07. Sucesiones y series de números reales

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Cálculo I
Sucesiones y series
de números reales
Matemáticas
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Sucesiones de números reales
20 · 11 · 2015
De manera similar a como se hizo para sucesiones de números racionales, se define una
sucesión de números reales como una aplicación
x : N −→ R
1
x(1) = x1
2
x(2) = x2
3
x(3) = x3
...
Se denotará como x = (x1 , x2 , x3 , . . .) = (xn )n∈N = (xn )n = (xn ). Se designa por
{xn : n ∈ N} al conjunto de valores que toman los términos de la sucesión. Por ejemplo, si
(xn ) = ((−1)n ))n entonces el conjunto de valores es {xn : n ∈ N} = {−1, 1}, un conjunto de
dos elementos. Puede haber sucesiones distintas, como (1/n) y (1, 1, 1/2, 1/2, 1/3, 1/3, . . .),
con el mismo conjunto de valores. Se suele utilizar la expresión (xn ) ⊂ R para decir
{xn : n ∈ N} ⊂ R.
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Y también, como se hizo antes para sucesiones de números racionales, se definen en este
conjunto S de sucesiones de números reales las operaciones siguientes (suma, producto y
producto por escalares)
(xn ) + (yn ) = (xn + yn )
λ(xn ) = (λxn )
(xn ) · (yn ) = (xn · yn )
Es fácil comprobar que (S , +, ·) es un anillo conmutativo. Con la suma y producto por
escalares, S es un espacio vectorial sobre R de dimensión infinita. Es incluso un álgebra
conmutativa y unitaria.
Definición. Se dice que (xn ) ⊂ R es convergente a un número a ∈ R, y se escribe
a = lı́m (xn ) o también (xn ) → a, si
n→∞
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∀ε > 0
∃ν ∈ N : n > ν ⇒ |xn − a|< ε.
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En particular, el carácter convergente o no de una sucesión no varı́a si se añaden o eliminan
una cantidad finita de términos, ni si se altera el orden en una cantidad finita de esos
términos.
Definición. Se dice que (xn ) ⊂ R es de Cauchy si
∀ε > 0
∃ν ∈ N : n, m > ν ⇒ |xn − xm |< ε.
Las mismas demostraciones ya vista para sucesiones de números racionales sirven para
probar resultados análogos con sucesiones de números reales:
Proposición. Toda sucesión convergente es de Cauchy. Y toda sucesión convergente (o
de Cauchy) es acotada.
Proposición (álgebra de lı́mites). El producto, cociente* y combinación lineal de dos
sucesiones convergentes es una sucesión convergentes, y además
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(xn ) → a



(yn ) → b









⇒





(λxn + µyn ) → λa + µb
(xn yn ) → ab
a
(xn )
→
(yn )
b
(*en el cociente se entiende que los denominadores yn y b deben ser todos no nulos.)
Se suele decir que el lı́mite de la suma es la suma de los lı́mites o que el lı́mite del
producto es el producto de los lı́mites, pero conviene insistir en que se parte de sucesiones
convergentes: si (xn ) e (yn ) son convergentes, entonces lı́m(xn + yn ) = lı́m xn + lı́m yn y
lo mismo para el producto.
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Lı́mites infinitos. En la definición de sucesión convergente (xn ) → a, es decir, del concepto
de lı́mite a = lı́mn→∞ xn , se obliga a que a sea un número real. Se suele extender este
concepto al caso en que a ya no es un número, y se habla de lı́mites infinitos. Conviene
ahora adaptar las reglas conocidas sobre sumas y productos de lı́mites.
Definición. Se dice (xn ) → +∞, o también lı́m (xn ) = +∞, si
n→∞
∀M
∃ν ∈ N : n > ν ⇒ xn > M,
es decir, salvo finitos elementos, los términos xn son tan grandes como se quiera.
Se dice (xn ) → −∞, o también lı́m (xn ) = −∞, si
n→∞
∀M
∃ν ∈ N : n > ν ⇒ xn < M.
Se suele hablar de sucesiones divergentes en los casos en que (xn ) → ±∞.
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Proposición. El producto y combinación lineal de dos sucesiones de Cauchy es una sucesión
de Cauchy.
Ejemplos. Ahora, con los lı́mites infinitos, al sumar sucesiones con lı́mites infinitos puede
ocurrir cualquier cosa
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Es decir, dado ε > 0, en (a − ε, a + ε) están todos los términos xn salvo, a lo sumo, una
cantidad finita de ellos.
• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
(−4, −5, −6, . . .) → −∞ y la suma es convergente a −3
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(−1, −2, −3, . . .) → −∞ y la suma es convergente a 0
• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
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• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
(−1, −3, −3, −5, −5 . . .) → −∞ y la suma no es convergente
Lo mismo ocurre con el producto
• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
(1, 1/2, 1/3, . . .) → 0 y el producto converge a 1
• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
(7, 7/2, 7/3, . . .) → 0 y el producto converge a 7
• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
(1, 1/22 , 1/32 , . . .) → 0 y el producto converge a 0
• (1, 2, 3, . . .) → +∞,
(1, 2/2, 1/3, 2/4, 1/5, 2/6, . . .) → 0 y el producto no converge
El álgebra de lı́mites que se tiene en los casos en que son números reales falla cuando se
admiten lı́mites infinitos. Se suele resumir diciendo que no está claro qué resultado dan las
expresiones del tipo ∞ − ∞ o 0 · ∞. Por este motivo no se dice que las sucesiones con
lı́mites infinitos sean convergentes.
Sin embargo, en algunos casos, como por ejemplo cuando uno de los lı́mites involucrados
es finito, es decir a ∈ R, se tienen las implicaciones:
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(xn ) → +∞


