La distribución de Planck El cuerpo negro La distribución de Planck del cuerpo negro: Cuerpo negro: modelo de un objeto que absorbe y emite radiación electromagnética en equilibrio térmico a una temperatura T . Ley de Planck: la densidad de radiación expresada en términos de la frecuencia ν es 8πhν 3 u(ν) = c3 exp n 1 o [=] erg s cm−3 , hν −1 kB T (58) donde u(ν)dν representa la radiación emitida por unidad de volumen con una frecuencia comprendida entre ν y ν + dν. En los lı́mites ν → 0 y ν → ∞: u(ν) → 0. En cualquier otra situación, por cada punto (ν, T ) pasa una y sóla una curva del cuerpo negro (en otro caso podrı́amos violar el segundo principio de termodinámica). También podemos expresar la densidad de radiación empleando la longitud de onda: u(ν)dν, ν ∈ [0, ∞) ⇐= ν = c/λ; dν = −c dλ/λ2 =⇒ v(λ)dλ, λ ∈ [0, ∞) (59) de donde v(λ) = c Vı́ctor Luaña, 2002 8πhc λ5 exp n 1 o [=] erg cm−4 . hc −1 λkB T (60) (52) La distribución de Planck El cuerpo negro Ley de Stefan-Boltzmann: la energı́a total emitida por un cuerpo negro depende sólo de la temperatura absoluta y crece proporcionalmente a T 4 : E= Z 0 ∞ 8πh u(ν)dν = 3 c Z 0 ∞ 4 8π 5 kB 1 4 4 n o ν = T = σT , hν 15h3 c3 exp −1 kB T 3 (61) donde σ = 7.565767 × 10−15 erg cm−3 K−4 . Ley de Wien: la densidad v(λ) presenta un máximo de irradiación a la longitud de onda λmax dada por: dv =0 dλ =⇒ =⇒ c Vı́ctor Luaña, 2002 hc = y = 5(1 − e−y ) = 4.965114232 λkB T λmax T = 0.289776857 cm K. (62) (53) La distribución de Planck El cuerpo negro Cuerpo negro: Ley de Planck 4.5 Máxima emisión u(ν) (10−18 erg cm−3 s) 4.0 3.5 3.0 2.5 373 K 2.0 298 K 1.5 1.0 273 K 0.5 0.0 0 c Vı́ctor Luaña, 2002 2 × 1013 4 × 1013 6 × 1013 ν (Hz) 8 × 1013 10 × 1013 (54) La distribución de Planck El cuerpo negro Cuerpo negro: Ley de Planck 0.14 Máxima emisión (Ley de Wien) 0.12 −4 v(λ) (erg cm ) 0.10 373 K 0.08 0.06 298 K 0.04 0.02 273 K 0.00 0.0005 c Vı́ctor Luaña, 2002 0.0010 0.0015 λ (cm) 0.0020 0.0025 0.0030 (55)