Modelos Nucleares (II)

Departamento de Física
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El modelo de la gota líquida
1. Una detallada teoría de la ligadura nuclear,
basada en técnicas matemáticas y conceptos
físicos altamente sofisticadas, ha sido
desarrollada por Brueckner y colaboradores
(1954-1961).
2. Existe un modelo más crudo en el cual se
ignoran los aspectos más finos de las fuerzas
nucleares y se enfatiza la fuerte atracción
internuclear. Fue propuesto por Weizsäcker
(1935) sobre la base de una analogía, sugerida
por Bohr, de la materia nuclear con una gota
de líquido
El núcleo y sus radiaciones
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El modelo de la gota líquida
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Bave = B/A
En una gran parte de la Tabla
Periódica, la energía de ligadura
por nucleón es aproximadamente
constante.
La densidad de masa de la materia
nuclear es aproximadamente
constante en la mayoría de la tabla
periódica.
Estas dos propiedades de la materia nuclear son muy similares
a las propiedades de una gota de líquido, especificamente la
constante energía de ligadura por molécula, aparte del efecto
de tensión superficial, y la densidad constante de los líquidos
incomprensibles.
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Las suposiciones esenciales del modelo de gota de líquido:
1. Un núcleo esférico consistente de materia incomprensible, tal que R ~ A1/3.
2. La fuerza nuclear es idéntica para cada nucleón y en particular, no depende
de si éste es un protón o un neutrón.
Vpn = Vpp= Vnn (V denota el potencial nuclear)
3. La fuerza nuclear satura.
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El modelo de la gota líquida
La energía de ligadura del núcleo.
Definición:
B( A, Z )  [ZM p  NM n  M ( A, Z )]c2
(9)
El modelo de gota de líquido ̶ Fórmula de Weizsäcker
B( A, Z )  aV A  aS A
2/3
Z2
( N  Z )2
 aC 1/ 3  a A
  
A
A
Carl Friedrich von Weizsäcker, 1993
Un físico alemán (1912-2007).
(10)
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Z
(
N

Z
)
B( A, Z )  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
  
A
A
aV A
 a S A2 / 3
(10)
Es el “término de volumen ” que da cuenta de la energía de ligadura de
todos los nucleones como si cada uno de ellos estuviera enteramente
rodeado por otros nucleones.
Es el “término de superficie ” el cual corrige el término de volumen de
energía por el hecho de que no todos los nucleones están rodeados por
otros nucleones sino que se encuentran en la superficie o cerca de ella.
Los nucleones en la región de la superficie no son atraídos
tanto como lo son los que se encuentran en el interior del
un núcleo. Un término proporcional al número de nucleones
en la región de la superficie debe ser restado al término de
volumen.
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2
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Z
(
N

Z
)
B( A, Z )  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
  
A
A
Z2
 aC 1/ 3
A
(10)
Es el “término de Coulomb” el cual da la contribución a la energía del
núcleo debido a la energía potencial de la carga nuclear.
Suponiendo una esfera cargada de radio r, como se muestra en la figura (a). El trabajo adicional
requerido para adicionar una capa de grosor dr a la esfera, puede ser calculado asumiendo la
carga (4/3)πr3ρ de la esfera original esta concentrado en el centro del caparazón [ver figura (b)].
La energía potencial eléctrica del núcleo es por lo tanto
donde
1
4 3 
2
VCoulomb    r    (4r dr ) 
0
r
3

Ze

2 2
4 3
16 2 2 5 3 Z e
R
   R 
3
15
5 R
R
y
R ~ A1/ 3
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2
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Z
(
N

Z
)
B( A, Z )  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
  
A
A
(10)
Los tres términos que fueron discutidos previamente tienen un sentido clásico. Los
siguientes términos, que van a ser discutidos, son mecano cuánticos.
(1) El término de asimetría.
Estos incluyen
(2) El término de paring.
(3) El término de corrección de efecto de capa.
( N  Z )2
 aA
A
Es el “término de asimetría” el cual da cuenta del hecho de que si
todos los otros factores fueran iguales, los núcleos más fuertemente
ligados, con un dado A, es el más cercano a tener Z = N.
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B( A, Z )  aV A  aS A
2/3
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Z2
( N  Z )2
 aC 1/ 3  a A
  