(yn ) → a







⇒ 




(xn + yn ) → +∞
(xn yn ) → +∞ si a > 0
(xn yn ) → −∞ si a < 0

(xn ) → ±∞ 
⇒
(yn ) → ±∞ 
(xn yn ) → ±∞
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en este último caso la regla de los signos es igual que con números.
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5n2
1
+ 2
5n + 1
5 + 1/n2
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lı́m
=
lı́m
=
lı́m
= 5/2
n→∞ 2n2
n→∞ 2n2 + 17n + 45
n→∞ 2 + 17/n + 45/n2
17n 45
+ 2 + 2
n2
n
n
2
ya que el numerador es una sucesión que tiende a 5 y el denominador tiende a 2.
Este mismo razonamiento se puede utilizar para calcular lı́mites de cocientes de polinomios,
como
−n3 + 96n2 + 300
8n3 + 96n2 + 300
lı́m
=
0,
lı́m
= +∞.
n→∞
n→∞
n4 − 2
n2 + n + 31
Ejercicio (lı́mites encajados). Si (xn ), (yn ) y (zn ) son sucesiones convergentes, se tiene
a) si xn < yn (o ≤) para todo n entonces lı́m xn ≤ lı́m yn (y ambos lı́mites pueden
n→∞
n→∞
ser iguales)
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Ejemplo. Utilizando estas reglas tan simples del álgebra de lı́mites se pueden calcular lı́mites
como
b) si xn ≤ yn ≤ zn para todo n entonces n→∞
lı́m xn ≤ n→∞
lı́m yn ≤ n→∞
lı́m zn .
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xn = 0 ≤ y n =
n!
2 1
1
n n−1
··· ·
≤
= zn .
= ·
n
n
n
n
n n
n
Por tanto 0 = lı́m xn ≤ lı́m yn ≤ lı́m zn = 0 y ası́ (yn ) → 0.
n→∞
n→∞
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Por supuesto, basta que las comparaciones sean ciertas a partir de un cierto valor de n
para tener las mismas conclusiones. Este resultado suele utilizarse para encontrar o estimar
el lı́mite de una sucesión (yn ) viendo el lı́mite de alguna sucesión que está por debajo y
otra que está por encima de ella. Por ejemplo, la sucesión yn = n! /nn verifica
n→∞
Valor de adherencia y lı́mite. Se dice que a es valor de adherencia de (xn ) si
∀ε > 0
∀ν ∈ N
∃n > ν : |xn − a|< ε,
es decir, sea como sea ε > 0, en (a − ε, a + ε) hay infinitos términos xn .
Por ejemplo (0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2, . . .) es una sucesión que tiene tres valores de adherencia
0, 1 y 2. El número a = 1 es valor de adherencia porque en (1 − ε, 1 + ε) hay infinitos
términos de la sucesión: x2 , x5 , x8 , . . . están en ese intervalo. Sin embargo, esta sucesión
no es convergente.
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La diferencia entre valor de adherencia y lı́mite es la siguiente:
• si a es valor de adherencia, para cualquier valor ε > 0, (a − ε, a + ε) contiene infinitos
términos xn ;
• si a es el lı́mite, para cualquier valor ε > 0, (a − ε, a + ε) contiene todos los términos xn
salvo una cantidad finita de ellos.
Además, si (xn ) → a entonces a es el único valor de adherencia de (xn ).
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El termino “valor de adherencia” se justifica comprobando que a es valor de adherencia de
(xn ) si y sólo si a ∈ {xn , xn+1 , xn+2 , . . .} para todo n ∈ N, es decir,
a ∈ {x1 , x2 , x3 , . . .} ∩ {x2 , x3 , x4 , . . .} ∩ {x3 , x4 , x5 , . . .} ∩ . . .
Es fácil ver que los valores de adherencia de una sucesión son los términos que se repiten
infinitas veces o bien aquellos que son puntos de acumulación de {x1 , x2 , x3 , . . .}. Ahora
se entiende mejor cuáles son los valores de adherencia de la sucesión (0, 1, 2, 0, 1, 2, . . .)
o por qué (1, −1, 1, 2, −1, 1/2, 3, −1, 1/3, 4, −1, 1/4, . . .) tiene a {−1, 0} como valores de
adherencia.
Las sucesiones constantes son convergentes. Y también lo son las sucesiones que son
constantes casi siempre, es decir, constantes salvo una cantidad finita de términos. La
demostración es evidente: (a, a, a, . . .) → a y (x1 , x2 , . . . , xn , a, a, a, . . .) → a.
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Hay sucesiones sin valores de adherencia, como por ejemplo, la sucesión (1, 2, 3, 4, 5, . . .).
Y hay sucesiones que tienen infinitos valores de adherencia: como Q es numerable, se
pueden escribir todos los números racionales como una sucesión (xn ). Es frecuente escribir
Q = (xn ). Para esta sucesión cualquier valor a ∈ R es un valor de adherencia. Este hecho
ya se ha visto antes, en cada intervalo de la recta real hay infinitos números racionales.
La expresión “casi siempre” se suele utilizar por comodidad para expresar un hecho que
ocurre salvo en una cantidad finita. Por ejemplo, una sucesión positiva casi siempre indica
una sucesión cuyos términos son positivos salvo, a lo sumo, una cantidad finita de ellos,
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Sucesiones monótonas. Se dice que una sucesión (xn ) es
•
•
•
•
creciente (o no decreciente) si x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ . . .
estrictamente creciente si x1 < x2 < x3 < . . .
decreciente si x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ . . .
estrictamente creciente si x1 > x2 > x3 > . . .
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como la sucesión (xn ) = (−1, −3, −5, 7, 7, 7, 7, . . .). También se dice que esta sucesión es
positiva para casi todo n, indicando que esto es cierto para todo n salvo, a lo sumo, para
una cantidad finita.
En cualquiera de estos casos se dice que la sucesión es monótona, y se suele añadir
el carácter creciente o decreciente. Por ejemplo, la sucesión (1, 2, 3, . . .) es monótona
creciente, o monótona estrictamente creciente si se quiere precisar aún más.
El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden en R. Proporciona
un método rápido para comprobar que algunas sucesiones son convergentes.
Teorema. Las sucesiones monótonas y acotadas (o monótonas casi siempre y acotadas)
son convergentes. Si (xn ) es acotada y creciente entonces es convergente, y se tiene
lı́mn→∞ xn = sup{xn : n ∈ N}. Y si (yn ) es acotada y decreciente entonces es convergente,
y se tiene lı́mn→∞ yn = ı́nf{yn : n ∈ N}.
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Demostración. Sea (xn ) creciente y acotada: x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ . . . ≤ M . Por el teorema
fundamental del orden existe a = sup{xn : n ∈ N}. Dado ε > 0, en (a − ε, a + ε) hay algún
término xn , ya que en caso contrario a − ε serı́a cota superior y a no serı́a el supremo (la
menor de las cotas superiores). Ahora bien, xn ∈ (a − ε, a + ε) significa a − ε < xn ≤ a,
pues a es cota superior de todos los términos xn (es el supremo de ellos). Como la sucesión
es creciente y está acotada por a se tiene
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a − ε < xn ≤ xn+1 ≤ xn+2 ≤ xn+3 . . . ≤ a
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xn =
1 1 1
1
+ + + ... + n
2 4 8
2
es convergente. Para comprobarlo basta ver que está acotada superiormente y es creciente.
Que xn es creciente no necesita demostración. Que xn está acotada es fácil (por ejemplo,
por inducción): xn < 1 para todo n ∈ N, ya que xn+1 = (1 + xn )/2. De hecho, su lı́mite y
su supremo coinciden y es 1.
Sucesiones de Cauchy y sucesiones convergentes. En esta sección se va a probar un
resultado central en el estudio de sucesiones de números reales: las sucesiones de Cauchy y
las sucesiones convergentes coinciden. Se dice que R es un espacio completo.
El siguiente resultado es similar a este que se acaba de probar, solo que no se obliga a que
la sucesión sea monótona. También es un teorema equivalente al teorema fundamental del
orden.
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Ejemplo. La sucesión cuyos términos son
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de donde se sigue que a = lı́mn→∞ xn
Teorema. Toda sucesión acotada de números reales tiene algún valor de adherencia.
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En caso contrario {xn : n ∈ N} es infinito y acotado. Por el teorema de Bolzano tiene
algún punto de acumulación, es decir, (xn ) tiene algún valor de adherencia.
Hay sucesiones que no son acotadas pero tienen valores de adherencia. Por ejemplo la
sucesión (1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, . . .) tiene como valores de adherencia todos los números
naturales. La sucesión (1, −1, 1, 2, −1, −2, 1, 2, 3, −1, −2, −3, . . .) tiene como valores de
adherencia todos los números enteros no nulos.
Sin embargo, si (xn ) es acotada, el teorema anterior asegura que la sucesión tiene valores
de adherencia. Y si sólo tiene un único valor de adherencia entonces ese valor es el lı́mite:
Proposición. Sea (xn ) una sucesión acotada. Entonces (xn ) es convergente si y sólo si
tiene un único valor de adherencia, y en ese caso ese valor es su lı́mite.
Demostración. Si (xn ) es convergente, (xn ) → a, entonces dado ε > 0 en (a − ε, a + ε)
están todos los términos (xn ) salvo una cantidad finita. Luego a es valor de adherencia y
es el único posible.
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Recı́procamente, si (xn ) tiene un único valor de adherencia, entonces, sea cual sea el valor
de ε > 0, en (a − ε, a + ε) están todos los términos (xn ) salvo una cantidad finita, como
mucho, ya que a es el único valor de adherencia. Por tanto (xn ) → a.
Ya se ha visto que en Q existen sucesiones de Cauchy que no son convergentes. Basta
considerar (xn ) = (1, 10 4, 10 41, 10 414, 10 4142, . . .) que es de Cauchy pero no converge en
Q. En cambio, toda sucesión convergente, tanto en R como en Q, es de Cauchy. La
demostración ya se hizo para sucesiones de números racionales y es la misma para sucesiones
en R.
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en Q y en R
sucesión convergente ⇒ sucesión de Cauchy
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El siguiente resultado es equivalente al teorema fundamental del orden. Prueba que R es
un espacio completo.
en R
sucesión convergente ⇔ sucesión de Cauchy
Demostración. Sea (xn ) de Cauchy en R. Ya se ha probado que entonces la sucesión
está acotada y por tanto tiene algún valor de adherencia. Falta probar que ese valor de
adherencia es único y ası́ la sucesión será convergente. Eso es fácil de probar al tratarse de
una sucesión de Cauchy. Se supone que existen a y b valores de adherencia distintos de
(xn ). Se elige ε suficientemente pequeño para que los intervalos disjuntos (a − ε, a + ε) y
(b − ε, b + ε) dejen una separación positiva entre ellos, por ejemplo, d = |b − a|/2. Cada uno
de esos intervalos contiene infinitos términos. Tomando cualquier término xp del primer
intervalo y cualquier otro xq del segundo, se tendrı́a |xp − xq |≥ d, y la sucesión (xn ) no
serı́a de Cauchy.
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Teorema. Toda sucesión de Cauchy de números reales es convergente. Por tanto,
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Demostración. Si (xn ) sólo tiene finitos términos distintos entonces alguno se repite infinitas
