Estdístico su…ciente minimal by Víctor J. Yohai Consideremos una muestra X = (X1 ; :::; Xn ) de una distribución Bi( ; 1): Luego se tiene que para x = (x1 ; :::; xn ) p(x; ) = (1 )n Pn i=1 1 xi : Luego los siguientes estadísticos son su…cientes T1 = (X1 ; :::; Xn ); [n=2] T2 = ( X Xi ; i=1 n X Xi ) = (T21 ; T22 ) [n=2]+1 donde [u] indica parte entera de u; y T3 = n X Xi : i=1 Puede verse fácilmente que T1 ; T2 y T3 son su…cientes usando el teorema de factorización. Luego cada uno de estos estadísticos contiene toda la información de la muestra que es relevante para el conocimiento de : La diferencia entre ellos es el 1 distinto grado de simpli…cación obtenido por eliminación de información que es irrelevante para el conocimiento de : Observamos que T1 tiene dimensión n; T2 tiene dimensión 2 y T3 tiene dimensión 1. Dados dos estadísticos su…cientes T y T; se dirá que T es más resumido que T si existe una función medible g tal que T = g(T): En este caso conociendo T se puede conocer T ; pero no necesariamente el conocimiento de T implica el conocimiento de T: Para el ejemplo de la muestra binomial se tiene que (i) T3 es más resumido que T1 y que T2 ; (ii) T2 es más resumido que T1 : Si un estadístico su…ciente T es más resumido que cualquier otro, se dice que T es un estadístico su…ciente minimal. Esto está formalizado en la siguiente de…nición. De…nición: Sea X = (X1 ; :::; Xn ) un vector aleatorio con densidad p(x; ); =( 1; :::; h ) Rh : Luego T = r(X) = (r1 (X); :::;rk (X)) se dice que es un estadístico su…ciente minimal si dado otro estadístico su…ciente T = r (X) = (r1 (X); :::;rj (X)); existe una función medible u :Rj ! Rk tal que P (T = u(T )) = 18 2 : El siguiente teorema muestra que los estadísticos su…cientes minimales no son únicos. En efecto dado un estadístico su…ciente minimal, cualquier función biunívoca también es un estadístico su…ciente minimal. Teorema 1. Si T = (r1 (X); :::;rk (X)) un estadístico su…ciente minimal. Sea v una función medible biunívoca, entonces T = v(T) también es su…ciente minimal. Demostración. Por un lado por ser v biunívoca, resulta T su…ciente. Sea 2 2 ahora T otro estadístico su…ciente. Luego por ser T su…ciente minimal se tiene P (T = u(T )) = 1 para todo 2 2 y luego P (T = v(u(T ))) = 1 para todo : De…nición Dado una densidad p(x) en Rn discreta o continua, su soporte es S = fx :p(x) >0g: Observación. Se puede demostrar que si P es un probabilidad discreta en Rn con función de probabilidad puntual p; entonces si B es evento en Rn ; se tiene P (B) = 0 si y solo si B S c : También se tiene que si P es una función de probabilidad absolutamente continua en Rn con densidad p; P (B) = 0 si y solo si la medida de Lebesgue de B \ S es 0. Luego tanto en el caso discreto como absolutamente continuo los eventos de probabilidad 0 ( y por lo tanto también los eventos de probabilidad uno) dependen únicamente del soporte de p: El siguiente Teorema caracteriza un estadístico su…ciente minimal cuando es …nito. Teorema 2. Supongamos que = f 0; mg 1 ; :::; y que el soporte de p(x; ) es independiente de : Luego un estadístico su…ciente minimal está dado por T = r(X) = (r1 (X); :::;rm (X)); donde ri (X) = p(X; p(X; 3 i) 0) : (1) Demostración: Primero vamos a mostrar que T es su…ciente. Para eso de…nimos para t =(t1 ; :::; tm ) 8 > > < ti si i = 1; :::; m : g(t; i ) = > > : 1 si i = 0 Vamos a mostrar que p(x; i) =g(r(x); i )p(x; 0 ); 0 i (2) m: Si (2) es cierta, entonces por el Teorema de factorización resultará T su…ciente. Tenemos p(x; p(x; g(r(x); i )p(x; 0) = ri (x)p(x; 0) = g(r(x); 0 )p(x; 0) = r0 (x)p(x; 0) = p(x; i) 0) p(x; 0) = p(x; i ); 1 i m 0 ); y luego (2) es cierta. Ahora mostraremos que T es minimal. Sea T = r (X) otro estadístico su…ciente, luego debemos mostrar que existe hi tal que (3) ri (x) =hi (r (x)): Por el teorema de factorización se tiene p(x; i) =g (r (x); i )h (x) y luego de acuerdo a (1) se tiene ri (x) = g (r (x); g (r (x); 4 i) 0) = hi (r (x)); donde hi (t) = g (t; g (t; i) 0) : Esto prueba el teorema. El siguiente teorema permite pasar