LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO F= q1 ⋅ q2 4πε 0 r 2 1 ε 0 = 8.854 10 −12 F0 [ ] E= q0 [C ] C2 m 2 F0 = q0 E E + Carga puntual r E= q rˆ 2 4πε 0 r Carga positiva + q0 F0 1 Carga negativa - F0 E q0 Movimiento de cargas en un campo eléctrico uniforme Una carga en un campo eléctrico experimenta la fuerza eléctrica F r r F = qE r r F = ma r qE a= m a= F m = qE m v = v + 2ad 2 K= Si el campo eléctrico es uniforme la carga se mueve con aceleración constante a. 2 0 1 2 mv 2 1 2 d = v0t + at + d 0 2 v = v0 + at EJERCICIO 21.36 p ∆V d=1.6 cm F qp=1.6 10-19 C, mp=1.67 10-27 kg Se deja libre un protón inicialmente en reposo en la superficie de la placa de arriba. El protón golpea la placa opuesta, distante 1.6 cm, al cabo de un intervalo de tiempo t = 1.5 10-6 s. a) Halle la eléctrico. b) F = q p E = ma y ⇒ E = 1 2 d = v y 0t + a y t 2 =0 a) E = mpay qp ma y magnitud del campo Halle la rapidez del protón cuando incide en la placa inferior. qp ay = 2d 2 ⋅ 0.016 m 12 2 = = 0 . 0142 10 / m s t 2 (1.5 10 −6 s ) 2 (1.67 10 −27 kg )(0.0142 1012 m / s 2 ) 4 = = 0 . 0148 10 /C −19 1.6 10 C b) v y = v0 y + a y t = (0.0142 1012 m / s 2 )(1.5 10 −6 s ) = 0.0213 106 m / s =0 23.5 Se mantiene fija en el origen una carga puntual Q=+4.6 µC. Se coloca sobre el eje de las x, a 0.25 m del origen, una segunda carga puntual q=+1.2 µC con una masa de 2.8 10-4 kg. a) ¿Cuál es la energía potencial eléctrica U del par de cargas? (Tome U como 0 cuando la separación entre las cargas es infinita). b) Se deja libre la segunda carga puntual, inicialmente en reposo. i) ¿Cuál es su rapidez cuando su distancia al origen es de 0.5 m? ii) ¿ 5 m? iii) ¿50 m? q Q 0.25 m a) b) i) qQ (8.9 109 m 2 / C 2 )(4.6 10 −6 C )(1.2 10 −6 C ) U= = = 198.7 10 −3 J 4πε 0 d 0.25m 1 U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J = qQ 1 2 + mv 4πε 0 0.5m 2 1 1 2 m mv = 0.0993J ⇒ v = 26.6 2 s b) ii) 1 qQ 1 2 U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J = + mv 4πε 0 5m 2 v = 36.6 b) iii) m s 1 qQ 1 2 + mv U1 = U 2 + K 2 ⇒ 0.198 J = 4πε 0 50m 2 v = 37.5 m s CALCULOS DE CAMPO ELECTRICO Distribución de cargas puntuales r1 r3 P q2 q1 E1 r2 r4 r5 E5 E2 E3 q3 E4 q4 q5 El campo eléctrico Ep en el punto P debido a la distribución de cargas puntuales es la suma vectorial de los campos en P debidos a cada carga: 5 r r r r r r r E p = E1 + E2 + E3 + E4 + E5 = ∑ E1 i =1 q1 1 q2 1 q3 1 q4 1 q5 Ep = + + + + 2 2 2 2 4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 r3 4πε 0 r4 4πε 0 r52 1 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION DE CAMPOS ELECTRICOS a) En el origen: E2 q1 E1 P q2 r 1 q1 1 6 10 −9 C E1 = = 2 4πε 0 r1 4πε 0 (0.15 m) 2 r 1 q1 ˆ E1 = i 2 4πε 0 r1 r E2 = r E2 = 6 10 −9 C = 2 4πε 0 r2 4πε 0 (0.15 m) 2 1 q2 1 q2 4πε 0 r 2 2 1 (−iˆ) r Ep = 0 b) x=0.3 m y=0 q1 q2 E1 E2 r1=0.45 m r2=0.15 m r E p = E1 