Tema Dos

26-9-2011
UNAM
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO
TEMA DOS | ING. SANTIAGO GONZÁLEZ LÓPEZ
CAPITULO DOS
CAPACITORES
Un capacitor es un elemento que almacena carga y capacitancia la propiedad que la determina
cuanta energía puede guardar.
Dos conductores separados por aislantes o el vacío forman un capacitor.
Conductor A
+
Conductor B
1. Inicialmente con conductor tiene una carga neta de cero.
Q=0
2. Cargas de un capacitor
La manera más común es conectar los bornes de una batería a cada extremo del capacitor.
3. Se desconecta la batería
Cargas de igual magnitud pero de signo contrario.
1.
2. Constante de proporcionalidad (C)
C (capacitancia)
3. Unidades
[ ]
F: farad
Calculo de la capacitancia, capacitor de placas planas paralelas.
Distancia de separación entre placas.
1° El campo eléctrico entre placas es uniforme.
2° Las cargas de las placas están distribuidas en superficies opuestas.
3° Mediante la ley de Gauss
̅
De la definición de Potencial
̅
-sustituyendo ecuación 1 en ecuación 2
De la definición de capacitancia
Sustituyendo 3 en definición de capacitancia
Ecuación de capacitancia para un capacitor de placas planas y paralelas con vacío
entre ellas.
En el vacío (aire) la capacitancia C es una constante independiente de la carga del capacitor o de la
diferencia de potencial entre placas.
Las placas de cierto capacitor de placas planas paralelas en un vacío están separadas 5.0 (mm) y
tienen 2.0
de área. Se aplica una diferencia de potencial de 10,000[v] entre los Barnes del
capacitor.
Características de un capacitor
Capacitancia (Energía almacenada)
Voltaje (Ruptura) Voltaje máximo que soporta antes de ser destruida.
Valores Comerciales (estandarizados)
1
1.2
1.5
Múltiplos
2.2
3.3
y
4.7
5.6
Submúltiplos
6.8
8.2
9.1
1. De acuerdo con Gauss ̅
2. Potencial ( de un dipolo)
[
]
3. De la definición de capacitancia
Capacitor Cilíndrico
1. De acuerdo con Gauss
2.
3. La capacitancia por unidad de longitud es:
Vemos que la capacitancia de los cilindros coaxiales están determinada en una totalidad por
las dimensiones; aunque con un material aislante entre el conductor interior y el conductor
exterior.
Conexiones Serie y Paralelo
Conexión Serie
Inicialmente sin carga.
1.
Se aplica
y la carga Q tiene la misma magnitud.
Los capacitores se cargan
Nota:
En una conexión en serie, la magnitud de la carga de todas las placas es la misma.
2.
Capacitancia Equivalente
∑
En una conexión Serie, la capacitancia equivalente siempre es menor, que el menor de los valores
de los capacitores.
Circuito Paralelo
Las cargas en una conexión paralelo en cada capacitor no son iguales pues llegan indistintamente a
uno u otro capacitor.
En una conexión paralelo la caída de potencial en capacitor es la misma.
Generalizando
∑
Almacenamiento de energía en capacitores y energía de campo eléctrico
Muchas de las aplicaciones más importantes de los capacitores dependen de la capacidad para
almacenar energía.
La energía Potencial Eléctrica almacenada en un capacitor cargado, es simplemente la cantidad de
trabajo que se necesita para cargarlo.
El (W) consiste en separar cargas opuestas y colocarlas en conductores diferentes.
La energía Potencial (U) de un capacitor cargado, se halla colocando el (W) que se necesita para
cargarlo.
1. Proceso de Carga del Capacitor
2. Sean
carga.
la diferencia de potencial y la carga en una etapa intermedia del proceso de
3. Relación entre trabajo y el potencial eléctrico.
4. En la etapa intermedia y para conocer el trabajo total realizado
5. Sustituyendo ecuación 1 en 2
6. Integrando desde que
hasta que quede cargado el capacitor
∫
∫
7. Energía Potencial Almacenada en un capacitor
[
]
⁄
Esta ecuación nos indica que la capacitancia, mide la facultad de un capacitor de almacenar
tanta energía como cargar.
