Corrección Examen 1. Andalucía 2011 OPCIÓN A 1. a) Relación entre campo y potencial gravitatorios. b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por una masa puntual M. Una masa m, situada en un punto A, se traslada hasta otro punto B, más próximo a M. Razone si aumenta o disminuye su energía potencial. a) Se define el campo gravitatorio que crea una masa ‘M’ como la fuerza por unidad de masa con la que es capaz de atraer a cualquier otra masa ‘m’ situada en el espacio que la rodea. r r Fg r GM g= ⇒ g = − 2 rˆ m r donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa que crea el campo y r es la distancia a al que se quiere calcular el campo. Es una magnitud vectorial cuya unidad m/s2 muestra que representa una aceleración que, en el caso de que ‘M’ sea una masa puntual es radial y hacia dentro. r g r g r g r g Se definen las líneas de campo como las líneas tangentes al campo gravitatorio en todos los puntos del espacio. Se define el potencial gravitatorio que crea una masa ‘M’ como la energía potencial gravitatoria por unidad de masa que tendría una masa ‘m’ en las proximidades de ‘M’. U =− Ep grav m ⇒U = − GM r donde G, M y r ya se han definido. Es una magnitud escalar cuya unidad es el J/Kg. La representación de U es U r donde se puede ver como U siempre tiene un valor negativo y que para r→∞, U tiende a cero. Se definen las superficies equipotenciales como las regiones del espacio que están a potencial constante La relación entre el campo y el potencial gravitatorios de consiste en la expresión: dU g= dr que indica que el valor del campo gravitatorio que crea una masa puntual es igual a la derivada del potencial respecto la distancia en ese punto. En general se cumple que 1. Las líneas de campo siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales. 2. Las líneas de campo siempre apuntan hacia potenciales decrecientes. b) ·A M B· r g Como la masa ‘m’ se acerca a M pasando del punto A al punto B se tiene que las energías potenciales son: Ep A = mU A Ep B = mU B y al ser GM r al estar B más cerca de M que A se tiene que RB < RA con lo que UB<UA por lo que la masa ‘m’ pierde energía potencial al pasar de A hasta B. U =− 2. a) Construya la imagen formada con una lente convergente de un objeto situado a una distancia, s, de la lente igual al doble de la distancia focal, f, y comente sus características. b) ¿Pueden formarse imágenes virtuales con lentes convergentes? Razone la respuesta. a) Las lentes convergentes se caracterizan porque concentran los rayos que inciden sobre ellas paralelas al eje óptico en un punto llamado foco imagen (f’). Situado simétricamente al foco imagen está el foco objeto (f) que es el punto por el que cualquier rayo que pase saldrá paralelo al eje óptico. Por último, cualquier rayo que pase por el centro de la lento no se desvía. s 2f De la construcción realizada se puede afirmar que la imagen (y’) es menor que el objeto, está invertida respecto a este, y es un imagen real ya que se ha formado por la intersección de los rayos. b) Sí, se pueden formar imágenes virtuales con una lente convergente. Para ello se debe situar el objeto (y) dentro de la distancia focal. En este caso los rayos refractados por la lente divergen y es necesario prolongarlos para formar la imagen (y`). Esta construcción corresponde a una lupa también llamada microscopio simple. En este caso la imagen es mayor, derecha y virtual. 