veces y es valor de adherencia.
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Ejemplo. Para probar que una sucesión (xn ) es convergente hay varias estrategias y algunas
son más difı́ciles que otras. Por ejemplo,
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La estrategia 1) tiene la limitación de tener que encontrar cuál ese posible lı́mite a y acertar
en la predicción. A veces este cálculo es difı́cil. Por ejemplo, las sucesiones
1
1 1
1 1 1
(xn ) = (−1, −1 + , −1 + − , −1 + − + , . . .)
2
2 3
2 3 4
1
1
1
1
1
1
(yn ) =
(1, 1 + 2 , 1 + 2 + 2 , 1 + 2 + 2 + 2 , . . .)
2
2
3
2
3
4
parecen converger. Dando valores suficientemente altos de n se obtienen aproximaciones
de estos posibles valores lı́mites
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a = −00 693147180559945 . . .
b = +10 644934066848230 . . .
Se trata entonces de probar que (xn ) → a y que (yn ) → b. Pero antes es necesario conocer
qué números son exactamente. En realidad a = − log(2) y b = π 2 /6 y el cálculo exacto de
ambos es difı́cil. Más adelante se verá cómo las estrategias 2) o 3) permiten probar de
forma sencilla que ambas sucesiones son convergentes sin necesidad de predecir cuáles son
sus lı́mites.
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lı́m sup (xn ) =
lı́m
inf (xn ) =
x→∞
lim (xn ) =
mayor valor de adherencia de (xn )
lim (xn ) =
menor valor de adherencia de (xn )
x→∞
x→∞
Si a = limx→∞ (xn ) entonces en (a − ε, a + ε) hay infinitos términos xn , pero a la derecha
de a + ε sólo puede haber una cantidad finita de términos, ya que a es el mayor valor de
adherencia. Si hubiera infinitos términos a la derecha de a + ε, se encontrarı́a un valor de
adherencia mayor que a, lo cual no es posible por ser a el mayor de todos esos valores de
adherencia. Idéntico resultado ocurre para el lı́mite inferior: a la izquierda de limx→∞ (xn )−ε
sólo puede haber una cantidad finita de términos xn .
Para sucesiones no acotadas superiormente se suele decir que su lı́mite superior es +∞.
Similarmente para sucesiones no acotadas inferiormente se suele decir que su lı́mite inferior
es −∞.
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Lı́mite superior e inferior de una sucesión. Es fácil comprobar que el conjunto de valores
de adherencia de una sucesión es un conjunto cerrado. Si además la sucesión es acotada,
este conjunto de valores de adherencia es compacto. Por tanto tiene máximo y mı́nimo, y
estos valores reciben el nombre de lı́mites superior e inferior de la sucesión:
Es evidente que lı́m inf(xn ) ≤ lı́m sup(xn ). Además, para una sucesión acotada (xn ) se
tiene
(xn ) es convergente ⇔ lı́m inf(xn ) = lı́m sup(xn )
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1) Se puede intentar calcular cuál es el posible lı́mite a ∈ R y entonces demostrar que
(xn ) → a.
2) Comprobar si la sucesión verifica algunas propiedades que obliguen a su convergencia,
por ejemplo, si es acotada y monótona.
3) Comprobar si la sucesión es de Cauchy.
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y en ese caso ese valor es el lı́mite de la sucesión lı́m inf(xn ) = lı́m(xn ) = lı́m sup(xn ).
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1
1
(xn ) = −2, 1 + , −2, 1 + , −2, 1 + , −2, 1 + , . . .
1
2
3
4
tiene dos valores de adherencia, −2 y 1. En este caso es evidente que lı́m inf x→∞ (xn ) = −2
y lı́m supx→∞ (xn ) = 1. En cada intervalo (1 − ε, 1 + ε) hay infinitos términos de la sucesión,
pero sólo puede haber finitos términos mayores que 1 + ε.
Potencias de números reales. Después de ver como son las sucesiones de números reales
es posible dar un sentido a la expresión ab donde a, b ∈ R y a > 0.
b
Si b ∈ N entonces ab = a· .^. . ·a (producto de a repetidas unas b veces) y se cumple
1) ab+c = ab · ac (se entiende que c ∈ N)
2) abc = (ab )c
3) 1 < a1 < a2 ⇒ ab1 < ab2
Matemáticas
de
U
to
Se pueden mantener esas propiedades 1, 2 y 3 en el caso en que b ∈ Z. Para ello se definen
• si b > 0, ab se define igual que antes
• si b = 0, ab = 1
1
• si b < 0, ab = −b
a
Se puede comprobar fácilmente que las propiedades 1, 2 y 3 se siguen cumpliendo.
Para el caso en b ∈ Q se definen
√
n
• para n ∈ N, a1/n = a, que ya se ha visto su existencia para cualquier a > 0,
• para m ∈ Z, n ∈ N, am/n = (a1/n )m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
z - Departam
e
che
n
án
La definición de am/n no depende de los representantes tomados. Si m/n = p/q entonces
am/n = ap/q . Por ejemplo, a2/3 = (a1/3 )2 = a4/6 = (a1/6 )4 .
Por último, para el caso en que b ∈ R, entonces b = lı́m(xn ) donde (xn ) ⊂ Q. Como (xn )
es de Cauchy entonces también lo es la sucesión (axn ). Por tanto, esta última sucesión es
convergente en R. Se define ab como el lı́mite de esta sucesión: ab = lı́m axn .
Esta definición no depende del representante elegido. Si se elige otra sucesión equivalente
(xn ) ' (yn ) entonces se obtiene (axn ) ' (ayn ) y lı́m axn = lı́m ayn . Además se cumplen las
propiedades 1, 2 y 3.
Ejemplos importantes de sucesiones. En este apartado se van a estudiar cómo se
comportan sucesiones que aparecen con frecuencia: sucesiones potenciales, como (n3 );
exponenciales, como (2n ); factoriales (n! ) y del tipo potencial-exponencial (nn ). Se estudia
cómo es su crecimiento, comparándolas unas con otras, y estudiando además cómo es su
comportamiento al ponerlas bajo la raı́z n-ésima. Por ejemplo, una sucesión exponencial
(3n ) crece a un ritmo muy rápido,√pero no lo suficientemente rápido como para hacer que
su ráiz n-ésima siga creciendo: ( n 3n ) es √
una sucesión constante. En cambio, la sucesión
(nn ) crece tan rápidamente que incluso ( n nn ) no está acotada.
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Además, se siguen cumpliendo las propiedades 1, 2 y 3 anteriores.
Sucesiones y series de números reales – 8
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Universidad de Extremadura
Ç
z - Departam
e
che
n
án
Ejemplo. La sucesión
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
lı́m
n→∞
√
n
n! = +∞
Demostración. Basta hacer la primera igualdad para a > 1. Una vez probado esto para
a√> 1 entonces
para cualquier valor 0 < b < 1 se considera b−1 > 1 y se aplica la igualdad
√
n −1
n
b = 1/ b .
√
√
Sea entonces a > √
1. Como 1 < n a, para ver que lı́m n a → 1 basta ver que para todo
ε > 0 se tiene 1 < n a < 1 + ε para valores grandes de n. Esto es equivalente a probar que
a < (1 + ε)n
para n suficientemente grande. Ahora bien
(1 + ε)
n
!
=
!
!
!
n
n
n 2
n 3
+
ε+
ε +
ε + ...
0
1
2
3
Matemáticas
de
U
to
= 1 + nε +
n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3
ε +
ε + ...
2
3!
y por tanto, contiene sumandos positivos que son polinomios en n de grados 0, 1, 2, 3, . . .
Ası́
a < (1 + ε)n
para valores grandes de n (sólo con el segundo sumando nε ya se consigue a < nε para n
grande). Por el mismo motivo
n < (1 + ε)n
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
para n suficientemente grande (basta por ejemplo con el siguiente sumando). O también
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
z - Departam
e
che
n
án
n2 < (1 + ε)n
n7 + 65n5 + 30n3 < (1 + ε)n
para valores grandes de n. Todo esto prueba que
»
n
f (n) → 1
para cualquier función polinómica f (n) en n.
√
Para ver cómo crece la expresión ( n n!) se puede hacer lo siguiente: es evidente que el
intervalo [0, n] contiene a todos los números {0, 1, . . . , n}. Por tanto el intervalo [n/2, n]
contiene al menos la mitad de ellos (el otro subintervalo [0, n/2) contiene al resto). Por
tanto, en la lista de números 1, . . . , n al menos la mitad es mayor o igual que n/2. Ası́
Ç √ ån
Å ãn/2
n
n
n! = n · (n − 1) · · · 2 · 1 ≥
= √
.
2
2
√
Por tanto ( n n!) → +∞.
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y ası́ para cualquier expresión que crezca a un ritmo menor que alguna potencia de n:
Sucesiones y series de números reales – 9
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1) Si a > 0
√
√
√
√
n
n
n
2 = lı́m n n3 = . . . = 1,
lı́m
a
=
lı́m
n
=
lı́m
n
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Corolario. Si p ∈ R entonces
lı́m
√
n
Demostración. Si p = 0 es trivial. Si p > 0 entonces se elige p ≤ m ∈ N y se tiene
√
√
n
n
1≤
np ≤
nm −→ 1.
Si p < 0 entonces
√
n
1
np = √
−→ 1.
n
n−p
2) Lo exponencial (an ) crece más rápido que lo potencial (np ). Si a > 1 y p > 0 se tiene
lı́m
n→∞
np
= 0,
an
equivalentemente,
lı́m
n→∞
an
= +∞
np
Matemáticas
de
U
to
Demostración. Para ver que
an
= +∞
n→∞ np
basta con probar que para todo K > 0 se tiene
lı́m
an
>K
np
es decir, an > Knp para valores grandes de n. Ahora bien,
√
n
an > Knp ⇔ a > Knp ,
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
lı́m
n→∞
2n
= +∞,
n814 + n4 + 3
lı́m
n→∞
n76 + 56n39 + 15
= 0.
3n
3) Lo factorial (n! ) crece más rápido que lo exponencial (an ). Si a > 1 se tiene
lı́m
n→∞
an
= 0,
n!
equivalentemente,
Demostración. Basta recordar la desigualdad ya vista
Ç √ ån
n
√
≤ n!
2
lı́m
n→∞
n!
= +∞
an
Matemáticas
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Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Como consecuencia, es fácil comprobar que
z - Departam
e
che
n
án
y esto es cierto para n suficientemente grande, ya que el término de la derecha converge a
1 y a > 1.
y ası́ se tiene que (n! /an ) → +∞.
Sucesiones y series de números reales – 10
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
np = 1
z - Departam
e
che
n
án
n→∞
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
4) Lo potencial-exponencial (nn ) crece más rápido que lo factorial (n! ), es decir,
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
equivalentemente,
nn
= +∞
n!
lı́m
n→∞
Demostración. Basta considerar que
n
nn
n· .^. . ·n
n n
n
n
=
= · · . . . · > = n −→ +∞
n!
1 · 2 · 3 · ... · n
1 2
n
1
(n → ∞)
ya que todos los términos que aparecen en el producto son mayores que 1.
En general los órdenes de infinitud para n → ∞ ya vistos pueden resumirse como
nn > n! > an > np ,
(con a > 1, p > 0)
Cuando n → ∞, el cociente entre cada una de ellas y cualquier menor converge a +∞;
de forma análoga, el cociente entre cada una de ellas y otra mayor converge a 0. Para
expresar esto se suele utilizar la notación
Matemáticas
de
U
to
nn n! an np ,
El número e. La sucesión
(con a > 1, p > 0)
Ç
1
an = 1 +
n
ån
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
es convergente. Su lı́mite se llama e.
Demostración. Basta ver que la sucesión es creciente y acotada y ası́ debe ser convergente.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
ån
=
!
!
!
!
n
n 1
n 1
n 1
+
+
+
·
·
·
+
0
1 n
2 n2
n nn
= 1+1+
n(n − 1) 1
n(n − 1)(n − 2) 1
+
+ ...
2
2
n
3·2
n3
Ç
å
Ç
1
1
1
1
= 1+1+
1−
+
1−
2!
n
3!
n
Ç
å
åÇ
Ç
1
1
1
1
< 1+1+
1−
+
1−
2!
n+1
3!
n+1
= an+1
