Examen (Parcial 1)

EST-46111 Fundamentos de Estadística
ITAM
Examen (Parcial 1)
Prof.: Juan Carlos Martínez-Ovando
06 de octubre de 2016
1. Considera que X es una variable aleatoria que toma valores en 10 y 20 con probabilidad θx y (1 − θx ),
respectivamente. A su vez, Y es una variable aleatoria que toma valores en 0, 5 y 10 con probabilidad
γy1 , γy2 y γy3 , respectivamente.
Escribe la función de masa de probabilidad de X y Y respectivamente.
Describe el espacio parametral de FX y FY respectivamente.
Define W = X +Y . Deduce el soporte de W y define su correspondiente función de distribución
en términos de los parámetros de FX y FY .
Si deseamos emplear el enfoque bayesiano de inferencia para completar la especificación del
modelo, se requiere incorporar una distribución inicial. Describe qué distribuciones iniciales
propondrías para cada FX , FY y FW .
2. Considera la función de densidad mostrada en la siguiente figura. Identifica:
a) El soporte de la variable aleatoria.
b) Al menos dos valores de localización asociados con la distribución.
c) Un valor asociado con la dispersión.
d) La región (intervalo) con el tamaǹo más pequeńo acumularía el 95 por ciento de la probabilidad.
3. La probabilidad condicional de dos eventos X y Y se define como Pr(X|Y ) = Pr(X,Y )/ Pr(Y ). Considera tres eventos aleatorios: A, B y C. Muestra que
Pr(A, B,C) = Pr(A|B,C) Pr(B|C) Pr(C).
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Examen (Parcial 1)
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4. Supongamos que podemos dividir nuestros emails en tres categorías: spam, ordinario e importante.
Mi experiencia previa indica el 60 por ciento es spam y el 10 es importante. Definamos el evento
de que un email contenga la palabra aviso. La experiencia previa me indica que el 90 por ciento de
los emails que son spam incluyen la palabra aviso, mientras que sólo el 1 por ciento de los que son
ordinarios la incluyen, lo mismo para los que son importantes.
a) Estoy por recibir un nuevo email. Cuál es la probabilidad de que sea importante?
b) Cuál es la probabilidad de que este nuevo email contenga la palabra aviso?
c) He recibido ya un email más con la palabra aviso en el asunto del correo. Antes de leer su
contenido, cuál es la probabilidad de que sea spam?
5. Consideremos el problema donde N1 hogares con hijos menores reciben apoyo de un programa social
y N2 hogares con características similares no reciben apoyo. Definamos X1i como el evento que al
menos uno de los hijos del hogar i que recibe apoyo asisten a la escuela, para i = 1, . . . , N1 . Define
análogamente X2 j dentro del grupo de hogares que no reciben apoyo, para j = 1, . . . , N2 .
a) Elabora acerca del supuesto de dependencia que podemos emplear entre los hogares dentro de
los grupos de apoyo y no apoyo, y entre grupos.
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b) Describe qué modelo estadístico bayesiano podemos emplear para describir las variables {X1i }Ni=1
N2
y {X2i } j=1 .
Un organismo internacional está interesado en evaluar la relevancia del programa social con base
haber observado que en x1 hogares que recibieron apoyo los hijos asisten a la escuela y, complementariamente, x2 hogares que no reciben apoyo los hijos asisten a la escuela.
c) Calcula, para los dos grupos de hogares, la probabilidad posterior que al menos uno sus hijos
asista la escuela?
d) El organismo dictamina que el programa social es relevante si la probabilidad que en un hogar
que recibe el apoyo sus hijos asisten a la escuela es mayor a la de un hogar que no lo recibe.
Cómo plantearías resolver acerca de la relevancia del programa con la información y modelos
estadísticos elegidos?