Gustavo A. González Armoa = θ Az j + (1 − θ) A z j+1 + θB bj + (1 − θ) B bj+1 (4) FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 5/49 Motivación obtenemos la recurrencia: (M − τ (1 − θ)A) z j+1 = (M − τ θA)z j + θτ Bbj + τ (1 − θ)Bbj+1 . Importante Si θ 6= 1 la recurrencia es implı́cita consecuentemente es necesario invertir la matriz (M − τ (1 − θ) A). Si θ = 1 la recurrencia es explı́cita, en este caso la resoluión de la matriz en cada instante de tiempo es simple. τ es el tiempo de simulación. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 6/49 (5) Motivación Cuando tomamos, por ejemplo, = 10−1 , parámetro de difusión y h = 1/8, tamaño de la malla, obtenemos los siguientes resultados. Tamaño de la matriz 16×16 τ =0.0625 y ε=10−1 Tamaño de la matriz 307×307 −1 τ =0.0032552 y ε = 10 16 x 10 2 1.5 w(x,t) w(x,t) 1 1.5 1 0.5 0.5 0 −0.5 −1 0 1 −1.5 1 1 t 0.8 0.5 0.6 0.4 0 0.2 0 x t 1 0.8 0.5 0.6 0.4 0 0.2 x 0 Figura: 1 Método de Euler explı́cito-Galerkin. Para una solución fı́sicamente relevante es necesario considerar τ muy pequeño (τ << h). Esto encarece el método de Euler explı́cito-Galerkin. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 7/49 Objetivo 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 8/49 Objetivo Objetivo El objetivo de este trabajo consiste en formular un método numérico estable para resolver tanto la ecuación de calor como la ecuación de convección difusión. Estabilizar el método de Euler explı́cito-Galerkin, para valores de τ grande (τ = h). Explorar la teorı́a de control para estabilizar el método de Euler explı́cito-Galerkin. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 9/49 Introducción 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 10/49 Introducción Distribución Definición 1 Se denomina distribución sobre Ω a toda forma bilineal T , continua en D(Ω), o sea una distribución es un funcional T : D(Ω) → R; que satisface las condiciones 1 T (αu + βv) = αT (u) + βT (v). 2 T es continua en D(Ω), es decir, si (φν ) converge para cero en D(Ω), entonces T (φν ) converge para cero en R. El espacio de las distribuciones con la noción de convergencia es denotado por D 0 (Ω). Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 11/49 Introducción Distribución El producto interno es una distribución Las funcionales localmente integrables u ∈ L1loc (Ω) definen unı́vocamente una distribución dada por Z (Tu , v) = u(x) v(x) dx, ∀u ∈ D 0 (Ω); ∀v ∈ D(Ω) (6) Ω Derivada en el sentido de las distribuciones Para u ∈ D 0 (Ω), α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn y |α| = α1 + · · · + αn definimos la derivada de orden n en el sentido de las distribuciones como sigue: „ ∂αu ,v ∂xα « = (−1)α „ « ∂αv u, . ∂xα (7) En este caso toda distribución es infinitamente derivable, pues v ∈ C0∞ (Ω) Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 12/49 Espacio L2 (Ω) Introducción Definición 2 Sea Ω ⊂ Rd , definimos el espacio L2 (Ω): L2 (Ω) = Z |u(x)|2 dx < ∞ u : Ω → R; ff (8) Ω Cuyo producto interno y norma son definidas por: Z (u, v) = u(x)v(x)dx y |u|2 = Ω Z |u(x)|2 dx (9) Ω Definición 3 El espacio de Sobolev H p (Ω), p = 0, 1, · · · , p ∈ N es definido por: H p (Ω) = u : Ω → R; u ∈ L2 (Ω), ff ∂αu ∈ L2 (Ω) . ∂x1 α1 . . . ∂xd αd Note que el espacio H 0 (Ω) = L2 (Ω). Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 13/49 (10) Introducción Espacios H 1 (Ω) Espacios H 1 (Ω) Note que para p = 1, tenemos que H 1 (Ω) ff ∂u u ∈ L2 (Ω); ∈ L2 (Ω) ∂xi = (11) En este caso el producto interno en H 1 esta definido por: Z Z (u, v) = ∇u∇vdx uvdx + Ω (12) Ω La norma se define como kuk2H 1 = (u, u). Espacio H01 (Ω) Un subespacio H01 (Ω) de H 1 (Ω) se define como H01 (Ω) Gustavo A. González Armoa = FaCEN - UNA ˘ ¯ u ∈ H 1 (Ω); u = 0 sobre la frontera Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov (13) 14/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 15/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Consideremos el sistema dinámicos lineal de tiempo discreto: z k+1 z k0 = = A zk , z0 , k∈N (14) donde z k ∈ Rm y A ∈ Rm×m es una matriz constante. Para la ecuación (14) un vector z ∗ ∈ Rm es llamado punto de equilibrio si z ∗ = A z ∗ [Oga97, BK06]. Definición 4 El sistema (14) es llamado localmente convergente si para z ∗ existe un δ > 0 tal que si kz 0 − z ∗ k < δ, la solución z k existe y lı́mk→∞ z k = z ∗ , además es globalmente convergente si lı́mk→∞ z k = z ∗ para todo z 0 . Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 16/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Definición 5 El punto de equilibrio z ∗ = 0 de la ecuación z k+1 = A z k es: Estable o estable en el sentido de Lyapunov si, dado > 0 existe δ > 0 tal que kz 0 − z ∗ k < δ implica kz k − z ∗ k < para todo k ≥ 0; y es denominado inestable si no es estable. Atractivo si existe δ > 0 tal que kz 0 − z ∗ k < δ implica lı́mk→∞ z k = z ∗ . Si δ = ∞, entonces z ∗ es globalmente atractivo. Asintóticamente estable si es estable y atractivo; globalmente asintóticamente estable si es estable y globalmente atractivo. Si el punto de equilibrio z ∗ es estable, decimos que el sistema dinámico lineal de tiempo discreto z k+1 = A z k es estable [Oga97, BK06]. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 17/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Definición 6 La función V es una función de Lyapunov en un subconjunto W ⊂ Rn si V es continuo en W , y el decaimiento de ∆V ≤ 0, tal que z y Az estén en W . Donde la variación de V relativo al sistema z k+1 = A z k se define como ∆V (z k ) := V (z k+1 ) − V (z k ) = V (Az k ) − V (z k ). (15) Definición 7 La función escalar V es definida positiva en z ∗ si V (z ∗ ) = 0, y V (z) > 0 para todo z ∈ B(z, ξ), para algún ξ > 0. Decimos que una matriz Q simétrica es definida positiva si su forma cuadrática z T Qz > 0 para todo z 6= 0. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 18/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Teorema 1 Si V es una función de Lyapunov para el sistema z k+1 = A z k sobre una vecindad W del punto de equilibrio z ∗ = 0 y V es definida positiva con respecto a z ∗ = 0, entonces z ∗ = 0 es estable. Si además ∆V < 0, siempre que z y Az estén en W , entonces z ∗ = 0 es asintóticamente estable. Más aún, si W = Rm y V (z) → ∞ cuando kxk → ∞ entonces z ∗ = 0 es globalmente asintóticamente estable. Observación 1 Un resultado básico de estabilidad, cuando se considera un sistema dinámico lineal de tiempo discreto de la forma z k+1 = A z k es que el punto de equilibrio z ∗ = 0 es estable si y solamente si el radio espectral de la matriz A verifica que ρ(A) ≤ 1 [GQ95, BL08]. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 19/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Teorema 2 El punto de equilibrio z ∗ = 0 del sistema dinámico lineal de tiempo discreto z k+1 = A z k es asintóticamente estable si y solamente si para toda matriz simétrica definida positiva Q = QT > 0, existe una única matriz P = P T > 0 tal que ∆V (z k ) = −(z k )T Qz k . Cuando V (z k ) := (z k )T P z k , la expresión ∆V (z k ) = −(z k )T Qz k toma la forma: AT P A − P = −Q. (16) La ecuación (16) es conocida como ecuación de Lyapunov de tiempo discreto. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 20/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Control de sistemas dinámicos lineales de tiempo discreto Control de sistemas dinámicos lineales de tiempo discreto Se considera el sistema dinámico lineal discreto autónomo: z k+1 = A z k + B uk , con k ∈ N z k0 = z0 , (17) donde uk ∈ Rm es el vector de control, z k ∈ Rm es el vector de estado, A, B ∈ Rm×m son matrices constantes e invariantes en el tiempo (sistema autónomo). Sea V : Rm − {0} → R+ con V (0) = 0, satisface ∆V (z k ) := V (z k+1 ) − V (z k ) = V (A z k + B u(z k )) − V (z k ) < 0. Entonces, denominamos a la función V (·) función de control de Lyapunov para el sistema z k+1 = A z k + B uk [BK06]. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 21/49 (18) Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Función de Lyapunov para la realimentación de estados Función de Lyapunov para la realimentación de estados Asumiremos que la ley de control toma la siguiente forma uk = − F z k donde, encontrar uk es equivalente a encontrar una matriz F ∈ Rm×m tal que la solución del sistema z k+1 = (A − B F ) z k , (19) sea asintóticamente estable con respecto al punto de equilibrio z ∗ = 0. Ahora para el caso del sistema z k+1 = A z k + B uk , la variación de la función de Lyapunov V (z k ) esta dado por: ∆V (z k ) = −(z k )T Q z k − (uk )T R uk , (20) donde Q = qI es simétrica definida positiva (o semidefinida positiva) y R = rI es simétrica definida positiva, q, r ∈ R e I ∈ Rm×m es la matriz identidad. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 22/49 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos Función de Lyapunov para la realimentación de estados Función de Lyapunov para la realimentación de estados La matriz F de la ley de control uk = − F z k toma la forma [Str81]: F = “ ”−1 BT P B + R B T P A, (21) donde la matriz P simétrica definida positiva, es obtenida resolviendo la ecuación de Riccati [Str81]: “ ”−1 P = AT P A − AT P B B T P B + R B T P A + Q. (22) Teorema 3 La ley de control para el sistema lineal de tiempo discreto z k+1 = A z k + B uk para una matriz definida positiva R, se define como uk = −(B T P B + R)−1 B T P A z k , (23) donde la matriz P satisface la ecuación (22). Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 23/49 Definición del problema 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 24/49 Definición del problema Definición del problema: Convección difusión Consideremos la ecuación de convección difusión unidimensional en Ω = [0, L] con término forzante f (x, t) dada por: ∂t w(x, t) + κ∂x w(x, t) = ∂xx w(x, t) + f (x, t), (24) para (x, t) ∈ Ω × (0, T ), y sujeta a las condiciones de frontera de Dirichlet e iniciales dadas por: w(0, t) w(x, 0) = = w(L, t) = 0, w0 (x). (25) Donde w0 (x) ∈ L2 (Ω) y f (x, t) ∈ L2 (Ω) × L2 (0, T ). w(x, t) ∈ H01 (Ω) × L2 (0, T ). El término forzante f (x, t) es usado para controlar la ecuación (24). Los parámetros , κ ∈ R son los coeficientes de difusión y convección, respectivamente. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 25/49 Definición del problema Formulación Variacional Formulación Variacional Multiplicando la ecuación ∂t w(x, t) + κ∂x w(x, t) = ∂xx w(x, t) + f (x, t), por una función de prueba ϕ ∈ S = H01 (Ω) e integrando sobre Ω. Se obtiene: Z Z ∂t w(x, t)ϕ(x)dx = Ω Z wxx (x, t)ϕ(x)dx − κ Z Ω + wx (x, t)ϕ(x)dx Ω f (x, t) ϕ(x)dx. (26) Ω Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 26/49 Definición del problema Formulación Variacional Formulación Variacional Integrando por partes sobre Ω y aplicando las condiciones de frontera (w(0, t) = w(L, t) = 0. Se obtiene: Z Z ∂t w(x, t)ϕ(x)dx = Ω − Z + wx (x, t)ϕ0 (x)dx − κ Ω Z wx (x, t)ϕ(x)dx Ω f (x, t) ϕ(x)dx. (27) Ω Y la formulación variacional esta dada por; (∂t w, ϕ) + a(w, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ S; (28) donde a(·, ·) : S × S → R es un funcional bilineal. