Problemas de repaso

PROBLEMAS RESUELTOS LEYES DE NEWTON
"No sé cómo puedo ser visto por el mundo, pero en mi opinión, me he comportado como un niño que
juega al borde del mar, y que se divierte buscando de vez en cuando una piedra más pulida y una
concha más bonita de lo normal, mientras que el gran océano de la verdad se exponía ante mí
completamente desconocido."
SIR ISAAC NEWTON
Esta era la opinión que Newton tenía de sí mismo al fin de su vida. Fue muy respetado, y ningún
hombre ha recibido tantos honores y respeto, salvo quizá Einstein. Heredó de sus predecesores,
como él bien dice "si he visto más lejos que los otros hombres es porque me he aupado a hombros
de gigantes"- los ladrillos necesarios, que supo disponer para erigir la arquitectura de la dinámica y
la mecánica celeste, al tiempo que aportaba al cálculo diferencial el impulso vital que le faltaba.
Este solucionario sobre las leyes de Newton tiene como objetivo colocar al servicio de la comunidad
universitaria y a todos los interesados en el tema de vectores, equilibrio y movimiento de los
cuerpos. Esta obra fue concebida buscando llenar en parte el vacío de conocimientos en el tema y
da las bases y fundamentos de una manera sencilla y de fácil entendimiento. Son problemas de las
físicas de Sears – Zemansky, Halliday – Resnick, Serway, Finn y otros grandes profesores en el
tema.
Para cualquier inquietud o consulta escribir a:
quintere@hotmail.com
quintere@gmail.com
quintere2006@yahoo.com
0HU
H1U
U
U
H2U
U
Erving Quintero Gil
Ing. Electromecánico
Bucaramanga – Colombia
2010
1
PROBLEMA DE REPASO DE LA FISICA DE SERWAY Pág. 132 de la cuarta edición
Considere los tres bloques conectados que se muestran en el diagrama.
Si el plano inclinado es sin fricción y el sistema esta en equilibrio, determine (en función de m, g y θ).
a) La masa M
b) Las tensiones T1 y T2.
Bloque 2m
N1
Bloque 2m
T2
W1X
ΣFx = 0
T1 – W1X = 0
m
T1
θ
Pero: W1X = W1 sen θ
W1 = (2m) * g
W1X = (2m * g) sen θ
T1
T1
2m
W1Y
T2
M
θ
W1 = 2m*g
Reemplazando
T1 – W1X = 0
T1 – (2m * g) sen θ
= 0 (Ecuación 1)
Bloque m
Bloque m
ΣFx = 0
T2 - T1 – W2X = 0
N2
Pero: W2X = W2 sen θ
W2X = (m * g) sen θ
Reemplazando
T2 - T1 – W2X = 0
T2 - T1 – (m*g) sen θ
T2
T1
W2 = m * g
W2X
θ
=0
W2Y
(Ecuación 2)
Resolviendo las ecuaciones tenemos:
T1 – (2 m * g) sen θ = 0
(Ecuación 1)
T2 - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 2)
T2 – (2 m * g) sen θ – (m * g) sen θ
T2 – (3 m * g) sen θ = 0
W2 = m*g
=0
T2 = (3 m*g) sen θ
T1 – W1X = 0
T1 = W1X = (2 m * g) sen θ
T1 = (2 m*g) sen θ
Bloque M
T2
Bloque M
ΣFY = 0
T2 – W3 = 0
T 2 = W3
W3 = M * g
2
W3 = M * g
T2 = M * g
Pero: T2 = (3 m * g) sen θ
T2 = M * g
M * g = (3m*g) sen θ
M = (3m) sen θ
a) La masa M
M = 3 m sen θ
Si se duplica el valor encontrado para la masa suspendida en el inciso a), determine:
c) La aceleración de cada bloque.
d) Las tensiones T1 y T2.
T2
La masa es M = 3 m sen θ
m
T1
El problema dice que se duplique la masa
M = 2 * (3 m sen θ)
M = 6 m sen θ
T1
2m
T2
M
Al duplicar la masa, el cuerpo
se desplaza hacia la derecha.
Bloque 2m
N1
W1X
ΣFx = (2 m) * a
T1 – W1X = 2 m * a
θ
Bloque 2m
T1
θ
Pero: W1X = W1 sen θ
W1 = 2 m * g
W1X = (2m * g) sen θ
W1Y
W1 = 2m*g
Reemplazando
T1 – W1X = 2 m * a
T1 – (2 m * g) sen θ = 2 m * a (Ecuación 1)
Bloque m
Bloque m
ΣFx = (m) * a
T2 - T1 – W2X = m * a
Pero: W2X = W2 sen θ
W2X = (m * g) sen θ
Reemplazando
T2 - T1 – W2X = m * a
N2
W2 = m*g
T2
T1
W2X
θ
W2 = m*g
W2Y
3
T2 - T1 – (m * g) sen θ
= m * a (Ecuación 2)
Bloque M
ΣFY = (6 m sen θ) * a
W3 - T2 = 6 m sen θ * a
T2
Bloque M
W3 = 6 m sen θ * g
Reemplazando
6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3)
Resolviendo las ecuaciones tenemos:
T1 – (2m * g) sen θ = 2m * a
(Ecuación 1)
T2 - T1 – (m*g) sen θ = m * a
(Ecuación 2)
6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3)
W3 = 6 m sen θ * g
– (2m*g) sen θ – (m *g) sen θ + 6 m sen θ * g = 2m * a + m * a
– (3m*g) sen θ + 6 m sen θ * g = 3m * a + 6 m sen θ * a
3 m g sen θ = 3 m * a + 6 m sen θ * a
+ 6 m sen θ * a
Cancelando las masas m
m g sen θ = m * a + 2 m sen θ * a
g sen θ = a + 2 sen θ * a
a + 2 sen θ * a = g sen θ
Factorizando la aceleración
a(1 + 2 sen θ) = g sen θ
a=
g senθ
1 + 2 senθ
Despejando la ecuación 3 para hallar T2
6 m sen θ * g - T2 = 6 m sen θ * a (Ecuación 3)
6 m sen θ * g - 6 m sen θ * a = T2
6 m sen θ ( g - a ) = T2
Pero: a =
g senθ
1 + 2 senθ
Reemplazando
g senθ ⎤
⎡
6 m sen θ ⎢g = T2
⎣ 1 + 2 sen θ ⎥⎦
Factorizando g
4
senθ ⎤
⎡
6 m g sen θ ⎢1 = T2
1 + 2 sen θ ⎥⎦
⎣
⎡ 1 + 2senθ - senθ ⎤
6 m g sen θ ⎢
⎥⎦ = T2
1 + 2 sen θ
⎣
⎡ 1 + senθ ⎤
6 m g sen θ ⎢
⎥ = T2
⎣ 1 + 2 sen θ ⎦
⎡ (6 m g sen θ ) * (1 + senθ ) ⎤
T2 = ⎢
⎥⎦
1 + 2 sen θ
⎣
Despejando la ecuación 1 para hallar T1
T1 – (2m*g) sen θ = 2m * a
(Ecuación 1)
T1 = 2m * a + 2m*g sen θ
Pero: a =
g senθ
1 + 2 senθ
⎛ g sen θ ⎞
T1 = 2 m ⎜
⎟ + 2 m g senθ
⎝ 1 + 2 sen θ ⎠
⎛ (2 m ) g sen θ ⎞
T1 = ⎜
⎟ + 2 m g senθ
⎝ 1 + 2 sen θ ⎠
⎛ 2 m g sen θ + [(2 m g senθ )(1 + 2senθ )] ⎞
T1 = ⎜
⎟
1 + 2 sen θ
⎝
⎠
⎛ 2 m g sen θ + 2 m g sen θ + 4 m g sen 2 θ
T1 = ⎜
⎜
1 + 2 sen θ
⎝
⎛ 4 m g sen θ + 4 m g sen 2 θ ⎞
⎟
T1 = ⎜
⎜
⎟
1 + 2 sen θ
⎝
⎠
Factorizando
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 4 m g sen θ ( 1 + sen θ ) ⎞
T1 = ⎜
⎟
1 + 2 sen θ
⎝
⎠
Si el coeficiente de fricción estática entre m y 2m y el plano inclinado es μS y el sistema esta en
equilibrio encuentre:
e) El valor mínimo de M.
f) El valor máximo de M.
T2
g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo
m
T1
T1
2m
θ
FR
T2
FR
M
5
Para hallar el valor mínimo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia
la izquierda y la fuerza de rozamiento se opone a esto.
Bloque 2m
ΣFx = 0
T1 + FR – W1X = 0
Pero: W1X = W1 sen θ
W1 = 2m * g
W1X = (2m * g) sen θ
Bloque 2m
FR
N1
W1X
T1
Reemplazando
T1 + FR – W1X = 0
T1 + FR – (2m * g) sen θ = 0 (Ecuación 1)
ΣFY = 0
N1 - W1Y = 0
θ
W1Y
W1 = 2m*g
Pero: W1Y = W1 cos θ
Pero: W1 = 2 m g
W1Y = 2 m g cos θ
N1 = W1Y
N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 2)
Pero: FR = μS * N1 (Ecuación 3)
FR = μ *2 m g cos θ
Reemplazando en la ecuación 1, tenemos
T1 + FR – (2m * g) sen θ = 0
T1 + μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4)
Bloque m
ΣFx = 0
T2 + FR - T1 – W2X = 0
Pero: W2X = W2 sen θ
W2 = m * g
W2X = (m * g) sen θ
T2 + FR - T1 – W2X = 0
T2 + FR - T1 – (m * g) sen θ = 0 (Ecuación 5)
ΣFY = 0
N2 – W2Y = 0
Bloque m
N2
T2
FR
T1
W2X
θ
W2Y
W2 = m*g
W2Y = W2 cos θ
6
Pero: W2 = m g
N2 = W2Y = m g cos θ
Pero: FR = μ * N2
FR = μ * m g cos θ (Ecuación 6)
Reemplazando la ecuación 6 en la ecuación 5
T2 + FR2 - T1 – (m*g) sen θ = 0
T2 + μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7)
Bloque M
Bloque M
ΣFY = 0
W 3 - T2 = 0
T 2 = W3
T2
W3 = M * g
T2 = M * g
M * g - T2 = 0 (Ecuación 8)
W3 = M * g
Resolviendo las ecuaciones tenemos:
T1 + μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 4)
T2 + μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 7)
M * g - T2 = 0 (Ecuación 8)
μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ
+ μ * m g cos θ
Sumado términos semejantes
μ *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ
+M*g =0
– (m*g) sen θ
+M*g =0
M * g = 3 m g sen θ - 3 μ m g cos θ
Se cancela la g (gravedad) como termino común
M = 3 m sen θ - 3 μ m cos θ
M = 3 m (sen θ - μ cos θ ) (Este es el valor mínimo de M para que el sistema se mantenga en
equilibrio)
Reemplazando M en la ecuación 8, hallamos T2
M * g - T2 = 0 (Ecuación 8)
3 m (sen θ - μ cos θ ) * g - T2 = 0
Despejando T2
T2 = 3 m (sen θ - μ cos θ )* g
Este es el valor de T2, cuando M es mínimo
f) El valor máximo de M.
Para hallar el valor máximo de M se considera que el cuerpo intenta el desplazamiento hacia la
derecha y la fuerza de rozamiento se opone a esto.