A
A
(10)
El principio de exclusión de
Pauli establece que dos
fermiones no pueden ocupar
exactamente el mismo estado
cuántico.
Diferentes sistemas de energía debido a configuraciones asimétricas.
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1. Si Z = N, entonces ambos pozos
están llenos al mismo nivel (el nivel de
Fermi).
2. Si nos movemos un paso hacia arriba
afuera de la situación, es decir, en la
dirección de N > Z (o Z > N), entonces un
protón debe ser cambiado a un neutrón.
Todas las otras cosas estando iguales
(incluyendo igual masa de protón y
neutrón, este estado tiene energía ΔE
mayor que el estado inicial, donde ΔE es
el nivel de espaciado al nivel Fermi.
3. Un segundo paso en la misma dirección causa que el exceso sea 2ΔE.
4. Un siguiente paso significa mover un protón, hacia arriba, tres rangos mientras
cambia de protón a neutrón y el exceso se hace 5ΔE.
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Efecto acumulativo
N  Z  2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16,...
1, 2 , 5, 8, 13, 18, 25, 32,....
unidad de E
4. Por lo tanto, para cambiar de N – Z = 0 a N > Z, con A = N + Z permaneciendo
constante,requiere una energía de ~ (N – Z)2ΔE/8.
5. Esto es independiente si es tanto N o Z el cual se vuelve más largo y significa que, si
todas las otras cosas son iguales, nucleidos con Z = N tienen menos energía y están,
por lo tanto, más fuertemente ligados que núcleos con Z ≠ N.
6. Los niveles de energía de una partícula en un pozo de potencial tienen un espaciado
inversamente proporcional al volumen del pozo , así ΔE ~ A-1.
Este es el término de asimetría.
( N  Z )2
 aA
A
(11)
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2
2
Z
(
N

Z
)
B( A, Z )  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
  
A
A

Es el “término de pairing” el cual da cuenta del hecho de que un par de
nucleones iguales esta más fuertemente ligado que un par de nucleones
distintos.
1. Para un nucleído impar A (Z par, N impar o Z impar, N par)
→δ = 0.
2. Para un A par hay dos clases;
(a). Z impar, N impar (ii)
(b). Z par, N par (pp)
aP
 ( Z , A)  1 / 2 ,
A
→–δ
→+δ
aP  12 MeV
(12)
(10)
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2
2
Z
(
N

Z
)
B( A, Z )  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
  
A
A

(10)
Es el término que da cuenta del efecto de capa nuclear cuando Z o N es algún
número mágico. Este término es mucho menos importante que otros. Por lo tanto,
no esta incluido en la mayoría de las aplicaciones.
Una serie favorable de valores para los coeficientes:
aV = 15.560 MeV
aS = 17.230MeV
aC = 0.6970 MeV
aA = 23.385 MeV
aP = 12.000 MeV
(13)
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2
2
Z
(
N

Z
)
B( A, Z )  aV A  aS A2 / 3  aC 1/ 3  a A
  
A
A
(10)
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4-4 Parábolas de masa y línea de estabilidad
Si hacemos una reorganización de la fórmula de Weizsäcker, se puede escribir así:
  M n c 2  aV  a A 
M ( A, Z )c2  A  Z  Z 2   
(14)
aS
A1/ 3
   4a A  (M n  M p )c2 ≈  4a A
4a A aC
γ=
+ 1/ 3
A
A
Para un número A de masa fijo, esta es la ecuación de parábola con respecto a la variable Z.
Debemos diferenciar la ecuación (14) y encontrar la raiz (Z0, usualmente no es un número entero)
de la siguente ecuación (15). Z0 es el número nuclear óptimo de protones para un número A de
masa fijo. El sistema nuclear con un número de masa A especificado, es el más estable con número
de protón Z0.

A/ 2

2
(15)
Z



β + 2γZ 0 = 0
( Mc )  0
0
2 1  1 (a / a ) A2 / 3
Z
C
A
4
(16)
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Z0  

