Notas de clase sobre movimiento browniano

El movimiento Browniano a más de un siglo de
Einstein
Francisco Javier Sevilla
Instituto de Fı́sica, UNAM
fjsevilla@fisica.unam.mx
Resumen
El objetivo de estas notas es dar un panorama general de algunos
de los conceptos que actualmente se usan en la Fı́sica de sistemas fuera
de equilibrio, tales como la ecuación maestra generalizada, la ecuación
de Lagevin generalizada y las caminatas aleatorias de tiempo continuo,
poniendo enfásis en su aplicación al fenómeno de difusión anómala. La
presentación pretende ser autocontenida, ası́, en la primera sección se
introducen los conceptos básicos necesarios comenzando con la teorı́a del
movimiento borwniano de Einstein.
1.
El Movimiento Browniano
Sin duda para todos nos es familiar el movimiento irregular de una partı́cula
muy ligera suspendida en el aire. El mismo efecto fue observado por Robert
Brown, un renombrado botánico Inglés, en 1827, cuando con la ayuda de un
microscopio examinaba atentamente el movimiento de granos de polen en un
lı́quido a temperatura ambiente. Brown notó que la trayectoria se vuelve más
irregular al aumentar la temperatura del lı́quido. Brown trataba de encontrar un
orı́gen biológico a dicho movimiento que desde entonces se le llama movimiento
browniano.
En 2005 se celebrarón los 100 años cuando Einstein publicó tres trabajos de
suma importancia. Dos de ellos contribuyeron al entendiemiento de la naturaleza
de la luz y del espacio-tiempo y que cambiarón la fı́sica de su tiempo. El trabajo
restante se refiere precisamente al movimiento browniano [1].
Las hipótesis de Einstein para la elaboración de su teorı́a del movimiento
browniano están basados en dos apectos que eran tema de debate en su época:
hipótesis atomı́stica: el movimiento irregular de la partı́cula se debe a las
incesantes colisiones con las moléculas del fluido en el que está suspendida,
hipótesis probabilı́stica: el movimiento de las moléculas es muy complicado
por lo que es necesario hacer una descripción basada en probabilidades.
1
No era la primera vez que se usaba la probabilidad en fı́sica, pues Maxwell y
Boltzmann la habı́an usado ya en sus respectivas teorı́as cinética de los gases,
sin embargo, las distribuciones de probabilidad calculadas describen cantidades macroscópicas en equilibrio termodinámico y por tanto independientes del
tiempo. En contraste, la distribución de probabilidad calculada de la teorı́a de
Einstein incorpora de manera natural un aspecto dinámico.
Einstein reconoció tres escalas de tiempo involucradas en su teorı́a: una
escala de tiempo microscópica asociada al tiempo entre colisiones tcoll , una escala
de tiempo mesoscópica ∆t y una escala de tiempo macróscopica correspondiente
a los tiempo de obervación tobs , de tal modo que tcol ∆t tobs .
En el lapso de tiempo ∆t la partı́cula browniana recibe una cantidad muy
grande de impactos de las moléculas del fluido circundante, por lo que la diferencia en posición ∆r = r(t + ∆t) − r(t) es una cantidad aleatoria cuya distribución
de probabilidades no se conoce. Como ha sido señalado por Van Kampen [2],
el cálculo de probabilidades es reducida al cálculo de la transformación de una
probabilidad dada a priori. En el caso de Einstein se asume que el cambio en la
posición de la partı́culas ∆r tiene una distribución de probabilidad φ(∆r; ∆t)
que satisface las siguientes propiedades:
ZZZ
d3 (∆r) φ(∆r; ∆t) = 1,
(1)
φ(∆r; ∆t) = φ(|∆r|; ∆t).
(2)
La dependencia de φ(∆r; ∆t) en ∆t puede entenderse debido a las incesantes
colisiones de las moléculas del lı́quido con la partı́cula, pues debido a estas,
la incertidumbre en la posición será mayor cuanto mayor sea el tiempo entre
observaciones. Además debe suponerse que
ZZZ
1
d3 (∆r) ∆r2 φ(∆r; ∆t)
(3)
lı́m
∆t→0 6∆t
existe y es finito.
Einstein supuso implı́citamente que el exceso de energı́a ganada por colisiones
es también removido por las mismas. Este principio se conoce con el nombre de
balance detallado1 que en general dice que el exceso de energı́a puesto en cada
modo de un sistema en equilibrio termodinámico en el curso de fluctuaciones
térmicas, es también removido del mismo modo por fuerzas disipativas [3].
Considere ahora la densidad de probabilidad P (r, t) de encontrar a la partı́cula alrededor de la posición r al tiempo t en un elemento de volumen d3 r nuestro
objeto de interés. La ecuación que satisface P (r, t) puede construirse a partir de
la siguiente supocisión plausible:
ZZZ
P (r, t + ∆t) =
d3 (∆r) φ(∆r; ∆t)P (r + ∆r, t),
(4)
es decir, la densidad de probabilidad de encontrar a la partı́cula alrededor de r
al instante t + ∆t requiere de todas las posibilidades de encontrar a la partı́cula
1 Del
inglés “detailed balace.”