3. Dos cargas puntuales iguales, de +10-5 C, se encuentran en el vacío, fijas en los puntos A (0, 0) m y B (0, 3) m. a) Calcule el campo y el potencial electrostáticos en el punto C (4, 0) m. b) Si abandonáramos otra carga puntual de +10-7 C en el punto C (4, 0) m, ¿Cómo se movería? Justifique la respuesta. K = 9 ·109 N m2 C–2 Ante todo ojo con la calculadora 105 =1E5 o 15 a) Se define el campo electrostático como la fuerza por unidad de carga que una carga ‘Q’ ejerce sobre cualquier otra carga ‘q’ situada en el espacio que la rodea. r r Fe KQ E= = 2 rˆ q r donde K es la constante eléctrica, Q es la carga que crea el campo y r es la distancia a la que se pretende calcular el campo. Se define el potencial electrostático que crea una carga ‘Q’ como la energía potencial por unidad de carga que tendría otra carga ‘q’ en las proximidades de ‘Q’. Ep KQ V = elect ⇒ V = q r Es una magnitud escalar y su unidad son los voltios. En este caso se va a aplicar el principio de superposición y tanto el campo eléctrico como el potencial en el punto C se van a calcular como la suma por separado de los campos que crean QA y QB en C. q=105C r rB =(0, 3) r rBC r rAC q=105C r rA =(0, 0) r rC =(4, 0) r EA r EB r ETotal r rAC = (4,0) − (0,0) = (4,0) r rAC = 4m r rBC = (4,0 ) − (0,3) = (4,−3) r rBC = 5m rˆAC = (1,0) ⎛ 4 3⎞ rˆBC = ⎜ ,− ⎟ ⎝ 5 5⎠ r KQ A 9 ⋅10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5 E A = 2 rˆAC = (1,0) = (2.81 ⋅10 4 ,0)N / C 2 rAC 4 r KQ 9 ⋅10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5 ⎛ 4 3 ⎞ 4 4 E B = 2 B rˆBC = ⎜ ,− ⎟ = (1.44 ⋅10 ,−1.08 ⋅10 )N / C 5 5 rBC 52 ⎠ ⎝ El campo total en el punto C será la suma de los campos individuales. r r r ETotal = E A + E B = (4.25 ⋅10 4 ,−1.08 ⋅10 4 )N / C En cuanto al potencial: KQ A 9 ⋅10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5 V AC = = 11.25 ⋅10 4 V = rAC 4 VBC = KQ A 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5 = = 9 ⋅10 4 V rBC 5 Por lo que VTotal = V AC + VBC = 20.25 ⋅10 4 V b) Si se abandona una carga q= +10–7C en el punto C, ésta recibirá una fuerza: r r F = q ⋅ ETotal al ser la carga ‘q’ positiva dicha fuerza irá dirigida en la dirección y sentido del campo total, por lo que se alejará con una trayectoria rectilínea en la dirección y sentido que r marca ETotal . Dicha fuerza valdrá: r F = (4.25 ⋅10 −3 ,1.08 ⋅10 −3 )N 4. El espectro de luz visible (luz blanca) incluye longitudes de onda comprendidas entre 3,8·10 -7m (violeta) y 7,8·10-7 m (rojo). a) Enuncie la hipótesis de Planck y calcule la energía de los fotones que corresponden a las luces violeta y roja indicadas. b) ¿Cuántos fotones de luz roja son necesarios para acumular una energía de 3 J? c = 3·10 8 ms-1 ; h = 6,6·10-34 J s a) La hipótesis de Planck afirma que la radiación era emitida por la materia en forma de paquetes de energía denominados cuantos cuya energía valía: E=h ν donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la radiación. Esta idea contradecía la teoría clásica que afirmaba que la radiación era una onda electromagnética y por lo tanto estaba deslocalizada en el espacio. Las longitudes de onda dadas corresponden a unas frecuencias dadas por la relación entre la longitud de onda y la frecuencia de la radiación: c= λν donde c es la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda y ν es la frecuencia. Por lo tanto la energía del fotón se puede calcular como: hc E= λ Evioleta = E rojo = hc λ violeta = 6.63 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108 = 5.23 ⋅10 −19 J −7 3.8 ⋅10 hc 6.63 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108 = = 2.55 ⋅10 −19 J −7 λ rojo 7.8 ⋅10 Evioleta = 5.26·10–19J Erojo = 2.55 · 10–19J b) Para acumular una energía de 3J hacen falta: 3J = 1.18 ⋅1019 fotones −19 2.55 ⋅10 J / fotón n = 1.18 · 1019 fotones OPCIÓN B 1. a) Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz. b) Explique, con ayuda de un esquema, el tipo de movimiento que efectúan un r electrón y un neutrón al penetrar con una velocidad v en una región del espacio en r r la que existe un campo magnético uniforme, B , perpendicular a v . La fuerza que una partícula cagada experimenta cuando se