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 27/49 Definición del problema Formulación Variacional Formulación Variacional En la ecuación (∂t w, ϕ) + a(w, ϕ) = (f, ϕ), los funcionales a(·, ·) y (f, ϕ), estan definidos por [Tho97, Che05]: Z a(w, ϕ) [ ∂x w(x, t) · ∂x ϕ + κ ∂x w(x, t) · ϕ ] dx, := (29) Ω y Z (f (x, t), ϕ) := f (x, t) ϕ dx. (30) Ω Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 28/49 Definición del problema Aproximación de Galerkin Aproximación de Galerkin Si Sh es un subespacio de elementos finitos de S = H01 (Ω), entonces la aproximación por elementos finitos consiste en encontrar wh = wh (x, t) el cual pertenece a Sh para cada t ∈ (0, T ) y satisface (∂t wh , vh ) + a(wh , vh ) = (f, vh ) ∀vh ∈ Sh . (31) De forma a encontrar la aproximación de Galerkin asumimos que wh (x, t) tiene la siguiente forma [NT94]: wh (x, t) = m X zi (t)ϕi (x), (32) i=1 donde el conjunto de los ϕi ∀i = 1, . . . , m; constituyen una base para Sh . P Asumimos que el término forzante tiene la forma f (x, t) = m i=1 bi (x)ui (t). En el contexto de este trabajo asumimos que los ϕi son funciones lineales continuas a trozos, sobre el intervalo [0, 1]. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 29/49 Definición del problema Aproximación de Galerkin Aproximación de Galerkin Introduciendo wh (x, t) = Pm i=1 zi (t)ϕi (x) y f (x, t) = (∂t wh , vh ) + a(wh , vh ) Pm i=1 bi (x)ui (t) en (f, vh ) ∀vh ∈ Sh . = obtenemos el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden m X j=1 (ϕi , ϕj ) m X dzj + a(ϕi , ϕj ) zj dt = j=1 m X (bi , ϕj ) ui , i = 1, ..., m; (33) j=1 donde las incógnitas son los zj (t). Los valores iniciales para zj (0) son determinados observando la siguiente relación m X zj (0)ϕi = 0 zh . j=1 Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 30/49 Definición del problema Aproximación de Galerkin Aproximación de Galerkin Y definimos las matrices M, A y B respectivamente como L »Z M = –m ϕi ϕj dx 0 »Z A = L − 0 »Z B L , i,j=1 –m 0 L − κ 0 i,j=1 –m –m ϕ0i ϕj dx y i,j=1 . bi (x)ϕj dx = »Z ϕ0i ϕ0j dx i,j=1 En el contexto de este trabajo consideramos que para cada “ i ” la función bi (x) es constante en cada intervalo, es decir, constante por partes. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 31/49 Definición del problema Aproximación de Galerkin Aproximación de Galerkin Denotando el vector de incógnitas por z = (z1 , . . . , zm )T , y re-escribiendo m X j=1 (ϕi , ϕj ) m X dzj + a(ϕi , ϕj ) zj dt j=1 = m X (bi , ϕj ) ui , i = 1, ..., m; j=1 en forma matricial, obtenemos: M ż(t) z (0) = = Az(t) + Bu(t), z0 , (34) donde las matrices M, A y B ∈ Rm×m . A seguir realizamos una discretización temporal del sistema matricial (34). Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 32/49 Definición del problema Discretización Discretización Para resolver numéricamente la ecuación M ż(t) = z (0) = Az(t) + Bu(t), z0 , discretizamos la variable temporal dividiendo el intervalo [0, T ] como: 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T , con nodos equidistantes tr = rτ y con paso del tiempo τ = T /n. Usando ur para denotar u(tr ), obtenemos la discretización de Euler explı́cito-Galerkin M z r+1 − z r τ = Az r + Bur . La condición de estabilidad para este método se establece en el siguiente Lema [Tho97]. Lema 1 Sean las matrices A y M simétricas definidas positivas. Sean λj los autovalores generalizados de la matriz A con respecto a M . Entonces el esquema de Euler explı́cito-Galerkin es estable si: τ ≤ mı́n{c1 /, c2 h2 /}. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 33/49 Definición del problema Discretización Estabilización usando Lyapunov La representación matricial para el diseño de control teniendo en cuenta la ecuación M ż(t) = Az(t) + Bu(t) es: z r+1 z (0) = = E z r + D ur z0 , (35) donde E = 1 + τ M −1 A y D = τ M −1 B. Para encontrar el controlador ur en la ecuación (35), definimos una función candidata a función de Lyapunov V dada por: V (z r ) = hz r , z r i. La variación de la función de Lyapunov V (z r ) denotado por ∆V (z r ) esta dada por: ∆V (z r ) = −(z r Q z r + ur R ur ), Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 34/49 Definición del problema Estabilización usando Lyapunov Estabilización usando Lyapunov Siguiendo un procedimiento análogo al Teorema 3, la ley de control para el sistema z r+1 = E z r + D ur esta dada por: ur = −[( D T P D + R)−1 D T P E ] z r , (36) donde la matriz F := ( D T P D + R)−1 D T P E, y la matriz P satisface la ecuación de Riccati dada por: P = E T P E − E T P D(D T P D + R)−1 D T P E + Q. Usando la ley de control (36), tenemos la forma estabilizada de la ecuación z r+1 = E z r + D ur : Gustavo A. González Armoa z r+1 z (0) FaCEN - UNA = = (E − DF ) z r , z0 . Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov (37) 35/49 Resultados 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 36/49 Resultados Estabilización de la ecuación de calor para τ = h Estabilización para τ = h y κ = 0 (Difusión Pura) En la Tabla 1, se presenta el funcionamiento del controlador para q, r y dados y h = 1/2i tamaño de la malla. Note que con el uso del controlador la condición de estabilidad sobre τ es relajada considerablemente. h = 1/2i q = 10, r = 10−3 y = 10−1 τ = h2 /12 τ =h τ =h no controlado ρ(E) no controlado ρ(E) controlado ρ(E − DF ) i=3 0.8939 8.584 0.8940 i=4 0.9717 18.6570 0.9406 i=5 0.9928 38.1240 0.9694 i=6 0.9982 76.6614 0.9846 Tabla: 1 Método no controlado y controlado Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 37/49 Resultados Estabilización de la ecuación de calor para τ = h Estabilización para τ = h y κ = 0 (Difusión Pura) En las Figuras 2 observamos el resultado obtenido para la ecuación (1) utilizando = 10−1 , τ = h2 /12 (para el no controlado, Figura 2 izquierda) y τ = h (para el controlado, Figura 2 derecha), con h = 1/16 Tamaño de la malla 16×16 −1 τ =0.0625 y ε=10 Tamaño de la malla 307×307 −1 τ =0.0032552 y epsilon=10 2 w(x,t) w(x,t) 2 1.5 1 1.5 1 0.5 0.5 0 1 0 1 1 1 t 0.8 0.5 0.6 0.4 0 0.2 0 x t 0.8 0.5 0.6 0.4 0 0.2 0 x Figura: 2 Método de Euler explı́cito-Galerkin. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 38/49 Resultados Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h y κ = 1 Presentamos los resultados para la ecuación de convección difusión unidimensional: ∂t w(x, t) + 1 · ∂x w(x, t) = ∂xx w(x, t) + f (x, t), (38) Realizamos, el experimento numérico considerando el caso en el cual el coeficiente de difusión es = 10−1 y = 10−3 . Consideramos además como parámetros de estabilidad τ = h y τ = h2 /12, donde h es el tamaño de la malla, definido por h = 1/2i y la dimensión espacial n = 1/h ver Tabla 2 y 3. Comparando las Tablas 2 y 3 vemos que el método de Euler explı́cito-Galerkin controlado con τ = h es estable. No obstante, el método Euler explı́cito-Galerkin no controlado con parámetro de estabilidad τ = h2 /12 es inestable. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 39/49 Resultados h = 1/2i Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h q = 10, r = 10−3 y = 10−1 τ = h2 /12 τ =h τ =h no controlado ρ(E) no controlado ρ(E) controlado ρ(E − DF ) i=3 0.8627 8.2821 0.6298 i=4 0.9637 18.5025 0.7919 i=5 0.9908 38.0461 0.8923 0.9977 76.6224 0.9457 i=6 Tabla: 2 Método controlado y no controlado h = 1/2i q = 1, r = 10−4 y = 10−3 τ = h2 /12 τ =h τ =h no controlado ρ(E) no controlado ρ(E) controlado ρ(E − DF ) i=3 16.2766 1.5626 0.9999 i=4 8.7923 1.6881 0.9989 i=5 4.4817 1.7210 0.9935 i=6 2.2517 1.7293 0,9816 Tabla: 3 Método no controlado y controlado Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 40/49 Resultados Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h Resultados para la ecuación de convección difusión En las Figuras 3, se muestran el resultado para el método de Euler explı́cito-Galerkin no controlado (izquierdo) y controlado (derecho) = 10−1 , en ambos casos el método es estable, teniendo en cuenta los datos de la Tabla 2. Tmaño de la matriz 32×32 −1 τ = 0.03125 y ε = 10 2 w(x,t) 1.5 1 0.5 0 1 1 t 0.8 0.5 0.6 0.4 0 x 0.2 0 Figura: 3 No controlado (izq.) y controlado (der.). Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 41/49 Resultados Estabilización de la ecuación de convección difusión para τ = h Resultados A partir de los resultados podemos inferir que el método de Euler explı́cito-Galerkin controlado es estable cuando el parámetro de estabilidad τ = h. En todo este trabajo hemos considerado los valores de q y r parámetros de la función de Lyapunov, tal que q r. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 42/49 Conclusión 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 43/49 Conclusión Conclusión Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 44/49 Conclusión Conclusión En esta tesis investigamos la aplicación de estabilización usando la teorı́a de funciones de Lyapunov para el método de Euler explı́cito-Galerkin definida para el problema de control de la ecuación de convección difusión. Y concluimos lo siguiente: Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 44/49 Conclusión Conclusión En esta tesis investigamos la aplicación de estabilización usando la teorı́a de funciones de Lyapunov para el método de Euler explı́cito-Galerkin definida para el problema de control de la ecuación de convección difusión. Y concluimos lo siguiente: El uso de funciones de Lyapunov permite estabilizar el método de Euler explı́citoGalerkin tanto para el problema de difusión pura como para el problema de convección difusión. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 44/49 Conclusión Conclusión En esta tesis investigamos la aplicación de estabilización usando la teorı́a de funciones de Lyapunov para el método de Euler explı́cito-Galerkin definida para el problema de control de la ecuación de convección difusión. Y concluimos lo siguiente: El uso de funciones de Lyapunov permite estabilizar el método de Euler explı́citoGalerkin tanto para el problema de difusión pura como para el problema de convección difusión. Por último, experimentos numéricos para más dimensiones espaciales que las consideradas en este trabajo están en fase de implementación, ası́ como un análisis del método propuesto. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 44/49 Referencias Bibliográficas 1 Motivación 2 Objetivo 3 Introducción 4 Análisis de sistemas dinámicos lineales discretos 5 Definición del problema 6 Resultados 7 Conclusión 8 Referencias Bibliográficas Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 45/49 Referencias Bibliográficas Bibliografı́a [BGS04] P. Bochev, M. Gunzburguer and J. 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Galerkin finite element methods for parabolic problems. In: Springer Series in Computatinal Mathematics. Springer, Berlin, 1997. Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 47/49 AGRADECIMIENTOS Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 48/49 MUCHAS GRACIAS..... Gustavo A. González Armoa FaCEN - UNA Elementos finitos estabilizados vı́a funciones de Lyapunov 49/49