Fecha: 11-01 Septiembre 10, 11, 18, Octubre 1, 2, 15, 29, 30, Noviembre 6, 12 11-02 Septiembre 9, 10, 16, 23, Octubre 2, 16, 29, 30, Noviembre 5, 12 Propósito: Entender el concepto de función como una relación de dependencia entre dos variables: dependiente e independiente. Estándar: Representación y descripción de fenómenos de variación y cambio en sistemas algebraicos. Relaciones con sus correspondientes propiedades y representaciones gráficas. Competencia: Analizar las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales. Tema: Funciones y gráficas Indicadores de desempeño Analiza la gráfica de una función y determina intervalos de crecimiento y decrecimiento Reconoce los máximos y mínimos de una función a partir de su gráfica. Establece relaciones entre expresiones algebraicas y sus gráficas. Determina el dominio de funciones radicales y racionales. Representa la gráfica de una función dando justificaciones analíticas. Muestra interés por los temas de clase y participa activamente en las mismas. Realiza con interés las actividades propuestas en clase para apropiarse de los temas y solucionar dudas. Cumple con las tareas propuestas. Momento para comprender Discutir en pequeños grupos sobre cuál es el significado de las siguientes expresiones - la posición de un móvil es función del tiempo - la presión atmosférica es función de la altura - el peso medio de los chicos depende de la edad Socializar las respuestas de los diferentes grupos y concluir que expresiones semejantes ilustran lo que es una función en matemáticas. Las de arriba significan que: - a cada tiempo le corresponde un espacio recorrido (a una velocidad determinada) a cada altura le corresponde un valor de presión atmosférica a cada edad le corresponde un peso medio. a cada ser humano le corresponde una fecha de nacimiento Por medio de funciones se representa infinidad de situaciones. En administración de empresas se usan para cálculo de depreciaciones, costos, ingresos, punto de equilibrio financiero, niveles máximos y mínimos de producción, entre otras. Momento para Aprender Mediante tabla de valores, se trazan las gráficas de las siguientes funciones: a. f(x) = x2 b. f(x) = x2 – 1 c. f(x) = (x – 1)2 ¿Qué se puede afirmar al comparar las tres últimas graficas con la primera? En la figura anterior se observan las gráficas de las funciones anteriores, la de color negro corresponde a la del numeral a, la roja y la azul corresponde a las de los numerales b, c respectivamente. En general Si c pertenece a los reales y c>o La gráfica de hacia arriba y = f(x) + c, es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades La gráfica de y = f(x) – c, es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia abajo. La gráfica de y = f(x - c), es la gráfica de y = f(x) desplazada c unidades hacia la derecha La gráfica de y = f( x + c), es la gráfica de y f(x) desplazada c unidades hacia la izquierda. La gráfica de y = cf(x), corresponde a la gráfica de f(x) que se estira verticalmente La gráfica de y = (1/c)f(x), corresponde a la gráfica de f(x) que se comprime verticalmente En la figura siguiente se observan las gráficas de f(x) = x3, f(x) = 2x3, en amarillo y f(x) = x3/2, en rojo De igual forma se puede analizar que ocurre a la gráfica de una función f(x) comparada con la de f(cx). Si c es mayor que 1 la gráfica se comprime horizontalmente y si c<1, la gráfica se f(x), alargada horizontalmente. En la siguiente figura se presentan las gráficas de f(x) = senx, f(x)= sen 2x, en color morado y f(x) = sen(x/2), en color azul Gráfica de Funciones Polinómicas Para las funciones polinomicas el dominio es el conjunto de los reales, para elaborar un bosquejo de la gráfica se