del conocimiento de que T es su…ciente minimal cuando 2 0 a que es su…ciente cuando 2 0: Teorema 3. Supongamos que todas las densidades de la familia p(x; ); 2 tengan el mismo soporte. Supongamos también que T es su…ciente minimal cuando 2 0; donde minimal cuando y además su…ciente cuando 0 2 2 : Entonces T es su…ciente : Demostración. Sea T un estadístico su…ciente minimal cuando también es su…ciente cuando 2 0: Como T es su…ciente minimal para que existe u tal que P (T = u(T )) = 1 para todo 2 depende de ; entonces P (T = u(T )) = 1 para todo minimal cuando 2 0: 2 0 ; luego se tendrá Como el soporte de x no 2 : Luego T es su…ciente : El siguiente Teorema encuentra condiciones para que el estadístico su…ciente de una familia exponencial sea minimal. Teorema 4. Sea la familia exponencial p(x; ) =A( )ec1 ( con )r1 (x)+:::+ck ( )rk (x) 2 : 5 h(xg: Sea B = f = (c1 ( ); :::;ck ( )) : 2 g Rk : Supongamos que exista 0 2By > 0 tal que S( 0; ) = f : jj 0 jj g B; donde si z = (z1 ; :::; zk ); entonces jjzjj = (z12 + ::: + zk2 )1=2 : Luego T = (r1 (x); :::;rk (x)) es su…ciente minimal. Demostración Ya sabemos por el teorema de factorización que T es su…ciente cuando Consideremos 0 y como en el enunciado del Teorema. Sean i = 0+ 2 ei ; 1 i : n, donde ei es el elemento de Rk con la coordenada i igual a 1 y las demás coordenadas iguales a 0. Luego como jjei jj = 1 se tiene jj i 2 S( que i 0; ) y luego i 0 jj i 2 B: Esto signi…ca que existen = (c1 ( i ); :::; ck ( i )) : Luego si hacemos 0 = f 0; 2 tenemos que un estadístico su…ciente minimal cuando = jj ei jj = : Por lo tanto i 2 1 ; :::; ; i = 0; 1; :::; k tales k g; toma valores en dado por T = r (X) =(r1 (X); :::; rk (X)), donde ri (x) = p(x; p(x; i) 0) k X A( i ) = exp( (cj ( i ) A( 0 ) j=1 = Ki exp(( 0 0) i r(xg) = Ki exp(( ei )0 r(x)) = Ki exp( ri (x)); 6 por el Teorema cj ( 0 ))rj (x)) 0 viene donde las constante Ki = A( i )=A( 0 ); : 1 ri (x) = i m: Luego, como log (ri (x)) log(Ki ) : y r(x) = (r1 (x); :::;rm (x)) resulta que T = (r1 (x); :::;rk (x)) = u(T ) con u biunívoca. Luego por el Teorema 1se tiene que T también es su…ciente minimal cuando Como además T es su…ciente para minimal cuando 2 2 0: por el Teorema 3 también resulta su…ciente : Teorema 5. Sean dos vectores aleatorios X; Y y supongamos que existen g y h tales que P (Y = g(X)) = 1 y P (X = h(Y)) = 1 para todo : Luego existe un conjunto A tal que P (X 2A) = 18 2 y de manera que g restringida a A es biunívoca . Demostración: Llamemos A = fx : h(g(x)) = xg:Veamos que g restringida a A es biunívoca. Sean x 2A y x 2A y supongamos que g(x) =g(x ): Luego x =h( g(x)) =h( g(x )) = x : Esto prueba que g restringida a A es biunívoca. Sea B = fY = g(X)g; C = fX = h(Y)g: Luego P (B) = P (C) = 18 2 además fX 2Ag 7 B \ C; y y entonces fX 2Ac g Bc [ C c; y por lo tanto P (X 2Ac ) P (B c ) + P (C c ) = 0 + 0 = 08 2 : Luego P (X 2A) = 1 8 2 : Corolario. Sean T y T dos estadísticos su…cientes minimales. Entonces existen g y A tales que P (T = g(T)) = 1; P (T 2A) = 1 y g es biunívoca sobre A: Teorema 6. Supongamos que la familia de densidades p(x; ); 2 tenga un estadístico su…ciente minimal T y un estadístico su…ciente y completo T : Luego T es minimal. Además existen w y A tales que P (T = w(T)) = 1 para todo P (T 2A) = 1para todo 2 2 ; y w es biunívoca sobre A: Demostración. Como T es su…ciente minimal y T su…ciente, se tiene que existe u tal que P (T = u(T )) = 18 2 : (4) = E(T jT) = w(T) : (5) De…namos T 8 Luego si llamamos v = w u resulta P (T = v(T )) = 18 2 Luego E (T ) = E (T ): Entonces E (v(T ) T ) = E (T ) E (T ) = 0: Como T es su…ciente completo, debemos tener que P (T = v(T )) = 18 2 ; P (T = w(T)) = 18 2 : (6) Sea ahora otro estadístico su…ciente Q: Luego Luego como T es su…ciente minimal existe g tal que P (T = g(Q)) = 18 2 ; y por lo tanto P (w(T) = w(g(Q))) = 18 2 : Luego por (6) resulta P (T = w(g(Q))) = 18 2 : Luego T = m(Q); donde m = w g y por lo tanto T es también su…ciente minimal. Por (2) y (3) y Teorema 5 existe A tal que P (T 2 A) = 1 8 2 biunívoca en A: 9 y tal que w es