Cálculo del flujo en un material y método de Circuitos Magnéticos Si la relación entre B y H es la permeabilidad magnética del medio por donde fluyen las líneas de campo, para calcular el flujo necesitamos entonces calcular primero el valor de H. Para iniciar el cálculo, partiremos del principio de que en todo conductor por donde circule una corriente se induce un campo magnético concéntrico. También utilizaremos la Ley de Ampere, que establece que el valor de la corriente neta atravesando un área definida por una trayectoria cerrada, es igual a la sumatoria del producto escalar entre el vector de campo magnético H en cada punto, y el vector de trayectoria en ese mismo punto, a lo largo de toda la trayectoria cerrada. Para simplificar el cálculo, se define la trayectoria cerrada como una circunferencia equidistante que rodea al conductor, ubicándolo en el centro. De este modo, el producto entre el campo constante H, siempre tangencial a la circunferencia y constante a una distancia R fija desde el conductor, y el vector de la trayectoria, también tangencial en cada punto, hace que ambos sean colineales y por esto el producto escalar es una multiplicación de módulos. La sumatoria de todos estos productos a lo largo de la trayectoria completa resulta de multiplicar el módulo de H por la longitud total de la circunferencia. Este valor debe ser igual a la corriente del conductor (según Ampere): I=2πRH. De aquí se despeja el valor de H = I / (2πR). Esta relación nos permite calcular el campo magnético H, a una distancia R de un conductor por el que circula una corriente I. Si necesitamos el valor del campo inducido: B = μH , entonces B = (μ I) / (2πR). Utilizando una estrategia parecida vamos a calcular ahora el campo en una bobina. Haremos una trayectoria cerrada dividida en cuatro partes, cuatro segmentos rectos en un mismo plano, y la suma total será el aporte de cada producto parcial. El primer segmento del recorrido se hará por dentro de la bobina, desde un extremo al otro en una distancia que llamaremos L, Aquí el campo H tiene la misma dirección que el recorrido (tangencial a todas las espiras de los conductores que forman la bobina), por lo que el producto del recorrido parcial será H * L. El segundo segmento será perpendicular al primero y va desde el borde saliendo de la bobina hasta el infinito. Al ser perpendicular el ángulo entre H y el vector de recorrido el producto entre ellos es cero, El cuarto recorrido es igual al segundo, desde el infinito hasta el borde de la bobina, y al igual que el segundo, el aporte de este recorrido también será cero. Falta sólo el tercer recorrido, por el infinito, donde H vale cero ( H = I / (2πR) con R = ∞ ). En la gráfica se puede ver la representación de los cuatro recorridos y la bobina. Aplicamos de nuevo la Ley de Ampere y tenemos que la suma de los cuatro recorridos parciales de la trayectoria cerrada debe ser igual a la corriente neta que atraviesa el área que define. La corriente parece una sola, pero si nos fijamos con atención el conductor que forma la bobina entra y sale del área, y cada vez que entra añade un valor de corriente “I” al conteo de la corriente neta. Así pues, la corriente neta que atraviesa el área es I multiplicado por el número de espiras de la bobina: I NETA = n * I. Poniendo todo junto: H*L + 0 + 0 + 0 = n*I, luego H = n*I/L. La inducción B = μH , entonces B = [ μnI ] / L, y el flujo Φ = B * A = [A * μ * n * I] / L. Reagrupando los términos: Φ = [ (Aμ) / L] [nI] . Recordar que μ = μR μ0 Definiendo la reluctancia Rel = [ L / (Aμ) ] y la fuerza magnetomotriz FMM = [nI] Nos queda Φ = FMM / Rel (expresión parecida a la Ley de Ohm: Amperios = Voltios / Resistencia) El parecido de esta expresión y su equivalencia analítica con el comportamiento de un circuito eléctrico de resistencias es lo que permite intercambiar cada elemento por su equivalente. En la gráfica se muestra la equivalencia entre componentes utilizando como referencia los puntos con letras azules en ambos esquemas, la reluctancia de cada rama se muestra como una resistencia y las bobinas como fuentes. La rama central tiene dos reluctancias en serie, una de la propia rama y la otra por el entrehierro δ (se detallará mas adelante). La técnica de los circuitos magnéticos permite representar (convertir) un núcleo magnético y las bobinas instaladas en una especie de circuito eléctrico equivalente en el que se pueden aplicar las técnicas convencionales de análisis