Tema: Sistema de Coordenadas Rectangulares

Tema: Sistema de Coordenadas Rectangulares
Fuente: Guía de Aprendizaje de Geometría Analítica, DGETA, México 2011, pp. 12 – 16.
Lee la siguiente información que tiene que ver
con el tema de Sistema de coordenadas
rectangulares.
Para localizar o determinar en donde esta un
objeto es indispensable indicar a partir de qué
punto nos referimos.
Al menos en alguna ocasión habrás tenido la
necesidad de explicarle a una persona el camino
que puede seguir para llegar a un lugar
determinado. Para ello, con seguridad tomas
como referencia casas o edificios con algunas
características especiales, además de los
posibles nombres de las calles por las que debe
pasar esa persona. Lo que haces con ello es
tratar de dar la ubicación de un objeto tomando
como referencia otro. Hoy en día existen satélites
que permiten asignar coordenadas a puntos
sobre nuestro espacio y que forman parte del
llamado sistema de posicionamiento global
(GPS), con lo que es posible la localización de
puntos específicos de la superficie terrestre
desde el espacio.
Ese punto se denomina punto de referencia, y
con base en el podemos mencionar cuán lejos o
cerca está un objeto en relación con otro: si esta
al norte, al sur, a la izquierda o a la derecha.
Puntos en el plano
Coordenadas cartesianas rectangulares en el
plano.
Un plano cartesiano está formado por dos líneas
perpendiculares, llamadas ejes coordenados,
cuyo punto de intersección se denomina origen.
A la línea horizontal se le denomina eje x o de
las abscisas, y a la línea vertical, eje y o de las
ordenadas. Los ejes cartesianos dividen al plano
en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los
cuales se enumeran, como se muestra en la
figura 1.
Por ejemplo, para trazar el punto (3,1), (fig. 1),
procederemos de la siguiente manera:
Paso 1. Señalaremos primero el punto 3
sobre el eje x, que está a tres unidades a la
derecha del origen.
Paso 2. A partir del 3, sobre una paralela al
eje y, mediremos una unidad hacia arriba del
eje x, obteniendo así el punto (3,1).
Fig. 1
Teniendo a estos ejes así construidos, es
perfectamente posible identificar a cualquier
punto en el plano.
La localización de puntos en el plano le
llamaremos trazado de puntos.
Distancia entre dos puntos
Sea P(x1, y1) y Q(x2, y2), dos puntos
cualesquiera de un plano coordenado como
el que se muestra en la siguiente figura.
En el siguiente ejemplo se desea determinar
la distancia que existe entre el punto A y B.
Analízalo:
¿Cómo determinar la distancia entre los
puntos P y Q.
Sea R el punto de intersección de la línea
recta que pasa por P y es paralela al eje X,
con la línea recta que pasa por Q y es
paralela al eje Y.
De acuerdo con la figura, se observa que la
distancia entre los puntos P y R, esta dada
por:
Y que la distancia entre los puntos Q y P, está
dada por:
Si se representa con d a la distancia entre los
puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), aplicando el
teorema de Pitágoras al triangulo rectángulo
PRQ, que se muestra en la figura, se tiene
que:
Formula que se utiliza para calcular la
distancia entre dos puntos P1(x1, y1) y
P2(x2, y2), dados en un plano coordenado.
División de un segmento en una razón
dada.
Como puede observarse, se han formado dos
triángulos semejantes de donde se puede
establecer la siguiente relación:
, es decir:
De manera similar para y:
De donde:
Por lo que las coordenadas del punto buscado son
P (5, 3).
Punto medio
El punto medio es un caso particular de la división
de un segmento en una razón dada, en la cual r = 1.
De acuerdo con ello, se pueden obtener las
siguientes expresiones:
De manera similar:
Ejemplo: Hallar las coordenadas del punto P (x, y)
que divide al segmento cuyos extremos son los
puntos A (1, 1) y B (11, 6) en una razón tal que:
Ejemplo:
Obtener el punto medio del segmento cuyos
extremos son los puntos A (3, –2) y B (-5, 4).