1
1
1
+
+
+ ...
2 3·2 4·3·2
1
1
1
< 2 + + 2 + 3 + · · · = 3.
2 2
2
< 2+
å
2
1−
+ ...
n
åÇ
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
1
an = 1 +
n
z - Departam
e
che
n
án
Ç
Por tanto, an < an+1 < 3 y ası́ (an ) es creciente y acotada.
å
2
1−
+ ...
n+1
Sucesiones y series de números reales – 11
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
n→∞
n!
= 0,
nn
z - Departam
e
che
n
án
lı́m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Este número e es lı́mite de una sucesión que está acotada por un número
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
cuyo valor es el propio número e. Es frecuente encontrar como definición de número e este
valor de la suma de los inversos de los factoriales.
Este número e aparece en la fórmula de Stirling. Se trata de una aproximación para n! y
viene dada por:
n!
Å ãn = 1.
lı́m √
n
n→∞
2πn
e
Se suele escribir
Å ãn
√
n
.
n! ≈ 2πn
e
Por tanto,
n
nn
lı́m n
= lı́m √
= e.
n
n→∞
n→∞
n!
n!
√
Este valor da una idea de cómo crece la sucesión »n n! y además muestra la diferencia de
crecimiento entre nn y n! (al evaluar cuánto vale n nn /n!).
Matemáticas
de
U
to
Series de números reales
Dada una sucesión de números reales (x1 , x2 , x3 , . . . ), se llama serie a la sucesión de sumas
parciales (x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 , . . . ). Se habla de serie de términos xn y se representa
P∞
P
xn .
n=1 xn o simplemente como
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
P
xn = (sn ) = (s1 , s2 , s3 , . . . ) donde
sn = x 1 + · · · + x n =
n
X
xk .
k=1
Se dice que la serie xn es sumable o convergente cuando la sucesión de sumas parciales
(x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 , . . . ) es convergente. En ese caso, el lı́mite de esa sucesión de
sumas parciales se llama suma de la serie y se escribe
P
∞
X
xn = lı́m
n=1
n→∞
Ä
ä
x1 + · · · + xn = lı́m
n→∞
n
X
xk = lı́m sn .
n→∞
k=1
Ası́ pues, ∞
n=1 xn se utiliza para hablar de la serie y para hablar de su lı́mite o suma (cuando
exista). Es más, se suele hablar de la serie x1 + x2 + x3 + . . . haciendo referencia a la
sucesión de sumas parciales que se hace con esos términos. Generalmente, el contexto dice
a cuál de los dos (la serie o su suma) se refiere.
P
Ejemplos. Si (xn ) = (1, 2, 3, . . . ), la serie de términos xn es la sucesión de sumas parciales
∞
X
Ç
xn = (1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, . . . ) =
n(n + 1)
2
å
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
La serie es pues la sucesión de sumas parciales
n=1
y como no converge no se puede hablar de su lı́mite
P
xn .
Sucesiones y series de números reales – 12
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
∞
X
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· = 1 + + + + + ··· =
2 3·2 4·3·2
1! 2! 3! 4!
n=0 n!
z - Departam
e
che
n
án
2+
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
Para la sucesión (xn ) = (1, 3, 5, 7, . . . ) la serie que se obtiene es
∞
X
Ä
ä
xn = (1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, . . . ) = n2 .
n=1
Ejemplo: La serie armónica
∞
X
1 1 1
1
= 1 + + + + ...
n
2 3 4
n=1
Como todos los términos son positivos, la sucesión de sumas parciales (la serie) es creciente.
Ası́, la serie es sumable si y sólo si es acotada, es decir si existe M > 0 tal que
Matemáticas
de
U
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1+
1
1 1 1
+ + + ··· + < M
2 3 4
n
para todo n ∈ N. No existe tal número M . La razón es la siguiente (se van agrupando en
bloques de tamaños que sean potencias de 2):
Ç
å
Ç
å
Ç
å
1 1
1 1 1 1
1
1
1
1 1
+
+
+ + +
+
+ ··· +
+...
1 + + + ... = 1 + +
2 3
2
3 4
5 6 7 8
9
16
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
|
> 1+
{z
> 21
}
|
{z
> 12
}
|
{z
> 12
}
1 1 1 1
+ + + + ...
2 2 2 2
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
n=1
1
1 1 1
= 1 + + + + · · · = +∞
n
2 3 4
Como curiosidad, se llama constante de Euler (o constante de Euler-Mascheroni) al número
Ç
0
γ = 0 577215 . . . = lı́m
n→∞
å
1
1
1 + + ... +
− log n.
2
n
Esto dice por ejemplo que
27
10
X
n=1
1
' log 1027 ' 620 17
n
y
1000
10X
n=1
1
' 2303.
n
Ejemplo: La serie geométrica de razón r con primer término a 6= 0
∞
X
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
∞
X
z - Departam
e
che
n
án
y por tanto no es una sucesión acotada. Se dice que la serie suma +∞ y se escribe
arn = a + ar + ar2 + ar3 + . . .
n=0
Sucesiones y series de números reales – 13
Departamento de Matemáticas
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xn = (1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . . ) = (n) .
n=1
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Para la sucesión (xn ) = (1, 1, 1, . . . ) la serie que se obtiene es
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
El caso a = 0 es el más simple. La serie es 0 + 0 + 0 + . . . cuya suma es 0.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Si a 6= 0 y r = −1 entonces la serie es a − a + a − a + . . . que no es sumable: la sucesión
de sumas parciales es (a, 0, a, 0, a, 0, . . . ) y es una sucesión no convergente.
En general, la suma de términos de una progresión geométrica se puede calcular fácilmente:
a + ar + ar2 + · · · + arn =
a − arn+1
primer término − siguiente al último
=
.
1−r
1 − razón
Por tanto, la serie es sumable si y sólo si la sucesión
Ç
a − arn+1
1−r
å
1 − rn+1
=a
1−r
Ç
å
Ä
= a 1 + r + r2 + · · · + rn
ä
es convergente. Y esto ocurre si y sólo si |r|< 1. En ese caso, el lı́mite es
∞
X
n=0
Matemáticas
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En resumen
a − arn+1
a
lı́m
=
.
n→∞
1−r
1−r
arn = a + ar + ar2 + ar3 + · · · =
Por ejemplo
∞
X
a
1−r
(si |r|< 1).
1
1 1 1
1
=
+ + +
+ . . . = 1,
n
2
2 4 8 16
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
n=1
que tiene que ver con la paradoja “Aquiles y la tortuga” de Zenón.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
n=1
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + ...
p
n
2
3
4
Se verá más adelante que es sumable si y sólo si p > 1. Por ejemplo, para p = 2 el cálculo
de la suma se conoce como problema de Basilea, y fue resuelto por Euler.
Otras series no sumables son
∞
X
n=2
∞
X
1
,
n · log n
En cambio
es sumable si y sólo si p > 1.
n=2
∞
X
n=2
1
.
n · log n · log(log n)
1
n · (log n)p
Matemáticas
de
U
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Universidad de Extremadura
∞
X
z - Departam
e
che
n
án
Otros ejemplos. Se llama serie armónica generalizada a
Propiedades de las series. Es fácil comprobar que lo que se haga con finitos términos de
una serie, como añadir, quitar o cambiar el orden, no cambia el carácter sumable o no de
la serie (aunque sı́ se cambia la suma de la serie).
Sucesiones y series de números reales – 14
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z - Departam
e
che
n
án
Si a 6= 0 y r = 1 entonces la serie es a + a + a + . . . y no es sumable: converge a +∞ si
a > 0 y a −∞ si a < 0
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Los ejemplos anteriores muestran la conveniencia de saber condiciones para que una serie
sea sumable. Otra cuestión, más complicada en la mayorı́a de los casos, es el cálculo de la
suma de una serie sumable. Por ejemplo, para una serie como
∞
X
n=1
n2
1
+n
¿cómo saber si es o no sumable? Y si es sumable, ¿cómo calcular su suma? Hay métodos
que permiten decidir si una serie es o no sumable. Estos métodos se irán estudiando de
aquı́ en adelante. Sin embargo, como regla general, no hay una forma sencilla de encontrar
la suma de una serie sumable.
Como las series son sucesiones (de sumas parciales, pero sucesiones) el criterio de Cauchy
es igual de válido.
Proposición. Una serie
P
xn es sumable si y sólo si verifica la condición de Cauchy.
xn es sumable si y sólo si la sucesión de sumas parciales
Demostración. La serie
(sn ) = (x1 , x1 + x2 , x1 + x2 + x3 , . . . ) es convergente. Y esto ocurre si y sólo si (sn ) es una
sucesión de Cauchy. Por tanto, teniendo en cuenta que |sq − sp |= |xp+1 + · · · + xq |, se tiene
Matemáticas
de
U
to
X
P
xn es sumable ⇔ ∀ε > 0
∃ν ∈ N :
X
q
x
n
n=p+1 <ε
para q > p > ν.
Por tanto, la suma de finitos términos xp+1 + · · · + xq es arbitrariamente pequeña siempre
que p y q sean suficientemente grandes. Por ejemplo, sumas del tipo xn + xn+1 (dos
sumandos) son pequeñas si n es grande. También lo son sumas del tipo xn + xn+1 + xn+2
(tres sumandos) o xn + xn+1 + xn+2 + xn+3 . Y para el caso especial de sumas de un único
sumando se tiene:
xn es sumable entonces xn → 0.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
P
z - Departam
e
che
n
án
Corolario. Si
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
n2
2
n=6 n + n + 1
no es sumable, ya que su término general no converge a 0. El primer filtro para saber si
una serie puede ser o no sumable es mirar la convergencia a cero de su término general.
0 entonces
• Si (xn ) →
xn no es sumable.
P
• Si (xn ) → 0 entonces xn puede ser sumable o no sumable.
P
Sin embargo, que xn → 0 no garantiza que la serie xn sea sumable. La serie armónica es
P
un buen ejemplo de esto: 1/n → 0 pero 1/n = +∞.
P
Ejemplo. La serie armónica 1/n no verifica el criterio de Cauchy (otra prueba más de
que no es sumable) ya que para cualquier n se tiene
P
Matemáticas
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Esta proposición muestra que una sucesión como (xn ) = (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, . . . ) forma
P
una serie xn que no puede ser sumable. Otro ejemplo, la serie
1
1
1
1
1
+
+ ··· +
≥ n
= .
n n+1
2n
2n
2
Sucesiones y series de números reales – 15
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
También es evidente que cualquier combinación lineal de series sumables es una serie
sumable, y la suma es la correspondiente combinación lineal de las sumas de cada una.
Definición. Se dice que la serie
P
xn es absolutamente sumable si
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Demostración. Si xn es absolutamente sumable, entonces
de Cauchy. La desigualdad
P
muestra que entonces
X
q
x
n
k=p P
Ejemplo: la serie
≤
q
X
|xn | es sumable.
z - Departam
e
che
n
án
Proposición. Toda serie absolutamente sumable es sumable.
P
|xn | es sumable y, por tanto,
P
|xn |
k=p
xn también es de Cauchy y, por tanto, convergente.
∞
X
(−1)n
1 1 1 1
= −1 + − + − + . . .
n
2 3 4 5
n=1
es sumable pero no absolutamente sumable. Que no es absolutamente sumable ya se ha
visto antes:
∞ n
X
1 1 1 1
(−1) = 1 + + + + + · · · = +∞.
n 2 3 4 5
n=1
La convergencia de la serie viene dada por el comportamiento de la sucesión de sumas
parciales (sn ), donde
Matemáticas
de
U
to
s1 = −1,
1
s2 = −1 + ,
2
s3 = −1 +
1 1
− ,
2 3
s4 = −1 +
1 1 1
− + , ...
2 3 4
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
s2 > s4 > s6 > . . .