2
alrededor de r+∆r al tiempo t multiplicada por la probabilidad de que el cambio
en la posición sea ∆r. A los procesos descritos por esta suposición introducida
por Einstein se les conoce como procesos Markovianos y la ecuación (4) se conoce
como ecuación de Chapman-Kolmogorov [4].
Suponiendo ∆t muy pequeño uno espera que φ(∆r; ∆t) sea muy “angosta” por lo que tanto el miembro izquierdo de (4) como P (r + ∆r, t) pueden
desarrollarse en series de Taylor, por lo que
ZZZ
∂P (r, t)
∆t + . . . =
d3 (∆r) φ(∆r; ∆t)
P (r, t) +
∂t
1
2
P (r, t) + ∇P (r, t) · ∆r + (∆r · ∇) P (r, t) + . . . .
2
El primer término del miembro izquierdo se simplifica con el primer término del
miembro derecho debido a la propiedad (1) y la simetrı́a esférica de φ(∆r; ∆t)
nos lleva a concluir que el segundo término del miembro izquierdo es cero. Ası́,
truncando la serie del miembro izquierdo a primer orden en ∆t y a segundo
orden en ∆r en el miembro derecho, obtenemos la celebre ecuación de difusión
∂P (r, t)
= D ∇2 P (r, t),
∂t
(5)
donde D está dado por el lı́mite en (3) y es llamada constante de difusión. Las
2
tiempo
2
unidades de D son [D] = longitud
tiempo = masa×velocidad × masa , frecuentemente
asociado al área por unidad de tiempo que explora una partı́cula browniana. Sin
embargo como se mostrará adelante, en equilibrio térmico se espera que (relación
de Einstein) D ∝ kBγ T donde γ es una constante que tiene unidades de masa
entre tiempo. La ecuación de difusión (5) es un caso particular de lo que ahora
se conoce como ecuación de Fokker-Planck [5].
Considere el caso en el que las fronteras están en infinito. Con el fin de hacer
claro el argumento, consideremos el caso en una dimension espacial. Multiplicando (5) por x2 e integrando de −∞ hasta ∞ respecto a x encontramos una
ecuación para el desplazamiento cuadrático promedio, hx2 (t)i, a decir
d 2
hx (t)i = 2D,
dt
(6)
cantidad que cuantifica el incertidumbre en la posición como función del tiempo.
Resulta entonces que
hx2 (t)i = 2Dt,
(7)
donde hemos supuesto que hx2 (0)i = 0. A la dependencia lineal con el tiempo del
desplazamiento cudrático promedio se denomina frecuentemente en la literatura
como difusión normal, en distinción con otros procesos en los que la dependencia
temporal deja de ser lineal.
3
Figura 1: Diferentes realizaciones de la posición (eje vertical) como función del
tiempo, de una partı́cula browniana en una dimensión.
El método de Langevin Tres años después de la presentación del trabajo de
Einstein sobre el movimiento browniano, P. Langevin presento un método basado en las trayectorias de la partı́cula [6], completamente distinto al de Einstein
y que proporciona las mismas predicciones.
El método de Langevin está basado en la ecuaciones de movimiento clásicas
de Newton a las que incorpora dos fuerzas que tienen su origen en la interacción
de la partı́cula y el lı́quido circundante: i) una fuerza de origen sistemático,
relacionada con la viscocidad del fluido en el que yace la partı́cula y ii) una
fuerza de origen estocástico debido a las rápidas e incesantes colisiones de la
partı́cula con la moleculas que forman al fluido. La descripción de Langevin
está basada en una escala de tiempo microscópico a diferencia de la escala
mesoscópica en la que está basada la teorı́a de Einstein. Sin embargo en el
lı́mite llamado “sobreamortiguado” ambas descripciones son equivalentes.
En una dimensión las ecuaciones de movimiento son
dv
m
= −γv + ξ(t)
(8)
dt
donde m es la masa de la partı́cula y v = dx
dt . Esta ecuación llamada generalmente ecuación de Langevin es considerada el primer ejemplo de una ecuación
diferencial estocástica. El primer término en el miembro derecho de (8) corresponde a los efectos disipativos debidos a la viscocidad del fluido, donde γ es
el coeficiente de fricción, mientras que ξ(t) es la fuerza aleatoria. En la literatura actual, el proceso estocástico definido por (8) se conoce como proceso de
Ornstein-Uhlenbeck.
4
Ası́ como Einstein tuvo la necesidad de suponer las propiedades, fı́sicamente
plausibles, de la distribución de incrementos ∆r, Langevin ası́ también tuvo
que suponer las propiedades más adecuadas de la fuerza estocástica ξ(t). Las
consideraciones más simples para la fuerza aleatoria están dadas por
hξ(t)i =
hξ(t)ξ(s)i =
0,
Γ δ(t − s),
(9)
(10)
donde δ(t) es la “función” delta de Dirac y Γ es una constante con unidades
2
longitud2
masa
de tiempo
tiempo . De ésta última relación, uno puede reconocer que Γ y γ
están relacionadas e incluso conjeturar que Γ ∝ γ 2 D donde D es la constante
de difusión que aparece en la ecuación (5).