iˆ + E2 iˆ = ( E1 + E2 )iˆ r Ep = 1 q1 4πε 0 r 2 1 + 1 q2 4πε 0 r 2 2 = r 1 q1 1 6 10 −9 C E1 = = 2 4πε 0 r1 4πε 0 (0.45 m) 2 r 1 q1 ˆ E1 = i 2 4πε 0 r1 r E2 = r E2 = 6 10 −9 C = 2 4πε 0 r2 4πε 0 (0.15 m) 2 1 q2 1 q2 4πε 0 r 2 2 1 iˆ hacia la derecha −9 −9 C C 6 10 6 10 9 2 2 9 2 2 = (8.9 10 m / C ) + (8.9 10 m / C ) = 2 2 (0.45 m) (0.15 m) (266.6 + 2400) = 2666.6 C C σ1 E = 2ε 0 E = -σ2 +σ1 σ 2 − σ1 E= 2ε 0 σ2 2ε 0 E σ1 + σ 2 E= 2ε 0 E σ1 − σ 2 E= 2ε 0 +x EJEMPLO 22.11 Un conductor tiene una carga total de +3 nC. La carga en el interior de la cavidad, aislada del conductor, es de -5 nC. ¿Cuánta carga hay en cada superficie (interna y externa) del conductor? Q=+3nC - - + Considero la superficie gaussiana A. Para que -5 nC la carga total adentro de la superficie sea 0, - + + + + la carga en la superficie interna tiene que ser - - A qint=-(-5 nC)=5 nC Q=qint + qext 3nC=5nC+ qext qext=3nC-5nC=-2nC n r r Φ E = ∫ E ⋅ dA = ∑q i i =1 ε0 = Qenc ε0 CAMPO DE UNA ESFERA CONDUCTORA CON CARGA Φ E = E (4πr ) = + + + + R + + + + + r<R E 0 =0 ⇒E=0 ε0 1 q q 2 Φ E = E (4πr ) = ⇒E= ε0 4πε 0 r 2 2 ∞ ∞ r r V (r ) − V (∞) = V (r ) = ∫ Edr = ∫ V ( R) = 1 q 1 q = 4πε 0 r 2 4πε 0 r 1 q 4πε 0 R 0 V ( R ) − V (0) = ∫ Edr = 0 r >= R E(R) R V (r < R) = V ( R) r Q [C ] C= = 1 Farad = 1 F ∆V [V ] Q σ Q Qd σ= ∆V = Ed = E= = A ε0 ε0 A ε0 A Q Qε 0 A A C= = = ε0 ∆V Qd d A +Q d -Q Q2 1 1 U= = CV 2 = QV 2C 2 2 +Q ∆V’ -Q A d d Q A = kC0 = kε 0 C= d ∆V ' ∆V ∆V ' = k CARGA INDUCIDA Y POLARIZACIÓN Dieléctrico entre las placas +++++++++++++++++++++++ σ - - - - - - −σi E= E0 σ − σ i = K ε0 menor que σ E + + + + + + +σi -------------------------- E= E0 σ −σi σ = = K ε0K ε0 −σ σi = σ − σ 1 = σ 1 − K K Densidad de carga inducida 24.39 Dos placas paralelas tienen cargas iguales y opuestas. Cuando se evacúa el espacio entre las placas, el campo eléctrico es E=3.2 105 V/m. Cuando el mismo espacio se llena con dieléctrico es E=2.5 105 V/m. a) ¿Cuál es la densidad de carga en cada superficie del dieléctrico? b) ¿Cuál es la constante dieléctrica? E0 = σ = 3.2 105V / m ε0 σ = (3.2 105V / m)(8.85 10 −12 C 2 / m 2 ) = 28.33 10 −7 C / m 2 E E= 0 K E0 3.2 105 ⇒K= = = 1.28 5 E 2.5 10 1 k σ i = σ 1 − = 6.2 10 −7 C / m 2 Corriente eléctrica dQ qe=carga electrón = nqe vd A I= dt I nqvd A [ A] Densidad de corriente eléctrica = nqvd J= = 2 A A [m ] E ρ= J [V ] [m 2 ] [Vm] = = Ωm [ m] A A V = RI L R=ρ A Ley de Ohm resistividad FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO Características de la fuerza magnética sobre una carga en movimiento: su magnitud es proporcional a la magnitud de la carga su magnitud es proporcional a la magnitud del campo magnético su magnitud depende de la rapidez de la carga (si la carga está en reposo, no experimenta fuerza magnética) la fuerza magnética F no tiene la misma dirección que el campo magnético B: es siempre