HOJA de ejercicios nº 2: FÓRMULA DE TAYLOR Curso 08

HOJA de ejercicios nº 2: FÓRMULA DE TAYLOR
Curso 08-09
1. Para cada una de las funciones siguientes y para los valores de a y n indicados se pide:
a)
Hallar el polinomio de Taylor.
b)
El resto de Lagrange correspondiente al polinomio obtenido en a)
para a = 4 y n = 3.
f(x) = x
f(x) = 1 + x para a = 0 y n = 4.
f(x) = ln(cos x) para a = 0 y n = 3.
π
y n = 4.
f(x) = cos x
para a =
3
π
f(x) = sen x
para a =
y n = 4.
4
f(x) = arctg x para a = 1 y n = 3.
2. Utilizando los polinomios y los restos de Lagrange correspondientes obtenidos en los
ejercicios anteriores, se pide hallar el valor aproximado y una estimación del error
cometido para:
5
cos1
arctg 2
3.
⎛ x +1⎞
Dada la función f ( x) = log10 ⎜
⎟ , se pide:
⎝ 2 ⎠
a)
Escribir la fórmula de Taylor para x=1 .
b)
Acotar el error cometido en el cálculo de log10 (1,1) utilizando el polinomio de
c)
grado 3.
Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de
log10 (1,1) con un error menor a 10-6
4. Sea f ( x) = xe x + tg ( x)
a) Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de f
b) Hallar una aproximación del valor f (0,1) con el polinomio de MacLaurin de
orden 3
c) Acotar el error cometido en el cálculo de f (0,1) en el apartado b)
5. Demostrar que si f(x) es una función impar entonces Tn(f(x),0) solo presenta potencias
impares. Análogamente probar que si f(x) es una función par entonces Tn(f(x),0) solo
presenta potencias pares.
6. Hallar el polinomio de MacLaurin de la función f(x) = cos x, de grado mínimo, que
aproxime cos (
π
30
) con un error menor que 0.0005. A continuación calcular el valor
π
) (con las 4 cifras decimales que delimita el error permitido).
30
7. Dada la función f ( x) = e x . Se pide:
a. Escibir la fórmula de MacLaurin
b. Calcular el valor aproximado de e con el polinomio de MacLaurin de grado 5,
acotando el error cometido en dicha aproximación
aproximado de cos (
Unidad docente de Matemáticas
1
HOJA de ejercicios nº 2: FÓRMULA DE TAYLOR
Curso 08-09
c. Calcular el grado necesario para obtener con la fórmula de MacLaurin un error
menor que 10-6 en el cálculo de e
8. Dado el polinomio de Mac-Laurin Tn(cos x,0) obtenido en 6, se pide calcular:
a) Tn(x·cos x,0).
b) Tn(cos(x2) ,0).
EJERCICIOS PROPUESTOS
e x + e− x
, calcular el polinomio de MacLaurin de grado 4 y
2
hallar el valor aproximado de f(0,1) utilizando dicho polinomio.
1
1
g(x)=
2.- a) Escribir la fórmula de MacLaurin de las funciones:
f(x)=
1+ x
1− x
2
x +1
b) Escribir la fórmula de MacLaurin de h(x)= 2
x −1
1.- Dada la función f(x)=chx=
x3 x5
3.- ¿Para qué valores de x podemos tomar x −
+
por senx con un error menor de
6 120
0,0001?
4.- Dada la función f(x)=
1
(1 − x )
5
, se pide:
a) Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 4 de la función f.
1
b)Con el polinomio de MacLaurin de grado 2, hallar
, estimando el error cometido.
0,9 5
c) ¿Es desarrollable la función f en serie de Taylor en a=2? Justifica la respuesta.
5.- a) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado 2, de la función
(
)
f(x)= arg shx= ln x + 1 + x 2 .
b) Utilizando el polinomio anterior, hallar f(0,1).
c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.
6.- Usando Derive y aplicando la fórmula de Taylor, calcular los siguientes límites
tg 2 x − arcsenx 2
x − senx
a) lim
. b) lim
.
x →0
x →0
5
x2
2
x
1 + x − cos x − ln(1 − x)
e −1− x −
6
2
2
3
cot gx
ln (1 + x) − sen 2 x
c) lim cos xe x − ln(1 − x) − x
d) lim
.
2
x→0
x →0
1 − e −x
7.- Usando Derive resolver el siguiente problema: Dada la función f(x)=ln(1+x), se pide:
a) Obtener la expresión de la derivada n-ésima de la función.
b) Obtener la expresión de f(n (0).
c) Obtener los polinomio de MacLaurin de grado 3,4,5,6,7,8,9,10.
d) Representarlos gráficamente junto con la propia función.
e) Escribir la expresión de las fórmulas de MacLaurin de f de grado 3,4 y 5.
f) Utilizar cada uno de los desarrollos del apartado e) para obtener una aproximación de
ln(1.1).
g) Acotar el error cometido en cada caso.