mueve en el interior de un campo magnético se puede calcular mediante la expresión: r r r Fm = q ⋅ v × B y su módulo vale: Fm = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen(α ) donde q es la carga de la partícula, r v es la velocidad a la que viaja, r B es el campo magnético, r r α es el ángulo que forman los vectores v y B . por las propiedades del producto vectorial, el valor de la fuerza es perpendicular al r r plano que forman los vectores v y B y en el caso de ser estos paralelos, la fuerza es nula. En el caso que una partícula cargada se moviera en una región del espacio en la que al r r mismo tiempo hubiera un campo eléctrico E y otro campo magnético B la fuerza total que recibiría la carga se conoce como fuerza de Lorentz: r r r r r r F = Fe + Fm = qE + qv × B r r r r F = q E +v×B ( ) b) La fuerza que reciben ambas partículas en las condiciones que se indican vale: Fm = q ⋅ v ⋅ B r r donde se ha tenido en cuenta que el ángulo que forman v y B es 90º y que por lo tanto sen(90º) =1. Al depender la fuerza de la carga de la partícula se puede concluir que la fuerza que recibe el neutrón es nula al carecer de carga esta partícula, luego el movimiento del neutrón es un MRU al no experimentar fuerza. Fneutrón = 0 → describe un MRU El electrón recibe una fuerza que en módulo vale Fm = qe ⋅ v ⋅ B y la dirección y sentido vienen dadas por la regla de la mano derecha aplicada al giro r r del vector v hacia B . La figura muestra la dirección y el sentido de la fuerza teniendo en cuenta la carga negativa del electrón. El resultado es que la fuerza siempre es perpendicular a la velocidad y por lo tanto siempre varía la dirección de la misma, por lo que la trayectoria es circular y el módulo de la velocidad constante. Esto significa que el electrón va a describir un MCU. r v r F r B r F r v r B 2. a) Ley de desintegración radiactiva; magnitudes. b) Defina actividad de un isótopo radiactivo. Razone si puede asegurarse que dos muestras radiactivas de igual masa tienen igual actividad. a) La ley de desintegración radiactiva nos indica el número de núcleos que van quedando de un material radiactivo a medida que pasa el tiempo. N = N 0 e − λt En la anterior expresión N es el número de átomos que quedan en una muestra N0 es el número de átomos inicial λ es la constante radiactiva que indica la probabilidad de que un núcleo sufra una desintegración. Su unidad es de tiempo–1 t es el tiempo transcurrido. Se define el periodo de semidesintegración (T1/2) como el tiempo necesario para que se desintegran la mitad de los núcleos de una muestra. Su unidad es de tiempo y se relaciona con la constante radiactiva mediante la expresión: ln(2) T1 / 2 = λ La vida media (τ) es una magnitud que representa el promedio de vida de los átomos de una muestra. Su unidad es el tiempo y se relaciona con la constante radiactiva mediante la expresión: 1 τ= λ b) Se define la actividad de una muestra como el valor absoluto de la velocidad a la que se producen las desintegraciones. Su unidad son las desintegraciones por segundo también llamadas Bequerels o el curio. dN A= = λ N 0 e − λt = λN dt De la expresión obtenida se observa cómo la actividad de una muestra depende de la cantidad de átomos que la componen y de la constante radioactiva, que es propia del tipo de elemento radioactivo en cuestión. Por lo tanto no se puede asegurar que dos muestras radiactivas que tengan la misma masa tengan la misma actividad ya que las tanto las constantes radiactivas (λ) como el número de átomos serán diferentes en muestras formadas por átomos diferentes. 