Universidad de la República Facultad de Ciencias Centro de Matemática Análisis de Fourier–Curso 2011 Práctico 2 1. Sean S un conjunto, y X := {x : S → C : kxk∞ < ∞}, donde kxk∞ := sups∈S |x(s)|. Probar que (X, k k∞ ) es un espacio de Banach. En particular (`∞ , k k∞ ) lo es. 2. Dada unaP sucesión x se definen las sucesiones ∆x y Sx como ∆x(n) = x(n+1)−x(n), y Sx(n) = nj=1 x(j) ∀n ≥ 1. También definimos Sx(0) = 0. Considérense las sucesiones a y b. a) Probar la siguiente fórmula de sumación por partes: si 1 ≤ M < N , entonces N X k=M a(k)b(k) = a(N )Sb(N ) − a(M )Sb(M − 1) − N −1 X ∆a(k)Sb(k). k=M b) Criterio de Dirichlet. Pn Si la sucesión (bn ) es decreciente aP0 y la sucesión de sumas an bn converge. parciales An = k=1 ak está acotada, entonces la serie P c) Criterio de Abel. ProbarPque si an es convergente y (bn ) es monótona convergente, entonces la serie an bn es convergente. 3. Sean S un conjunto, y (fn ), (gn ) dos sucesiones de funciones definidas en S, a valores complejos. a) Criterio de Dirichlet. Si la sucesión (gn ) converge Pn uniformemente a 0 y gn+1 ≤ gn , ∀n, y si la sucesión de sumas parciales F = n k=1 fk está uniformemente acotada, P entonces la serie fn gn converge uniformemente en S. P b) Criterio de Abel. Probar que si fn es uniformemente convergente en S, (gn ) P está uniformemente acotada y gn+1 ≤ gn , ∀n, entonces la serie fn gn es uniformemente convergente en S. P eint 4. Probar que la serie n≥2 log cerrado n es uniformemente convergente en todo intervalo P nt que tenga intersección vacı́a con 2πZ. Estudiar la convergencia de las series n≥2 cos log n P nt y n≥2 sen log n . 1 P eint 5. Verificar que 2i n6=0 n es la serie de Fourier de la función impar f de perı́odo 2π tal que f (0) = 0 y f (t) = π−t 2 si 0 < t < π (la llamada “sierra dentada”). 6. Principio de localización. Sea f una función R integrable en T. Probar que, si 0 < δ < π, entonces para todo t se tiene que lı́mn δ≤|s|≤π f (t − s)Dn (s)ds = 0. Deducir que si f y g son funciones integrables en T que coinciden en un entorno de t, entonces sn (f )(t) − sn (g)(t) tiende a 0 cuando n tiende a infinito (de modo que son ambas divergentes o son ambas convergentes con el mismo lı́mite). 7. Se dice que f es Lipschitziana en t si existen δ > 0 y M > 0 tales que |f (t) − f (s)| ≤ M |t − s|, para todo s tal que |t − s| < δ. a) Probar que si f es Lipschitziana en t, entonces f es continua en t. b) Probar que si f es derivable en t, entonces f es Lipshitziana en t. c) Probar que si f es integrable en T y Lipschitziana en t, entonces lı́mn sn (f )(t) = f (t). d ) Probar que si f es de clase C 1 a trozos en T, entonces lı́mn sn (f )(t) = 12 [f (t+ ) + f (t− )], donde f (t+ ) y f (t− ) son los lı́mites laterales de f en t, por la derecha y por la izquierda respectivamente. 8. Fórmula de la diferencia. Sea f integrable en T. Mostrar que si n 6= 0, entonces Z π 1 ˆ [f (t) − f (t − π/n)]e−int dt. f (n) = 4π −π Deducir que, si 0 < α ≤ 1 y f ∈ C α (T), entonces fˆ(n) = O(1/|n|α ) (aquı́ C α (T) denota el espacio de las funciones continuas de perı́odo 2π que satisfacen una condición de Hölder de orden α, es decir, f ∈ C α (T) sii existe A tal que |f (t) − f (s)| ≤ A|t − s|α siempre que |t − s| ≤ 2π). 9. El propósito del siguiente ejercicio es probar que la sumabilidad Abel es más fuerte que el método de sumación usual y que el método de sumación de Cesàro. P a) Mostrar que si la serie ∞ n=1 cn de números complejos converge a un lı́mite finito s, entonces la serie es sumable Abel a s (Sugerencia: 0 PNque s = P puede suponerse n = c r c se tiene - ¿por qué? - y entonces muéstrese que si sN = N n=1 n n=1 n P P∞ P ∞ n ; finalmente n = (1−r) n +S r N +1 , de donde s r c r s r (1−r) N N n=1 n n=1 n n=1 n probar que el lado derecho tiende a 0 cuando r → 1). b) Mostrar que, sin embargo, existen series sumables Abel que no son Pconvergentes (Sugerencia: considerar cn = (−1)n . ¿Cuál es el lı́mite de Abel de cn ?). P∞ c) Arguméntese de forma similar para probar que si la serie n es sumable n=1 Pc∞ Cesàro también es sumable Abel a σ (Nótese que n=1 cn = (1 − P a σ, entonces n ). r)2 ∞ nσ r n n=1 d ) Dar un ejemplo de una serie sumable AbelPque no es sumable Cesàro (Sugerencia: intentar con cn = (−1)n n. Notar que si cn es sumable Cesàro, entonces cn /n tiende a 0). Los resultados anteriores pueden resumirse por las siguientes implicaciones sobre series: convergente =⇒ sumable Cesàro =⇒ sumable Abel 10. Este ejercicio se refiere a un teorema de Tauber que dice que, bajo una condición adicional sobre los coeficientes cn , las flechas del ejercicio anterior pueden revertirse. P P a) Si cn es sumable Cesàro a σ y cn = o(1/n) (es decir, ncn → 0), entonces cn converge a σ (Sugerencia: sn − σn = [(n − 1)cn + · · · + c2 ]/n). b) En la parte anterior puede sustituirse P sumable PNCesàroNpor sumable Abel (Sugerencia: estimar la diferencia entre N c y n=1 n n=1 cn r , donde r = 1 − 1/N ). Entregar los ejercicios 1, 6 y 8. Plazo: 15 de abril