Ecuación de estado para líquidos y sólidos Prof. Jesús Hernández Trujillo Facultad de Química, UNAM Gas VdW/J. Hdez. T– p. 1/9 Forma diferencial de la ecuación de estado • Ecuación de estado de una substancia pura: V = V (p, T, n) (1) donde V , p y T son el volumen, la presión y la temperatura, respectivamente. • Esta ecuación expresa a v como función de p y T • La diferencial total de (1) es dv = ∂V ∂T dT + p,n ∂V ∂p T,n dp + ∂V ∂n dn T,p Gas VdW/J. Hdez. T– p. 2/9 Si el sistema es cerrado: (2) dV = ∂V ∂T dT + p ∂V ∂p dp T En términos de coeficientes de respuesta (3) (4) 1 α = V ∂V ∂T p 1 ∂V κ = − V ∂p T se obtiene (5) dV = αV dT − κV dp Gas VdW/J. Hdez. T– p. 3/9 Otras expresiones: (6) (7) α 1 dp = dT − dV κ Vκ κ 1 dT + dV dT = Vκ α El conocimiento de los coeficientes de respuesta puede llevar a la ecuación de estado (1) mediante (5), (6) o (7) Gas VdW/J. Hdez. T– p. 4/9 Líquidos y sólidos Experimentalmente: Dentro de intervalos amplios de presión y temperatura, los coeficientes α y κ de sólidos y líquidos, pueden considerarse constantes: (8) (9) α = α0 κ = κ0 Gas VdW/J. Hdez. T– p. 5/9 Líquidos y sólidos Experimentalmente: Dentro de intervalos amplios de presión y temperatura, los coeficientes α y κ de sólidos y líquidos, pueden considerarse constantes: α = α0 κ = κ0 (8) (9) Al sustituir (8) y (9) en (5): dV = V α0 dT − V κ0 dp (10) d ln V = α0 dT − κ0 dp Gas VdW/J. Hdez. T– p. 5/9 Hay que integrar (10). A partir de ∂ ln V = α0 ∂T Se obtiene: (11) ln V = α0 T + D1 (p) Al derivar (11) respecto a p e igualar con ∂ ln V = −κ0 ∂p se llega a dD1 (p) = −κ0 dp Gas VdW/J. Hdez. T– p. 6/9 Al integrar: (12) D1 (p) = −κ0 p + D2′ Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9 Al integrar: (12) D1 (p) = −κ0 p + D2′ Sustituir (12) en (11): ln V = α0 T − κ0 p + D2′ Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9 Al integrar: D1 (p) = −κ0 p + D2′ (12) Sustituir (12) en (11): ln V = α0 T − κ0 p + D2′ Por lo tanto: V = D2 eα0 T −κ0 p (13) donde D2 = ′ D 2 e . Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9 Al integrar: D1 (p) = −κ0 p + D2′ (12) Sustituir (12) en (11): ln V = α0 T − κ0 p + D2′ Por lo tanto: V = D2 eα0 T −κ0 p (13) donde D2 = ′ D 2 e . Para conocer D2 , se dan valores: V = V0 cuando T = T0 y p = p 0 D2 = V0 e−α0 T0 +κ0 p0 Entonces: (14) V = V0 eα(T −T0 )−κ(p−p0 ) (se eliminó el subíndice 0 en α y κ) Gas VdW/J. Hdez. T– p. 7/9 Simplificación de (14) La serie de Taylor de ex alrededor de x = 0 es 1 2 1 3 e = 1 + x + x + x + ... 2 3! x Gas VdW/J. Hdez. T– p. 8/9 Simplificación de (14) La serie de Taylor de ex alrededor de x = 0 es 1 2 1 3 e = 1 + x + x + x + ... 2 3! x La aproximación a primer orden para (14) es: (25) V = V0 [1 + α(T − T0 ) − κ(p − p0 )] Gas VdW/J. Hdez. T– p. 8/9 • Otra expresión: ∆V = α∆T − κ∆p V0 Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/9 • Otra expresión: ∆V = α∆T − κ∆p V0 • Además: α y κ ∼ 10−6 − 10−5 atm−1 y K−1 , respectivamente Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/9 • Otra expresión: ∆V = α∆T − κ∆p V0 • Además: α y κ ∼ 10−6 − 10−5 atm−1 y K−1 , respectivamente • Caso particular: Fluido incompresible (κ = 0) ∆V = α∆T V0 Gas VdW/J. Hdez. T– p. 9/9