3. Un cuerpo de 50 kg se eleva hasta una altura de 500 km sobre la superficie terrestre. a) Calcule el peso del cuerpo en ese punto y compárelo con su peso en la superficie terrestre. b) Analice desde un punto de vista energético la caída del cuerpo desde dicha altura hasta la superficie terrestre y calcule con qué velocidad llegaría al suelo. RT = 6370 km; g = 9,8 ms–2 a) En general el valor de la gravedad terrestre vale: GM r g = − 2 T rˆ r donde: G es la constante de gravitación universal, MT es la masa de la Tierra, r es la distancia entre el centro de la Tierra y el punto en el que se quiere averiguar el valor de la gravedad, r el signo negativo indica que la dirección y del vector g es radial y su sentido hacia el centro de la Tierra. r h RT r=RT + h A 500Km de altura el valor de la gravedad ha variado, por lo que es necesario calcular el nuevo valor de g para averiguar el peso del objeto en ese lugar. En este caso se va a tratar con el módulo de la gravedad, por lo que: GM g = 2T r Al no disponer de G ni de MT su producto se obtiene a partir del valor de la gravedad en la superficie terrestre: g0 = GM T RT2 GM T = g 0 RT2 Con lo que a 500Km se tiene: g= g 0 RT2 (RT + h )2 9.8 ⋅ 6.370.000 2 g= (6.370.000 + 500.000)2 g = 8.43m/s2 Por lo tanto se obtienen para el peso del objeto: En la superficie → P = mg0 = 50 · 9.8 = 490N A 500Km → P = mg = 50 · 8.43 = 421.5 N Se puede comprobar cómo al elevarse a 500Km la gravedad terrestre ha disminuido y por lo tanto el peso del objeto también ha disminuido. b) Se supone que el objeto se encuentra inicialmente en reposo a 500Km y que desde ahí cae libremente hacia la Tierra. En todo el proceso sólo actúa la fuerza gravitatoria y no se considera el rozamiento con el aire. Como no hay fuerzas no conservativas se conserva la energía mecánica del sistema según el principio de conservación de la energía mecánica: Si WFNC = 0 → Em = cte La energía potencial gravitatoria de la masa vale: GM T m Ep = − r A medida que la masa va descendiendo y va perdiendo energía potencial, va ganando energía cinética en la misma medida, puesto que la suma de energía potencial más energía cinética, que es la energía mecánica, debe ser constante. Por lo tanto Em inicial = Em final Ep = Ec + Ep − GM T m 1 2 GM T m = mv − RT + h 2 RT Simplificando y despejando v: ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ v = 2GM T ⎜⎜ − ⎝ RT RT + h ⎠ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ v = 2 g 0 RT2 ⎜⎜ − ⎝ RT RT + h ⎠ ⎛ RT2 ⎞ ⎟ v = 2 g 0 ⎜⎜ RT − RT + h ⎟⎠ ⎝ ⎞ ⎛ 6370000 2 v = 2 ⋅ 9.8⎜⎜ 6370000 − ⎟ 6370000 + 500000 ⎟⎠ ⎝ v = 3014 m/s 4. Un cuerpo de 0,1kg, unido al extremo de un resorte de constante elástica 10Nm-1, se desliza sobre una superficie horizontal lisa y su energía mecánica es de 1,2J. a) Determine la amplitud y el periodo de oscilación. b) Escriba la ecuación de movimiento, sabiendo que en el instante t=0 el cuerpo tiene aceleración máxima, y calcule la velocidad del cuerpo en el instante t = 5s. a) En un sistema de masa y muelle la energía mecánica se conserva puesto que sólo actúa la fuerza del muelle que es conservativa. k m En este caso la energía mecánica del oscilador vale: 1 E m = KA 2 2 Con lo que se obtiene: A= 2 Em k A= 2 ⋅1.2 10 A = 0.49m Para calcular el periodo de oscilación hay que obtener la frecuencia del movimiento. En este oscilador armónico simple la fuerza está ejercida por un muelle, por lo que: F = m·a – k·x = m(–ω2x) ω= k m 2π k = T m T = 2π m k T = 2π 0.1 10 T = 0.63 s b) La ecuación general de un MAS es: x(t ) = A sen(ωt + ϕ 0 ) En este caso la aceleración es máxima en el instante inicial, por lo que inicialmente la partícula se encuentra en uno de los extremos de la trayectoria. La ecuación general se puede expresar en función del coseno de modo que en t=0 se obtiene x(0)=A. x(t ) = 0.49 cos(10t ) x(5) = 0.49 cos(10 ⋅ 5) = 0.47m * Otra alternativa era haber calculado la fase inicial y usar la función seno π⎞ ⎛ x(t ) = 0.49sen⎜10t + ⎟ 2⎠ ⎝