La solución formal a la ecuación (8) puede obtenerse por medios convencionales y es expreseda como
Z
γ
γ
1 t
ds e− m (t−s) ξ(s).
(11)
v(t) = v(0)e− m t +
m 0
Es claro que hv(t)i = v(0)e−(γ/m)t dacae muy rápido a cero para tiempos
t m/γ, en otras palabras, el sistema pierde toda información de las condiciones iniciales en un tiempo caracterı́stico m/γ y se dice que la partı́cula
alcanza un estado de equilibrio con el lı́quido circundante. Notése que este tiempo corresponde a la escala de tiempo ∆t que Einstein introdujo a priori en su
teorı́a.
Una cantidad importante es la función de auto-correlación de la velocidad,
definida por hv(t)v(s)i. Suponga que la partı́cula ha alcanzado el equilibrio
térmico con el fluido, en otras palabras que no hay rastros de la velocidad
inicial de la partı́cula. Entonces, uno puede suponer que en el pasado remoto,
t → −∞, la partı́cula tenı́a una velocidad inicial v(0), por lo que para t > s se
tiene:
Z t
Z s
γ
γ
1
hv(t)v(s)i =
ds1
ds2 e− m (t−s1 ) e− m (s−s2 ) hξ(s1 )ξ(s2 )i
m2 −∞
−∞
Z t
Z s
γ
γ
Γ
=
ds1
ds2 e− m (t−s1 ) e− m (s−s2 ) δ(s1 − s2 )
2
m −∞
−∞
Z s
γ
γ
Γ
=
ds1 e− m (t−s1 ) e− m (s−s1 )
2
m −∞
Z
γ
Γ − γ (t+s) s
m
=
e
ds1 e2 m s1
2
m
−∞
Γ − γ (t−s)
=
e m
,
2mγ
donde se ha usado el hecho que hξ(t)v(0)i = 0. Del mismo modo, para s >
γ
t se tiene que hv(t)v(s)i = (Γ/2mγ)e− m (s−t) por lo que la función de autocorrelación de la velocidad se puede escribir como
Γ − γ |t−s|
hv(t)v(s)i =
e m
.
(12)
2mγ
5
La dependencia en t−s es una caracterı́stica importante y se dice que el proceso
es estacionario, es decir, que no depende del tiempo en que se realice la medición.
Una vez se conoce la función de auto-correlación de la velocidad, el desplazamiento cuadrático promedio puede calcularse a través de la relación
Z t
Z t
h[x(t) − x(0)]2 i =
ds1
ds1 hv(s1 )v(s2 )i,
(13)
0
pues x(t) = x(0) +
h[x(t) − x(0)]2 i =
=
=
=
Rt
0
0
ds v(s). De este modo tenemos que
Z t
Z t
γ
Γ
ds1
ds2 e− m |s1 −s2 |
2mγ 0
0
Z t
Z s1
Z t
Z t
γ
γ
Γ
ds2 e− m (s1 −s2 ) +
ds1
ds2 e− m (s2 −s1 )
ds1
2mγ 0
0
0
s1
Z t
Z s1
γ
Γ
ds1
ds2 e− m (s1 −s2 )
mγ 0
0
i
γ
Γm h γ
t − 1 − e− m t .
(14)
3
γ
m
Para tiempos en la escala microscópica, es decir, tiempos mucho más pequeños
que m/γ uno debe esperar que los efectos de las colisiones sobre las partı́culas
sean mı́nimos y por tanto, un comportamiento balı́stico
h[x(t) − x(0)]2 i −→
Γ 2
t .
2mγ
(15)
En el otro extremo, para tiempos mucho más grandes que m/γ los efectos del
fluido sobre la partı́cula son notorios y se tiene entonces
h[x(t) − x(0)]2 i −→
Γ
t,
γ2
(16)
es decir, la partı́cula se mueve exhibiendo difusión normal como en la teorı́a de
Einstein.
La relación fluctuación-disipación Como ya se mencionó, Einstein supuso
implı́citamente que en equilibrio termodinámico, el exceso de energı́a cinética
que las moléculas del fluido transfieren a la partı́cula browniana a través de
colisiones, es también removido por fuerzas disipativas. Este hecho queda más
claro aún en el método de Langevin. Este principio de balance es conocido
como el teorema de fluctuación-disipación [7] el cual ı́mplica, como mostraré a
continuación, una relación entre Γ y γ come se conjeturó en la definición de la
primera.