perpendicular a B y a la rapidez v La magnitud F depende de la orientación relativa entre B y v: es cero cuando B y s son paralelos o antiparalelos. r rr r F F= =q qvv × ×B B rr F = qvB sin(ϕ ) F q -q B BB φ v vv v F FF q positiva Si v y B son perpendiculares la partícula se mueve en un círculo: 2 v F = q vB = m R mv R= qB X X X X X R X X X B F v X X Carga positiva Si la carga es negativa, la partícula se traslada en el sentido del reloj La rapidez angular ω de la partícula y su frecuencia son: qB qB v ω = =v = R mv m qB ω f = = Frecuencia de ciclotrón 2π 2πm X X X X Si el campo B no es perpendicular al alambre, sino que forma un ángulo φ con él: r r F = IL × B F = ILB sin(φ ) F φ B Si el conductor no es recto, podemos dividirlo en segmentos infinitesimales dl, y la fuerza dF sobre cada elemento es: r r r dF = Idl × B L I ¿Qué ocurre cuando las cargas en movimiento son negativas? Una corriente ascendente corresponde a una velocidad de deriva descendente. Sin embargo, dado que q es negativa, la dirección de la fuerza F es la misma que antes. 27.40 El circuito que se muestra en figura sirve para construir una balanza magnética para pesar objetos. La masa m, que se va a medir, se cuelga del centro de la barra, que está en un campo magnético uniforme de 1.5 T dirigido hacia el plano de la figura. Se puede ajustar el voltaje de la batería para modificar la corriente en el circuito. La barra horizontal mide 60 cm de largo y es de un material ligero. Está conectada a la batería mediante unos alambres verticales finos. Todo el peso de la masa m está sostenido por la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra. Hay un resistor R=5Ω en serie con la barra y todas las otras resistencias del circuito son despreciables. a) ¿Cuál punto, a o b, debe ser el borne positivo de la batería? b) Si el voltaje máximo de la batería es de 175 V, ¿ cuál es la masa más grande que el instrumento puede medir? R batería La fuerza magnética debe ser a b hacia arriba. Para que la fuerza magnética sea hacia arriba, la B X X X X X X corriente tiene que ser hacia la derecha, entonces a tiene que ser el borne positivo. X X X m X X X X X mg X X a batería X X X X X X X X X R b XB X X m X X X X mg F = mg I= V R ILB = mg V LB = mg R V LB (175V )(0.6m)(1.5T ) m= = = 3.21kg R g (5Ω)(9.8m / s 2 ) DIPOLO ELÉCTRICO Y ESPIRA EN CAMPO MAGNÉTICO + p F-=-qE - d φ q F+=qE A B dsinφ F b (b/2)sinφ φ -q E r p = qd r r τ = p× E r τ = pE sin(φ ) r r r U (φ ) = − pE cos(φ ) = − p ⋅ E r µ = IA r τ = IBA sin(ϕ ) r r r r τ = IA × B = µ × B r r U = − µ ⋅ B = − µB cos(φ ) I r I r µ0 I B= 2πr La figura es una vista de los extremos de dos alambres rectos paralelos largos, perpendiculares al plano xy, cada uno de los cuales conduce una corriente I, pero en sentidos opuestos. a) Encuentre la magnitud y dirección de B en los puntos P1, P2 y P3. µ0 