Bloque 2m
ΣFx = 0
7
T1 - FR1 – W1X = 0
Pero: W1X = W1 sen θ
W1 = 2m * g
W1X = (2m*g) sen θ
Bloque 2m
N1
Reemplazando
T1 - FR1 – W1X = 0
T1 - FR1 – (2m*g) sen θ = 0 (Ecuación 9)
ΣFY = 0
N1 - W1Y = 0
W1X
T1
FR
θ
W1Y
Pero: W1Y = W1 cos θ
Pero: W1 = 2 m g
W1 = 2m*g
N1 = W1Y
N1 = 2 m g cos θ (Ecuación 10)
Pero: FR = μ * N1
FR = μ *2 m g cos θ (Ecuación 11)
Reemplazando la ecuación 11 en la ecuación 9, tenemos
T1 - FR – (2m*g) sen θ = 0
T1 - μ * 2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 12)
Bloque m
Bloque m
ΣFx = 0
T2 - FR - T1 – W2X = 0 (Ecuación 13)
Pero: W2X = W2 sen θ
W2 = m * g
W2X = (m*g) sen θ
Pero: W2 = m g
Pero: W2Y = W2 cos θ
W2Y = m g cos θ
ΣFY = 0
N2 – W2Y = 0
N2 = W2Y = m g cos θ (Ecuación 14)
N2
T2
T1
W2X
FR
θ
W2Y
W2 = m*g
Pero: FR = μ * N2
FR = μ * m g cos θ (Ecuación 15)
Reemplazando la ecuación 15 en la ecuación 13
T2 - FR - T1 – W2X = 0 (Ecuación 13)
T2 - FR - T1 – (m*g) sen θ = 0
T2 - μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16)
8
Bloque M
Bloque M
ΣFY = 0
W 3 - T2 = 0
T 2 = W3
T2
W3 = M * g
T2 = M * g
M * g - T2 = 0 (Ecuación 17)
W3 = M * g
Resolviendo las ecuaciones tenemos:
T1 - μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ = 0 (Ecuación 12)
T2 - μ * m g cos θ - T1 – (m*g) sen θ = 0 (Ecuación 16)
M * g - T2 = 0 (Ecuación 17)
- μ *2 m g cos θ – (2 m * g) sen θ - μ * m g cos θ – (m * g) sen θ + M * g = 0
- μ *3 m g cos θ – (3 m * g) sen θ
+M*g =0
Se cancela la g (gravedad) como termino común
M * g = 3 m g sen θ + 3 μS m g cos θ
M = 3 m sen θ + 3 μ m cos θ
M = 3 m (sen θ + μ cos θ ) El valor máximo de M, para que el sistema no se desplace hacia la
derecha
Reemplazando M en la ecuación 17, hallamos T2
M * g - T2 = 0 (Ecuación 17)
3 m (sen θ + μ cos θ )* g - T2 = 0
Despejando T2
T2 = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g
Este es el valor de T2, cuando M es máximo.
g) Compare los valores de T2 cuando M tiene sus valores mínimo y máximo
Despejando T2
T2 = 3 m (sen θ - μ cos θ ) * g
Este es el valor de T2, cuando M es mínimo
Despejando T2
T2 = 3 m (sen θ + μ cos θ ) * g Este es el valor de T2, cuando M es máximo.
Problema 5 – 1 Edición cuarta; Problema 5 – 1 Edición quinta
Una fuerza F aplicada a un objeto de masa m1 produce una aceleración de 3 m/seg2 La misma
fuerza aplicada a un objeto de masa m2 produce una aceleración de 1 m/seg2 .
a) Cual es el valor de la proporción m1 / m2
b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F.
a) Por la acción de la segunda ley de newton, tenemos:
a1 = 3 m/seg2
a2 =1 m/seg2
9
F = m1 * a1 (Ecuación 1)
F = m2 * a2 (Ecuación 2)
Como la fuerza F es igual para los dos objetos, igualamos las ecuaciones.
m1 * a1 = m2 * a2
m1 a 2
1
=
=
m2
a1
3
m1
1
=
m2
3
b) Si se combinan m1 y m2 encuentre su aceleración bajo la acción de F.
MT = m1 + m2
F = (m1 + m2) * a
a =
F
(Ecuación 3)
m1 + m 2
Pero: F = m1 * a1 = m1 * 3
m1 =
F
3
F = m2 * a2 = m2 * 1
m2 =
F
= F
1
Reemplazando m1 y m2 en la ecuación 3, tenemos:
a =
F
F
F
3F 3
=
=
=
=
F
4F 4F 4
m1 + m 2
+ F
3
3
a = ¾ m/seg2
a = 0,75 m/seg2
Problema 5 – 2 Edición cuarta; Problema 5 – 20 Edición quinta
Tres fuerza dadas por F1 = (- 2i + 2j )N, F2 = ( 5i -3j )N, y F3 = (-45i) N actúan sobre un objeto para
producir una aceleración de magnitud 3,75 m/seg2
a) Cual es la dirección de la aceleración?
∑F = m * a
∑F = F1 + F2 + F3
θ
- 42
∑F = (- 2i + 2j ) + ( 5i -3j ) + (-45i) = m * a = m * (3,75 ) a
-1
Donde a representa la dirección de a
∑F = (- 42i - 1j ) = m * a = m * (3,75 ) a
F = 42 Newton
10
(- 42)2
F =
tg θ =
+ (- 1)2 = 1765 = 42 Newton
-1
= 2,3809 * 10 - 2
- 42
Θ = arc tg 2,3809 * 10-2
Θ = 181,360
42 = = m * (3,75 ) a
La aceleración forma un ángulo de 1810 con respecto al eje x.
b) Cual es la masa del objeto?
42 = m * (3,75 )
m=
42
= 11,2 Kg
3,75
c) Si el objeto inicialmente esta en reposo. Cual es su velocidad después de 10 seg?
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0
VF = a * t
pero: a = 3,75 m/seg2
Θ = 1810
VF = a * t = 3,75 m/seg2 * 10 seg
VF = 37,5 m/seg 1810
VX
VY
VF = 37,5 m/seg
d) Cuales son las componentes de velocidad del objeto después de 10 seg.
VX = VF * cos 181 = - 37,5 m/seg
VY = VF * sen 181 = - 0,654 m/seg
Problema 5 – 4 Edición Cuarta Serway
Una partícula de 3 kg parte del reposo y se mueve una distancia de 4 metros en 2 seg. Bajo la
acción de una fuerza constante única. Encuentre la magnitud de la fuerza?
m = 3 Kg.
X = 4 metros
T = 2 seg.
X = V0 t +
X=
1 2
a t pero; V0 = 0
2
1 2
at
2
2 X = a t2
a=
2 X 2*4 8
m
=
= =2
4
t2
22
seg 2
F=m*a
F = 3 * 2 = 6 Newton.
11
Problema 5 – 4 Edición quinta serway
Un tren sorprendentemente pesado tiene una masa de 15000 toneladas métricas. Si la locomotora
puede arrastrar con una fuerza de 750000 Newton. Cuanto tarda en incrementar su rapidez 0 a 80
km/hora.
m = 15000 toneladas. = 15000000 KG
F = 750000 Newton.
VF = 80
V0 = 0
VF = 80 km/hora.
km 1000 m
1 hora
m
*
*
= 22,22
hora 1 km
3600 seg
seg
F=ma
a=
F 750000 Newton
m
=
= 5 * 10 -2
m
15000000 kg
seg 2
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0
VF = a * t
V
22,22
t= F =
= 444,4 seg
a
5 *10 - 2
Problema 5 – 5 serway Edición Cuarta; Problema 5 – 5 serway Edición quinta
Una bala de 5 gr sale del cañón de un rifle con una rapidez de 320 m/seg. Que fuerza ejercen los
gases en expansión tras la bala mientras se mueve por el cañón del rifle de 0,82 m de longitud.
Suponga aceleración constante y fricción despreciable.
m = 5 gr. VF = 320 m/seg X = 0,82 m
0
2
2
(VF) = (V0) + 2 a X
2 a x = (VF)2
a=
(VF )2
2X
m = 5 gr *
= -
(320)2
2 * 0,82
= -
102400
m
= 62439,02
1,64
seg 2
1 kg
= 0,005 kg
1000 gr
F=m*a
F = 0,005 * 62439,02 = 312,91 Newton.
Problema 5 – 6 serway Edición cuarta; Problema 5 – 6 serway Edición quinta
Un lanzador tira horizontalmente hacia el frente una pelota de béisbol de 1,4 Newton de peso a una
velocidad de 32 m/seg. Al acelerar uniformemente su brazo durante 0,09 seg Si la bola parte del
reposo.
12
a) Que distancia se desplaza antes de acelerarse?
b) Que fuerza ejerce el lanzador sobre la pelota.
W = 1,4 Newton t = 0,09 seg. V0 = 0 VF = 32 m/seg
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0
VF = a * t
V
m
32
a= F =
= 355,55
t
0.09
seg 2
W=mg
m=
W 1,4 Newton
=
= 0,142 kg
m
g
9,8
seg 2
0
2
2
(VF) = (V0) – 2 * a * X
2 a x = (VF)2
X=
(VF )2
2a
=
(32)2
2 * 355,55
=
1024
= 1,44 metros
711,11
FX = m a = 0,142 * 355,55
FX = 50,79 Newton.
Problema 5 – 7 Serway Edición Cuarta; Problema 5-3 Serway Edición quinta
Una masa de 3 kg se somete a una aceleración dada por a = (2 i + 5 j) m/seg2 Determine la fuerza
resultante F y su magnitud.
F=ma
F = 3 * (2 i + 5 j)
F = (6 i + 15 j) Newton
FR = (15)2 + (6 )2
FR = 16,15 N
= 261 = 16,15 Newton
15 j
6i
Problema 5 – 8 Serway Edición cuarta
Un tren de carga tiene una masa de 1,5 * 107 kg. Si la locomotora puede ejercer un jalón constante
de 7,5 * 105 Newton. Cuanto tarda en aumentar la velocidad del tren del reposo hasta 80 km/hora.
m = 1,5 * 107 kg.
V0 = 0
VF = 80 km/hora.
F = 7,5 * 105 Newton.
VF = 80
km 1000 m
1 hora
m
*
*
= 22,22
hora 1 km
3600 seg
seg
13
F=ma
a=
F 7,5 * 10 5 Newton
m
=
= 5 * 10 - 2
m
1,5 * 10 7 kg
seg 2
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0
VF = a * t
V
22,22
t= F =
= 444,4 seg
2
a
5 *10
Problema 5 – 9 Serway Edición Cuarta
Una persona pesa 125 lb.
Determine
a) Su peso en Newton.
b) Su masa en kg.
W = 125 lb *
4,448 Newton
= 556 Newton
1 lb
W=mg
m=
W
556 N
=
= 56,73 kg
m
g
9,8
seg 2
Problema 5 – 22 Serway Edición quinta
Una masa de 3 kg se mueve en un plano, con sus coordenadas x,y dadas por X = 5t2 -1
Y = 3t2 +2 donde x,y esta en metros y t en segundos.
Encuentre la magnitud de la fuerza neta que actua sobre esta masa en t= 2 seg.
vx =
dx
dt
vx =
d (5t 2 - 1)
dt
Vx = 10 t
d vx
dt
d (10t)
ax =
dt
ax =
ax = 10 m/seg2
si t = 2 seg.
FX = m ax
14
FX = 3 * 10 = 30Newton
vy =
vy =
dy
dt
d (3t 3 + 2)
dt
Vy = 9 t2
ay =
ay =
d vy
dt
d (9t 2 )
dt
ay = 18 t
ay = 18 t = 18 * 2
ay = 36 m/seg2
FY = m a Y
FX = 3 * 36 = 108 Newton
F=
(FX )2
+ (FY )2
F=
(30)2
+ (108)2
= 12564 = 112,08 Newton
Problema 5 – 23 Serway Edición quinta
La distancia entre dos postes de teléfono es 50 metros. Un pájaro de 1 kg. Se posa sobre el cable
telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,2 metros. Dibuje un
diagrama de cuerpo libre del ave cuanta tensión produce el ave sobre el alambre. Ignore el peso del
cable.
Tg θ =
0,18
= 0,008
22,5
TX
TX
TY
θ = arc tg 0,008
TY
m = 1 Kg
W=m*
θ = 0,45830
50 metros
25 metros
∑ FY = 0
∑ F Y = T Y + TY - W = 0
25 metros
θ
θ
Pero:
Ty = T sen 0,4583
W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton
0,2 m
25 metros
m = 1 Kg
W=m*g
15
T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0
2 T sen 0,4583 = W = 9,8
T=
9,8
9,8
=
= 612,88 Newton.
