2009 - Universidad de los Andes

Parcial 2 – Cálculo Integral
Septiembre 25 de 2009
1. Considere la curva descrita por las ecuaciones paramétricas: x = 3t − t3 , y = 4 − t2 .
1. Halle las ecuaciones de todas las tangentes verticales y horizontales de la curva.
2. Dibuje la curva (dando valores a t), indicando su orientación y tangentes.
3. Plantée (sin evaluar) la integral para el área de la superficie de revolución obtenida
al girar esta curva respecto al eje VERTICAL (eje y), cuando el parámetro varı́a
entre t = −1 y t = 1.
2. Considere la curva descrita polarmente por la ecuación: r − sin θ − cos θ = 0.
1. Dibuje la curva con precisión (use una tabla de valores para θ y r).
2. Halle el área de la región limitada por la curva.
3. Encuentre la longitud de la curva (0 ≤ θ ≤ 2π ).
3. Solucione la ecuación diferencial:
dy
= 2 + 2x2 − y − x2 y,
dx
con condición inicial y(0) = 1.
• Bono Adicional. Encuentre todos los puntos donde se cortan las curvas: r = senθ y
r = 2 + cos(2θ ).
Éxitos!!
Recomendaciones: Escribir claro y ordenado. No se necesita calculadora. Intento de fraude (copia, etc.) amerita
un 0.0 y sanciones disciplinarias de acuerdo al reglamento de la Universidad.
Parcial 2, Calculus Integral, MATE 1214
Marzo 12, 2009
1) Resolve la ecuacı́on y 0 = y 2 · cos2 x, y(0) = 2.
2) Resolve la ecuacı́on y 0 + ex · y = xx , y(0) = 0.
3) Encuentra el area, en el plano xy, de la región acotada por las curvas
1
polares r = √4−Θ
2 , Θ = 0 y Θ = π/4.
SUERTE!
1
Punto 1.a
Punto 1.b
Punto 2
Punto 3
Segundo Parcial : Calculo integral, 24 de septiembre 2009,
Nombre y apellido
código
Sección
Nota
/60
Nota:
1. Por favor escribir claramente.
2. Contestar el los espacios reservsados para las soluciones de los ejercicios.
3. No se permite el uso de calculadoras
4. sección 37= Ernesto la de 3 pm, sección 38= Cesar, sección 39= Ernesto la de las 4 pm,
sección 40=Darı́o
1. [/20] Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales
a) [/10]
xy 0 − xy − ex = 0 y(1) = 1
b) [/10]
y 0 = 2xy 2 + 2x + y 2 + 1,
2. [/20] Sea C la curva paramétrica dada por las ecuaciones x(t) = t2 + 2t
y(t) = t2 − 2t
a) [/8] Hallar las pendientes de las tangentes en los puntos de intersección de la curva con el
eje y
b) [/8] ¿Cuál es el punto más bajo de esta curva?
c) [/4] Plantear sin calcular la integral que da el área de la superficie obtenida girando la
curva alrededor del eje y para 0 ≤ t ≤ 2
3. ¿[/20] Dibujar cuidadosamente las curvas siguientes en coordenadas polares (a veces pasar a
coordenadas cartesianas ayuda)
a) [/10]
r = 2/(sin θ − cos θ)
b) [/10]
r = sin(4θ)
U. DE LOS ANDES - DEP. MATEMÁTICAS
Segundo parcial MATE 1214
P1:
P2:
CÓDIGO:
P3:
P4:
P5:
NOTA:
NOMBRE:
Secc. Complementaria :
PREGUNTAS VERSION B– TIEMPO: 80min
Resuelva las siguientes preguntas en los espacios indicados. Para obtener puntaje, debe
mostrar el procedimiento. Escriba sus respuestas finales en esfero. Todo caso de fraude
será reportado. ¡Buena suerte!
1. (10pts) Resuelva el problema de valor inicial y 0 sec x −
xy
= 0,
y+4
y(0) = −3.
2. (8pts) Plantee una integral cuyo valor sea la longitud del pedazo de la parábola
y = −x2 + 2x + 3
que queda por arriba del eje x. Haga un dibujo de la parábola. En este ejercicio solo
debe plantear la integral: no la evalue.
3. (10pts) Encuentre la solución general de xy 0 − 3y =
x3
.
(ln x)2
4. (12pts) Considere la curva con ecuaciones paramétricas

