Respuesta transitoria a una señal senoidal

2.4 Respuesta transitoria a una señal senoidal
Si al circuito de la figura se le aplica una señal senoidal de valor eficaz V y fase (ωt+α), la respuesta transitoria viene fijada por la
ecuación diferencial:
Ri + L
di
= 2V sen (ωt + α )
dt
La corriente debida al régimen libre viene dada por la solución de la ecuación diferencial homogénea:
di
Ri + L = 0
dt
il = K ⋅ e
La intensidad forzada será:
Siendo:
if =
Z = R + (ωL )
2
t
L
R
i (t )
2V
sen(ωt + α − ϕ )
Z
Por tanto la corriente transitoria tiene por expresión:
i = K ⋅e
−
t
L
R
+
vR (t )
R
vL (t )
L
v(t )
ωL
ϕ = arctg
R
y
2
−
2V
sen(ωt + α − ϕ )
Z
Para determinar la constante de integración es necesario conocer las condiciones iniciales de la bobina. Si la bobina está inicialmente
descargada, para t=0, i(0)=0, pues la corriente que circula por la bobina no puede variar bruscamente.
Por consiguiente:
0=K+
2V
sen (α − ϕ )
Z
K=−
La respuesta transitoria del circuito será:
2V
i=−
sen (α − ϕ ) ⋅ e
Z
−
t
L
R
+
2V
sen (ωt + α − ϕ )
Z
Observese que la intensidad libre depende del ángulo de adelanto o retraso de la
tensión aplicada al circuito eléctrico, y de las características del dipolo serie RL. La
corriente libre puede tomar valores particulares para los distintos valores de la
diferencia (α − ϕ ) . Cuando la constante de tiempo del dipolo es grande, el exponencial
de la respuesta libre tarda en amortiguarse haciendo que la corriente transitoria
adquiera un valor muy elevado, aparece una sobreintensidad.
Las gráficas de las figuras se han obtenido con los siguientes valores de circuito:
R=10Ω, L=15H, V=10V, f=1Hz y v = 2V sen ωt .
(Hacer los ejercicios 14.1, 14.2, 14.3, 14.4 y 14.8)
2V
sen(α − ϕ )
Z