2 sen 0,4583 1,6 * 10 - 2
Problema 5 – 24 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 11 Serway Edición quinta; Problema 5
– 7 Serway Edición sexta
Un electrón de masa 9,11 * 10 – 31 kg tiene una rapidez inicial de 3 * 105 m/seg. Viaja en línea recta y
su rapidez aumenta a 7 * 105 m/seg. En una distancia de 5 cm. Suponiendo que su aceleración es
constante,
a) determine la fuerza ejercida sobre el electrón
b) Compare esta fuerza con el peso del electrón, la cual se ha despreciado
5 cm
V0 = 3 * 105 m/seg.
VF = 7 * 105 m/seg
(VF)2 = (V0)2 + 2 * a * X
(VF)2 - (V0)2 = 2 * a * X
(7 * 105)2 - (3 * 105)2 = 2 * a * X
(49 * 1010) - (9 * 1010) = 2 * a * X
(40 * 1010) = 2 a X
Pero: X = 5 cm = 0,05 metros
a=
40 * 1010
2 X
=
m
40 *1010 40 *1010
=
= 4 *1012
0,1
2 * 0,05
seg 2
F=ma
Pero: m = 9,11 * 10 – 31 kg
F = 9,11 * 10 – 31 * (4 * 1012)
F = 3,644 * 10 – 18 Newton
b) Compare esta fuerza con el peso del electrón, la cual se ha despreciado
Peso del electrón = masa del electrón * gravedad
Peso del electrón = 9,11 * 10 – 31 kg * 9,8 m/seg2
Peso del electrón = 8,9278 * 10 – 30 Newton
fuerza del electron
3,644 * 10 - 18
=
= 0,4081 * 10 9
-30
peso del electron
8,9278 * 10
El electrón es 408 mil millones de veces más pequeño con respecto al valor de la fuerza
ejercida sobre el electrón.
16
Problema 5 – 24 Serway Edición quinta; Problema 5 – 18 Serway Edición Sexta
Una bolsa de cemento de 325 Newton de peso cuelgan de 3 alambres como muestra la figura. Dos
de los alambres forman ángulos θ1 = 600 θ2 = 250 con la horizontal.
Si el sistema esta en equilibrio encuentre las tensiones T1 , T2 y T3
T1Y = T1 . sen 60
T2Y = T2. sen 25
T1X = T1 . cos 60
T2X = T2 . cos 25
600
250
Σ FX = 0
T1X - T2X = 0 (ecuación 1)
T1X = T2X
T2 . cos 25 = T1 . cos 60
T2 . 0,9063 = T1 . 0,5
T1
0,5
* T1 = 0,5516 T1 (Ecuación 1)
T2 =
0,9063
T2
T3
W = 325 N
Σ FY = 0
T1Y + T2Y – W = 0
T1Y + T2Y = W pero: W = 325 N
T1Y + T2Y = 325
T1 . sen 60 + T2. sen 25 = 325
0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
0,866 T1 + 0,4226 T2 = 325
0,866 T1 + 0,4226 *(0,5516 T1) = 325
T1
0,866 T1 + 0,2331 T1 = 325
1,099 T1 = 325
325
= 295,72 Newton
1,099
T1 = 295,72 N.
T1 =
Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1.
T2 = 0,5516 T1
T1Y
T2
60
25 0
T1X
T2X
0
T 2Y
W = 325 N
T2 = 0,5516 * (295,72)
T2 = 163,11 Newton.
Problema 5 – 26 Serway Edición Cuarta
Encuentre la tensión en cada cuerda para los sistemas mostrados en la figura P5.26. Ignore la masa
de las cuerdas.
∑ FX = 0
∑ FX = T2X – T1X = 0
T2X = T1X
17
Pero:
T2X = T2 cos 50
T1X = T1 cos 40
400
Reemplazando
T2X = T1X
T1
T2
T3
T2 cos 50 = T1 cos 40
T2 0,6427 = T1 0,766
m = 5 Kg
T 0,766
T2 = 1
= T1 1,1918
0,6427
T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1)
500
T1Y
∑ FY = 0
∑ FX = T2Y + T1Y - W = 0
Pero:
T2Y = T2 sen 50
T1y = T1 sen 40
W = m * g = 5 * 9,8 = 49 Newton
T1
400
T1X
T2
T3
T2Y
500
T2X
m = 5 Kg
W=m*g
Reemplazando
T2Y + T1Y - W = 0
T2 sen 50 + T1 sen 40 – 49 = 0
T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2.
pero: T2 = 1,1918 T1
(1,1918 T1) * 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0
(0,9129 T1) + T1 0,6427 = 49
1,5556 T1 = 49
T2 0,766 + T1 0,6427 – 49 = 0
T1 =
49
= 31,5 Newton
1,5556
Se reemplaza en la ecuación 1
T2 = 1,1918 T1 (ecuación 1)
T2 = 1,1918 (31,5 ) = 37,54 Newton
T2 = 37,54 Newton.
18
∑ FX = 0
∑ FX = T2 – T1X = 0
600
T2 = T1X
T1
T1
Pero:
T1X = T1 cos 60
T2
T1Y
600
Reemplazando
T2 = T1X
T2 = T1 cos 60
T2 = T1 0,5
T1X
T3
T2
T3
T
T1 = 2 (Ecuación 1)
0,5
T3
m = 10 Kg
∑ FY = 0
∑ FY = T1Y - W = 0
Pero:
T1y = T1 sen 60
W = m * g = 10 * 9,8 = 98 Newton
Reemplazando
T1Y - W = 0
T1 sen 60 – 98 = 0
T1 sen 60 = 98
(ecuación 2)
98
98
T1 =
=
= 113,16 Newton
0,866
sen 60
Reemplazando en la ecuación 1
T
113,16
T1 = 2 =
= 56,58 Newton
0,5
0,5
Problema 5 – 28 Serway Edición quinta
Un helicóptero contra incendios transporta un recipiente de 620 kg en el extreme de un cable de 20
metros de largo. Al volar de regreso de un incendio a rapidez constante de 40 m/seg, el cable forma
un ángulo de 400 respecto de la vertical.
a) Determine la fuerza de la resistencia del aire sobre el recipiente
b) Después de llenar el recipiente con agua de mar el piloto regresa al incendio a la misma
rapidez, pero ahora el recipiente forma un angulo de 70 con la vertical. Cual es la masa del
agua en el recipiente?
∑ FY = 0
TY = T cos 40
TX = T sen 40
TY – W = 0
TY – m g = 0
19
T cos 40 – m g = 0
T cos 40 = m g
T=
mg
620 * 9,8
6076
=
=
= 7931,65 Newton
cos 40
0,766
0,766
TY
400
T
T
TY
FR
TX
TX
W=mg
∑ FX = 0
T X - FR = 0
T sen 40 – FR = 0
FR = T sen 40
Pero: T = 7931,65 Newton
FR =7931,65 sen 40
FR = 7931,65 * 0,6427
FR = 5098,369 Newton (Fuerza de rozamiento)
c. Después de llenar el recipiente con agua de mar el piloto regresa al incendio a la misma rapidez,
pero ahora el recipiente forma un ángulo de 70 con la vertical. Cual es la masa del agua en el
recipiente?
Hallamos la nueva tensión en la cuerda
∑ FX = 0
T X - FR = 0
Pero: TX = T sen 7
FR = 5098,369 Newton
T sen 7 – FR = 0
T sen 7 – 5098,369 = 0
T sen 7 = 5098,369
T=
5098,369
= 41834,63 Newton
sen 7
∑ FY = 0
TY = T cos 7
TY – Wt = 0
T cos 7 – Wt = 0
T
TY
FR
Tx
Wt = m g + peso del agua de mar
20
Wt = T cos 7
Wt = 41834,63 cos 7
Wt = 41522,8 Newton
Wt = 41522,8 = mt *g
mt =
41522,8
= 4237,02 kg (La masa del recipiente + la masa del agua de mar)
9,8
mt = La masa del recipiente + la masa del agua de mar
La masa del recipiente = 620 Kg
masa del agua de mar = mt - masa del recipiente
masa del agua de mar = 4237,02 – 620 = 3617,02 kg
masa del agua de mar = 3617,02 kg
Problema 5 – 29 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 17 Serway Edición sexta
La distancia entre dos postes de teléfono es 45 metros. Un pájaro de 1 kg se posa sobre cable
telefónico a la mitad entre los postes de modo que la línea se pandea 0,18 metros. Cual es la
tensión en el cable (Ignore el peso del cable).
45 metros
22.5 metros
Tg θ =
0,18
= 0,008
22,5
22.5 metros
0,18 m
θ
θ
θ = arc tg 0,008
θ = 0,45830
m = 1 Kg
W=m*g
∑ FY = 0
∑ F Y = T Y + TY - W = 0
Pero:
Ty = T sen 0,4583
W = m * g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton
TX
TX
TY
TY
m = 1 Kg
W=m*g
T sen 0,4583 + T sen 0,4583 - W = 0
2 T sen 0,4583 = W = 9,8
T=
9,8
9,8
=
= 612,88 Newton.
2 sen 0,4583 1,6 * 10 - 2
21
Problema 5-30 Serway cuarta edición; Problema 5 – 27 Serway Quinta edición; Problema 5-21
Serway sexta edición
Los sistemas que se muestran en la figura están en equilibrio. Si la balanza de resorte esta calibrada
en Newton. Que lectura indica en cada caso?
Ignore las masas de poleas y cuerdas y suponga que el plano inclinado es sin fricción.
Bloque m1
Σ FY = m1 a
Bloque m1
pero el sistema esta en
equilibrio, luego la
aceleración es cero.
T1
T1
g = 9,8 m/seg2
m1 = 5 kg
W 1 - T1 = 0
m 1 g = T1
m2 = 5 kg
m1 = 5 kg
W1 = m1 * g
T1 = 9,8 * 5 = 49 Newton
T1 = 49 Newton
Problema 5 - 32 Serway cuarta edición; Problema 5 – 44 Serway Quinta edición; 5-40 Serway
sexta edición
Una mujer en el aeropuerto jala su maleta de 20 kg a una rapidez constante y su correa forma un
ángulo θ respecto de la horizontal (figura p5 – 44). Ella jala la correa con una fuerza de 35 Newton y
la fuerza de fricción sobre la maleta es de 20 Newton.
Dibuje un diagrama de cuerpo libre para la maleta.
a) Que ángulo forma la correa con la horizontal?
b) Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta?
∑ FX = 0
(No existe aceleración por que
se desplaza a velocidad constante)
FX – FR = 0
F X = FR
F = 35 N
θ
Maleta
Pero: FX = F cos θ
F cos θ = FR
35 cos θ = 20
cos θ =
FR = 20 N
20
= 0,5714
35
N
θ = arc cos 0,5714
θ = 55,150
Que fuerza normal ejerce el piso sobre la maleta?
∑ FY = 0
N + FY – W = 0
N = W - FY
F = 35 N
FY
θ
FR
FX
W=mg
22
Pero: FY = F sen θ
FY = 35 sen 55,150
FY = 28,7227
N = W - FY
N = m g – FY
N = 20 * 9,8 - 28,7227
N = 196 - 28,7227
N = 167,27 Newton
PROBLEMA 5 – 33 Serway CUARTA EDICION
Un bloque de masa m = 2 Kg. Se mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de ángulo θ = 600
mediante una fuerza horizontal F, como se muestra en la figura P5 – 33.
a) Determine el valor de F, la magnitud de F.
b) Encuentre la fuerza normal ejercida por el plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción).
Σ FX = 0
FX – WX = 0 (Ecuación 1)
FX = WX
F
Pero: FX = F cos 60
WX = W sen 60
F cos 60 = W sen 60
sen 60
F=W
= W tg 60 = m g tg 60 = 2 * 9,8 *1,732 = 33,94 Newton
cos 60
F = 33,94 Newton
Encuentre la fuerza normal ejercida por el
plano inclinado sobre el bloque (ignore la fricción).
