Apuntes de Teoría Econométrica I. Profesor: Viviana Fernández CONTRASTES DE ESTABILIDAD: CUSUM, CUSUM2 I Residuos Recursivos Los tests de CUSUM y CUSUM2 se basan en los llamados residuos recursivos. El residuo recursivo correspondiente a la observación t se define como el error de predicción o pronóstico de yt (véase apéndice), utilizando el estimador de mínimos cuadrados ordinarios obtenido con las t−1 primeras observaciones: βˆ t −1 = ( X t −1 ' X t −1 ) −1 X t −1 ' Yt −1 û t = y t − x t ' βˆ t −1 (1) Error de Predicción (2) donde xt′ = (1 xt2 xt3 ...xtk), vector correspondiente a la t-ava observación de los k regresores del modelo. Se tiene que el valor esperado y la varianza del error de predicción en t (condicional en Xt) vienen dados, respectivamente, por: E (û t | X t ) = E( y t | X t ) − x t ' E(βˆ t −1 | X t ) = x t ' β − x t ' β = 0 Var (û t | X t ) = σ 2u + x t ' Var (βˆ t −1 ) x t = σ 2u (1 + x t ' ( X t ' X t ) −1 x t ) Por lo tanto, el llamado residuo normalizado viene dado por: wt = û t −1 1 + x t ' ( X t −1 ' X t −1 ) x t ~ N (0, σ 2u ) (3) Si los valores de wt cambian de manera sistemática, se tomará como evidencia de inestabilidad en los parámetros del modelo. Hay dos estadígrafos que permiten contrastar esta hipótesis: test de CUSUM y de CUSUM2. Apuntes de Teoría Econométrica I. Profesor: Viviana Fernández II 2 Test de CUSUM y CUSUM2 Se basa en la suma acumulada de los residuos normalizados: Wt = donde σˆ 2 = t wr ˆ r = k +1 σ ∑ (4) T 1 (w r − w ) 2 ∑ T − k r = k +1 w= T 1 ∑wr T − k r =k +1 Bajo la hipótesis nula (ausencia de cambio estructural), E(Wt)=0, Var(Wt)≈t−k. Por lo tanto, el contraste se lleva a cabo mediante el análisis gráfico de la evolución de Wt. Las bandas de confianza de Wt vienen dadas por las rectas que unen los puntos: (k ±a T − k ); (T ± 3a T−k) Wt 3a T − k a T−k k −a T−k − 3a T − k T t Apuntes de Teoría Econométrica I. Profesor: Viviana Fernández 3 El valor de la constante ‘a’ depende del nivel de significancia escogido: a 1.143 0.948 0.85 Nivel de Significancia 1 por ciento 5 por ciento 10 por ciento Si Wt no se sale de las bandas de confianza, entonces no hay evidencia para rechazar H0. El test de CUSUM2 se basa en el siguiente estadígrafo: t St = ∑wr r =k T ∑ r =k (5) w 2r t−k . El contraste consiste en dibujar la serie St con T−k sus correspondientes bandas de confianza, E(St)±C0, donde C0 es una constante que depende de T y k: Bajo H0, E (S t ) ≈ St C0 + t−k T−k t − C0 + t−k T−k Si St no se sale de las bandas, no rechazamos H0. Apuntes de Teoría Econométrica I. Profesor: Viviana Fernández 4 Apéndice: Predicción Individual en Lenguaje Matricial Supongamos que deseamos predecir el valor de y, dada una nueva observación del vector de regresores, x0: y0 = x0′β β + u0 (1) Por ejemplo, si tuviésemos un modelo de crecimiento para la economía chilena para los años 1980-1999, estaríamos interesados, en principio, en hacer un pronóstico de la tasa de crecimiento en el año 2000. Por el teorema de Gauss-Markov, ŷ 0 = x 0 ' β̂ β , con βˆ = ( X' X) −1 X' Y , es el estimador lineal insesgado de mínima varianza de E(y0| x0, X). El error de predicción o pronóstico es: û 0 = y 0 − ŷ 0 = x 0 ' (β − βˆ ) + u 0 (2) con E (û 0 | x 0 , X) = 0 y Var (û 0 | x 0 , X) = σ 2u (1 + x 0 ' ( X' X) −1 x 0 ) . Se puede demostrar que un intervalo de confianza para y0 es: ŷ 0 ± t εn /−2k% donde σˆ 2 = σˆ 2 (1 + x 0 ' ( X' X) −1 x 0 ) (3) 1 T ( y t − x t ' βˆ ) 2 , ε es el nivel de significancia escogido. ∑ T − k t =1 Análogamente, se puede demostrar que un intervalo de confianza para la predicción media (o predicción del valor esperado de y0) es: ŷ 0 ± t εn /−2k% σˆ 2 x 0 ' (X' X) −1 x 0 (4) Véase para mayores referencias, Gujarati, “Econometría”, capítulo 9 (tercera edición), por ejemplo.