De acuerdo a la relación planteada, se pueden
aplicar las fórmulas obtenidas:
Por lo que las coordenadas del punto medio son: (1, 1).
Actividad 1
En pareja, y de ser necesario, con el auxilio de tu profesor, resuelve los siguientes ejercicios que
involucran a sistema de ejes coordenados.
Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas cartesiano y localiza los puntos siguientes:
A (-4, 2), B(1, 2), C(1, -2), D(3, 8), E(0, -4), F(-7, 2), G(2/3, 3/5) y H (0, -4/6).
Compara con tus compañeros la ubicación de los puntos en el eje de coordenadas, si existen
divergencias analícenlas y socialícenlas ante el grupo. De seguir las dudas coméntenlas con el
facilitador.
Actividad 2
Traza en tu cuaderno un eje de coordenadas rectangular, localiza los puntos siguientes:
A(5, 7), B(4, 4), C(-4, 2) y D(-3, 6), enseguida une los puntos, que darán forma a un cuadrilátero,
determina la distancia que existe entre ellos y calcula finalmente su perímetro.
Contrasta tu resultado con el de tus compañeros y socialízalo al grupo.
Actividad 3
Consigue 4 popotes de 18 cm de largo. Divide el primer popote en dos partes iguales, corta el
segundo en segmentos de 12 y 6 cm, y el tercero secciónalo en trozos de 2 y 16 cm. Contesta:
1. ¿Cuántas veces es más grande uno de los segmentos respecto al otro de cada popote?
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2. Encuentra la razón que existe entre cada segmento con la longitud original.
________________________________________________________________________
Haz dos cortes en el cuarto popote, de tal manera que la relación de los segmentos con la longitud
original sea 1/3.
3. ¿Cuánto vale la razón entre dos segmentos?
________________________________________________________________________
Dado un segmento cuyos extremos sean los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2), es posible encontrar las
coordenadas de un punto
P (x, y), tal que divida al segmento en una razón tal que
Una vez que sabes el procedimiento para encontrar el punto de división de un segmento en una
razón dada, reúnete con tus compañeros y resuelve el siguiente:
Problema:
El frente del solar de una casa es de 15 m. Una persona desea colocar cuatro postes en el frente de
su solar, de forma tal que estos se encuentren separados por distancias iguales.
Tomando esa medida a escala y colocándola sobre un eje de coordenadas de tal forma que sus
extremos se hagan coincidir en puntos con coordenadas que contengan números enteros, se
observa que el primero de los postes queda ubicado en la posición A (6, 9), mientras que el último
de ellos se ubica en el punto B(-3,-3).
Bajo esta distribución, que coordenadas le corresponderán a los postes que ocupen las posiciones C
y D. Las longitudes en los ejes coordenados están dadas en metros.
Actividad 4
El grupo se organizara formando equipos de 6 estudiantes para elaborar un ensayo que nos permita
determinar los volúmenes de basura que se generan durante un ciclo escolar en el plantel.
Para ello, se contabilizaran los contenedores de basura del plantel y de manera aleatoria cada
equipo en un día de la semana revisaran los contenedores seleccionados, para obtener información
del tipo de residuos sólidos que se generan diariamente en la comunidad escolar.
Estos serán separados y pesados por tipo de residuo, posteriormente determinaran y realizarán:
1. Graficar resultados y publicarlos al interior del plantel, para sensibilizarlos al respecto.
2. Establecer la razón de crecimiento de producción de basura generada el día lunes respecto de la
generada a lo largo de la semana.
3. En base a tus resultados elabora un mensaje dirigido a la comunidad escolar, con la finalidad de
entender el problema que representa la generación de basura en el planeta tierra y como minimizar
el efecto.
Actividad 5
Grafica en una hoja de papel milimétrico un plano cartesiano que contenga los puntos A (-1, 3), B
(7, -5) y C (3, -1). Mide con una escuadra las distancias de AB, BC y AC.
Realiza lo siguiente:
1. ¿Cuál es la longitud de las distancias?
Ahora aplica la formula de la distancia y compara resultados. ¿Son parecidos?