W
0
60
FX
WX
FY
300
600
F
300
Σ FY = 0
N – WY – FY = 0 (Ecuación 2)
Pero: FY = F sen 60
WY = W cos 60
EJE X
N
WY
W
Reemplazando en la ecuación 2
N – WY – FY = 0 (Ecuación 2)
N – W cos 60 – F sen 60 = 0
N – m g cos 60 – F sen 60 = 0
N – 2 * 9,8 * 0,5 – 33,94 * 0,866 = 0
N – 9,8 - 29,39 = 0
N = 9,8 + 29,39
N = 39,19 Newton
23
Problema 5 – 33 Serway Quinta edición; Problema 5-25 Serway sexta edición
A un bloque se le da una velocidad inicial de 5 m/seg. Hacia arriba de un plano sin fricción con una
inclinación de 200 Cuan alto se desliza el bloque sobre el plano antes de que se detenga
Σ FX = m a
WX = m a
Pero:
WX = W sen 20
W sen 20 = m a
N
N
m g sen 20 = m a
g sen 20 = a
X
WX
a = 9,8 sen 20
700
W
WY
200
a = 3,351 m/seg2
200
W
Pero; V0 = 5 m/seg
0
2
(VF) = (V0)2 - 2 * a * X
(V0)2 = 2 * a * X
(V )2
52
25
X= 0 =
=
= 3,729 metros
2a
2 * 3,351 6,703
X = 3,729 metros
Problema 5 – 34 Serway quinta edición; Problema 5 – 26 Serway sexta edición
Dos masas están conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como en
la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. y θ = 550 encuentre:
a) Las aceleraciones de las masas
b) La tensión en la cuerda
c) La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo.
m1 = 2 kg.
m2 = 6 kg.
θ = 550
Pero:
P1 = m1 g
P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton
P1 = 19,6 Newton
Bloque m1
Σ Fy = m1 a
T – P1 = m1 a
T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1)
T
T
m1 = 2 kg
m2 = 6 kg
Bloque m1
T
550
m1 = 1 kg
24
Pero:
P2 = m2 g
P2 = 6 * 9,8 = 58,8 Newton
P2 = 58,8 Newton
Bloque m2
Bloque m2
P2X = P2 sen 55
P2X = 58,8 sen 55
P2X = 48,166 Newton
Σ FX = m2 a
P2X – T = m2 a
48,166 – T = 6 a (Ecuación 2)
T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1)
48,166 – T = 6 a (Ecuación 2)
T
N2
P2X
P2Y
550
P2 = m2 g
- 19,6 + 48,166 = 2a + 6a
28,566 = 8a
28,566
= a(8 )
a =
28,566
m
= 3,57
8
seg 2
b) La tensión en la cuerda
T – 19,6 = 2 a (Ecuación 1)
T – 19,6 = 2 * 3,57
T – 19,6 = 7,14
T = 7,14 + 19,6
T = 26,74 Newton
La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo.
0
VF = V0 + a t
VF = a t
VF = 3,57 * 2
VF = 7,14 m/seg.
Problema 5.34 Serway cuarta edición
La bala de un rifle con una masa de 12 gr viaja con una velocidad de 400 m/seg
Y golpea un gran bloque de madera, el cual penetra una profundidad de 15 cm. Determine la
magnitud de la fuerza retardadora (supuesta constante) que actúa sobre la bala.
X = 15 cm = 0,15 m
m = 12 gr *
1 kg
= 0,012 kg
1000 gr
V0 = 400 m/seg VF = 0
25
0
2
(VF) = (V0)2 + 2 a X
- 2 a x = (V0)2
a=-
(V0 )2
2X
= -
(400 )2
2 * 0,15
= -
160000
m
= - 533333,33
0,3
seg 2
F = m a = 0,012 * (-533333,33) = - 6400 Newton
F =- 6400 Newton
Problema 5.34 Serway quinta edición; Problema 5 – 26 Serway sexta edición
Dos masas están conectadas por una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción, como en
la figura. Si el plano inclinado no tiene fricción y si m1 = 2 Kg. m2 = 6 Kg. Y θ = 550 encuentre:
d) Las aceleraciones de las masas
e) La tensión en la cuerda
f) La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo.
m1 = 1 kg.
m2 = 2 kg.
Bloque m1
Σ Fy = m1 a
T – P1 = m1 a
T – m1 g = m1 a (Ecuación 1)
Bloque m2
T
T
m1 = 2 kg
m2 = 6 kg
550
Pero:
P2 = m2 g
P2 = 6 * 9,8 = 19,6 Newton
P2 = 58,8 Newton
Bloque m2
P2X = P2 sen 55
P2X = 58,8 sen 55
P2X = 48,166 Newton
Σ FX = m2 a
P2X – T = m2 a
48,166 – T = m2 a (Ecuación 2)
T – m1 g = m1 a (Ecuación 1)
48,166 – T = m2 a (Ecuación 2)
T
N2
P2X
Bloque m1
P2Y
550
T
P2 = m2 g
m1 = 1 kg
48,166 -– m1 g = m1 a + m2 a
48,166 – 2* 9,8
= a(m1 + m2 )
48,166 – 19,6
= a(2 + 6 )
26
28,566
a =
= a(8 )
m
28,566
= 3,57
8
seg 2
b) La tensión en la cuerda
T – m1 g = m1 a (Ecuación 1)
T – 2 * 9,8 = 2 * 3,57
T – 19,6 = 7,14
T = 26,74 Newton
La rapidez de cada masa 2 seg. Después de que se sueltan desde el reposo.
0
VF = V0 + a t
VF = a t
VF = 3,57 * 2
VF = 7,14 m/seg.
Problema 5.36 Serway cuarta edición
La fuerza del viento sobre la vela de un velero es de 390 Newton en dirección al Norte. El agua
ejerce una fuerza de 180 Newton al este. Si el bote junto con la tripulación tiene una masa de 270
kg. Cuales son la magnitud y dirección de su aceleración?
FR =
(390)2 + (180)2
Tg θ =
390
= 2,1666
180
θ = arc tg 2,1666
θ = 65,220
FR = m * a
Pero: m = 270 Kg.
390 N
FR
θ
180 N
F
430
m
a = R =
= 1,59
m
270
seg 2
Problema 5.37 Edición cuarta Serway; Problema 5 – 37 Edición quinta; Problema 5-31 edición
sexta
Una fuerza horizontal FX actúa sobre una masa de 8 kg...
a) Para cuales valores de FX la masa de 2 kg. acelera hacia arriba?.
b) Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero.
c) Grafique la aceleración de la masa de 8 kg contra FX incluya valores de FX = - 100 N. y FX =
100 N
27
Bloque m1
Bloque m1
Σ FY = m1 a
Σ FY = T – P1 = m1 a
T – m1 g = m1 a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FX = m2 a
FX - T = m2 a (Ecuación 2)
a
T
m2 = 8 kg
T
FX
T
P1 = m1 g
Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.
(Ecuación 1)
T – m 1 g = m1 a
(Ecuación 2)
F X - T = m2 a
m1
- m1 g + FX = m1 a + m2 a
a (m1 + m2 ) = - m1 g + FX
a (2 + 8) = -2 * 9,8 + FX
10 a + 19,6 = FX
Si a = 0
FX = 19,6 Newton, es decir es la mínima fuerza necesaria para que el cuerpo se mantenga
en equilibrio.
Si a > 0 El cuerpo se desplaza hacia la derecha, por la acción de la fuerza FX
Para cuales valores de FX la tensión en la cuerda es cero.
Despejando la aceleración en la ecuación 1
T – m1 g = m1 a
T – 2g = 2 a
a=
T - 2g
2
Despejando la aceleración en la ecuación 2
F X - T = m2 a
FX - T = 8 a
a =
Bloque m2
N
T
FX
FX - T
8
Igualando las aceleraciones.
T - 2g FX - T
=
8
2
P2 = m2 g
8 * (T – 2g) = 2 * (FX – T)
8T – 16g = 2FX - 2T
8T + 2T = 2FX + 16g
10T = 2FX + 16g
T =
2Fx + 16g
1
= (FX + 8g )
10
5
28
T =
FX 8 g
+
5
5
Si T = 0
FX
8g
= 5
5
FX = - 8 g
Problema 5.38 Edición cuarta Serway; Problema 5.35 Edición quinta
Dos masas m1 y m2 situadas sobre una superficie horizontal sin fricción se conectan mediante una
cuerda sin masa Una fuerza F se ejerce sobre una de las masas a la derecha Determine la
aceleración del sistema y la tensión T en la cuerda.
Bloque m1
∑ FX = m1 a
T = m1 a (Ecuación 1)
m1
T
T
m2
F
Bloque m2
∑ FX = m2 a
F - T = m2 a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
T = m1 a
(Ecuación 1)
F - T = m2 a (Ecuación 2)
T
T
F
F = m1 a + m2 a
F = (m1 + m2 ) a
a=
F
m1 + m 2
Reemplazando en la ecuacion1
T = m1 a
(Ecuación 1)
F
m1 + m 2
m1 F
T=
m1 + m 2
T = m1 *
Problema 5.40 Edición cuarta Serway; Problema 5-32 quinta edición; Problema 5 – 22 sexta
edición
Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción que tiene una inclinación de θ = 150. Si el
bloque parte del reposo en la parte superior y la longitud de la pendiente es 2 metros, encuentre: La
magnitud de la aceleración del bloque?
a) Su velocidad cuando alcanza el pie de la pendiente?
Σ FY = 0
WY – N = 0
29
Pero: WY = W cos θ
WY = N
W cos θ = N
V0 = 0
Σ FX = m a
WX = m a
X = 2 metros
Pero: WX = W sen θ
W sen θ = m a
θ = 150
Pero: W = m g
N
m g sen θ = m a
g sen θ = a
a = 9,8 * sen 15
a =9,8 * 0,258
a = 2,536 m/seg2
WX
150
0
2
WY
2
(VF) = (V0) + 2 * a * X
W=mg
2 a x = (VF)2
VF = 2 a X =
2 * 2,536 * 2 = 3,18
m
seg
Problema 5.40 Serway Edición quinta
El coeficiente de fricción estática es 0,8 entre las suelas de los zapatos de una corredora y la
superficie plana de la pista en la cual esta corriendo. Determine la aceleración máxima que ella
puede lograr. Necesita usted saber que su masa es 60 kg?
∑FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
∑FY = 0
N–W=0
N=W
N=mg
Pero: FR = μ N
FR = μ m g
Reemplazando en la ecuacion1
FR = m a (Ecuación 1)
μ mg=ma
μ g=a
a = 0,8 * 9,8 = 7,84 m/seg2
a = 7,84 m/seg2
30
No se necesita saber la masa, como pueden ver se cancelan en la ecuación, es decir la masa
no tiene relación con la aceleración
Problema 5.41 Serway Edición cuarta; Problema 5 – 62 Serway Edición quinta
Un bloque de masa m = 2 kg se suelta del reposo a una altura h = 0,5 metros de la superficie de la
mesa, en la parte superior de una pendiente con un ángulo θ = 300 como se ilustra en la figura 5 –
41. La pendiente esta fija sobre una mesa de H = 2 metros y la pendiente no presenta fricción.
a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente
b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente.
c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo.
d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando golpea el
suelo.
e) La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores.
D
h = 0,5
θ = 300
VX
V0Y
V0 = - 3,13 m/seg
Y=2m
VX
VY
X
V
a) Determine la aceleración del bloque cuando se desliza hacia debajo de la pendiente
PX = P sen 30º
∑ FX = m a
PX = m a
PX = m g sen 30
PX = m a
PX
PY
m g sen 30 = m a
g sen 30 = a
a = 9,8 * 0,5
300
P
a = 4,9 m/seg2
La aceleración del bloque cuando se desliza hacia abajo por el plano inclinado
sen 30 =
h
D
D=
h
0,5
=
= 1 metro
sen 30 0,5
D = 1 metro
31
Cual es la velocidad del bloque cuando deja el plano inclinado
0
2
2
(VF) = (V0) + 2 * a * X
2 a x = (VF)2
VF = 2 a X =
2 * 4,9 * 1 = 3,13
m
seg
b) Cual es la velocidad del bloque cuando deja la pendiente.
