GUÍA : Las Leyes de Kepler

Leyes de Kepler
1.- Todo planeta que gira alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica, en la cual
el Sol ocupa una de los focos.
Planeta
Sol
2.- El radio focal que une a un planeta con el Sol describe áreas iguales en tiempos
iguales.
A
D
A2
A1
Sol
B
C
3.- Los cuadrados de los periodos de revolución de los planetas son proporcionales a
los cubos de los radios de sus órbitas.
T 2 = K R3
El valor de la constante K = 1 año2 = 3.01x10-19 s2
(ua) 3
m3
La unidad astronómica es 1.49x1011 m
1
El valor de la constante K puede ser obtenida de otra forma:
Fc = Fg
m V2 = G Msol m
R
R2
pero V = 2πR
T
m
2πR 2
4πmR2
GMSol m
=
=
R(
T )
RT2
R2
T
2 2
4π 2 ) R3
GMSol
=(
K = 2.98x10-19 s2
m3
GRAVITACIÓN UNIVERSAL
INTRODUCCIÓN: Al estudiar el movimiento de los planetas con base en las leyes de
Kepler, Newton observó que describen órbitas elípticas alrededor del Sol y deben estar
sujetos a una fuerza centrípeta pues de lo contrario sus trayectorias no serían curvas.
Consideremos la siguiente situación:
m
V
Planeta
Fcentrípeta
R
M Sol
La fuerza centrípeta que mantiene a un planeta en su órbita, se debe a la atracción que el
Sol ejerce sobre él.
2
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Al analizar el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, Newton se dio cuenta de que
debía existir una fuerza de atracción de la Tierra sobre la Luna, análoga a aquella con la que
el Sol atare a los planetas. Según se dice, al observar una manzana desprenderse de un árbol
plantea la idea de que su caída también debía ser causada por la aceleración de la Tierra.
Reuniendo las ideas de que el Sol atrae a los planetas y la Tierra atrae a la Luna y a la
manzana, newton llegó a la conclusión de que la atracción observada debe ser un fenómeno
general (universal) y manifestarse entre dos objetos materiales.
DOS CUERPOS CUALESQUIERA SE ATRAEN CON UNA FUERZA
PROPORCIONAL AL PRODUCTO DE SUS MASAS, E INVERSAMENTE
PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA ENTRE ELLOS.
F = GM1 M2
R2
Constante de gravitación universal G = 6.67x10-11 Nm2
Kg2
Luna
F
F
Tierra
MOVIMIENTO DE LOS SATÉLITES
En el siglo XVIII Newton tenía la idea clara de cómo se podía colocar un satélite en órbita,
pero no se disponía entonces de la fantástica tecnología para llevarlo a cabo.
Consideremos la siguiente situación: m
Planeta
V
F
h
RT
V
Tierra
3
Radio orbital r = RT + h
Cálculo de la velocidad del satélite
Se tiene:
FG = G M m y FC = m V 2
R2
r
FC = FG
mV2
r
V
= G M2m
r
= ( GM )
r
Periodo de revolución del satélite
El tiempo que el satélite tarda en dar una vuelta alrededor del centro de la Tierra, en su
periodo de revolución.
Se tiene:
d=VT
2πr = V T
T = 2πr
V
Variación de la aceleración de gravedad
Consideremos la siguiente situación:
m
FG = G M m
r2
P
Pero F G = m g
r
M
R
mg=G Mm
r2
g=GM
r2
Comentarios:
Obsérvese que el valor de la masa del cuerpo no aparece en la ecuación, o sea, el
valor de g depende de m
Cuánto más nos alejamos del centro de la Tierra, menor es el valor de g.
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GUÍA DE FÍSICA
LEYES DE KEPLER Y LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
1.- Recordando la primera ley de Kepler:
a) Haga un dibujo que muestre la forma aproximada de la trayectoria de un planeta
cualquiera alrededor del sol. ¿Cómo se denomina esta curva? (R elipse)
b) ¿Está situado en el centro de la orbita? (R no, en el foco)
2.- La figura de este ejercicio representa la trayectoria de Mercurio alrededor del sol.