procede así: Se determinan las intersecciones con los ejes coordenados, x=0 y f(x)=0 Se determina los cambios de signo de la función en los intervalos determinados por las intersecciones con los ejes Ejemplo Trazar la gráfica de la función f(x) = x4 – 6x3 + 11x2 – 6x Dominio los reales Intersecto con el eje y f(0) = 0 Intersecto con el eje x, Factorizando se obtiene x(x – 1)(x – 2)(x- 3) = 0 La gráfica corta el eje x en x=0 x=1 x=2 x=3 Se determinan los cambios de signo de f(x) 0 X 1 2 3 - + + + + x-1 - - + + + x-2 - - - + + x-3 - - - - + + - + + - Funciones Racionales Una función f es racional si f(x) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x)≠0 El dominio de f está formado por todos los números reales, exepto los que hacen cero el polinomio del denominador. Para trazar la gráfica de una función racional es importante tener en cuenta los valores para los cuales la función no está definida Si “a” es un cero del denominador, entonces, la gráfica de la función f tiene una asíntota vertical en x = a Si P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a1x + a0 y Q(x) = bm xm + bm-1 xm-1 + … b1 x + b0, es posible afirmar que: Si n < m, entonces la función tiene una asíntota horizontal en el eje x Si n = m, entonces la función tiene una asíntota horizontal en la recta y = an / bm Si n>m, entonces la función no tiene asíntota horizontal Ejemplos Trazar la gráfica de las siguientes funciones, hallar dominio y rango f(x)= 𝑥+1 g(x) = 𝑥 2 +2𝑥−3 3𝑥 2 −2𝑥−1 2𝑥 2 −7𝑥+5 Solución f(x) = 𝑥+1 𝑥 2 +2𝑥−3 = 𝑥+1 (𝑥−1)(𝑥+3) La función f(x) = 0 si x = -1 y no está definida si x = 3 y x = 1 Dom f = R – {-3, 1} Asíntotas verticales, son las rectas x = 3 y x = 1 Intercepto con el eje y, f(0) = 0+1 0+2(0)−3 = −1 3 Como el grado del polinomio del numerador es menor que el grado del polinomio del denominador, el eje x es asíntota horizontal. La gráfica de la función f(x) es la siguiente Factorizando la función g(x) se tiene 3𝑥 2 −2𝑥−1 2𝑥 2 −7𝑥+5 = (3𝑥+1)(𝑥−1) (2𝑥−5)(𝑥−1) El dominio de g(x) es Dom g = R – {1, 5/2} Luego g(x) = 0 si x = -1/3, (x – 1) es un factor común del numerador y el denominador, en x= 1 hay un agujero, la coordenada en y se obtiene simplificando y reemplazando en la función g(1) = Solamente hay una asíntota vertical en x = 5/2 Intercepto con el eje y, g(0) = -1/5 3(1)+1 2(1)−5 = −4 3 Como el grado del polinomio del numerador y del polinomio del denominador son iguales a 2, entonces, la función tiene una asíntota horizontal en la recta y=3/2 Funciones Radicales Son funciones de la forma f(x) = xm/n para n € N, n≥ 2 El dominio de la función radical depende del índice de la raíz, (valor de n) Si n es par, la función no está definida en los valores de x para los cuales el radicando es negativo. Si el índice es impar, la función está definida para todos los números reales. Si la función posee un polinomio en el denominador, se deben tener en cuenta los principios de graficación vistos para las funciones racionales Ejemplos Trazar las gráficas de las siguientes funciones a. f(x) = √ 𝑥−1 2 3 b. h(x) = √3𝑥−2 𝑥 2 −1 Solución Como el índice de la raíz es par 𝑥−1 2 ≥ 0, es decir x≥ 1 Dominio de f(x) = [1, ∞) La gráfica no intercepta el eje y, ya que no está definida para x = 0 3 Factorizando la función h(x) = √3𝑥−1 (𝑥−1)(𝑥+1) La función no está definida si x= 1 o si x= -1 Dominio R – {-1, 1} 3 Corta el eje y en h(0) = √3(0)−1 (0−1)(0+1) =1 No alcanzamos a terminar los momentos de esta clase. Septiembre 17 entrega de notas Septiembre 24 11-02 colectivo docente Septiembre 24,25, 11-02 retiros OCTUBRE 1, 11-02 Autoevaluación Institucional Octubre 14, 11-02 autoevaluación Octubre 15, 11-02 autoevaluación Octubre 20 11-02 emergencia sanitaria