Energía y Campo Eléctrico
La ecuación anterior asocia la energía de un capacitor con la energía potencial de sus cargas, un
punto de vista alternativo es atribuir esta energía al campo eléctrico que existe sus placas.
(
̅
)
̅
Ad=Volumen entre placas (v)
Densidad de Energía Eléctrica en un vacío
̅
Energía por unidad de volumen
Valida con respecto a cualquier capacitor en un vacío y cualquier configuración de campo eléctrico
en un vacío.
Observación
Pensamos que el vacío no contiene materia; pero el vacío puede tener no obstante, campos
eléctricos y por tanto energía. Así pues, el espacio vacío no está necesariamente vacío a final de
cuentas.
Capacitor con Dieléctricos
Dieléctrico: material no conductor entre placas.
Funciones
1. Resuelve el problema mecánico de mantener 2 conductores separados por una distancia (d)
pequeña.
2. Aumenta la diferencia de potencial (v+) posible entre placas del capacitor, y almacena
mayores cantidades de carga Q y energía (U).
3. La capacitancia es mayor con dieléctrico
Vamos a examinar el efecto de llenar el interior de un capacitor con un material dieléctrico
(Faradax 1837)
Polarización de la Materia
∮Cuando cualquier campo descargado se coloca dentro e un campo eléctrico ̅ , le produce en el
una redistribución de las partículas cargadas de los átomos.
∮ Si el cuerpo es de un material conductor, sus electrones libres se trasladan de tal forma que el
volumen del cuerpo constituye una región equipotencial.
∮ Si es el material aislante, los electrones y los núcleos positivos de cada átomo o molécula sufren
un desplazamiento, debido a la acción del campo, pero en este caso el cuerpo no constituye una
región equipotencial.
Los materiales que tiene este comportamiento se conoce con el nombre de dieléctricos.
Nota: en los casos descritos, la carga neta del cuerpo es nula, aunque algunas regiones del mismo
adquieren un exceso de carga + ó -.
A las cargas que aparezcan en la superficie del cuerpo, debido al proceso mencionado, se le
denomina cargas inducidas y, cuando ha ocurrido el desplazamiento de cargas debido a un campo
eléctrico, se dice que la materia se ha polarizado.
∮ En los dieléctricos, las cargas de las moléculas no pueden sufrir desplazamientos semejantes
a los que experimentan los electrones de conducción en un bloque metálico.
Por consiguiente, los desplazamientos originados por fuerzas eléctricas debidas a campos
eléctricos externos al dieléctrico son muy pequeñas y la magnitud de estos dependerá de la
mayor o menor rigidez con los que las cargas de un átomo o molécula están unidos.
Constantes Dieléctricas
Si tenemos
Definiendo el vector polarización (P)
| ̅|
[
]
Densidad indicada de carga eléctrica
Al aplicar un dieléctrico, diferente intensidades de campo eléctrico (E), las fuerzas eléctricas sobre
las cargas de dicha sustancia variaron en relación directa a las intensidades aplicadas. Esto quiere
decir que se modificara, en caso, el momento dipolar de las moléculas y, en consecuencia, la
polarización de dicha sustancia.
Además, si con una misma intensidad de campo eléctrico, se emplean diversas sustancias la
polarización en cada una de ellas, será en general, diferente y esto dependerá de la rigidez con que
las cargas están dispuestas en un átomo dado.
Definición
Susceptibilidad eléctrica
.
Magnitud que cuantifica el comportamiento descrito, y establece relación entre la polarización y el
campo eléctrico.
Primero, Susceptibilidad
̅
̅
Segundo: Se convierten en una ecuación cuando se introducimos una constante de proporcionalidad
que de acuerdo con el sistema de unidades resulta
(permitividad del vacío).
̅
̅
Análisis dimensional de
La susceptibilidad es una cantidad adimensional que nos indica la forma como se comporta una
sustancia al caer introducida en una región en la que existe un campo eléctrico, y su valor será
típico para cada sustancia.
Aplicando Gauss en las superficies mostradas
̅
∯̅
∬
̅
Recordando que | ̅ |
| |
̅
Despejando la magnitud del campo eléctrico se tiene
Definiendo una nueva con una nueva constante dieléctrica
relativa, como:
Adimensional
que denominaremos permitividad
De la expresión 1, podemos concluir que el campo eléctrico en un punto (P) se ve denominado por
un factor ⁄ al introducir en esa región una sustancia dieléctrica.