→ sup(s2n−1 ) 


→ ı́nf(s2n )
|s2n−1 − s2n | =




⇒ sup(s2n−1 ) = ı́nf(s2n ) = lı́m sn =

n→∞
1
2n






Más adelante se verá que este valor lı́mite es − log(2).
∞
X
(−1)n
n
n=1
También se podrı́a haber probado que la sucesión (sn ) es de Cauchy: si p < q entonces
|sp − sq |< |sp − sp+1 |= 1/(p + 1) que tiende a cero para valores p < q grandes.
Proposición. Si (xn ) & 0 entonces la serie alternada
(−1)n xn es sumable.
P
Demostración. Se puede razonar como antes con la serie armónica alternada. También
se puede comprobar como antes que la sucesión de sumas parciales verifica |sp − sq |<
|sp − sp+1 |= |xp+1 | para p, q > ν con q > p. Ası́, (sn ) es convergente por ser de Cauchy.
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
s1 < s3 < s5 < . . .
z - Departam
e
che
n
án
La sucesión de términos impares (s1 , s3 , s5 , . . . ) es creciente y acotada y por tanto converge
a su supremo. La sucesión de términos pares (s2 , s4 , s6 , . . . ) es decreciente y acotada y por
tanto converge a su ı́nfimo. Cualquier término impar es menor que cualquier término par y
la diferencia entre un término impar y el par siguiente tiende a cero: |s2n−1 − s2n |= 1/2n.
Por tanto ese supremo y ese ı́nfimo coinciden y es la suma de la serie:
La expresión (xn ) & 0 significa que (xn ) es decreciente y convergente a cero. En particular,
xn ≥ 0. Es esencial que sea una sucesión decreciente. Si sólo se escribe 0 ≤ xn → 0 en el
Sucesiones y series de números reales – 16
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
(−1)n xn puede no ser sumable. Por
P
1 2 1 2 1 2 1
(xn ) = 1, , , , , , , , . . .
2 3 3 4 4 5 5
å
converge a cero, aunque no es decreciente. La serie
X
(−1)n+1 xn = 1 −
1 2 1 2 1
+ − + − + ...
2 3 3 4 4
no es sumable. La sucesión de sumas parciales (sn ) tiene términos pares no acotados:
(s2n ) = (1/2, 1/2 + 1/3, 1/2 + 1/3 + 1/4, . . . ) → +∞.
Un ejemplo curioso (Kempner, 1914). Es conocido que
X
n
1
1 1 1
= 1 + + + + · · · = +∞.
n
2 3 4
En esta serie se eliminan todos los términos en los que n tiene algún 0 en sus cifras:
Matemáticas
de
U
to
1 1
1 A1 1
1 A1 1
1 S1 S1
1
1+ + +· · ·+ + A + +· · ·+ + A + +· · ·+ + +. . .
S + S +· · ·+
2 3
9 10A 11
19 20A 21
99 100
101
111
S S
La serie que queda está formada por términos positivos. Ası́ la sucesión de sumas parciales
(sn ) es creciente, s1 ≤ s2 ≤ s3 ≤ . . . Por tanto, (sn ) converge si y sólo si está acotada.
Ahora bien,
s9 < 9
92
10
92
93
9+
+
10 100
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
s9+92
<
s9+92 +93
<
9+
<
9+
93
9n
92
+
+ · · · + n−1
10 100
10
···
Por tanto
9
92
9n
< 9 1+
+
+ ··· + n
10 100
10
Ç
s9+92 +93 +···+9n
|
Ç
{z
suma de una serie geométrica
1
< 9
1 − 9/10
= 90.
å
å
}
La sucesión (sn ) es creciente y tiene infinitos términos acotados, luego es acotada y ası́ es
convergente. La serie es sumable y su suma es menor o igual que 90.
Como consecuencia, la serie formada con esos términos eliminados (los que tienen algún
cero en sus cifras) verifica
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
s9+92 +93 +···+9n
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
···
1
1
1
1
+
+ ... +
+
+ . . . = +∞.
10 20
100 101
Sucesiones y series de números reales – 17
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Ç
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
enunciado, el resultado anterior ya no es cierto y
ejemplo, para la sucesión
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
n=1
es sumable para p > 1 y no sumable para 0 < p ≤ 1. Es fácil comprobar el caso 0 < p ≤ 1,
ya que
1
1
0<p≤1⇒ < p
n
n
y por tanto
X 1
X1
= +∞ ⇒
= +∞.
p
n n
n n
Para el caso p > 1 se tiene
Ç
å
Ç
}
|
å
Ç
å
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 + p + p + ... = 1 + p + p + p + p + p + p + p + ··· + p +...
2
3
2
3
4
5
6
7
8
15
|
{z
<
2
2p
{z
<
4
4p
}
|
{z
<
8
8p
}
Matemáticas
de
U
to
< 1+
= 1+
4
8
2
+ p + p + ...
p
2
4
8
1
2p−1
+
1
22(p−1)
+
1
23(p−1)
+ ...
y este último sumando es una serie geométrica de razón 1/2p−1 menor que 1, ya que
p > 1. Esta serie geométrica es sumable y por tanto también es sumable la serie armónica
generalizada para p > 1, ya que todas sus sumas parciales están acotadas. En resumen
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
n=1
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
n=1
1
2p−1
≤
.
np
2p−1 − 1
∞
X
n=1
1
≤ 2.
n2
Comparación de series. Series mayorantes. Este argumento de comparación entre series
es una herramienta que suele ser útil. Es muy fácil comprobar, por ejemplo,
 P

n xn
no sumable
0 ≤ xn ≤ yn (∀n ∈ N) entonces  P
n yn sumable
⇒
P
yn no sumable
⇒
P
xn sumable
n
n
Estas afirmaciones son también ciertas si 0 ≤ xn ≤ yn casi siempre (para todo n salvo una
P
P
cantidad finita de ellos). Se dice que la serie yn es una mayorante de la serie xn , o
que esta última está mayorada por la primera.
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Por ejemplo,
∞
X
z - Departam
e
che
n
án
En ese caso se tiene además
1
es sumable ⇔ p > 1.
np
Para estudiar entonces la sumabilidad de una serie es un buen recurso compararla con otra
cuya sumabilidad o no sumabilidad sea conocida.
Sucesiones y series de números reales – 18
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
1
1
1
1
= 1 + p + p + p + ...
p
n
2
3
4
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Ejemplo. La serie armónica generalizada
Por ejemplo,
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n