Sabiendo que la velocidad de este planeta es máxima al pasar por E. ¿Cuál de los
puntos, B, C o D representa mejor la posición que el Sol ocupa? (R D)
Mercurio
A
E
B
C
D
3.- Suponga que la elipse mostrada en la figura de este ejercicio representa la trayectoria de
Júpiter alrededor del sol. Todas las áreas sombreadas son iguales entre sí.
a) Si Júpiter tarda 1 año en recorrer el arco AB ¿Cuál será el tiempo que tarda en
recorrer cada uno de los arcos, CD, EF, y GH?. (R 1 año)
b) Sean V1, V2, V3 y V4 las velocidades de Júpiter en cada una de las posiciones
mostradas en la figura. Coloque estas velocidades en orden decrecientes de sus
valores. (R V1 > V4 = V2 > V3)
V4
H
G
A
F
V3
V1
E
B
C
V2
D
4.- Responda las siguientes preguntas:
a) Imagine que alguien le dice que se descubrió un pequeño planeta con un periodo
T = 8 años y cuya distancia al sol es R = 4 ua. Si esto fuera verdad, ¿confirmarían
tales datos la tercera ley de Kepler? (R sí)
b) ¿Podría existir un planeta a una distancia R = 10 ua del sol, y con un periodo
T = 10 años? ¿porqué? (R No, K = 0.1 año2 )
5
ua3
5.- Responda las siguientes preguntas:
a) Obtenga una expresión para la fuerza centrípeta que actúa sobre un cuerpo de masa
m, girando en una órbita circular de radio R con un periodo T, en función de m, R y
T. (R Fc = 4π2mR )
T2
b) Empleando su respuesta a la pregunta anterior y recordando que la fuerza centrípeta
que actúa en un planeta la proporciona la atracción gravitacional del sol, demuestre
que para un planeta cualquiera se tiene T 2
4π2
3 =
GM
R
c) La relación que se obtuvo en b, ¿le permite concluir que T 2 tiene el mismo valor
R3
para todos los planetas, según se afirma en la tercera ley de Kepler?. (R Sí depende de
la masa del sol y los otros valores son constantes)
d) La expresión T2 = 4π2 , ¿es válida para el movimiento de la luna alrededor de
R3
GM
la Tierra? ¿Y para un satélite artificial de nuestro planeta?. Explique. (R No, porque
hay que colocar el valor de la masa de la Tierra)
6.- El periodo de la Tierra en torno al sol es 1 año y el de Júpiter es casi 12 años. La
distancia Tierra-sol = 1 ua. ¿Cuál es la distancia Júpiter-sol en Km? (1 ua =
1.5x108 Km)( R 7.86 x 108 Km)
7.- Calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna considerando que la
masa de nuestro planeta es igual a 5.98 x 1024 Kg, la masa de la Luna es igual a 7.34 x
1022 Kg y la distancia promedio entre sus centros (radio de la órbita Lunar) es igual a
3.84 x 108 m. A partir del resultado anterior determinar la aceleración que adquiere la
Luna. (R 1.98x 1020 N, 0.0026 m )
s2
8.- Calcular la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y una persona de 100 Kg que
se encuentra sobre su superficie. (R 982.9 N)
9.- La fuerza de atracción del sol sobre la Tierra vale, aproximadamente 4x1022N. Diga cual
es el valor de esta fuerza suponiendo que:
a) La masa de la Tierra fuera 3 veces mayor. (R 12x1022 N)
b) La masa del sol fuese dos veces menor. (R 2x1022 N)
c) La distancia entre la Tierra y el sol fuese 2 veces mayor. (R 1x1022 N)
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10.- Imagine que la masa del Sol se volviese repentinamente 4 veces más grande. Para que
la fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra no sufriese alteraciones, la distancia entre
la tierra y el Sol tendrá que volverse: (R c)
a) 4 veces mayor
d) 2 veces mayor
b) 4 veces menor
e) 8 veces mayor
c) 2 veces mayor
11.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio a 630 Km de la superficie terrestre si
la masa de la Tierra es 5.98x1024 Kg y su radio es 6370 Km. ( R 8.14 m )
s2
12.- Calcular la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 3630 Km de la
superficie terrestre si la masa de la Tierra es 5.98x1024 Kg. (R 3.98 m )
s2
13.- Los astronautas que descendieron en al superficie lunar comprobaron
experimentalmente que la aceleración de gravedad en nuestro satélite, vale casi 1.6m.