El campo eléctrico que origina la ionización del dieléctrico se conoce como campo eléctrico de
ruptura, y el fenómeno de ionización de la sustancia se denomina ruptura de rigidez dieléctrica.
Dieléctrico
Aire
Bakelito
vidrio
Vacío
Susceptibilidad
0.00059
3.8
3.5
0
Permitividad Relativa
1.00059
4.8
4.5
1
Campo E de ruptura
⁄
0.8
12
13
00
Vectores Eléctricos
D “Desplazamiento eléctrico”
Definición:
Establece la relación entre el campo vectorial E y el campo vectorial de desplazamiento eléctrico D,
válida para materiales lineales e isótropos.
Para este tipo de materiales, los vectores ̅ ̅ para cada punto, son paralelas entre sí y en sus
magnitudes se relacionan por la pemitividad del material en cuestión.
Para un campo vectorial cualquiera
∯
C el flujo se calcula:
Evaluando el flujo del campo vectorial D a través de una superficie, el cual llamaremos
Flujo de ̅ a través de una superficie Gaussiana.
∯
Superficie Gaussiana en forma de paralelepípedo rectángulo para evaluar el flujo D.
̅ son perpendiculares
1. En las caras 3,4,5y 6 la integral nula ya que para ellas ̅
(cos 90°=0).
2. En la cara 2 la integral es nula ya que se localiza al interior de un cuerpo cargado y ̅
por el de ̅
.
3. Solo la integral de cara 1 es diferente de cero.
̅son paralelos (cos 0°=1).
3.1 ̅
∫
∫
3.2 como el campo vectorial D es uniforme, su magnitud es constante
∫
3.3 De la definición “D” ecuación 1
El flujo del campo vectorial D(Desplazamiento eléctrico), es igual a la cantidad de carga de la
placa encerrada por la superficie Gaussiana empleada.
̅
∯
∯̅
̅
Generalización de la Ley de Gauss con un dieléctrico presente.
3.4La magnitud del vector D, es:
| |
Experimento de Faraday
,
Descubrió que q’>q’ es decir la carga en un capacitor con dieléctrico es mayor que en aquel que
contiene aire o vació entre placas.
El dieléctrico en el capacitor le permite almacenar más cargas, y por tanto en presencia mejora el
desempeño del capacitor.
Campo Eléctrico en un Dieléctrico
El campo neto en el aislante ̅ es menor que el campo aplicado, pues
Como concluyo Faraday la tendencia del dieléctrico a disminuir el campo, se ve balanceado
suministrar a las placas cuando se inserta el dieléctrico.
3. Para un capacitor de placas planas paralelas
4. Cuando el dieléctrico este presente
̅
̅
̅
5. Puesto que los campos eléctricos ̅ han de ser iguales
Igualando ecuación 1 y 2
Esta ecuación nos indica que debido a la presencia de un dieléctrico la carga q’, aumenta en una
proporción .
Capacitancia con dieléctrico (C)
Por definición
Sabemos que
Donde
Ningún dieléctrico real es un aislador perfecto. En consecuencia, siempre hay cierta corriente de
fuga entre placas con carga de un capacitor con dieléctrico.
Carga inducida y Polarización
Líneas de campo eléctrico
(imagen)
Densidad superficial carga (+)
Densidad de superficial de carga (-)
Insertando un Dieléctrico y manteniendo Q=cte.
El potencial V disminuye en un factor
La carga densidad superficial de las placas
, no cambia, pero aparece una carga inducida de
signo opuesto en cada superficie del dieléctrico, A esta redistribución se le conoce como
polarización.
1. Su pondremos que
2. Densidad Neta de carga en cada lado del capacitor con dieléctrico
3. El campo eléctrico ( E) total para un par de placas planas paralelas (Gauss).
Sin dieléctrico
Con dieléctrico
4. Sabemos que
5. Sustituyendo ecuación 1 y ecuación 2 en ecuacion3.
⁄
(
Resumen
1.
2.
3.
)
4.
̅
̅