⇒

X




1
√ es no sumable.
n
O también,
n2
X

2

es sumable 


2
n
⇒

X
n2
2
1


≤ 2 para casi todo n 
− 87n − 1500
n
1
es sumable.
− 87n − 1500
Otro ejemplo más, para saber si la serie
∞
X
5n + 721
n3
n=1
es sumable, se puede buscar alguna mayorante sumable. La serie
P
pero sı́ lo es un múltiplo suyo, 6/n2 ya que
P
1/n2 no es mayorante,
Matemáticas
de
U
to
6
5n + 721
≤ 2
3
n
n
para casi todo n. Ası́ se llega a que
∞
X
5n + 721
n3
n=1
es sumable.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
A veces una serie se puede comparar consigo misma: en realidad, con algunos términos de
la propia serie.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
X
xn es sumable si y sólo si
2n
Demostración. Como la sucesión (xn ) es decreciente se tiene
∞
X
n=1
xn con (xn ) & 0.
es sumable.
n=0
xn = x1 + x2 + x3 + · · · + x2n + x2n +1 + · · · + x2n+1 −1 + . . .
x + x7 + · · · + x2n + x2n +1 + · · · + x2n+1 −1 + . . .
= x1 + x
+ x + x + x5 +
| 2 {z 3} | 4
{z 6
}
≤x2 +x2
|
≤x4 +x4 +x4 +x4
≤ x1 + 2x2 + 4x4 + · · · + 2n x2n + · · · =
∞
X
2n x
n=0
Por otra parte,
∞
X
2n x
n=0
2n
= x1 + x2 + x2 + x4 + x4 + x4 + · · · +
| {z }
≤x1 +x1
|
{z
≤x2 +x2 +x3 +x3
}
{z
}
≤x2n +x2n +···+x2n
2n .
x2n + x2n+1 + · · · + x2n+1
|
{z
+...
}
≤x2n +x2n +x(2n +1) +x(2n +1) +···+x(2n+1 −1)
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
n=1
X n
2 x
P
z - Departam
e
che
n
án
Proposición (criterio de condensación de Cauchy). Dada una serie
Entonces
∞
∞
≤ x1 + x1 + x2 + x2 + x 3 + x3 + · · · + xn + xn + · · · = 2
∞
X
xn .
n=1
Sucesiones y series de números reales – 19
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Universidad de Extremadura
1
es no sumable
n
1
1
≤ √ para todo n
n
n
X
z - Departam
e
che
n
án
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
∞
X
2n x
2n
≤ 2
n=0
∞
X
xn
n=1
y ası́ una de las series es sumable si y sólo si lo es la otra.
Ejemplo. Aplicando este criterio de condensación Cauchy se puede comprobar fácilmente
que
a)
b)
c)
∞
X
1
= +∞ (es no sumable)
n=2 n log n
∞
X
1
es sumable si y sólo si p > 1
p
n=2 n(log n)
∞
X
1
= +∞ (es no sumable)
n=2 n · log n · log(log n)
Propiedades asociativa y conmutativa en sumas infinitas. Cuando intervienen finitos
términos en una sumas se verifican las propiedades conmutativa y asociativa:
Matemáticas
de
U
to
• (a + b) + (c + d) = a + [(b + c) + d] = . . .
• a + b + c = a + c + b = b + a + c = ...
Para sumas infinitas (series) la situación es distinta. Por ejemplo, la serie
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
no es sumable: es la serie cuyo término general es (−1)n que no converge a cero. Además,
la sucesión de sumas parciales es (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . . ) que, evidentemente, no converge. Sin
embargo, sı́ es sumable (y suma 0) la serie
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + . . .
Este ejemplo muestra que, en general, no puede aplicarse la propiedad asociativa en sumas
infinitas. Sin embargo, cuando la serie de partida es sumable sı́ se pueden agrupar sus
términos de forma arbitraria.
Proposición. Si en una serie sumable se introducen paréntesis, la serie resultante también
es sumable y tiene la misma suma que la de partida.
Demostración. Sea xn = x1 + x2 + x3 + . . . una serie sumable. Sus sumas parciales
son s1 = x1 , s2 = x1 + x2 , s3 = x1 + x2 + x3 , . . . Se considera la serie que se obtiene al
introducir paréntesis en ciertos lugares, por ejemplo,
P
X
yn = x1 + x2 + (x3 + x4 ) + x5 + (x6 + x7 ) + . . .
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
y también es sumable, y su suma es 1, la serie
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .
La sucesión de sumas parciales de esta serie resultante es (s1 , s2 , s4 , . . .), que una
subsucesión de la sucesión de sumas parciales de la serie de partida. Como esta última es
convergente, cualquier subsucesión suya también lo es tienen el mismo lı́mite.
Sucesiones y series de números reales – 20
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
n=1
xn ≤
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
En resumen,
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
1−
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
z - Departam
e
che
n
án
El problema de la conmutabilidad de términos de una serie se conoce como problema de
reordenación de series. Un ejemplo puede ayudar a entender qué ocurre al reordenar sumas
infinitas. Ya se ha visto que la serie armónica alternada
es sumable (ya se verá que además su suma es log 2). En esta serie hay términos, los
impares por un lado y los pares por otro, que suman
1+
1 1
+ + ...
3 5
=
1 1 1
+ + + ...
2 4 6
=
+∞.
Se puede reordenar la serie armónica alternada para que su suma sea, por ejemplo, 77. Para
ello se comienzan eligiendo el menor término n que cumpla
1+
1 1
1
+ + ··· +
≥ 77.
3 5
2n + 1
Sumamos −1/2 y se tiene
Matemáticas
de
U
to
1+
1 1
1
1
+ + ··· +
− ≤ 77.
3 5
2n + 1 2
De nuevo buscamos el siguiente valor que cumpla
1+
1
1
1
1
1 1
+ + ··· +
− +
+ ··· +
≥ 77
3 5
2n + 1 2 2n + 3
2m + 1
y ası́
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
1 1
1
1
1
1
1
+ + ··· +
− +
+ ··· +
− ≤ 77,
3 5
2n + 1 2 2n + 3
2m + 1 4
etcétera. Se consigue una reordenación de la serie cuya suma es 77, ya que las sumas
parciales están cada vez más cerca de ese valor 77.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
z - Departam
e
che
n
án
También se puede reordenar la serie armónica alternada para que su suma la mitad de la
suma original:
∞
X
(−1)n
1 1 1 1
log 2 =
= 1 − + − + − ...
2 3 4 5
n=0 n + 1
se puede reordenar como
Ç
å
Ç
å
Ç
å
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1− − +
−
− +
−
−
+
−
−
+ ...
2 4
3 6
8
5 10
12
7 14
16
=
1 1 1 1
1
− + − +
− ...
2 4 6 8 10
Ç
1
1 1 1 1
=
1 − + − + − ...
2
2 3 4 5
=
1
log 2.
2
å
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
1+
Se puede reordenar esta serie para conseguir que la suma sea cualquier valor prefijado.
Incluso se puede hacer una reordenación y obtener una serie no sumable: se eligen los
Sucesiones y series de números reales – 21
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
e
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F
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r
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m
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e Ex
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tre
v
i
n
z - Departam
e
che
n
án
términos impares para que la suma sea mayor que 1; se añade −1/2; se vuelven a sumar
impares para que la suma sea mayor que 2; se añade −1/4; más impares hasta sumar más
que 3, etcétera.
Definición. Una serie sumable
xn se dice reordenable si para cualquier biyección
P
xγ(n) es sumable y tiene la misma suma que la original. Es
γ : N −→ N la serie
decir, si cualquier reordenación suya sigue siendo sumable con la misma suma.
P
Teorema. Una serie es reordenable si y sólo si es absolutamente sumable. En otras palabras,
la propiedad conmutativa se extiende a sumas infinitas siempre que éstas, cambiando todos
los términos a positivos, sean sumables.
Por ejemplo,
1 1 1
+ − + ...
2 3 4
1
1
1
1 − 2 + 2 − 2 + ...
2
3
4
1−
no es reordenable
sı́ es reordenable
Proposición. Si una serie es condicionalmente sumable (sumable pero no absolutamente
sumable) se puede reordenar de forma que la serie resultante sume cualquier valor prefijado
o incluso que sea no sumable.
Matemáticas
de
U
to
La demostración consiste es comprobar que una serie condicionalmente sumable tiene
infinitos términos positivos cuya suma es +∞ y tiene infinitos términos negativos cuya suma
es −∞. Por tanto puede reordenarse para que las sumas vayan acercándose a cualquier
valor, incluyendo ±∞, o hacer que la serie resultante sea no sumable.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Criterios de sumabilidad para series de términos positivos
P
xn con xn ≥ 0 es esencial entender que
1) la sucesión de sumas parciales es creciente
2) una sucesión creciente es convergente si y sólo si es acotada y en ese caso converge
a su supremo
El criterio básico para este tipo de serie es el criterio de comparación. Para ello es necesario