La velocidad con la cual llega al final del plano inclinado, es la misma velocidad que el cuerpo inicia
el tiro parabólico. (Ver grafico.)
Es decir la velocidad inicial en el tiro parabólico es 3,13 mseg. Esta velocidad es negativa por que va
dirigida hacia abajo. (V0 = - 3,13 m/seg)
V0Y = Vo sen 30
V0Y = 3,13 sen 30
V0Y
V0Y = - 1,565 m/seg.
Esta velocidad es negativa por que va dirigida hacia abajo.
VX
300
V0 = - 3,13 m/seg
d) Cuanto tiempo ha transcurrido entre el momento en que se suelta el bloque y cuando
golpea el suelo.
Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico
Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el plano inclinado.
VF = V0 + a t pero V0 = 0
VF = a t
3,13 m
VF
seg
t=
=
= 0,638 seg
m
a
4,9
2
seg
t = 0,638 seg. (tiempo del cuerpo en el plano inclinado)
Es necesario hallar el tiempo que demora el cuerpo en el tiro parabolico
Pero
Y = 2 metros (V0Y = - 1,565 m/seg)
g*t2
2
2
g*t
- Y = - V0Y t Y = V0Y t +
Multiplicando la ecuación por (-1)
2
9,8 * t 2
2
2 = 1,565 t + 4,9 t 2
2 = 1,565 t +
Ordenando la ecuación, hallamos el tiempo que el cuerpo demora en el aire.
4,9 t2 + 1,565 t – 2 =0
a = 4,9 b = 1,565 c = - 2
2
- b ± b 2 - 4 a c - (1,565) ± (1,565) - 4 * 4,9 * (-2) - 1,565 ± 2,4492 + 39,2
t=
=
=
2a
2 * 4,9
9,8
32
t=
- 1,565 ± 41,6492
9,8
t1 =
-1,565 + 6,4536 4,88
=
9,8
9,8
t=
- 1,565 ± 6,453
9,8
t = 0,4988 seg. (tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO)
Tiempo total = tiempo en el plano inclinado + tiempo en el tiro parabolico
Tiempo total = 0,638 seg. + 0,4988 seg.
Tiempo total = 1,137 seg.
c) A que distancia de la mesa, el bloque golpeara el suelo.
X = VX * t
t es el tiempo del cuerpo en el TIRO PARABOLICO = 0,4988 seg
VX = Vo cos 30
VX = 3,13 * 0,866
VX = 2,71 m/seg.
VX
V0Y
Esta velocidad es positiva por que va dirigida hacia la derecha.
X = VX * t
X = 2,71 * 0,4988
300
V0 = - 3,13 m/seg
X = 1,351 metros
La masa del bloque influye en cualquiera de los cálculos anteriores.
No, la masa se cancela y por lo tanto no influye en los calculos.
Problema 5.42 Serway Edición quinta
Un auto de carreras acelera de manera uniforme de 0 a 80 millas/hora en 8 seg. La fuerza externa
que lo acelera es la fuerza de fricción entre los neumáticos y el camino. Si los neumáticos no
derrapan, determine el coeficiente de fricción mínima entre los neumáticos y el camino.
∑FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
Pero: FR = μ N
FR = μ m g
Reemplazando en la ecuación 1
FR = m a (Ecuación 1)
μ mg=ma
μg=a
a = 9,8 μ
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0
VF = a * t
pero: a = 9,8 μ
33
VF = 80
millas 1609 metros 1 hora
m
= 35,555
*
*
hora
1 milla
3600 seg
seg
35,555 = 9,8 μ * 8
35,555 = 78,4 μ
μ=
35,555
= 0,45
78,4
Problema 5.43 Serway
Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal.
a) Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1.
b) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
V0 = 50
millas 1609 metros 1 hora
m
= 22,34
*
*
hora
1 milla
3600 seg
seg
∑FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
Pero: FR = μ N
FR = μ m g
Reemplazando en la ecuación 1
FR = m a (Ecuación 1)
μ mg=ma
μg=a
a = 9,8 μ = 9,8 * 0,1 = 0,98
a = 0,98 m/seg2
0
2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X
2 a x = (V0)2
X=
(V0 )2 (22,34)2 499,0756
=
=
= 254,63 metros
2a
2 * 0,98
1,96
Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
∑FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
Pero: FR = μ N
FR = μ m g
Reemplazando en la ecuación 1
FR = m a (Ecuación 1)
μ mg=ma
μg=a
a = 9,8 μ = 9,8 * 0,6 = 5,88
34
a = 5,88 m/seg2
0
(VF)2 = (V0)2 – 2 * a * X
2 a x = (V0)2
X=
(V0 )2 = (22,34)2
2a
2 * 5,88
=
499,0756
= 42,43 metros
11,76
Problema 5.47 Serway cuarta edición
Un bloque que cuelga de 8,5 kg se conecta por medio de una cuerda que pasa por una polea a un
bloque de 6,2 kg. que se desliza sobre una mesa plana (fig. 5 – 47). Si el coeficiente de fricción
durante el deslizamiento es 0,2, encuentre: La tensión en la cuerda?
Bloque m1
Σ FY = 0
m1 * g – N1 = 0
m1 * g = N1 = 6,2 * 9,8 = 60,76 Newton
N1 = 60,76 Newton
FR = μ N1 = 0,2 * 60,76 = 12,152 Newton.
FR = 12,152 Newton.
Σ FX = m1 * a
T - FR = m1 * a (Ecuación 1)
m1 = 6,2 Kg.
Bloque m2
Σ FY = m 2 * a
m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2)
T
FR
T
Resolviendo las ecuaciones,
hallamos la aceleración del conjunto:
T - FR = m1 * a (Ecuación 1)
m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2)
-
m2 = 8,5 Kg.
F R + m 2 * g = m1 * a + m 2 * a
a (m1 + m2) = - FR + m2 * g
Pero: FR = 12,152 Newton.
m1 = 6,2 Kg.
m2 = 8,5 Kg.
a ( 6,2 + 8,5) = - 12,152 + (8,5 * 9,8)
a (14,7) = -12,152 + 83,3
a (14,7) = 71,148
a =
Bloque m1
Bloque m2
N1
T
FR
T
71,148 m
m
= 4,84
2
14,7 seg
seg 2
a = 4,84 m/seg2
W1 = m1 g
W2 = m2 g
35
Para hallar la tensión de la cuerda se reemplaza en la ecuación 2.
m2 * g – T = m2 * a (Ecuación 2)
m2 * g - m2 * a = T
T = 8,5 * 9,8 – 8,5 * 4,84 = 83,3 – 41,14 =
T = 42,16 Newton
Problema 5.47 quinta edición Serway
Un muchacho arrastra un trineo de 60 Newton con rapidez constante al subir por una colina de 150
Con una cuerda unida al trineo lo jala con una fuerza de 25 Newton. Si la cuerda tiene una
inclinación de 350 respecto de la horizontal.
a) Cual es el coeficiente de fricción cinética entre el trineo y la nieve.
b) En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la
magnitud de la aceleración al bajar la pendiente
∑ FX = 0 (No existe aceleración por que se desplaza a velocidad constante)
FX – FR – WX = 0 (Ecuación 1)
Pero: FX = F cos 20
FX = 25 cos 20
FX = 23,492 Newton
WX = W sen 15
WX = 60 sen 15
WX = 15,529 Newton
∑ FY = 0
N – WY + F Y = 0
N = WY - FY (Ecuación 2)
F = 25 N
350
150
FR
150
Pero: WY = W cos 15
WY = 60 cos 15
WY = 57,955 Newton
FY = F sen 20
FY = 25 sen 20
FY = 8,55 Newton
N = WY - FY (Ecuación 2)
N = 57,955 - 8,55
N = 49,405 Newton
FR = μ N
FR = μ 49,405
Reemplazando en la ecuación 1
FX – FR – WX = 0 (Ecuación 1)
F
FY
350
200
150
FX
N
WY
FR
150
WX W
36
23,492 - μ 49,405 - 15,529 = 0
μ 49,405 = 23,492 – 15,529
μ 49,405 = 7,963
μ =
7,963
= 0,161
49,405
μ = 0,161 coeficiente de friccion cinetica
En la parte alta de la colina el joven sube al trineo y se desliza hacia abajo. Cual es la magnitud de la
aceleración al bajar la pendiente.
∑ FX = m a
WX – FR = m a
WX
Pero: WX = W sen 15
WX = 60 sen 15
WX = 15,529 Newton
∑ FY = 0
N – WY = 0
N
FR
(Ecuación 1)
WY
0
15
W
Pero: WY = w cos 15
WY = 60 cos 15
WY = 57,955 Newton.
N = WY = 57,955 Newton.
FR = μ N = 0,161 * 57,955
FR = 9,33 Newton
W=mg
m=
W
=
g
60 N
= 6,122 Kg
m
9,8
seg 2
m = 6,122 kg (masa del trineo.)
Reemplazando en la ecuación 1
WX – FR = m a (Ecuación 1)
15,529 - 9,33 = 6,122 a
6,199 = 6,122 a
a=
m
6,199
= 1,01
6,122
seg 2
a = 1,01 m/seg2 (aceleración del trineo cuando va bajando por la colina)
Problema 5.48 Serway Edición cuarta; Problema 5.41 Serway Edición quinta
Un bloque de 25 kg esta inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. Se necesita una
fuerza horizontal de 75 Newton para poner el bloque en movimiento. Después de que empieza a
moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque en movimiento con rapidez
constante. Determine los coeficientes de fricción estática y cinética a partir de esta información.
37
∑FX = 0
F - FR = 0 (Ecuación 1)
∑FY = 0
N–W=0
N=W=mg
N = 25 * 9,8 = 245 Newton
N = 245 Newton
F = 75 N
m = 25 kg
FR = μCINET N
FR = 245 μCINET
Reemplazando en la ecuación 1
F - FR = 0 (Ecuación 1)
75 - 245 μCINET = 0
245 μCINET = 75
μ CINET =
75
= 0,306
245
Después de que empieza a moverse se necesita una fuerza de 60 Newton para mantener el bloque
en movimiento con rapidez constante. Determine los coeficientes de fricción estática
El cuerpo se desplaza a velocidad constante, entonces la aceleración es cero
∑FX = 0
F - FR = 0 (Ecuación 1)
∑FY = 0
N–W=0
N=W=mg
N = 25 * 9,8 = 245 Newton
N = 245 Newton
FR = μESTAT N
FR = 245 μESTAT
Reemplazando en la ecuación 1
F - FR = 0 (Ecuación 1)
60 - 245 μESTAT = 0
245 μESTAT = 60
μ ESTAT =
60
= 0,244
245
PROBLEMA 5.49 cuarta edicion Serway
Suponga que el coeficiente de fricción entre las ruedas de un auto de carreras y la pista es 1. Si el
auto parte del reposo y acelera a una tasa constante por 335 metros. Cual es la velocidad al final de
la carrera?
Σ FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
µN=ma
Pero:
38
Σ FX = 0
N-mg=0
N=mg
µN=ma
µmg=ma
µ g=a
a = 1 * 9,8 m/seg2
0
(VF )2
= (V0 )2 + 2 a X
(VF )2
=2 a X
VF = 2 a X =
2 * 9,8 * 335 = 81
m
seg
VF = 81 m/seg
Problema 5.52 serway Edición cuarta; Problema 5.43 serway Edición quinta
Un auto viaja a 50 millas/hora sobre una autopista horizontal.
c) Si el coeficiente de fricción entre el camino y las llantas en un día lluvioso es 0,1.
d) Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
V0 = 50
millas 1609 metros 1 hora
m
*
*
= 22,34
hora
1 milla
3600 seg
seg
∑FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
Pero: FR = μ N
FR = μ m g
Reemplazando en la ecuación 1
FR = m a (Ecuación 1)
μ mg=ma
μg=a
a = 9,8 μ = 9,8 * 0,1 = 0,98
a = 0,98 m/seg2
0
2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X
2 a x = (V0)2
X=
(V0 )2 (22,34)2 499,0756
=
=
= 254,63 metros
2a
2 * 0,98
1,96
Cual es la distancia de frenado cuando la superficie esta seca y μ = 0,6
39
∑FX = m a
FR = m a (Ecuación 1)
Pero: FR = μ N
FR = μ m g
Reemplazando en la ecuación 1
FR = m a (Ecuación 1)
μ mg=ma
μg=a
a = 9,8 μ = 9,8 * 0,6 = 5,88
a = 5,88 m/seg2
0
2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X
2 a x = (V0)2
X=
(V0 )2 = (22,34)2
2a
2 * 5,88
=
499,0756
= 42,43 metros
11,76
Problema 5.55 cuarta edición Serway; Problema 5.51 quinta edición; Problema 5.45 sexta
edición
Dos bloques conectados por una cuerda sin masa son arrastrados por una fuerza horizontal F.
