Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B llamamos producto cartesiano de A “por” B al conjunto de pares ordenados tales que la primer componente del par pertenece al conjunto A y la segunda al conjunto B. A x B = {(x, y)/ x ∈A ∧ y∈B} Definición de relación: Dados dos conjuntos A y B, una relación de A en B es todo subconjunto del producto cartesiano A x B. R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A x B Clasificación de relaciones 1. Relación de equivalencia Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A decimos que esta relación es de equivalencia si y solo si R cumple: 1) Propiedad idéntica ∀a, a ∈A, aRa 2) Propiedad recíproca ∀ a ∈A ,∀ b∈B , ( aRb ⇒ bRa ) 3) Propiedad transitiva ∀ a ∈A ,∀ b∈B ,∀ c ∈C , ( aRb y bRc ⇒ aRc ) 2. Relación de orden estricto Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A decimos que esta relación es de orden estricto si y solo si R cumple: 1) Propiedad inidéntica ∀a, a ∈A, a R/ a 2) Propiedad asimétrica ∀ a ∈A , ∀ b∈B , ( (aRb ⇒b R/ a ) 3) Propiedad transitiva ∀ a ∈A , ∀ b∈B ,∀ c ∈C , ( aRb y bRc ⇒ aRc ) 3. Relación de orden amplio Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A decimos que esta relación es de equivalencia si y solo si R cumple: 1) Propiedad idéntica ∀a, a ∈A aRa 2) Propiedad antisimétrica ∀ a ∈A , ∀ b∈B , ( (aRb ∧bRa ) ⇒ a = b ) 3) Propiedad transitiva ∀ a ∈A ,∀ b∈B ,∀ c ∈C , ( aRb y bRc ⇒ aRc ) 4. Relación de orden estricto total Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A decimos que esta relación es de orden estricto total si y solo si R cumple: Propiedad de tricotomía ∀ a ∈A , ∀ b∈B ,( aRb ó bRa ó a = b ) 5. Relación de orden amplio total Dado un conjunto A no vacío y una relación R definida en A o sea definida de A en A decimos que esta relación es de orden amplio total si y solo si R cumple: Propiedad dicotómica ∀ a ∈A , ∀ b∈B ,( aRb ∨ bRa ) UTU Maldonado Prof. Juan Cabral Distintas formas de representar una relación a) Mediante Diagramas de Venn También llamados gráficos de flechas Por ejemplo: Dados A = {a , b , c } B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} A B a 1 c b 2 3 5 4 b) Mediante un gráfico cartesiano c) Mediante cuadro de doble entrada o matriz cero-uno a b c 1 2 3 4 5 x x x 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Tal que es 1 si (ai , bj) R y 0 si (ai , bj) R Distintas formas de definir una relación a) Definición por extensión Esta definición se utiliza en el caso de relaciones finitas Ejemplo: Sean los conjuntos A y B definidos anteriormente y R2 = { ( a , 3 ) , ( b , 4 ) , ( b , 5 ) , ( c , 3 ) } b) Definición por comprensión Sean A y B los conjuntos definidos anteriormente x R3 y ⇔ y = 1 c) Definición gráfica Cualquiera de las formas gráficas vistas anteriormente define una relación UTU Maldonado Prof. Juan Cabral