I µ0 I y P1) B = − B = 1 B2 1 P1B1 B1 d P2 3d I X 2 X B2 B1 x d P3 B2 2d B I B 2π (2d ) 2π (4d ) µ0 I µ0 I µI =− + =− 0 2π (2d ) 2π (4d ) 8πd 2 BTOT µ0 I µ0 I P 2) B1 = B2 = 2π (d ) 2π (d ) µI µI µI BTOT = 0 + 0 = 0 2π (d ) 2π (d ) πd µ0 I µI B2 = − 0 2π (3d ) 2π (d ) µ0 I µI µI = − 0 =− 0 2π (3d ) 2π (d ) 3πd P3) B1 = BTOT 28.11 Dos alambres rectos y largos, uno encima del otro, están separados por una distancia 2a y son paralelos al eje de las x. El eje de las +y está en el plano de los alambres en dirección del alambre inferior al superior. Cada alambre transporta la corriente I en dirección +x. ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo magnético neto de los dos alambres en un punto situado en el plano de los alambres a) a medio camino entre ambos? b) ¿a una distancia a arriba del alambre superior? c) ¿a una distancia a abajo del alambre inferior? y 2a P2 I P1 I P1 B1 = x x P3 X x I B X µ0 I 2πa B2 = − µ0 I 2πa BT = 0 µ0 I µ0 I P 2 B1 = B2 = 2π (3a ) 2πa µ0 I µ I 4µ I + 0 = 0 BT = 2π (3a ) 2πa 2πa µ0 I µ0 I P3 B1 = − B2 = − 2π (a ) 2π (3a ) 4µ I µI µ0 I =− 0 BT = − 0 − 2π (a ) 2π (3a ) 2πa FORMULARIO ELECTROSTÁTICA Partículas elementales qe = -1.6 x 10 – 19 C me = 9.11x 10 – 31 kg. qp = 1.6 x 10 – 19 C mp = 1.67 x 10 – 27 kg. qn = 0 mn = mp qd = qp md = 2 mp qα = 2 qp mα = 4 mp Ley de Coulomb F= k= 4πε 0 Flujo eléctrico F 1 q E= = q 4πε 0 r 2 r r Φ E = ∫ E ⋅ dA Densidades de carga dq dL dq σ= dA dq ρ= dV λ= kq1 q 2 r2 1 Campo eléctrico Dipolo eléctrico = 8.9 10 m / C 9 εo = 8.85x 10 –12 C2/Nm2 2 2 r p = qd r r τ = p× E r r U = −p⋅E A Ley de Gauss r r q Φ E = ∫ E ⋅ dA = ε0 A POTENCIAL Carga puntual V= U 1 q = q0 4πε 0 r Conjunto de cargas puntuales 1 U qi = ∑ q0 4πε 0 i ri b r r Va − Vb = ∫ E ⋅ dl V= a CAPACITORES C= Q ∆V Capacitor de placas paralelas C= ε0 A d Capacitor con dieléctrico Cd = k d C kε A Cd = d 0 d V Vd = kd 1 Q2 1 U= = CV 2 2 C 2 Capacitores en serie 1 1 1 1 = + + + ... C eq C1 C 2 C3 Capacitores en paralelo 1 d Ley de Ohm R= V i Resistividad ρ= RA E = l j Resistencias en serie C eq = C1 + C 2 + C 3 + ... Req = R1 + R2 + R3 + ... Corriente eléctrica Resistencias en paralelo dq dt q i = = nqe vd A t n= Vol ˆj = i = nqe vrd A i= σ i = σ 1 − k Energía en un capacitor 1 1 1 1 = + + + ... Req R1 R2 R3 Potencia entregada en una fuente P = Vi Potencia e una resistencia P = i2R FUERZA MAGNÉTICA Sobre una carga r rv r Fm = qv xB Carga circulando en campo magnético r v2 Fm = m R v = ωR Sobre una conductor r r r Fm = ilxB Fuerza de Lorentz r r r r Fm = qE + qv xB Momento de torsión r r r µr = iAr τ = µ xB Ley de Faraday ε =− Energía potencial r r U = −µ ⋅ B ÓPTICA r r Φ B = ∫ B ⋅ dA θr =θa Ley de Ampere na senθ a = nb senθ b enc Ley de Biot-Savart r r µ 0 Idl xrˆ dB = 4π r 2 µ = 4πx10−7 Tm / A c v λ0 λ= n n= Flujo magnético r r ∫ B ⋅ dl = µ 0 I dΦ B dt I = I max cos 2 φ