[ ( )
]
Unidad docente de Matemáticas
2
HOJA de ejercicios nº 2: FÓRMULA DE TAYLOR
Curso 08-09
h) Comprobar gráficamente que, en efecto, para x=0.1 , f(x) y los tres polinomios del
apartado e) no coinciden.
i) Si se quiere obtener el valor aproximado de ln(1.1) con diez cifras decimales exactas
¿cuál es el menor orden del desarrollo de MacLaurin de f que habrá que usar?
j) ¿Es posible utilizar MacLaurin para calcular una aproximación de ln(2.5). Razona la
respuesta.
8.- a) Desarrollar en serie de MacLaurin la función la función f(x)=(1+x)a , a∈R.
1
b) Usando el apartado a) para el valor de “a” adecuado, calcular 3
, tomando los
11
.
cuatro primeros términos del desarrollo ¿Cuántas cifras exactas se obtienen con este
método?
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
4
1.- T(f,0)=
2
x
x
+
+1
24 2
f(0.1)≈1.00500.
2.- a) f(x)= 1 − x + x − x + " + (−1) x + (−1)
2
3
n
n
n +1
x n +1
(1 + c )n + 2
con 0<c<x,
x n +1
g(x)= 1 + x + x + x + " + x +
con 0<c<x.
(1 − c )n+ 2
⎡ −1
⎤ 2 k +1
1
+
x
b) Si n=2k⇒h(x)= − 1 − 2 x 2 − 2 x 4 − " − 2 x 2 k + ⎢
2k +2
2k +2 ⎥
(1 + c ) ⎦
⎣ (1 − c )
⎡ −1
⎤ 2k +2
1
+
x
Si n=2k+1⇒h(x)= − 1 − 2 x 2 − 2 x 4 − " − 2 x 2 k + ⎢
2k +3
2 k +3 ⎥
(
)
(
)
1
1
−
+
c
c
⎣
⎦
Nota: En las expresiones anteriores pueden escribirse c= θx con 0<θ<1.
2
3
n
⎛ 3 3 3 3⎞
⎟
3.- ⎜⎜ −
,
⎟
5
5
⎝
⎠
4.- a) T4 [ f ,0] = 1 +
b)
1
0.9
5
5 5 ⋅ 7 x 2 5 ⋅ 7 ⋅ 9 x 3 5 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅11 x 4
+
+
+
2 2 2 2!
4!
2 3 3!
24
≈ 1.293
R 2 (0.1) < 0.015 ⇒
1.278 <
1
0.9
c) No, porque no existe f(2) pues f(2)=
1
−1
5
< 1.308 .
∉ R.
5.- a) x
b) 0.1
c) R 2 (0.1) < 0.0017
6.- a) 0
b) 1
c) e-2/3
d) 0.
Unidad docente de Matemáticas
3
HOJA de ejercicios nº 2: FÓRMULA DE TAYLOR
7.- a) f
(n
n −1
(
− 1) (n − 1)!
( x) =
(x + 1)n
b) f ( n (0) = (− 1)
c)
Curso 08-09
n −1
( n − 1)!
vector ( Taylor(f(x),x, 0, n),n,3,10)
d)
x3 x2
−
+x
3
2
x 4 x3 x 2
+ −
+x
T2(x)= −
4
3
2
T1(x)=
……………………………………
……………………………………
……………………………………
T10(x)= - −
e)
x10 x 9
x2
+
−"−
+x
10
9
2
x3 x2
x4
−
+x−
3
2
4(c + 1) 4
−
x4 x3 x2
x5
+
−
+x+
4
3
2
5(c + 1) 5
x
x4 x3 x2
x6
−
+
−
+x−
5
4
3
2
6(c + 1) 6
f) ln(1.1) ≈ 0.095333333333
ln(1.1) ≈ 0.095308329821
ln(1.1) ≈ 0.095310344827
g) E <10-4, 10-5, 10-6 respectivamente
i) n=10
j) Sí, pero no debe utilizarse ya que el error que se comete es relativamente grande (ver
gráfica)
x
x2
x3
xn
8.- a) f(x) = 1 + a +
a(a − 1) + a(a − 1)(a − 2) + " +
a (a − 1) " (a − n + 1)
1!
2!
3!
n!
x n +1
+
a(a − 1) " (a − n)(1 + c) (a − n −1)
(n + 1)!
1
1⎞
⎛
b) 3
≈ 0.9687160 ⎜ x = 0.1
a=- ⎟
3⎠
1.1
⎝
-4
c) E <10 , es decir, podemos asegurar tres cifras decimales exactas.
Unidad docente de Matemáticas
4