Una manera simple y novedosa de encontrar la relación entre la la magnitud
de correlación de la fuerza aleatoria Γ y la intensidad de la fuerza de disipación γ es apartir de la velocidad cudrática promedio hv 2 (t)i. De la expresión
6
(11) y considerando que la partı́cula ha alcanzado el equilibrio térmico con sus
alrededores tenemos que
Z t
Z t
γ
γ
1
ds
ds2 e− m (t−s1 ) e− m (s−s2 ) hξ(s1 )ξ(s2 )i,
hv 2 (t)i =
1
2
m −∞
−∞
procediendo ahora de manera similar como se calculó la función de autocorrelación se tiene
Z t
γ
Γ
2
ds e2 m (s−t)
hv (t)i =
m2 −∞
Γ
=
,
2mγ
y por la condición de equilibrio termodinámico hv 2 (t)i = kB T /m, se obtiene
finalmente la relación buscada
Γ = 2γ kB T.
(17)
Reescribiendo la relación anterior como Γ = 2γ 2 kBγT uno puede reconocer la
constante de difusión D, por lo que Γ = 2γ 2 D.
La caminata aleatoria Otro paradigma en la fı́sica estadı́stica de los procesos
fuera de equilibrio es el de la caminata aleatoria. Considere una red unidimensional de sitios separados por una distancia l en la que una partı́cula se mueve
realizando transcisiones entre sitios adyacentes cada τ unidades de tiempo. Suponga que la probabilidad de saltar del sitio M al sitio inmediato a la derecha
M + 1 es la misma a la de saltar al sitio inmediato a la izquierda M − 1, e igual
a 21 . De tal modo que a un instante dado la probabilidad de saltar es 1. La longitud total al tiempo nτ de una caminata que comienza en el orı́gen está dada
por
n
X
X(nτ ) = l
σj ,
(18)
j=1
donde σj = ±1 con probabilidad 21 respectivamente. La secuencia cronológica
σj da las trayectorias de la partı́cula y corresponde a una versión discreta en
espacio y tiempo de la ecuación de Langevin (8). La dinámica más simple se
obtiene cuando σj+1 es independiente de σj .
En lugar de trayectorias, podriamos preguntarnos por la probabilidad PM (nτ )
de encontrar a la partı́cula en el sitio M después de n pasos. Es intuitivamente
claro que PM (nτ ) debe satisfacer la siguiente relación
PM (nτ ) =
1
1
PM +1 [(n − 1)τ ] + PM −1 [(n − 1)τ ].
2
2
(19)
Este nivel de descripción corresponde a la ecuación de difusión (o de FokkerPlanck) pero por razones históricas se le conoce como ecuación maestra.
7
P
El desplazamiento cuadrático promedio hM 2 (nτ )i ≡ M M 2 PM (nτ ) puede
calcularse directamente de (19) analogamente a como se calculó en el caso de
la ecuación de difusión, explı́citamente multiplique (19) por M 2 y sume sobre
todos los sitios M , es decir,
1X 2
1X 2
M PM +1 [(n − 1)τ ] +
M PM −1 [(n − 1)τ ].
hM 2 (nτ )i =
(20)
2
2
M
M
Si se sustituye M 2 por (M ±1∓1)2 respectivamente en cada uno de los términos
en la expresión anterior esta se simplifica a
hM 2 (nτ )i = hM 2 [(n − 1)τ ]i + 1.
(21)
La relación anterior nos da el desplazamiento cuadrático medio al paso n en
términos del anterior al paso n − 1, la solución es simplemente
hM 2 (nτ )i = hM 2 (0)i + n.
(22)
Como en el caso de la teorı́a de Einstein hM 2 (nτ )i crece linealamente con n.
2.
Nueva fı́sica: difusión anómala
La difusión normal (desplazamiento cuadrático promedio proporcional al
tiempo trancurrido) se presenta en una gran variedad de fenómenos de transporte como: en el transporte de electrones y agujeros en dispositivos semiconductores [8], en átomo intersticiales injectados en sólidos [9], en el transporte de
agua y nutrientes a través de membranas en organismos vivos (Fick 1855), en la
propagación de la Malaria por mosquitos (Pearson 1905), propagación de calor
en sólidos, por mencionar sólo algunos. Sin embargo existe evidencia, también
en un gran número de sistemas2 , en los que hx2 (t)i no depende linealmente con
el tiempo sino que sigue una ley de potencias, es decir,
hx2 (t)i = Kα tα ,
(23)
donde α y Kα son constantes positivas. Se dice que el proceso en consideración
es super-difusivo si α > 1 y sub-difusivo si α < 1 y en general se le llama difusión
anómala por razones obvias. Ejemplos de tales sistemas pueden encontarase en
las referencias [11, 12, 13] y por mencionar sólo algunos: transporte de carga en
semiconductores desordenados, emisión de luz en puntos cuánticos, difusión de
mRNA en células etc.
2.1.
Modelos matématicos que describen la difusión anómala
Existen varias formulaciones matématicas de las que se obtiene la expresión
(23), entre ellas se encuentran:
2 Se ha observado difusión anómala en una gran variedad de sistemas que se ha establecido
la frase “anómalo es normal” [10]
8
i) la ecuación maestra generalizada
∂P (x, t)
=D
∂t
t
Z
ds φ(t − s)
0
∂ 2 P (x, s)
,
∂x2
(24)
ii) la ecuación de Langevin generalizada
m
dv
+γ
dt
Z
t
ds φ(t − s)v(s) = ξ(t),
(25)
0
como antes v = dx/dt y finalmente
iii) caminatas aleatorias en tiempo continuo
Z
Z t
1 t
ds ψ(t − s) [PM +1 (s) + PM −1 (s)]
PM (t) = PM (0) 1 −
ds ψ(s) +
2 0
0
(26)
las cuales son descritas a continuación.
