Análisis Matemático curso 2016–2017 Grado en Biotecnología. Primer curso. Relación de ejercicios 3. Cálculo diferencial e integral para funciones de varias variables. 1. Describir el interior, la adherencia, la acumulación y la frontera de los siguientes conjuntos y decir si son abiertos, cerrados, están acotados o son compactos (hacer un dibujo puede ayudar): (a) Q (f) {(x, y) ∈ R2 : y < x2 + 1} (b) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < 1} (g) {(x, y) ∈ R2 : y = 3x} (c) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 > 1} (h) {(x, y) ∈ R2 : x = 0, 0 < y < 1} (d) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1} (i) {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 1} (e) {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 x} (j) {(x, y) ∈ R2 : 0 6 x 6 1, −1 6 y 6 3} 2. Calcular el vector gradiente de la función f en cada uno de los siguientes casos: a) f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y, ∀(x, y) ∈ R2 . b) f (x, y) = sen(x sen y), ∀(x, y) ∈ R2 . c) f (x, y, z) = ey+z , ∀x ∈ R+ , y, z ∈ R. 3. Calcular el plano tangente a las siguientes superficies en el punto que se indica: a) z = ln(1 + x2 + y2 ) , en (0, 0, 0). b) z2 + 3x − x2 − y2 = 2 , en (1, 1, 1). √ c) z = sen x sen y , en (π/2, π/4, 2/2). 4. Sea f : R −→ R derivable. Sea g : R2 −→ R definida por g(x, y) = f (x2 y). Probar que x ∂g ∂g = 2y . ∂x ∂y 5. Calcular las derivadas parciales de segundo orden de la función f en cada uno de los siguientes casos: a) f (x, y) = sen x sen y b) f (x, y, z) = ex+y+z c) f (x, y, z) = (x + y)z 6. Calcular los extremos relativos de las siguientes funciones: (a) f (x, y) = x3 + 3xy2 − 15x − 12y (e) f (x, y) = 2x4 + y2 − 3x2 y (b) f (x, y) = x4 + 2x2 y − x2 + 3y2 (f) f (x, y, z) = x2 + y2 + 3z2 + yz + 2xz − xy (c) f (x, y) = x3 + y3 − 3x − 12y + 20 (g) f (x, y, z) = xy + xz + yz (d) f (x, y) = (x − 1)4 + (x − y)4 (h) f (x, y) = x4 + y4 − 4a2 xy (a > 0) 1 7. Encontrar los puntos donde la función f : A −→ R definida por f (x, y) = x2 + y2 − xy − x − y alcanza sus extremos absolutos, siendo A = {(x, y) ∈ R2 : x, y > 0, x + y 6 3}. 8. Encontrar los puntos del conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 2x, y > 0} donde la función f (x, y) = x2 − 2xy + y2 alcanza sus extremos absolutos. 9. Una placa circular plana tiene la forma del disco x2 + y2 6 1. La placa, incluyendo el borde, se calienta de manera que la temperatura en un punto (x, y) es T (x, y) = x2 + 2y2 − x. Determinar los puntos con mayor y menor temperatura de la placa, así como la temperatura en cada uno de ellos. 10. Determinar el punto P(x, y, z) en el plano 2x + y − z = 5 que está más cerca del origen. 11. Hallar dos números reales cuya suma de cuadrados sea 18 y la suma de sus cubos sea máxima. Hacer lo mismo con tres números reales con suma de cuadrados 12. 12. Calcular el mínimo relativo de f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 condicionado a que 2x + y + z = 2 , x − y − 3z = 4. Dar una interpretación geométrica del resultado. 13. Calcular los valores máximo y mínimo de la función f (x, y, z) = xyz cuando el punto (x, y, z) pertenece a la curva definida por la intersección del plano x + y + z = 0 y la esfera x2 + y2 + z2 − 1 = 0. 14. Calcular las siguientes integrales: Z x2 d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1]. a) 2 I 1+y Z 1 b) d(x, y), I = [0, 1] × [0, 1]. (1 + x + y)2 I Z c) y cos(xy) d(x, y), I = [0, 1] × [0, π]. I 15. Sea f : A −→ R. Calcular su integral en los siguientes casos: a) f (x, y) = x x2 + y2 , siendo A la región limitada por y = x2 2, y = x. b) f (x, y) = xy2 , siendo A la región limitada por y2 = 2x, x = 1. c) f (x, y) = x + y, A = {(x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1] : x2 6 y 6 2x2 }. Z 16. Calcular f en cada uno de los casos siguientes: A a) f (x, y) = y2 , A = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 6 r2 } b) f (x, y) = x, A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0, x2 + y2 6 1, x2 + y2 − 2x > 0} 3 c) f (x, y) = (x2 + y2 )− 2 , A = {(x, y) ∈ R2 : x 6 y, x + y > 1, x2 + y2 6 1} 2 17. Calcular el volumen de la región A definida por: a) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 r2 , x2 + y2 − ry 6 0}, r > 0. b) A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 > 1, x2 + y2 6 2, z(x2 + y2 ) 6 1, z > 0}. c) A = {(x, y, z) ∈ R3 : z2 6 x2 + y2 6 z}. d) A = {(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 z 6 1 − (x2 + y2 )}. 18. Calcular las siguientes integrales triples: Z 2 2 a) z e−(x +y ) d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : 2(x2 + y2 ) 6 z2 , 0 6 z 6 1}. ZA b) z d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 6 z2 , 0 6 z 6 1} A Z c) x2 d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, x2 + y2 + (z − 1)2 6 1, 4z2 > 3(x2 + y2 )} A Z d) z d(x, y, z), A = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 6 2, x2 + y2 6 z} A 3