conocer el comportamiento de algunas series (armónicas, geométricas,. . . ) para poder
realizar tales comparaciones.
Criterio de comparación. Sean
para casi todo n ∈ N. Entonces
P
xn y
P
yn series de términos positivos tales que xn ≤ yn
P
xn no sumable
⇒
P
yn no sumable
P
yn sumable
⇒
P
xn sumable.
n
n
n
n
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Para este tipo de series
P
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
En esta sección se verán criterios para saber si es sumable o no una serie xn con términos
positivos xn ≥ 0. Es decir, veremos criterios para hablar de la sumabilidad absoluta de
series cualesquiera.
Se dice también que la serie una serie xn está mayorada por la serie yn , o que tiene a
P
ésta como mayorante. También se habla de xn como serie minorante.
P
P
Sucesiones y series de números reales – 22
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Universidad de Extremadura
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Es evidente que yn es sumable si y sólo si cualquier múltiplo suyo kyn lo es. Como
consecuencia, para poder aplicar este criterio de comparación basta comprobar que para
algún valor k se tiene xn ≤ kyn para casi todo n.
P
Ejemplos.
P
X |cos n|
X 1
1
y
son
sumables
porque
es una mayorante sumable,
n2 + n + 6
n2
n2
X
X1
1
no es sumable. Tiene como mayorante a
que
2) Es fácil comprobar que
n + 12
n
es no sumable, por lo que el criterio de comparación no dice nada.
1)
X
Criterio de comparación por paso al lı́mite. Sean
que verifican
xn
=a
lı́m
n→∞ y
n
xn y
P
yn series de términos positivos
Matemáticas
de
U
to
donde 0 ≤ a ≤ +∞.
P
• Si 0 < a < +∞ entonces ambas series son sumables o ambas son no sumables.
Demostración. Se elige ε = a/2 en la definición de lı́mite y ası́ existe ν ∈ N que verifica
x
n
yn
para n > ν. Ası́
− a
<
a
2
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
a
xn
3a
<
< .
2
yn
2
Por tanto
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
tiene como mayorante a
Por ejemplo, como
1
n
lı́m n + 12 =
=1
n→∞
1
n + 12
n
las series
X1
1
y
n + 12
n
son ambas no sumables (ya que la segunda es no sumable).
Como
lı́m
n→∞
X
5n3
−
1
n3
1
− 89n − 32 =
=
3
2
1
5n − 12n − 89n − 32
5
n3
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
xn
z - Departam
e
che
n
án
3a X
yn
2
X
2X
yn tiene como mayorante a
xn
a
y ambas series tienen el mismo carácter sumable o no sumable.
X
12n2
Sucesiones y series de números reales – 23
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
El criterio de comparación dice que una serie con mayorante sumable es también sumable y
una serie con minorante no sumable es no sumable.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
las series
X 1
1
y
5n3 − 12n2 − 89n − 32
n3
son ambas sumables (la segunda lo es)
P
yn sumable ⇒
P
xn sumable.
La demostración es muy simple. Como
xn
=0
n→∞ y
n
lı́m
entonces xn /yn < 1 para casi todo n. Por tanto
• Si a = +∞ entonces
P
xn sumable ⇒
P
P
yn es una mayorante de
yn sumable.
La demostración es similar. Como
lı́m
n→∞
xn
= +∞
yn
Matemáticas
de
U
to
entonces xn /yn > 1 para casi todo n. Por tanto
Si no existe tal lı́mite
P
xn es una mayorante de
P
xn
P
yn
xn
n→∞ y
n
lı́m
entonces se consideran (estos valores siempre existen) los lı́mites inferior y superior a y b:
xn
xn
≤ lı́m sup
= b ≤ +∞.
yn
n→∞ yn
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
0 ≤ a = lı́m inf
n→∞
I Si b < +∞ entonces
P
yn es una mayorante de
P
xn
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
P
xn es una mayorante de
P
yn
Para comprobarlo basta ver que de la definición de lı́mite inferior se tiene xn /yn > a/2 para
casi todo n.
I Si 0 < a ≤ b < +∞ (como corolario de los dos casos anteriores) ambas series son
sumables o ambas son no sumables.
I Si 0 = a < b = +∞ el criterio no dice nada, puede ocurrir cualquier posibilidad.
Ejemplo. Para las series
X
1
1
1
1
1
= 1 + 3 + 3 + 3 + 3 + ...
3
n
2
3
4
5
1
1
1
1
= 1 + 2 + 4 + 2 + 4 + ...
2
3
4
5
xn =
X
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
I Si 0 < a entonces
z - Departam
e
che
n
án
La demostración es similar a la ya vista para el caso del lı́mite. Para casi todo n se tiene
xn /yn < b + 1
X
yn
Sucesiones y series de números reales – 24
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
• Si a = 0 entonces
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
X
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
se tiene
Ç
å
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Criterio del cociente o de d’Alembert. Sea xn una serie de términos positivos. Entonces
xn+1
1) si lı́m sup
< 1 entonces la serie es sumable,
xn
n→∞
xn+1
2) si lı́m inf
> 1 entonces la serie es no sumable,
n→∞
xn
xn+1
xn+1
entonces el criterio no dice nada: la serie puede
3) si lı́m inf
≤ 1 ≤ lı́m sup
n→∞
xn
xn
n→∞
ser sumable o no.
xn+1
Demostración. 1) Sea a = lı́m sup
< 1 y sea a < b < 1. De la definición de lı́mite
xn
superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos términos xn+1 /xn . Es decir,
P
xn+1
<b
xn
Matemáticas
de
U
to
para n ≥ ν. Por tanto
xν+1
xν+2
xν+3
< bxν
< bxν+1 < b2 xν
< bxν+2 < b2 xν+1 < b3 xν
...
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
La serie geométrica bn xν = xν + bxν + b2 xν + b3 xν + . . . es sumable (su razón es b < 1)
P
y es mayorante de la serie xn .
xn+1
> 1. Por definición de lı́mite inferior a la izquierda de 1 sólo hay
2) Sea a = lı́m inf
xn
finitos términos xn+1 /xn . Es decir,
xn+1
>1
xn
para n ≥ ν. Para esos valores la sucesión es estrictamente creciente y de términos positivos.
Por tanto (xn ) no puede converger a 0 y la serie no es sumable.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
3) Valen como ejemplos
z - Departam
e
che
n
án
X 1
1
y
.
n
n2
La primera es no sumable, la segunda sı́ lo es y ambas están en el caso 3), es más, las dos
verifican
xn+1
lı́m
=1
n→∞ x
n
X
Criterio de la raı́z o de Cauchy. Sea
P
xn una serie de términos positivos y sea
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
P
a = lı́m sup
n→∞
Entonces
»
n
xn .
Sucesiones y series de números reales – 25
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
1
xn
1
= 1, , 3, , 5, . . .
yn
2
4
y ası́ a = 0, b = +∞. El criterio no dice nada en este caso, aunque ambas series son
sumables.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
1) si a < 1, la serie es sumable,
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
3) si a = 1, el criterio no dice nada: la serie puede ser sumable o no.
»
Demostración. 1) Sea a = lı́m sup n xn < 1 y sea a < b < 1. De
la definición de lı́mite
»
superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos términos n xn . Es decir,
»
n
xn < b
para n ≥ ν. Por tanto xn < bn para dichos valores y ası́ la serie xn tiene como mayorante
P
a la serie geométrica bn , que es sumable (su razón es b < 1).
P
»
2) Sea a = lı́m sup n xn > 1. De la definición de lı́mite superior se sigue que a la derecha
»
de 1 hay infinitos términos n xn . Es decir,
»
n
xn > 1
para infinitos xn . Ası́ (xn ) no converge a cero y
P
xn no puede ser sumable.
Matemáticas
de
U
to
3) Valen como ejemplos
X 1
1
y
.
n
n2
La primera es no sumable, la segunda sı́ lo es y ambas están en el caso 3) ya que las dos
verifican
»
lı́m n xn = 1
X
n→∞
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Criterios de sumabilidad para series de términos cualesquiera
1) si
2) si
3) si
P
xn una serie de términos cualesquiera. Entonces
x
n+1 < 1 entonces la serie es absolutamente sumable,
lı́m sup xn n→∞
x
n+1 > 1 entonces la serie no es sumable,
lı́m
inf
n→∞ x
n
x
x
n+1 n+1 ≤ 1 ≤ lı́m sup entonces el criterio no dice nada:
lı́m
inf
n→∞ x
n→∞ xn n
ser sumable o no.
Demostración. 1) Sea a =
x
n+1 lı́m sup xn la serie puede
< 1 y sea a < b < 1. De la definición de lı́mite
superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos términos |xn+1 /xn |. Es decir,
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Criterio del cociente. Sea
P
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
En esta sección veremos los criterios del cociente y de la raı́z para series xn en general.