de redes para hallar el flujo magnético en cada rama del núcleo de un transformador (lo que serían las corrientes de un circuito eléctrico). Así podemos utilizar los resultados para dimensionar el núcleo y sus bobinas a partir de los requerimientos del diseño. Quiero dejar claro que esta estrategia de recorridos para calcular el campo de una bobina puede parecer tremenda piratería. Sin embargo, no viola ninguna regla o principio y por lo tanto pudiéramos asumir que funciona. De hecho, todo el cálculo que se realiza a partir de este planteamiento está basado en este procedimiento y no hay razones para invalidar su eficacia al dimensionar los transformadores. La mejor muestra de ello es que, utilizando esta metodología de cálculo, el diseño final funciona. La experiencia con diferentes diseños mejora las aproximaciones y los resultados reales. El procedimiento de cálculo tiene varios pasos simples que deben ser ejecutados sin mucha precisión numérica pero sí con mucho apego al método. Lo primero es definir lo que se llama el recorrido del camino medio. Con referencia a la figura anterior, el camino medio se comienza colocando un punto (nodo) en cada ángulo del núcleo, cuidando de ubicarlo en el centro de cada columna que llega al ángulo. El trazado se puede ayudar dibujando una diagonal (líneas rojas) entre los vértices y colocando el punto en la mitad (puntos azules). El recorrido se debe hacer por el trazado azul, entre los puntos azules. Por ejemplo, para la rama a-b. La distancia sería a/2 + a + a/2, según las dimensiones indicadas. Las fuentes FMM's están indicadas con su valor, obtenidas al multiplicar el número de vueltas por la corriente. La polaridad se establece según la regla de la mano derecha, atendiendo al sentido de giro de las bobinas. El entrehierro es una inserción de aire o material no magnético que se hace en algunas columnas, con la finalidad de reducir intencionalmente la cantidad de flujo magnético en la rama, por ejemplo, para evitar que se sature. Al ser una sección de columna sin área (aire), el método supone que se hace una ampliación de las líneas de flujo en un ángulo de 45 grados desde cada borde, con lo que se define un área ficticia rectangular que tiene como lados el ancho de cada columna original más la longitud del entrehierro. En el caso mostrado y sus dimensiones, el área para el cálculo de la reluctancia considerando este efecto sería Ac = (ancho + δ) * (fondo + δ). En la gráfica se muestra la supuesta deformación de las líneas de flujo formando una ampliación del área con un ángulo de 45 grados, origen del incremento en la medida para el cálculo del área modificada. Cabe señalar que por lo general el valor de la reluctancia de un entrehierro es muchísimo mayor a la de todas las ramas. Un entrehierro de tan solo 2mm puede tener una reluctancia de 4 a 5 veces la de toda la rama. Esta particularidad hace que cuando se mide la distancia de una rama que incluya un entrehierro no vale la pena restar su longitud del total, ya que el esfuerzo de cálculo no tiene sentido para valores que pueden llegar a tener hasta diferentes grados de magnitud. Es más sencillo tomar completa la longitud de la rama incluyendo el entrehierro, se calcula y se le añade la reluctancia del antrehierro en serie, tal cual está en la ilustración. Una vez convertidas todas las ramas en reluctancias, finalmente, la reducción del circuito se hace igual que con resistencias en serie o paralelo, y una vez reducido a su mínima expresión se puede calcular el flujo total en cada rama hallando el valor de la “corriente” del circuito magnético. Nota: es muy importante no confundir las corrientes que entran a las bobinas con las “corrientes” que se calculan en el circuito magnético equivalente. Estas “corrientes” calculadas no son más que los flujos por las ramas del núcleo. Este error es muy común y conduce a resultados inesperados. Importante: La permeabilidad magnética μ tiene dos componentes: μ 0 , que es la constante de permeabilidad magnética del vacío y es igual a 4π *10-7; y μR que es la relación de la permeabilidad en un material cualquiera respecto a la del vacío. Los materiales diamagnéticos (μ R < 1) no permiten el paso de las líneas de flujo, mientras que los magnéticos (μR > 1) sí lo hacen. Hay otros materiales, como el aire, los plásticos, el vidrio, etc. que no afectan el flujo, y para los que se considera que tienen una permeabilidad prácticamente “igual” a la del vacío (μ R = 1).