s2
Usando la expresión g = GM, calcule el valor de g en la Luna y compruebe si su
R2
respuesta concuerda con el resultado que obtuvieron los astronautas. Considere:
mLuna = 7.4x1022 Kg, RLuna = 1.7x106 m. (R 1.7m )
s2
14.- La expresión g = GM indica que la aceleración de la gravedad terrestre en un punto
R2
dado es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de tal punto al centro de
la Tierra. Complete con la anterior información la tabla de este ejercicio, determinando
los valores de g para cada una de las alturas h que se indican (R representa el radio de la
Tierra ) (R 2R, 5R, 10R, 2.5, 0.4, 0.1)
h
r=R+h
0
R
4R
9R
R
*
*
*
g
m
( s2 )
10
*
*
*
15.- La fuerza de atracción de la tierra sobre un satélite en órbita circular, proporciona la
fuerza centrípeta que debe actuar sobre el satélite. Entonces la atracción de la Tierra.
a) ¿Hace variar la dirección de la velocidad del satélite? (R Sí, porque se mueve con
M.R.U.)
b) ¿Hace cambiar la magnitud de la velocidad? (No, porque la magnitud es constante)
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16.- ¿A qué distancia de la superficie terrestre gira un satélite con órbita circular si su masa
es de 1000 Kg y el campo actúa sobre él con una fuerza de 8000 N? (R 691.03 Km)
17.- Un satélite se mueve en una órbita circular a 280 Km de la tierra, ¿Cuál es su periodo
de revolución? ¿Con qué velocidad gira? (R 89.4 min, 7744.66 m
)
s
18.- Considere dos satélites A y B, cuyas masas son tales que mA > mB. Estos satélites
están en una misma órbita circular alrededor de la Tierra.
a) La velocidad de A, ¿es mayor, menor o igual que B? (R V A = V B M.C.U)
b) El periodo de A, ¿es mayor, menor o igual que B? (R es igual)
(figura en página Nº8)
19.- Observe el satélite C, que también se muestra en al figura.
a) La velocidad de C, ¿es mayor, menor o igual que B? (R V B > V C)
b) El periodo de C, ¿es mayor, menor o igual que B? (R T C > T B)
C
A
Tierra
B
20.- Calcular la fuerza gravitatoria resultante sobre la Luna durante un eclipse total de sol,
desprecie las fuerzas gravitacionales producidas por estos planetas.
(M S = 1.98x1030 Kg, M T = 5.98x1024 Kg, M L = 7.31x1022 Kg, R 2 = 3.84x108 m,
R 1 = 1.48x1011 Kg) ( R 2.44x1020 N hacia el Sol)
21.- Calcular la aceleración de gravedad terrestre, en el polo norte y el ecuador
considerando que el radio ecuatorial terrestre es igual a 6.38x106 m y su radio polar
6.36x106 m. (R gPolo > gEcuador)
22.- Determinar el valor de la aceleración de gravedad en la superficie del planeta Marte y
compararlo con el valor de nuestro planeta. (mM = 6.4x1023 Kg, RM = 3.32x106 m)
(R 2.53)
8
23.- Calcular la aceleración de gravedad en al superficie lunar si al masa de la Luna es
1 de la masa de la Tierra y su radio es 1738 Km. (R 1.62 m
81
s2 )
24.- A cierta altura sobre la Tierra se encuentra un satélite de 500 Kg sobre el cual el campo
gravitatorio terrestre actúa con una fuerza de 4000 N. ¿Cuál es la intensidad del campo
gravitatorio? (R 8 m )
s2
9