Funciones Racionales

3.7
Funciones Racionales
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Función Racional
El dominio NO
contiene los
ceros del
DENOMINADOR
Ejemplos de funciones racionales:
f(x) =
g(x) =
y h(x) =
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Función Racional
f(x) =
g(x) =
y
h(x) =
El dominio de f es el conjunto de números reales
excepto:
x = 1 y x = –1.
El dominio de g es el conjunto de números reales excepto
x = 0. Pero el dominio de h es el conjunto de números
reales , porque el denominador nunca es cero.
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Ejemplo 1: Dominio, Int.y
Halla el dominio y los interceptos de la función racional:
Solución:
El denominador de f(x) es cero cuando x = 2, y entonces el
dominio D = { x  Reales │ x  2} .
El intercepto de y de la gráfica está en (0, f(0)) = (0, 1).
Para hallar los interceptos de x necesitamos hallar los
valores de x que hacen el Numerador de f(x) = 0.
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Ejemplo 1 – Solución Int.x
cont’d
Los ceros del
Numerador son
ceros de la
función.
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Ejemplo 1 – Solución
cont’d
La Tabla 1 muestra f(x) para valores de x cerca pero No
iguales x = 2.
Cuando x se acerca a 2 por la izquierda (x tiene valores
cerca de 2 pero Menores que 2), los valores de la función
son negativos y grandes en magnitud.
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Ejemplo 1 – Solución: Gráfica
cont’d
Cuando x se acerca por la derecha a 2 (x cerca pero
Mayor que 2) los valores de la función son positivos y
grandes. Esto se observa en la siguiente gráfica.
Asintota
Vertical
Figure 2
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Función Racional: Asíntotas
Una asíntota es una linea recta a la que la gráfica se
acerca.
La recta vertical x = a es una asíntota vertical de la grafica
de f cuando f(x) es
o
a medida que x se acerca
a el valor a por el lado izquierdo o derecho.
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¿Asíntota Vertical (A.V. o “hueco”?)
La asíntota vertical de una función racional es dada por
x = a sólo si x – a es un factor del denominador.
Sin embargo puede ocurrir que x – a sea factor del
denominador pero x = a NO es asíntota vertical sino
“hueco”.
Esto ocurre si el factor x – a es también factor del
numerador. Por ejemplo
f(x) =
El dominio es todos los reales menos x = – 1 y x = 1, ceros
del denominador.
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Función Racional: A.V. y Hueco
Factorizando numerador (arriba) y denominador (abajo):
, donde x ≠ -1.
Observa en la la recta x = –1
es una asíntota vertical,
pero x = 1 NO es una Asíntota
Vertical, pero sigue siendo un
Valor No definido (ver el hueco)
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Asíntota Horizontal
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Asíntota Horizontal (A.H.)
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Ejemplo de Asíntota Horizontal
Porque cuando x es grande en magnitud
Y usando símbolos de cálculo:
f(x)  2 cuando x 
y f(x)  2 cuando
x
.
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Ejemplo de Asíntota Horizontal
y = 4/2= 2
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Ejemplo 3
Determine si las gráficas tienen asíntota horizontal . Si es
así indique cuál es la asíntotal horizontal (y = c).
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Ejemplo 3 – Solución a.
a. El grado del polinomio en el numerador, 4, es igual al
grado del polinomio en el denominador. Entonces
as x 
y
as x 
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Ejemplo 3 – Solución
cont’d
La gráfica muestra la asíntota horizontal (A.H.)
y=
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Ejemplo 3 – Solución b.
cont’d
b. El grado del polinomio en el numerador, 3, es MENOR
que el grado del denominador, 4, entonces:
→0
cuando x →
y
→ 0 as x →
.
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Ejemplo 3 – Solución
cont’d
Por lo tanto, y = 0 es la asíntota horizontal (A.H.) de la
gráfica a continuación. Note que la gráfica CRUZA esta
asíntota.
Figure 10(b)
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Ejemplo 3 – Solución c.
cont’d
c. El grado del numerador, 4, es MAYOR que el del
denominador, 3, así que NO hay una Asíntota horizontal
(A.H.) sino “oblicua”. Similarmente cuando | x| es grande,
Entonces cuando |x| es un
número grande, la gráfica es similar a
y=
,
y
Y=
f(x) 
f(x) 
, cuando x →
cuando x 
.
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Ejemplo 3 – Solución
cont’d
d. Igual que la (c), el grado del numerador, n= 4, es
MAYOR que el grado del denominador y NO HAY
A.H. en la gráfica.
Sin embargo, como
cuando
x
y
cuando x 
la gráfica se acerca a
,
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