Suponga F = 68 Newton m1 = 12 kg m2 = 18 kg y que el coeficiente de fricción cinético entre cada
bloque y la superficie es 0,1.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque
b) Determine la tensión T y la magnitud de la aceleración del sistema.
Bloque m1
Σ FY = 0
m1 * g – N1 = 0
m1 * g = N1 = 12 * 9,8 = 117,6 Newton
N1 = 117,6 Newton
m1
T
m2
T
F
FR1 = μ N1 = 0,1 * 117,6 = 11,76 Newton.
FR1 = 11,76 Newton.
Σ FX = m1 * a
T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FY = 0
m2 * g – N2 = 0
m2 * g = N2 = 18 * 9,8 = 176,4 Newton
N1
T
FR1
W1
N2
F
T
FR2
W2
N2 = 176,4 Newton
FR2 = μ N1 = 0,1 * 176,4 = 17,64 Newton.
40
FR2 = 17,64 Newton.
Σ FY = m 2 * a
F - FR2 – T = m2 * a (Ecuación 2)
Resolviendo las ecuaciones
T - FR1 = m1 * a
(Ecuación 1)
F - FR2 – T = m2 * a (Ecuación 2)
F - FR2 - FR1 = m1 a + m2 a
F – 17,64 – 11,76 = a ( 12 + 18)
68 – 29,4 = 30 a
38,6 = 30 a
a=
38,6
m
= 1,286
30
seg 2
T - FR1 = m1 * a (Ecuación 1)
T – 11,76 = 12 * 1,286
T – 11,76 = 15,44
T = 11,76 + 15,44
T = 27,2 Newton
Problema 5.56 Serway edición quinta: Problema 5.54 Serway sexta edición
Tres bloques están en contacto entre si sobre una superficie horizontal sin fricción, como en la figura
5 – 56. Una fuerza horizontal F es aplicada a m1.
Si m1 = 2 kg m2 = 3 kg m3 = 4 kg y F = 18 Newton.
Dibuje diagramas de cuerpo libre separados para cada bloque y encuentre.
a) La aceleración de los bloques
b) La fuerza resultante sobre cada bloque.
c) Las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques.
La aceleración de los bloques
mT = m1 + m2 + m3 = 2 + 3 + 4 = 9 kg
mT = 9 kg
F = mT a
a=
F 18 Newton
m
=
=2
mT 9
kg
seg 2
Bloque m1
Σ FX = m 1 a
F – FC1 = m1 a
18 - FC1 = 2 * 2 = 4
18 - FC1 = 4
FC1 = 18 - 4
FC1 = 14 Newton
FC2
FC1
F = 18 N
m1
m2
m3
m2
m1
FC1
FC2
FC1
F
La fuerza resultante en el bloque m1 es:
F1 = F – FC1
41
F1 = 18 – 14 = 4 Newton
Bloque m2
Σ FX = m 2 a
FC1 - FC2 = m2 a
14 - FC2 = 3 * 2 = 6
14 - FC2 = 6
FC1 = 14 - 6
m3
FC2 = 8 Newton
La fuerza resultante en el bloque m2 es:
F2 = FC1 - FC2
FC2
F2 = 14 – 8 = 6 Newton
Bloque m3
Σ FX = m 3 a
FC2 = m3 a
FC2 = 4 * 2 = 8
FC2 = 14 - 6
FC2 = 8 Newton
La fuerza resultante en el bloque m3 es:
F3 = FC2
F2 = 8 Newton
Problema 5.57 Edición cuarta Serway; Problema 5 – 45 edición quinta; Problema 5-41 Edición
sexta
Un bloque de 3 kg parte del reposo en la parte superior de una pendiente de 300 Y se desliza 2
metros hacia abajo en 1,5 seg.
Encuentre:
a) La magnitud de la aceleración del bloque.
b) El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano.
c) La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.
d) La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.
N
La magnitud de la aceleración del bloque.
m = 3 Kg.
X = 2 metros
t = 1,5 seg.
V0 = 0
X = V0 t +
X=
V0 = 0
X = 2 metros
t = 1,5 seg.
1 2
at
2
1 2
at
2
600
W
300
2 X = a t2
a=
2 X 2*2
4
m
=
=
= 1,77
t 2 1,5 2 2,25
seg 2
a = 1,77 m/seg2
42
El coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano.
∑ FX = m a
WX – FR = m a (Ecuación 1)
Pero: WX = W sen 30
WX = m g sen 30
WX = 3 * 9,8 * 0,5
WX = 14,7 Newton.
N
FR
WX
∑ FY = 0
N – WY = 0
N = WY = W cos 30
N = m g cos 30
N = 3 * 9,8 * 0,866
N = 25,461 Newton
300
WY
W
FR = μ * N
FR = μ * 25,461
Reemplazando en la ecuación 1
WX – FR = m a (Ecuación 1)
14,7 – μ * 25,461 = 3 * 1,77
14,7 - μ 25,461 = 5,31
μ 25,461 = 14,7 - 5,31
μ 25,461 = 9,39
μ=
9,39
= 0,368
25,461
μ = 0,368 coeficiente de friccion cinetica
La fuerza de fricción que actúa sobre el bloque.
FR = μ N
FR = 0,368 * 25,461
FR = 9,36 Newton
La rapidez del bloque después de que se ha deslizado 2 metros.
VF = V0 +a * t pero: V0 = 0 t = 1,5 seg.
pero: a =1,77 m/seg2
VF = a * t
VF = 1,77 * 1,5
VF = 2,65 m/seg
Problema 5.59 Serway cuarta edicion; Problema 5.50 quinta edición; 5.44 Serway Sexta
edición
En la figura p5 – 59 se muestran tres masas conectadas sobre una mesa. La mesa tiene un
coeficiente de fricción de deslizamiento 0,35 . Las tres masas son de 4 kg, 1 kg y 2 kg y las poleas
son sin fricción.
a) Determine la aceleración de cada bloque y sus direcciones.
b) Determine las tensiones en las dos cuerdas.
HAY ROZAMIENTO
Bloque m1
43
Σ FY = m1 a
W1 - T1 = m1 a
m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FX = m2 a
T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuación 2)
T1
Σ FY = 0
N2 – W = 0
N2 – m2 g = 0
N2 = m2 g = 1 * 9,8 = 9,8 Newton
N2 = 9,8 Newton
m2 = 1 kg
T2
T2
T1
T2
FR
g = 9,8 m/seg2
m1 = 4 kg
m3 = 2 kg
FR = μ * N2
FR = 0,35 *(9,8)
FR = 3,43 Newton
Bloque m3
Σ FY = m3 a
T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3)
Bloque m1
T1
a=
N2
T2
T1
Sumando las tres ecuaciones
m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1)
T1 - FR - T2 = m2 a (Ecuación 2)
(Ecuación 3
T 2 - m3 g = m3 a
m1 g - FR - m3 g = m1 a + m2 a + m3 a
m1 g - FR - m3 g = ( m1 + m2 + m3 ) a
4 * 9,8 – 3,43 – 2 * 9,8 = ( 4 + 1 + 2 ) a
39,2 – 3,43 – 19,6 = ( 7 ) a
16,7 = 7 a
Bloque m3
Bloque m2
T2
FR
m1 = 4 kg
W1 = m1 * g
m 2 = 1 kg
W2 = m2 * g
m3 = 2 kg
W3 = m3 * g
16,7
m
= 2,31
7
seg 2
Hallar la tensión T1
m1 g - T1 = m1 a (Ecuación 1)
4 * 9,8 - T1 = 4 * 2,31
39,2 - T1 = 9,24
39,2 - 9,24 = T1
T1 = 29,96 Newton
Hallar la tension T2
T2 - m3 g = m3 a (Ecuación 3)
T2 – 2 * 9,8 = 2 * 2,31
T2 – 19,6 = 4,62
T2 = 19,6 + 4,62
44
T2 = 24,22 Newton
Problema 5.59 Serway
Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas, como se
ilustra en la figura p5 – 59 .
Las poleas tienen masa y fricción despreciables.
Encuentre: a) La tensión en cada sección de la cuerda T1 T2 T3 T4 y T5
Bloque M
Σ FY = 0 (Por que la fuerza F aplicada mantiene el sistema en equilibrio.)
Σ FY = M g – T5 = 0
M g = T5
T4
POLEA 1
Σ FY = 0
T5 – T2 – T3 = 0
Polea 2
T3
PERO: T2 = T3
T5 – T2 – T2 = 0
T5 – 2 T2 = 0
T 5 = 2 T2 y T5 = 2 T3
T2 =
T5 M g
=
2
2
y T3 =
T1
T5 M g
=
2
2
Σ FY = 0
F–Mg=0 F=Mg
Σ FY = 0
F = T1
T1 = M g
T2
T3
T2
Polea 1
F
T5
W=Mg
POLEA 2
Σ FY = 0
T 1 + T2 + T3 = T4
M g + Mg/2 + Mg/2 = T4
T4 = 2 M g
Problema 5.7 Serway quinta edición.
Un bloque de 2 kg. se sitúa sobre la parte superior de un bloque de 5 kg. El coeficiente de fricción
cinética entre el bloque de 5 kg. y la superficie es 0,2. Una fuerza horizontal F se aplica al bloque de
5 kg.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque.
b) Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una
aceleración de 3 m/seg2
c) Encuentre el coeficiente mínimo de fricción estática entre los bloques, tal que el de 2 kg. no se
deslice menos de una aceleración de 3 m /seg2
45
a. Calcule la magnitud de la fuerza necesaria para jalar ambos bloques hacia la derecha con una
aceleración de 3 m/seg2
∑FY = 0 (ver diagrama de fuerzas masa de 5 kg)
N2 – m1 g - m2 g = 0
N2 = 2 kg * 9,8 m/seg2 + 5 kg * 9,8 m/seg2
N2 = 19,6 Newton + 49 Newton
N2 = 68,6 Newton
m1 = 2 kg.
m2 = 5 kg.
FR
FRE es la fuerza de rozamiento estática entre
Los 2 cuerpos.
F
FR es la fuerza de rozamiento cinético entre
El cuerpo de 5 kg y el piso.
La fuerza de rozamiento FR siempre se
opone al movimiento, por eso FR se dibuja
en sentido contrario al movimiento
μ = 0,2 coeficiente de fricción cinética, Se utiliza para hallar FR
FR = μ * N2
FR = 0,2 * 68,6 Newton
FR = 13,72 Newton
m2 = 5 kg.
N2
FR
F
W2 = m2 g
W1 = m1 g
mT = m1 + m2 = 2 kg + 5 kg
mT = 7 kg.
se suman las masas, por que un cuerpo esta encima del otro y se mueven a la vez,
como un solo cuerpo
a = 3 m/seg2
∑FX = mT * a
F - FR = mT * a
F – 13,72 = 7 * 3
F – 13,72 =21
F = 21 + 13,72 Newton
F = 34,72 Newton
c) Encuentre el coeficiente mínimo de fricción estática entre los bloques, tal que el de 2 kg. no se
deslice menos de una aceleración de 3 m /seg2
FRE = Fuerza de rozamiento debido al coeficiente de fricción estática.
μE = Coeficiente de fricción estática.
46
∑FY = 0 (ver diagrama de fuerzas masa de 2 kg)
N1 – m1 g = 0
N1 = 2 kg * 9,8 m/seg2
N1 = 19,6 Newton
∑FX = m1 * a
FRE = m1 * a
FRE =2 Kg * 3 m/seg2
FRE = 6 Newton
m1 = 2 kg.