A/ 2

2 1  1 (a / a ) A2 / 3
C
A
(16)
4
De la ecuación (15) los sistemas nucleares más
estables con varios números de masa A están
determinados por el valor de Z0. Usando la relación
A = Z0 + N somos capaces de trazar líneas de
estabilidad en el N-Z plot. Esto sigue exactamente
la forma empírica de la línea de estabilidad en la
figura.
De la expresión (16), podemos reconocer que la
desviación de la línea de estabilidad desde N = Z o
Z = A/2 es causada por la competición entre la
energía de Coulomb, que favorece Z0 < A/2, y la
energía de asimetría que favorece Z0 = A/2.
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Para isobaras A-impar, δ = 0, y la
ecuación (14) da una sola parábola, la
cual es mostrada en la figura (a) para un
caso típico. Veremos más tarde que
M(A,Z) > M(A, Z+1)
la desintegración beta (electrón)
tiene lugar desde Z a Z+1
(15)
M(A,Z) > M(A, Z-1)
La captura electrónica y tal vez la
desintegración positrónica tiene
lugar desde Z a Z - 1
M ( A, Z )c  A  Z  Z   
2
2
(14)
Es claro, de la figura (a) que para
nucleídos A-impar puede haber solo un
isóbaro estable.
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M ( A, Z )c2  A  Z  Z 2   
(14)
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Para isobaras A-par, dos
parábolas son generadas por la
ecuación (14), difiriendo en
masa por2δ. Un caso típico esta
dado en la figura (b).
Dependiendo de la curvatura
de las parábolas y de la
separación 2δ, pueden haber
varios isóbaros estables par-par.
Figura (b) muestra que para
ciertos nucleidos impar-impar
ambas condiciones (15) se unen
por lo que la desintegración
electrónica y positrónica para
los nucleídos idénticos es
posible y de hecho ocurren.
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   decay
(Z , A)  (Z  1, A)  e  e
  decay
(Z , A)  (Z  1, A)  e  e
EC (electron capture)
e  (Z , A)  (Z  1, A)  e


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Tres tipos de
desintegración
β-.
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4-5 Las implicaciones de la fórmula semi-empírica de masa.
1. El término de volumen de binding aVA en la fórmula de masa significa que cada nucleón
interactúa solo con sus vecinos más cercanos y que la densidad constante es
equivalente a que la separación entre los vecinos más cercanos no cambia con A. Todo
esto significa saturación de la fuerza nuclear y que ésta es de corto rango.
2. La densidad nuclear de nucleones es aproximadamente 1 cada 7 fermis cúbicos, tal que
la separación promedio es de 1.9 fm. Por lo tanto, el rango debe ser 1-2 fm.
R  R0 A
1
3
R0  1.2 fm
1 fermi = 10-15 m
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El modelo de gas de Fermi es una aplicación mecano cuántica, cuantitativa, del
modelo de potencial medio discutido previamente. Le permite a uno dar cuenta
semi-cuantitativamente de varios términos en la fórmula de Bethe-Weizsäker. En
este modelo, los nucleídos están considerados como si estuvieran compuestos por
dos gases de fermiones, un gas de neutrones y un gas de protones . Las partículas
no interactúan, pero están confinadas a una esfera que posee las dimensiones del
núcleo. Las interacciones aparecen implícitamente por la suposición de que el
nucleón esta confinado en la esfera.
El modelo de gota de líquido esta basado en la saturación de fuerzas
nucleares y uno relaciona la energía del sistema con sus propiedades geométricas.
El modelo de Fermi está basado en los efectos de estadística cuántica en la energía
de los fermiones confinados. El modelo de Fermi provee un medio para calcular
las constantes aV, aS y aA en la fórmula de Bethe-Weizsäker, directamente de la
densidad ρ de la materia nuclear. El éxito semi-cuantitativo justifica
adicionalmente a esta fórmula.
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El modelo de gas de Fermi esta basado en el hecho de que una partícula de
spin ½, confinada en un volumen V, solo puede ocupar un número discreto
de estados. En el intervalo de momento d3p, el número de estados es
Vd 3 p
dN  (2s  1)
(2)3
(1)
con s= 1/2. Este número va a ser derivado luego para una caja cúbica, pero
es, en efecto, generalmente verdadero. Corresponde a una densidad en el
espacio de fases de 2 estados por 2πħ3 de volumen en el espacio de fases.
Ahora ponemos N partículas en el volumen. En el estado fundamental , las
partículas llenan los niveles más bajos de “single –particle”, es decir,
aquellos hasta un momento máximo llamado “momento de Fermi” ,pF,
correspondiente a una energía máxima,
F 
pF2
2m
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El modelo de gas de Fermi.
El momento de Fermi esta determinado por
Vp F3
N   dN  2 3
3 
p  pF
( 2)
 (3 n)
Esto determina la energía de Fermi:  
F
2m
2
2
2
3
(3)
donde n es el número de partículas por unidad de volumen (n = N/V).
La energía (cinética) total ε del sistema es:

p  pF
p2 3
 N F
2m 5
(4)
En un sistema con A = Z + N nucleones, la densidad de neutrones y protones
es respectivamente n0(N/A) y n0(Z/A), donde n0 ≈ 0,15 fm-3 es la densidad de
nucleones. La energía cinética total es entonces:
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3   2  2 Zn0  3
 2  2 Nn0  3 
   Z   N  Z
 3
 N
 3
 