Los resultados y las demostraciones son idénticos a los ya obtenidos, cambiando xn por
|xn | y la sumabilidad por la sumabilidad absoluta.
|xn+1 |
<b
|xn |
Sucesiones y series de números reales – 26
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
2) si a > 1, la serie es no sumable,
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
< b|xν |
< b|xν+1 | < b2 |xν |
< b|xν+2 | < b2 |xν+1 | < b3 |xν |
...
bn |xν |= |xν |+b|xν |+b2 |xν |+b3 |xν |+ . . . es sumable (su razón es
La serie geométrica
P
b < 1) y es mayorante de la serie |xn |.
P
2) Sea a =
x
n+1 lı́m inf xn > 1. Por definición de lı́mite inferior a la izquierda de 1 sólo hay
finitos términos |xn+1 /xn |. Es decir,
|xn+1 |
>1
|xn |
para n ≥ ν. Para esos valores la sucesión (|xn |) es estrictamente creciente y de términos
positivos. Por tanto (|xn |) no puede converger a 0. Ası́, (xn ) no converge a 0 y la serie no
es sumable.
Matemáticas
de
U
to
3) Valen como ejemplos
X 1
1
y
.
n
n2
La primera es no sumable, la segunda sı́ lo es y ambas están en el caso 3), es más, las dos
verifican
xn+1
lı́m
=1
n→∞ x
n
X
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
Criterio de la raı́z o de Cauchy. Sea
P
xn una serie de términos cualesquiera y sea
a = lı́m sup
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
n
|xn |.
Entonces
2) si a > 1, la serie no es sumable,
3) si a = 1, el criterio no dice nada: la serie puede ser sumable o no.
»
Demostración. 1) Sea a = lı́m sup n |xn | < 1 y sea a < b < 1. De
la definición de lı́mite
»
n
superior se sigue que a la derecha de b sólo hay finitos términos |xn |. Es decir,
»
n
|xn | < b
para n ≥ ν. Por tanto |xn |< bn para dichos valores y ası́ la serie |xn | tiene como mayorante
P
a la serie geométrica bn , que es sumable (su razón es b < 1).
P
»
2) Sea a = lı́m sup n |xn | > 1. De la definición de lı́mite superior se sigue que a la derecha
»
de 1 hay infinitos términos n |xn |. Es decir,
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
1) si a < 1, la serie es absolutamente sumable,
z - Departam
e
che
n
án
n→∞
»
»
n
|xn | > 1
Sucesiones y series de números reales – 27
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
|xν+1 |
|xν+2 |
|xν+3 |
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
para n ≥ ν. Por tanto
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
para infinitos xn . Ası́ (|xn |) no converge a cero y
P
xn no puede ser sumable.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
X 1
1
y
.
n
n2
La primera es no sumable, la segunda sı́ lo es y ambas están en el caso 3) ya que las dos
verifican
√
lı́m n xn = 1
X
n→∞
Algunos ejemplos
1 La serie
∞
X
n2 + 1
en
n=1
es sumable. Se puede estudiar su carácter sumable de varias formas.
Matemáticas
de
U
to
a) Es comparable a la serie
∞
X
n2
n
n=1 e
ya que
n2 + 1 n2
n2 + 1
:
=
−→ 1.
en
en
n2
∞
X
∞
X
n2 + 1
n2
Por tanto
es
tan
sumable
como
lo
sea
, con lo que se podrı́an
n
en
n=1
n=1 e
simplificar los cálculos.
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
b) En cualquier caso, la serie
∞
X
n2 + 1
se puede comparar con alguna serie conocida
en
n=1
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
No suele ser fácil encontrar alguna serie, sumable o no, que se pueda comparar con
una serie dada. De todas formas, en este ejemplo se va a intentar comparar con
∞
∞
X
X
1
k
o
algún
múltiplo
suyo,
, donde k puede ser 1, 2, 3, . . . o una constante
2
2
n=1 n
n=1 n
que convenga. Para ello basta comprobar si es cierto
n2 + 1
k
≤
en
n2
para casi todo n. Esta desigualdad es cierta para k = 1, ya que
n2 (n2 + 1)
−→ 0
en
y ası́
n2 (n2 + 1)
≤1
en
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
(que sea sumable o no.)
Sucesiones y series de números reales – 28
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
z - Departam
e
che
n
án
3) Valen como ejemplos
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
para casi todo n. Se tiene entonces que
1
(que es sumable) es mayorante de
2
n=1 n
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
Se podrı́a haber utilizado la serie
1
como mayorante:
2n
X
n2 + 1
1
≤
en
2n
es cierto para casi todo n.
c) El criterio del cociente aplicado a la serie
∞
X
n2 + 1
dice que es sumable, ya que
en
n=1
1 (n + 1)2 + 1
1
(n + 1)2 + 1 n2 + 1
en ((n + 1)2 + 1)
=
−→ < 1.
:
=
n+1
n
n+1
2
2
e
e
e (n + 1)
e n +1
e
d) También se obtiene que la serie es sumable por el criterio de la raı́z, ya que
Matemáticas
de
U
to
s
n
1»
n2 + 1
1
n
=
n2 + 1 −→ < 1.
n
e
e
e
2 Lo mismo se puede decir de las series (son todas sumables)
∞
X
∞
X
n3
,
n
n=1 e
n
es sumable. Además, es posible calcular su suma, que es 2.
n
n=1 2
∞
X
n=3
Ç
n+1
2n − 4
ån
es sumable.
∞
X
an + n2
es sumable para algunos valores de a ≥ 0. Y para otros valores es
3n
n=1
no sumable.
5 La serie
6 La serie
∞
X
(log n)p
n=2
es no sumable para cualquier valor de p.
La serie sólo puede ser sumable si se cumple (log n)p → 0. Eso obliga a considerar solo los
casos p < 0.
• Si p = −1 entonces la serie es
∞
X
1
n=2 log n
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
89n12 + 68n9 − 3n6 + 9042
en
n=4
z - Departam
e
che
n
án
4 La serie
∞
X
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
3 La serie
∞
X
n4 − 13n2 + 42
,
en
n=0
que tiene como minorante (y no sumable) a la serie armónica.
Sucesiones y series de números reales – 29
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
n2 + 1
y entonces esta última es también sumable.
en
n=1
z - Departam
e
che
n
án
∞
X
∞
X
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
que tiene como minorante (no sumable) a la serie
∞
X
1
n=2 log n
• Si p < −1 entonces (log n)p & 0 y se puede aplicar el criterio de condensación de
Cauchy:
∞
X
1
p
n=2 (log n)
es sumable si y sólo si lo es la serie
X n
2
X n
1
1
=
2 p
n
p
(log 2 )
n (log 2)p
Es evidente que esta última no es sumable.
Matemáticas
de
U
to
7 La serie
X n p
p n
sólo puede ser sumable si pn np → 0. Ası́ que la única posibilidad es 0 < p < 1. Es ese caso
el criterio de la raı́z dice
»
√
lı́m n pn np = p · lı́m n np = p
y la serie es sumable.
8 La serie
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
1
− nq
con 0 < q < p, se puede comparar con la serie
X
X
1
np
1
Ç
å
np − nq
1
p
n
= lı́m
= n→∞
lı́m 1 − p−q = 1
lı́m
1
np
n
p
q
n −n
Por tanto ambas series son sumables si y sólo si p > 1.
9 La serie
X −1− 1
n
n
=
X
1
1
1+ n
=
X
1
√
n
n n
n
tiene término general que converge a cero. Por tanto, podrı́a ser sumable. Al compararla
con la serie armónica resulta
1
1
lı́m n = lı́m √
=1
n
1
n
√
nnn
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
(que es sumable si y sólo si p > 1) y se tiene
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
np
Sucesiones y series de números reales – 30
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
1
p
n=2 (log n)
z - Departam
e
che
n
án
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
• Si −1 ≤ p < 0 la serie es
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
y la serie no es sumable.
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
pn
1
− qn
con 0 < q < p, se puede comparar con la serie geométrica
X
1
pn
de razón 1/p (que es sumable si y sólo sı́ p > 1):
1
Ç
Ç ån å
pn − q n
q
pn
=1
= lı́m 1 −
lı́m
=
lı́m
n
n→∞
n→∞
n→∞
1
p
p
pn − q n
Por tanto ambas series son sumables si y sólo si p > 1.
∞
X
2n
n=1
n!
Matemáticas
de
U
to
11 La serie
es sumable. Ya se verá que su suma es e2 − 1.
Ejemplo (criterio de Abel): Si
P
an bn es sumable.
P
an es sumable y (bn ) es monótona y convergente, entonces
Utilizando este criterio es fácil comprobar que
e
rnand
F
a
r
u
o
d
S
a
m
∞
X
Ç
n=1
es sumable.
1 + 1/n
2
ån
d
d
a
e Ex
d
i
s
r
e
tre
v
i
n
es sumable.
∞
X
sen(nπ/2)
n
n=1
Matemáticas
de
U
to
Departamento de Matemáticas
Universidad de Extremadura
Utilizando este criterio es fácil comprobar que
z - Departam
e
che
n
án
Ejemplo (criterio de Dirichlet): Si (bn ) es monótona y converge a 0 y si la sucesión se
P
P
sumas parciales nk=1 ak está acotada, entonces an bn es sumable.
Sucesiones y series de números reales – 31
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X
z - Departam
e
che
n
án
10 La serie