FRE
N1
FRE = μE * N1
6 Newton = μE * 19,6 Newton
W1 = m1 g
6 Newton
μE =
= 0,3
19,6 Newton
μE = 0,3
Coeficiente de fricción ESTATICA, esto sirve para evitar que la masa de 2 kg. Se deslice sobre la
masa de 5kg cuando se aplique la tensión F en la cuerda.
Problema 5.74 Serway cuarta edición.
Un bloque de 5 kg. se coloca sobre de 10 kg. Una fuerza horizontal de 45 Newton se aplica al
bloque de 10 kg. y el bloque de 5 kg. se amarra a la pared. El coeficiente de fricción cinética entre
las superficies móviles es 0,2 .
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre para cada bloque e identifique las fuerzas de acción y
reacción entre los bloques.
b) Determine la tensión en la cuerda y la magnitud de la aceleración del bloque de 10 kg?
m2 = 5 kg.
T
m1 = 10 kg.
FR1 es la fuerza de rozamiento cinético entre
Los 2 cuerpos.
F = 45 Newton
FR2 es la fuerza de rozamiento cinético entre
La masa inferior y el piso.
Diagrama de cuerpo libre para m2
La fuerza de rozamiento FR2 es contrario a la fuerza T (tensión de la cuerda). Además la masa m2 no
se desplaza por que la tensión de la cuerda se lo impide.
N2
∑FY = 0
N2 – m2 g = 0
N2 = m2 g
N2 = 5 kg * 9,8 m/seg2
N2 = 49 Newton
T
FR1
W2 = m2 g
47
μC = 0,2 S e utiliza para hallar FR1 y FR2
FR1 = μC N2
FR1 = 0,2 * 49 Newton
FR1 = 9,8 Newton
Consideramos que hacia la derecha es positivo.
∑FX = 0
FR1 - T = 0
FR1 = T
T = 9,8 Newton
Diagrama de cuerpo libre para m1
Para el cuerpo m1 actúan las dos fuerzas de rozamiento y en
sentido contrario a la fuerza de 45 newton.
La normal N1 es la suma de los pesos de los dos cuerpos.
N1
FR2
∑FY = 0
N1 – m2 g – m1 g = 0
N1 = m2 g + m1 g
N1 = (5 kg * 9,8 m/seg2 ) + (10 kg * 9,8 m/seg2)
N1 = 49 Newton + 98 Newton
N1 = 147 Newton
FR1
F
W2 = m2 g
W1 = m1 g
μC = 0,2 S e utiliza para hallar FR1 y FR2
FR2 = μC N1
FR2 = 0,2 * 147 Newton
FR2 = 29,4 Newton
Consideramos que hacia la derecha es positivo. El cuerpo de masa m1 se desplaza hacia la
derecha, ocasionando una aceleración al sistema. Como existe un coeficiente de fricción
cinético es indudable que el cuerpo se desplaza hacia la derecha y origina una
aceleración al sistema.
∑FX = m1 * a
F - FR1 - FR2 = m1 * a
Pero: F = 45 Newton FR1 = 9,8 Newton
FR2 = 29,4 Newton
m1 = 10 kg.
F - FR1 - FR2 = m1 * a
45 – 9,8 – 29,4 = 5 * a
5,8 = 10* a
a=
58 Newton
m
= 0,58
10 kg
seg 2
Problema 5.83 Cuarta edición Serway; Problema 5-69 quinta edición; Problema 5-61 sexta
edición
Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura 5 – 83 con el propósito de que
los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro?
48
Suponga que todas las superficies, las ruedas y la polea son sin fricción (sugerencia: Observe que la
fuerza ejercida por la cuerda acelera a m1.
T
m1
T
M
F
Bloque m1
Σ FY = 0
m1 * g – N1 = 0
N2
m2
a = aceleración
(La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto, es decir el bloque m1 tiene una aceleración
igual a la del carro)
Σ FX = m1 * a
T = m1 * a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FY = 0 (La fuerza aplicada F sobre el carro impide que la masa m2 se desplace)
m2 * g – T = 0 (Ecuación 2)
Bloque m2
Resolviendo las ecuaciones, hallamos la aceleración del conjunto:
T
= m1 * a (Ecuación 1)
m2 * g – T = 0
(Ecuación 2)
m2 * g = m1 * a
m *g
a = 2
m1
Todos los bloques unidos
MT = (M + m1 + m2)
(La fuerza aplicada F sobre el carro acelera el conjunto)
N2
T
Bloque m1
N1
W2 = m2 g
Σ FX = mT * a
F = mT * a
T
F = (M + m1 + m2) * a
W1 = m1 g
49
Pero : a =
m2 * g
m1
Reemplazando tenemos:
F = (M + m1 + m 2 ) *
m2 * g
m1
Problema 5.84 cuarta edición Serway; Problema 5.70 quinta edición; Problema 5.63 sexta
edición
Inicialmente el sistema de masas mostrado en la fig se mantiene inmóvil. Todas las superficies,
poleas y ruedas son sin fricción. Dejemos que la fuerza F sea cero y supongamos que m2 puede
moverse solo verticalmente. En el instante ulterior en el que el sistema de masas se libere,
encuentre:
a) La tensión T en la cuerda?
La aceleración de m2 ?
b) La aceleración de M.
c) La aceleración de m1.
Bloque m1
Σ FY = 0
m1 * g – N1 = 0
(La aceleración resultante del sistema es la diferencia
entre las aceleraciones, es decir el bloque m1 tiene una
aceleración diferente a la del carro)
T
Σ FX = m1 * (a – A)
Σ FX = m1 * a – m1 * A
T = m1 * a – m1 * A (Ecuación 1)
Para el carro M
Σ FX = M * A
T = M * A (Ecuación 2)
a-A
a
m1
T
A
Bloque m2
Σ FY = m2 * a
(La masa m2 se desplaza hacia abajo
con aceleración = a)
m2 * g – T = m2 * a
m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3)
En la ecuación 1, despejamos la aceleración :
T = m1 * a – m 1 * A
M
m2
A = aceleración
Bloque m1
N1
T
T
T+ m1 * A = m1 * a
W1 = m1 g
W2 = m2 g
50
a =
T + m1 * A
T
=
+ A (Ecuación 1)
m1
m1
En la ecuación 2, despejamos la aceleración :
T=M* A
A=
T
M
(Ecuación 2)
Reemplazamos (ecuación 1) y (ecuación 2) en la (ecuación 3) para hallar la tensión en función
de la masa y gravedad.
m2 * g – m2 * a = T (Ecuación 3)
T + m1 * A
T
=
+ A (Ecuación 1)
m1
m1
⎡ T
⎤
+ A⎥ = T
m2 * g - m2 * ⎢
⎣ m1
⎦
pero: a =
A=
T
M
(Ecuación 2)
⎡ T
T⎤
m2 g - m2 ⎢
+ ⎥ = T
M
m
⎣ 1
⎦
⎡ T
T⎤
m2 g = m2 ⎢
+ ⎥ + T
⎣ m1 M ⎦
⎛ T ⎞
⎡ T⎤
⎟⎟ + m 2 ⎢ ⎥ + T
m 2 g = m 2 ⎜⎜
⎣ M⎦
⎝ m1 ⎠
⎛ m T ⎞ ⎡ m T⎤
m 2 g = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ + ⎢ 2 ⎥ + T
⎝ m1 ⎠ ⎣ M ⎦
⎡ m M T + m 2 m1 T + m1 M T ⎤
m2 g = ⎢ 2
⎥
m1 M
⎦
⎣
( m1
M)* m 2 g =
[ m2
M + m 2 m1 + m1 M ] T
(m1
M)
* m2 g = T
m 2 M + m 2 m1 + m1 M
⎤
⎡
m1 M
T = ⎢
⎥ * m2 g
⎣ m 2 M + m 2 m1 + m1 M ⎦
51
Problema 5.85 serway cuarta edición
Los tres bloques de la figura están conectados por medio de cuerdas sin masa que pasan por
poleas sin fricción. La aceleración del sistema es 2,35 cm/seg2 a la izquierda y las superficies son
rugosas. Determine:
a) Las tensiones en la cuerda
b) El coeficiente de fricción cinético entre los bloques y las superficies (Supóngase la misma μ
para ambos bloques)
Datos: m1 = 10 kg.
a = 2,35 cm/seg2
m2 = 5 kg. m3 = 3 kg
g = 9,8 m/seg2
Bloque m1
Bloque m1
∑ FY = m1 a
P1 – T1 = m1 a (Ecuación 1)
P1 = m1 g
P1 = 10 * 9,8 = 98 Newton
P1 = 98 Newton
98 - T1 = m1 a
98 - T1 = 10 * 2,35
98 - T1 = 23,5
98 + 23,5 = T1
T1 = 74,5 Newton
T1
m2
T1
T2
T2
T1
m3
FR2
P1 = m1 g
FR3
250
m1
Bloque m2
∑ FX = m2 a
T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2)
∑ FY = 0
P2 – N2 = 0
P2 = N2
m2 g = N2
P2 = m2 g
P2 = 5 * 9,8 = 49 Newton
P2 = N2 = 49 Newton
Pero: FR2 = μ N2
FR2 = μ 49
Reemplazando en la ecuación 2
T1 – FR2 – T2 = m2 a (Ecuación 2)
74,5 - μ 49 – T2 = m2 a = 5 * 2,35 = 11,75
74,5 - μ 49 – T2 = 11,75
74,5 - 11,75 - μ 49 = T2
Bloque m2
N2
T2
T1
FR2
P2 = m2 g
N3
Bloque m3
T2
P3X
FR3
P3Y
62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3)
250
Bloque m3
∑ FX = m3 a
T2 – P3X – FR3 = m3 a
P3 = m3 g
52
Pero:
P3X = P3 sen 25
P3X = 3 * 9,8 sen 25
P3X = 12,42 Newton
∑ FY = 0
P3Y – N3 = 0
P3Y = N3
P3Y = P3 cos 25
P3Y = 3 * 9,8 sen 25
P3Y = 26,64 Newton
N3 = 26,64 Newton
FR3 = μ N3
FR3 = μ 26,64
Reemplazando en:
T2 – P3X – FR3 = m3 a
T2 – 12,42 - μ 26,64 = 3 * 2,35
T2 = 12,42 + μ 26,64 + 7,05
T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4)
Igualando las ecuaciones 3 y 4, hallamos el coeficiente cinético de fricción
62,75 - μ 49 = T2 (Ecuación 3)
T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4)
62,75 - μ 49 = 19,47 + μ 26,64
62,75 – 19,47 = μ 26,64 + μ 49
43,28 = 75,64 μ
μ =
43,28
= 0,572
75,64
Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la ecuación 4
T2 = 19,47 + μ 26,64 (Ecuación 4)
T2 = 19,47 + 0,572 * 26,64
T2 = 19,47 + 15,23
T2 = 34,7 Newton
53
Problema 5.86 Serway cuarta edición
El coeficiente de fricción cinético entre los bloques de 2 kg y 3 kg. es 0,3. La superficie horizontal y
las poleas son sin fricción y las masas se liberan desde el reposo.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque
b) Determine la aceleración de cada bloque
c) Encuentre la tensión en las cuerdas?
m1 = 2 kg m2 = 3 kg
m3 = 10 kg
T1
Bloque m1
∑ FX = m1 a
T 1 - FR = m 1 a
m1
FR
T1
T2
m2
FR
∑ FY = 0
P1 – N1 = 0
P1 = N1
m1 g = N1
N1
T1
P1 = m1 g
P1 = 2 * 9,8 = 19,6 Newton
P1 = N1 = 19,6 Newton
Pero: FR = μ N1
FR = 0,3 * 19,6
FR = 5,88 Newton.