5  2m 
A 
2m 
A  
2
2
( 5)
En la aproximación Z ~N ~ A/2, este valor de la densidad nuclear
corresponde a una energía Fermi para protones y neutrones de :
( 6)
 F  35MeV
que corresponde a un momento y a un número onda:
pF  265MeV c
k F  pF   1,33 fm 1
(7)
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Energías de volumen y superficie
De hecho, el número de estados (1) está ligeramente sobreestimado ya que
corresponde al límite continuo V  ∞ en donde la diferencia de energía
entre niveles se anula. Para convencernos, examinamos la estimación al
número de niveles en la caja cúbica de dimensiones lineales a. Las funciones
de onda y niveles de energía son:
8
 n1x   n2y   n3z 
 n1 ,n2 ,n3 ( x, y, z ) 
sen

sen
sen
a3
 a   a   a 
E  En1 ,n2 ,n3
 2 2 2
2
2


n

n

n
1
2
3
2
2ma
con ni > 0, y uno cuenta el número de estados tal que E ≤ E0, E0 fijo, que
corresponde al volumen de un octavo de esfera en el espacio (n1,n2,n3).
(8 )
(9 )
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El modelo de gas de Fermi.
En esta cuenta, no se debería tener en cuenta los tres planos n1=0, n2=0 y
n3=0 para los cuales la función de onda es cero, lo que no corresponde a una
situación física. Cuando el número de estados bajo consideración es muy
grande, como en mecánica estadística, esta corrección es insignificante. Sin
embargo, acá no es insignificante. El exceso correspondiente en (2) puede
ser calculado de una manera análoga a (1), se obtiene
Sd 2 p
dN  (2s  1)
(2) 2
pF2 S m F S
N 

2
8
4 2
(10)
Donde S es el área externa del volumen (S= 6a2 para un cubo, S= 4πr02 para
una esfera).
La expresión (2), luego de la corrección de este efecto, es
VpF3
SpF2
N 2 3
2
3  4
(11)
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La energía correspondiente es
p
V F pF S F pF
   dN ( p)  2 2 
0 2m
5 
8 2
pF
2
3
2
(12)
El primer término es energía de volumen, el segundo término es una
corrección de superficie, o un término de tensión superficial.
Para el primer orden en S/V la energía cinética por partícula es

3 
S
  F 1 
 ...
N 5  8Vp F


(13)
En la aproximación Z ~N ~ A/2, la energía cinética es
Ec  a0 A  as A
2
3
(14)
con
3
a0   F  21 MeV
5
3
3
as   F
 16,1 MeV
5 8r0 pF
(15)
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El modelo de gas de Fermi.
El segundo término es el coeficiente de superficie en la fórmula de BetheWeizsäcker, en buena concordancia con el valor experimental. La energía
media por partícula es la suma aV = a0 +U de a0 y de una energía potencial
U, la que puede ser determinada experimentalmente por dispersión de
neutrones por núcleos . Experimentos dan U~ -40MeV, esto es
aV  19MeV
En razonable concordancia el valor experimental.
(16)
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La energía de asimetría.
Consideramos ahora el sistema de dos gases de Fermi, con N neutrones y Z
protones adentro de una misma esfera de radio R. La energía total de los
dos gases (5) es
2
2

3
3
 2N 
 2Z  3 
E   F N 
  Z
 
5   A 
 A  

(17)
Donde despreciamos la energía superficial. Expandiendo esta expresión en
potencias del exceso de neutrones Δ = N – Z, obtenemos, para el primer
orden Δ/A,
3
 F ( N  Z )2
E  F 
 ...
5
3
A
(18)
Esta es precisamente la forma de la energía de asimetría en la fórmula de
Bethe-Weizsäker. Sin embargo, el valor numérico del coeficiente aa ~12
MeV es la mitad del valor empírico. Este defecto viene de hecho de que el
modelo de Fermi es muy simple y no contiene suficientes detalles sobre las
interacciones nucleares.