La ecuación maestra generalizada La ecuación (24) es una generalización
de la ecuación (5) que dedujo Einstein donde ahora los efectos no locales en
el tiempo están presentes a través de la función de memoria φ(t). Diferentes
generalizaciones de la ecuación de difusión que han aperecido en la literarura
pueden obtenerse de (24) bajo la apropiada elección de φ(t). Por ejemplo, si los
efectos de memoria son importantes en una escala de tiempos 1/ϑ, de tal modo
que φ(t) = ϑe−ϑt se obtiene la ecuación del telegrafista dada por
∂ 2 P (x, t)
∂P (x, t)
∂ 2 P (x, t)
+ϑ
= Dϑ
,
2
∂t
∂t
∂x2
(27)
que incorpora el comportamiento balı́stico para tiempos tal que tϑ 1 y el
difusivo en el otro extremo tϑ 1, como puede apreciarse
de la expresión
−ϑt
para el desplazamiento cuadrático promedio hx2 (t)i = 2D
.
ϑ ϑt − 1 − e
Este resultado es idéntico al obtenido en la expresión (14) con el método de
Langevin si se hace la identificación3 ϑ = γ/m. Ciertamente, si la función de
memoria decae infinitamente rápido, situación descrita si se elige φ(t) = δ(t) se
recupera la ecuación (5) el cual da difusión normal. El comportamiento balı́stico
se obtiene cuando los efectos de memoria persisten a todo instante, pues entonces
φ(t) = const. y la ecuación (27) se reduce a la ecuación de onda
2
∂ 2 P (x, t)
2 ∂ P (x, t)
=
v
,
∂t2
∂x2
donde v 2 ≡ D const.
3 Cabe mencionar que aunque ambas descripciones dan por resultado el mismo comportamiento del desplazamiento cuadrático medio, no son equivalentes, como puede demostrarse al
comparar hx4 (t)i por ejemplo.
9
Otro caso de interés se obtiene cuando la memoria decae como una ley de
potencias, es decir, φ(t) = ϑβ tβ−1 con 0 < β < 1, pues entonces la ecuación
(24) corresponde a la llamada ecuación de difusión fraccionaria
∂P (x, t)
Kβ
=
∂t
Γ(β − 1)
t
Z
ds (t − s)β−1
0
∂ 2 P (x, s)
,
∂x2
(28)
de la que se obtiene super-difusión con α = β + 1. Una variante de (28) que
permite obtener sub-difusión con α = β es
Z t
∂P (x, t)
Kβ ∂
∂ 2 P (x, s)
ds (t − s)β−1
.
(29)
=
∂t
Γ(β) ∂t 0
∂x2
El desplazamiento cudrático medio en el caso general dado por la ecuación
(24) puede obtenerse procediendo de manera similar a como se hizó con la
ecuación de difusión (5), es decir, multiplicamos (24) por x2 e integramos respecto de x desde −∞ hasta ∞ para obtener
Z t
d 2
hx (t)i = 2D
ds φ(s).
(30)
dt
0
La ecuación generalizada de Lagevin Por otra parte, la ecuación (25)
también incorpora efectos de memoria en el término de la fuerza de disipación.
El significado fı́sico es simple. En la ecuación original de Langevin (8), se asume
que no hay correlación temporal entre los efectos de las moléculas del fluido sobre
la partı́cula browniana (via colisiones) de un instante dado t a otro muy cercano
s. Este hecho se refleja en la propiedad (10) de la fuerza aleatoria ξ(t), la cual
implica el término de fricción −γv que es local en el tiempo (no hay memoria).
De este modo, la ecuación (25) generaliza (8) para los casos en los que no se
pueden ignorar dichas correlaciones, expresadas por hξ(t)ξ(s)i = Γ(t, s).
La ecuación (25) puede aplicarse, en pricipio, a dos situaciones totalmente
distintas. En una de ellas el sistema es capaz de alcanzar el equilibrio termodinámico por lo que se espera que las correlaciones de la fuerza aleatoria sean
estacionarias de la forma hξ(t)ξ(s)i = Γφ(t − s), donde Γ es la misma que aparece en (10) y φ(t) la función de memoria. Esta conexión entre la función de
memoria y las correlaciones de ξ(t) es la relación de fluctuación-disipación generalizada para la ecuación (25)4 . La otra situación corresponde al caso cuando
las correlaciones temporales de ξ(t) son totalmente independientes de la función
de memoria, en otras palabras hξ(t)ξ(s)i =
6 Γφ(t − s), por lo que el sistema en
consideración no alcanza un estado de equilibrio termodinámico.