 x = 2 cos3 t

con 0 ≤ t ≤ π/2
y = 2 sen3 t
(a) Halle el área de la superficie que se genera al rotar esta curva respecto a eje y.
(b) Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva cuando t = π/4.
5. (10pts) Considere la curva con ecuación polar r = 4 + 2 cos θ.
(a) Dibuje la curva con ecuaciones polares r = 4 + 2 cos θ.
(b) En el dibujo que usted hizo para el punto anterior, sombree la región de todos
los puntos (r, θ) que satisfacen
2 ≤ r ≤ 4 + 2 cos θ.
Universidad de Los Andes
Departamento de Matemàticas
MATE 1214 - CÁLCULO INTEGRAL - PARCIAL II
12 de marzo de 2009
• Favor escribir claramente
• Constestar en los espacios reservados para las respuestas
• Favor usar boligrafo o esfero para escribir.
• No se puede usar los calculadoras
• Una hoja sin nombre y código no se corrigir
• Responder todos los cinco (5) preguntas
• Todos los puntos valen lo mismo
• Duracin de examen : 75 minutos
1. Resuelva la ecuación diferencial:
x
dy
− 2y = x2
dx
2. La ley del enfriamiento de Newton establece que un objeto caliente se enfrı́a con una rapidez
proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del ambiente que lo rodea. Si se deja
reposar una tasa de café a 77◦ c en una habitación cuya temperatura es 22◦ c, cómo cambiará
la temperatura del café en el transcurso del tiempo?
3. Dibujen la curva definida por la ecuaciones paramétricas
x = t3 − t
y = t4 − 5t2 + 4.
4. Calcular la longitud de arco de la curva x = et cost, y = et sint, con 0 ≤ t ≤ π.
5. Calcular el área de la superficie generada al hacer rotar la curva alrededor del eje x
x = t3
y = t2 ,
0 ≤ t ≤ 1.
Punto 1.a
Punto 1.b
Punto 2.a
Punto 2.b
Punto 3.a
Punto 3.b
Segundo Parcial : Calculo integral, 9 de Marzo 2009,
Nombre y apellido
código
Sección
Nota
/60
Nota:
1. Por favor escribir claramente.
2. Contestar el los espacios reservsados para las soluciones de los ejercicios.
3. Una hoja sin nombre no se corrigirá.
4. sección 27= Carolina, sección 28= Jerson 11 a.m, sección 29=Pascual, sección 30=Jerson 1 p.m,
1. [/20] Resolver la ecuación diferencial siguiente
y 0 = 1 + x + y + xy, y(0) = 0
con dos métodos DISTINTOS (La separabilidad y la linealidad)
a) [/10] Primer método
b) [/10] Segundo método
2. [/20]
a) [/10] Plantear de dos formas distintas el área de la superficie obtenida girando la curva
p
y = x − x2 , 0 ≤ x ≤ 1/2
al rededor del eje y
b) [/10] Calcular dicha área.
3. [/20] Sea la curva paramétrica dada por x(t) = t2 − t, y(t) = (t − 2)et+2
a) [/10] Hallar los puntos del plano donde las tangentes son horizontales y verticales.
b) [/10] Bosquejar cuidadosamente la curva.
MATE-1214 – PARCIAL II
13 de marzo de 2009
Sección 21.
Por favor, conteste a las preguntas explicando claramente su respuesta. No se admite el uso
de libros, notas, calculadoras y teléfonos celulares. Para dejar el salon es necesario pedor permiso
al profesor. Las respuestas sin justificación no serán tenidas en cuenta. Tiempo: 60’.
¡Buena suerte!
(1.) (12 pts.) Integre la siguiente ecuación diferencial: y ′ =
1/4
xy
.
2 ln(y)
(2.) (10 pts.) Un vaso de café tiene la temperatura de 95◦ C y está en un lugar cuya temperatura
es de 20◦ C. Despues de un cierto tiempo t la temperatura del café es de 70◦ C y el café se está
enfriando a una tasa de 1◦ C/min. Determine este tiempo t.
[Recuerde que la ley que governa el enfriamento de un objecto es la ley de Newton:
dT
= k(T − Ts ),
dt
donde T es la temperatura del objecto, Ts la temperatura a sus alrederores, t es el tiempo y
k es una constante.]
2/4
(3.) Considere la ecuación diferencial xy ′ + y = −xy 2 .
(a) (3 pts.) Muestre que la substitución u = y −1 transforma esta ecuación en la ecuación
u′ − x1 u = 1.
(b) (12 pts.) Integre la ecuación u′ − x1 u = 1.
(c) (1 pt.) Dé las soluciones de la ecuación xy ′ + y = −xy 2 .
3/4
(4.) (12 pts.) Escriba la integral que calcula el área encerrada por la curva de ecuación polar
r = 2 cos(3ϑ).
4/4
Parcial 1, Calculus Integral, MATE 1214
Septiembre 24, 2009
1) Resolve la ecuacı́on x2 y 0 + 2xy = sin(x).
p
2) Resolve la ecuacı́on y 0 = x3 1 − y 2 , y(0) = 1.
3) Encuentra el area, en el plano xy, de la región acotada por la curva polar
r = sin(3Θ), 0 ≤ Θ ≤ π/3.
SUERTE!
1