La expresión general para el desplazamiento cuadrático promedio está dada
por
Z t
Z t
kB T 1 2
hx2 (t)i = 2
ΦI (t) +
dsΦI (s) −
dsΦI (s)Φ(s) ,
(31)
m 2
0
0
4 Esta
relación puede probarse de la misma manera como se hizó para la ecuación de Lagevin
(8).
10
donde ΦI (t) ≡
a (25)
Rt
0
ds Φ(s) y Φ(t) es la solución a la ecuación homogenea asociada
m
dΦ(t)
+γ
dt
Z
t
ds φ(t − s)Φ(s) = 0.
(32)
0
En las situaciones cuando las correlaciones de ξ(t) decaen como una ley de
potencia, proceso denominado movimiento browniano fraccionario, hξ(t)ξ(s)i ∝
|t − s|β−1 con 0 < β < 1, se tiene que el comportamiento asintótico está dado
por
hx2 (t)i ∼ t2−β ,
(33)
expresión que refleja un comportamiento super-difusivo ya que 1 < α = 2 − β <
2.
Caminatas aleatorias en tiempo continuo La generalización de la caminata aleatoria considera que las transiciones de la partı́cula a sitios adyacentes
ocurren a intervalos de tiempo arbitrarios y aleatorios, no necesariamente cada
τ unidades de tiempo como sucede en la caminata aleatoria convencional. Por
lo que en este formalismo la función de distribución de tiempos de espera ψ(t)
en la ecuación (26) tiene un papel predominante.
El primer término del miembro derecho en la ecuación (26), ausente en (19),
da la probabilidad que la partı́cula no haya “saltado” hasta el tiempo t y por
lo tanto que espere en el sitio inicial un tiempo t. El segundo término da la
contribución de todas las posibilidades de que la partı́cula haya “saltado” del
sitio M ± 1 al sitio M , con la misma probabilidad, en el instante s y que no
haya “saltado” durante el tiempo restante t − s. Note
Pn que se puede recuperar
el caso en tiempo discreto (19), si se elige ψ(t) = n1 m=1 [δ(t − mτ )], con n el
máximo entero tal que nτ < t.
El desplazamiento cuadrático promedio puede encontrarse procediendo como
se hizo cuando obtuvimos la expresión (22), en el presente caso se obtiene
2
Z
hM (t)i =
t
Z
ds ψ(s) +
0
t
ds ψ(t − s)hM 2 (s)i,
(34)
0
donde hemos supuesto que hM 2 (t = 0)i = 0. La ecuación R(34) se puede resolver
∞
fácilmente usando la transformada de Laplace, f˜() ≡ 0 dt e−t f (t), dando
por resultado
ψ̃()
2 ()i =
^
.
(35)
hM
[1 − ψ̃()]
3.
Mecánismos que dan origen a la difusión anormal
Aún cuando hay métodos para deducir formalmente las ecuaciones (24) y
(25), el cálculo explı́cito de la función de memoria se torna muy complicado
y en la mayorı́a de los casos, como se comenta en la referencia [14], el origen
11
microscópico de la función de memoria se ve oscurecido. De aquı́ que modelos
simples en los que el cálculo de la función de memoria es transparente son de
particular valı́a para los teóricos.
3.1.
Como surgen las funciones de memoria
Un modelo clásico y sencillo, donde se exhibe como surge la función de memoria φ en la ecuación (24) es el siguiente: considere a P → , P ← la probabilidad
que una partı́cula se mueva a la derecha o izquierda a un ritmo c, −c respectivamente. Suponga que la partı́cula puede ser “dispersada,” es decir, que puede
cambiar la dirección de movimiento de derecha a izquierda y vicerversa a un
ritmo ϑ/2 (ver fig. 2). El sistema puede ser descrito por el siguiente par de
ecuaciones acopladas
Figura 2: Descripción gráfica del modelo. Una partı́cula es dispersada de una
dirección de movimiento a la otra y vicerversa un ritmo constante ϑ/2.
∂P → (x, t)
∂t
∂P ← (x, t)
∂t
∂P → (x, t) ϑ ←
+ [P (x, t) − P → (x, t)],
∂x
2
∂P ← (x, t) ϑ →
= −c
+ [P (x, t) − P ← (x, t)].
∂x
2
= c
(36)
(37)
Definimos P (x, t) ≡ P → + P ← la probabilidad conjunta the encontrar a
la partı́cula en x al tiempo t y R(x, t) ≡ P → − P ← , entonces, dos ecuaciones
equivalentes a (36) y (37) pueden obtenerse si por un lado sustraemos (37) de
(36) y por otro simplemente las sumamos, es decir
∂R(x, t)
∂t
∂P (x, t)
∂t
∂P ← (x, t)
+ ϑR(x, t),
∂x
∂R(x, t)
= c
.
∂x
= −c
12
(38)
(39)
La solución a (38) es inmediata y está dada por
R(x, t) = R(x, 0)e−ϑt + c
Z
t
ds e−ϑ(t−s)
0
∂
P (x, s).
∂x
(40)
Si se eligen condiciones iniciales tal que ∂P (x, t)/∂t|t=0 = 0, al sustituir (40)en
(39) se tiene
Z t
∂ 2 P (x, s)
∂P (x, t)
.
(41)
= c2
ds e−ϑ(t−s)
∂t
∂x2
0
La ecuación (41) es exactamente de la forma dada por (24) con D = c2 /ϑ,
y ϑe−ϑt la función de memoria φ(t). Este ejemplo simple pero claro, muestra
como la función de memoria aparece si nuestro interés no se halla en conocer
detalladamente la dirección de movimiento de la partı́cula, sino sólo en la información respecto de su posición dada por la combinación P (x, t) = P → + P ← .
Como fue explicado en la sección anterior, el modelo arroja como ressultado difusión normal para tiempos largos y movimiento balı́stico para tiempos mucho
más pequeños que 1/ϑ. En la referencia [15] se da una discusión sobre la posibilidad de establecer una conexión entre dos formalismos que predicen el mismo
desplazamiento cuadrático medio y sin embargo las densidades de probabilidad
son completamente distintas.
3.2.
Un modelo sencillo para sub-difusión
Considere el siguiente modelo de partı́cula browniana. Una partı́cula está sujeta a moverse a lo largo de canales en la dirección vertical en el plano (ver fig. 3)
y separados por una distancia a. Por simplicidad, el movimiento de la partı́cula
es descrito por la ecuación de Langevin
dy
= ξ(t),
dt
(42)
donde ξ(t) satisface las mismas propiedades (9) y (10). Dicha ecuación se obtiene
de (8) en el lı́mite llamado sobreamortiguado cuando γ muy grande.
La partı́cula puede hacer transiciones entre canales adyacentes a través de
un mecanismo de “atrapamiento,” es decir, se consideran trampas colocadas arbitrariamente sobre los canales en las posiciones y = zM , donde M denomina el
M -ésimo canal. Cada vez que la partı́cula encuentra una de tales trampas puede
hacer una transición ya sea al canal inmediato a la izquierda con probabilidad
q ó, a la derecha con probabilidad 1 − q. Supóngase además que nuestro único
interés es en el movimiento a lo largo de la dirección horizontal, es decir, en el
movimiento de la partı́cula entre canales. Desde éste punto de vista la partı́cula
permanece en la misma posición horizontal hasta que se encuentra con una de
las trampas. Es claro que el tiempo de espera entre transiciones sucesivas es una
cantidad aleatoria. Hecha esta observación, podemos asumir plausiblemente
13
Figura 3: Descripción gráfica del modelo usado para describir sub-difusión. La
partı́cula (cı́rculo sólido gris) se difunde a lo largo del M -ésimo canal hasta
que encuentra la trampa situada en y = zM (cı́rculo rojo) entonces con igual
probabilidad tránsita hacia a cualquiera de los dos canales vecinos más cercanos.
que PM (t) satisface la ecuación
Z t
Z t
PM (t) = PM (0) 1 −
ds ψM (s) +
ds ψM (t−s) [qPM +1 (s) + (1 − q)PM −1 (s)] ,
0
0
(43)
donde ψM (t) denota la distribución de tiempos de espera que depende explı́citamente del M -ésimo canal.
Por sencillez considere el caso en el que la probabilidades de saltar hacia
la izquierda o hacia la derecha son iguales, es decir, q = 21 . Suponga además
ψM (t) = ψ(t), esta situación puede ocurrir si las trampas están situadas verticalmente siempre a la misma distancia del origen. De este modo, el tiempo de
espera en un canal arbitrario, corresponde al tiempo que tarda la partı́cula en
arrivar a la trampa dado que inicio su trayectoria a un distancia 2z0 de ella. En
otras palabras, ψ(t) es precisamente la distribución de primer lapso de tiempo
de una partı́cula browniana en una dimensión y está dada por
ψ(t) = √
|2z0 |
4πDt3/2
e−
(2z0 )2
4Dt
cuya transformada de Laplace es (ver apéndice)
√
ψ̃() = e−|2z0 | /D .
14
,
(44)
(45)
150
z = 5.0
y(0) = -5.0
x(0) = 0
100
M
50
0
-50
-100
-150
0
2×10
6
4×10
6
6
6×10
8×10
6
1×10
7
tiempo
Figura 4: Diferentes realizaciones de la posición en la dirección horizontal como
función del tiempo en unidades arbitrarias. Periodos de tiempo largos en los que
la partı́cula permance en el mismo canal son muy notorios.
Si ahora sustituimos en la expresión (35) y tomamos el término dominante
cuando hacemos → 0 tenemos que
√
D
2 ()i ∼
^
hM
.
(46)
|2z0 |3/2
Finalmente si tomamos la transformada inversa de Laplace obtenemos subdifusión ya que
s
D 1/2
hM 2 (t)i ∼
t .
(47)
πz02
Esta predicción para tiempos grandes es corroborada con la simulación númerica
del modelo (ver fig. 5)
4.
Apéndice
La solución de la ecuación de difusión y la distribución de primer lapso
de tiempo La ecuación de difusión ha servido de un paradigma importante
en la fı́sica de los sistemas fuera de equilibrio. A continuación se presenta su
solución en una dimensión y con condiciones de frontera en infinito. En una
15
400
Numerical Simulations
Theoretical
~ t 0.495
<M2(t)>
300
200
100
0
0.0
4.0×10
6
8.0×10
6
1.2×10
7
7
1.6×10
2.0×10
7
tiempo
Figura 5: Comparación del resultado analı́tico obtenido en (47) (lı́nea roja en
punto-raya) con la simulación númerica (lı́nea azúl punteada) del proceso descrito en el modelo.
dimensión la ecuación (5) se escribe como
∂P (x, t)
∂ 2 P (x, t)
=D
.
∂t
∂x2
(48)
Una manera de resolver (48) es usando la transformada de Fourier definida por
R∞
fˆ(k) = −∞ dx eikx f (x) y se dice que fˆ(k) es la transformada de Fourier de
f (x). Tomando la transformada de Fourier de (48) tenemos
∂ P̂ (k, t)
= −Dk 2 P̂ (k, t),
∂t
(49)
ecuación cuya solución es
2
P̂ (k, t) = P̂ (k, 0)e−Dk t ,
(50)
donde P̂ (k, t) denota la condición inicial. P (x, t) se encuentra tomando la transformada inversa de Fourier de (50), donde la transformada inversa está definida
R∞
1
por f (x) = 2π
dk e−ikx fˆ(k), ası́
−∞
Z
∞
P (x, t) =
dx0 P (x − x0 , t)P (x0 , 0),
−∞
16
(51)
donde P (x − x0 , t), llamado el propagador, es la transformada inversa de Fourier
2
de e−Dk t , es decir,
1
(x − x0 )2
P (x − x0 , t) = √
exp −
(52)
4Dt
4πDt
la cual nos da la probalidad de que la partı́cula se encuentre en la posición x al
tiempo t dado que inicialmente se encontraba en x0 .
Considere ahora el problema de hallar la distribución del tiempo que le toma
a una partı́cula browniana ir de la posición x1 hasta la posición x2 por primera
vez, a la distribución de tiempos resultante se llama distribución de primer lapso
de tiempo (“first passage time distribution”) y la denotamos con F(t; x1 , x2 ).
Notese que F(t; x1 , x2 ) puede escribirse en términos del propagador a través de
la identidad
Z t
P (x3 − x1 , t) =
ds P (x3 − x2 , t − s)F(s; x2 , x1 ).
(53)
0
La ecuación (53) nos dice que la probabilidad de encontrar a una partı́cula en
x3 al tiempo t dado que inicialmente se encontraba en x1 , está dada por la
contribución de todas las posibilidades que la partı́cula llegue por primera vez
a x2 al tiempo s a partir de x1 y de encontrarla en x3 cuando partió de x2 en el
tiempo restante t − s. Si ahora elegimos x3 = x2 , la expresión (53) se reduce a
Z t
P (x2 − x1 , t) =
ds P (0, t − s)F(s; x2 , x1 ),
(54)
0
−1/2
en donde P (0, t − s) = [4πD(t − s)]
en el caso de una partı́cula browniana
descrita por la ecuación de difusión (48). Ası́, F(t; x1 , x2 ) puede encontrarse de
(54) si reconocemos a esta como la convolución de P (0, t) con F(t, x2 , x1 ), pues
aplicando la transformada de Laplace tenemos que
P̃ (x2 − x1 , ) = P̃ (0, )F̃(; x2 , x1 )
(55)
y por tanto
F̃(; x2 , x1 ) =
P̃ (x2 − x1 , )
.
P̃ (0, )
(56)
Invertir de manera directa la ecuación anterior es muy complicado, sin embargo,
si usamos que la dependencia en x2 , x1 es de la forma x2 − x1 podemos usar la
transformada de Fourier para obtener
P̃ (k, )
.
P̃ (0, )
F̃(; k) =
y como P̃ (k, ) =
que
R∞
0
dt e−t P̂ (k, t) =
R∞
0
dt e−t e−Dk
(57)
2
t
−1
= + Dk 2
tenemos
√
F̃(; k) =
4D
,
+ Dk 2
17
(58)
donde hemos usado que P̃ (0, ) = [4D]−1/2 . Podemos ahora invertir la transformada de Fourier
√
Z
D ∞
e−ikx
dk
.
(59)
F̃(; x) =
π
+ Dk 2
−∞
La integral se puede evaluar usando resultados bien conocidos del análisis complejo dando por resultado
n p
o
F̃(; x) = exp − /D |x| .
(60)
5.
Agradecimientos
Agradezco sinceramente a los organizadores la invitación a participar en la XVII
escuela de verano en FÍSICA.
Referencias
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Kampen, Ed. Paul H.E. Meijer (Scientific World Publishing Co. 2000).
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18
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tribute to Gerard G. Emch, págs. 147-160, editado por Twareque S. Ali and
Kalyan B. Sinha, (Hindustany Book Agency, New Delhi, 2007).
19