T2
T2
FR
m3
m1 g
m3 g
N2
T1
T2
FR
m2 g
Reemplazando
T 1 - FR = m 1 a
T1 - 5,88 = 2 a (Ecuación 1)
Bloque m2
∑ FX = m2 a
T 2 - FR – T 1 = m 2 a
Reemplazando
T 2 - FR – T 1 = m 2 a
T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2)
Bloque m3
∑ FY = m 3 a
m 3 g – T2 = m 3 a
10 * 9,8 – T2 = 10 a
98 – T2 = 10 a (Ecuación 3)
Sumando las tres ecuaciones, se halla la aceleración del sistema
54
T1 - 5,88 = 2 a
(Ecuación 1)
T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2)
98 – T2 = 10 a (Ecuación 3)
- 5,88 - 5,88 + 98 = 2 a +3 a + 10 a
86,24 = 15 a
a=
86,24
m
= 5,749
15
seg 2
Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T1
T1 - 5,88 = 2 a
(Ecuación 1)
T1 - 5,88 = 2 * 5,749
T1 = 5,88 + 11,498
T1 = 17,378 Newton
Reemplazar en la ecuación 1 para hallar la tensión T2
T2 – 5,88 – T1 = 3 a (Ecuación 2)
T2 – 5,88 – 17,378 = 3 * 5,749
T2 = 17,247 + 23,258
T2 = 40,5 Newton
Problema 5.87 Serway cuarta edición; Problema 5.72 Serway quinta edición; Problema 5.68
Serway sexta edición
Dos bloques de 3,5 kg. y 8 Kg. de masa se conectan por medio de una cuerda sin masa que pasa
por una polea sin fricción (figura p 5 – 87). Las pendientes son sin fricción: Encuentre:
a) La magnitud de la aceleración de cada bloque?
b) La tensión en la cuerda?
m1 = 3,5 kg.
m2 = 8 kg.
Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35
P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35
P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735
P1X = 19,67 Newton
T
T
m1
350
m2
350
NO HAY ROZAMIENTO
Bloque m1
Σ FX = m1 * a
Σ FX = T – P1X = m1 * a
55
T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FX = m2 * a
P2X – T = m2 * a
Pero: P2X = P2 sen 35
P2X = m2 g sen 35
P2X = 8 * 9,8 * 0,5735 35 = 44,96 Newton
44,96 – T = 8 a (Ecuación 2)
Bloque m1
N1
T
Bloque m2
P1X
P1Y
350
N2
T
P2X
P1 = m1 g
P2Y
Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.
T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1)
350
44,96 – T = 8 a (Ecuación 2)
P2 = m2 g
-19,67 + 44,96 = 11,5a
11,5a = 25,29
a =
25,29
m
2,2
11,5
seg 2
a = 2,2 m/seg2
b) La tensión en la cuerda?
Reemplazando en la ecuación 1
T – 19,67 = 3,5 a (Ecuación 1)
T -19,67 = 3,5 * 2,2
T = 7,7 + 19,67
T = 27,37 Newton
Problema 5.88 cuarta edición Serway; Problema 5-73 quinta edición
El sistema mostrado en (figura p5 – 87). Tiene una aceleración de magnitud igual a 1,5 m/seg2 .
Suponga que el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente es el mismo en ambas
pendientes.: Encuentre:
a) El coeficiente de fricción cinético.
b) La tensión en la cuerda?
T
T
m1 = 3,5 kg.
m2 = 8 kg.
HAY ROZAMIENTO FR1 , FR2 que se oponen
a que el sistema se desplace hacia la derecha.
350
FR1
FR2
350
Pero: P1X = P1 sen 35 = m1 g sen 35
P1X = 3,5 * 9,8 * sen 35
P1X = 3,5 * 9,8 * 0,5735
P1X = 19,67 Newton
56
Bloque m1
Σ FX = m1 * a
T – P1X - FR1 = m1 * a
T – 19,67 - FR1 = 3,5 * 1,5
T – 19,67 - FR1 = 5,25
Bloque m1
N1
Σ FY = 0
P1Y – N1 = 0
P1Y = N1 Pero: P1 = m1 g
P1Y = P1 cos 35 = m1 g cos 35
P1Y = 3,5 * 9,8 * 0,8191
P1Y = 28,09 Newton
T
P1X
P1Y
350
FR1
P1 = m1 g
P1Y = N1 = 28,09 Newton
Pero: FR1 = μ N1
FR1 = 28,09μ
T – 19,67 - FR1 = 5,25
T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1)
Pero: P2X = P2 sen 35
P2X = m2 g sen 35
P2X = 8 * 9,8 * 0,5735
P2X = 44,96 Newton
Bloque m2
Σ FX = m2 * a
P2X – T - FR2 = m2 * a
44,96 – T - FR2 = 8 * 1,5
44,96 – T - FR2 = 12
Bloque m2
FR2
Σ FY = 0
P2Y – N2 = 0
P2Y = N2 Pero: P2 = m2 g
P2Y = P2 cos 35 = m2 g cos 35
P2Y = 8 * 9,8 * cos 35
P2Y = 8 * 9,8 * 0,8191
P2Y = 64,21 Newton
T
N2
P2X
P2Y
350
P2 = m2 g
P2Y = N2 = 64,21 Newton
Pero : FR2 = μ N2
FR2 = 64,21μ
44,96 – T - FR2 = 40
44,96 – T – 64,21μ = 12 (Ecuación 2)
57
Resolviendo las ecuaciones, encontramos la aceleración del sistema.
T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1)
44,96 – T – 64,21μ = 12
(Ecuación 2)
-19,67 – 28,09μ + 44,96 – 64,21μ = 5,25 + 12
25,29 -92,3μ = 17,25
92,3μ = 25,29 -17,25
92,3 μ = 8,04
μ =
8,04
= 0,087
92,3
μ = 0,087 coeficiente de friccion cinetica
La tensión en la cuerda?
Reemplazando en la ecuación 1
T – 19,67 – 28,09μ = 5,25 (Ecuación 1)
T – 19,67 – 28,09* 0,087 = 5,25
T – 19,67 – 2,44 = 5,25
T = 19,67 +2,44 + 5,25
T = 32,51 Newton
Problema 1.2 Sears – Zemansky
Una caja es empujada sobre el suelo por una fuerza de 20 kg. que forma un ángulo de 300 con la
horizontal. Encontrar las componentes horizontal y vertical.
FX = F cos 30
FX = 20 cos 30
FX = 17,32 Kg.
F
300
FY = F sen 30
FY = 20 * (0,5)
FY = 10 Kg.
FX
300
FY
F
Problema 1.3 Sears – Zemansky
Un bloque es elevado por un plano inclinado 200 mediante una fuerza F que forma un ángulo de 300
con el plano.
a) Que fuerza F es necesaria para que la componente FX paralela al plano sea de 8 Kg.
b) Cuanto valdrá entonces la componente FY
FX = 8 Kg
FX = F cos 30
8 = F cos 30
8 = F 0,866
FX
F = 9,23 Kg.
300
FY = F sen 30
FY = 9,23 * (0,5)
FY = 4,61 Kg.
300
FY
200
58
Problema 2.3 Sears – Zemansky
Dos pesos de 10 kg están suspendidos en los extremos de una cuerda que pasa por una polea
ligera sin rozamiento. La polea esta sujeta a una cadena que cuelga del techo.
a) Cual es la tensión de la cuerda?
b) Cual es la tensión de la cadena?
T3 = tensión de la cuerda
T1 = 10 Kg.
T2 = 10 kg.
T3
Σ FY = 0
T 1 + T2 - T3 = 0
T 1 + T 2 = T3
T3 = 10 kg. + 10 kg.
T3 = 20 kg.
T1
T2
10 Kg
10 Kg
Problema 2.4 sears – zemansky
El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3
Si θ2 = θ3 = 60
T1Y = T1 . sen 60
T2X = T2 . cos 60
C
60 0
60 0
T2Y = T2. sen 60
T1X = T1 . cos 60
Σ FX = 0
T2X - T1X = 0 (Ecuación 1)
T2X = T1X
T2 . cos 60
T2 = T1
A
= T1 . cos 60
T1
T1Y
T2
60 0
T1X
Σ FY = 0
T1Y + T2Y – W = 0 (Ecuación 2)
T 2Y
T2
T1
60 0
B
T2X
W
W = 50 kg
θ2 = 60 0
T1Y + T2Y = W pero: W = 50 kg.
T1 . sen 60 + T2. sen 60 = 50 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
T1 . sen 60
+ T2. sen 60 = 50
T1 . sen 60 + (T1). sen 60 = 50
2T1 . sen 60 = 50
T1 =
T2
θ3 = 00
T3
W = 50 kg
50
50
=
2 sen 60 1,732
59
T1 = 28,86 Kg.
T2
T2
= T1
= 28,86 Kg.
C) El peso del bloque es 50 kg. Calcular las tensiones T2 y T3
T2Y = T2. sen 60 T2X = T2 . cos 60
Σ FX = 0
T2X - T3 = 0
T2X = T3
T2 . cos 60 = T3 (Ecuación 1)
T 2Y
T3
Σ FY = 0
T2Y – W = 0 (Ecuación 2)
T2Y = W pero: W = 50 kg.
T2 . sen 60 = 50 (Ecuación 2)
T2 =
T2
600
T 2X
W = 50 kg
50
= 57,73 kg.
sen 60
T2 = 57,73 Kg.
Reemplazando la ecuación 2 en la ecuación 1
T2 . cos 60 = T3
(57,73) . cos 60 = T3
T3 = (57,73) * 0,5
T3 = 28,86 Kg.
Problema 2-5 sears – zemansky
Calcular la tensión en cada cuerda de la figura 2-14 siA el peso del cuerpo suspendido es 200 Kg.
C
0
0
30
Caso a
45
TA
TB
W = 200 kg
Caso a)
Llamando a las tensiones de las cuerdas A, B, C como Ta , Tb , Tc respectivamente tenemos
60
Figura 2.14
∑ FX = 0
TBX – TAX = 0
∑ FY = 0
TAY + TBY – W = 0
Pero: TBX = TB cos45
TAX = TA cos 30
Pero: TBY = TB sen 45
TAX = TA sen 30
∑ FX = - TA cos 30 + TB cos 45 = 0
∑ FY = Ta sen 30 + Tb sen 45 – W = 0
- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1)
0,5 TA + 0,707 TB = 200
(Ecuac 2)
- 0,866 TA + 0,707 TB = 0 (Ecuac 1)
0,707 TB = 0,866 TA
TB = 0,866 TA / 0,707
TB = 1,25 TA
Reemplazando en la ecuac 2
0,5 TA + 0,707 TB = 200 (Ecuac 2)
0,5 TA + 0,707 (1,25 TA ) = 200
0,5 TA + 0,8837 TA = 200
1,366 TA = 200
TA = 200 / 1,366
TA = 146,41 Kg.
TB
TA TAY
300
T BY
450
TAX
TBX
TB = 1,25 TA
TB = 1,25 * (146,41)
TB = 183,01 Kg.
W = 200 kg
Caso b)
∑ FX = 0
TBX – TA = 0
Pero: TBX = TB cos 45
∑ FY = 0
TBY - W = 0
Pero: TBY = TB sen 45
∑ FX = TB cos 45 - TA = 0
∑ FY = TB sen 45 – W = 0
0,707 TB = TA
(Ecuac 1)
0,707 TB = 200
(Ecuac 2)
61
0,707 TB = 200 (Ecuac 2)
TB = 200 / 0,707
TB = 283 Kg.
450
Caso b
TB
Reemplazando en la ecuac 1
0,707 TB = TA
TB
Ecuac 1
TA
0,707 * (283 Kg.) = TB
T BY
TA
TC
200 Kg. = TB
450
TBX
TC
W = 200 kg
W = 200 kg
Caso c)
450
Caso c
TB
TB
0
T BY
30
TA
450
TAX
300
TAY
300
TA
W = 200 kg
TBX
W = 200 kg
∑ FX = 0
TBX – TA = 0
∑ FY = 0
TAY + TBY – W = 0
Pero: TBX = TB cos 45
TAX = TA cos 30
Pero: TBY = TB sen 45
TAY = TA sen 30
∑ FX = TB cos 45 - TA = 0
∑ FY = TB sen 45 –TA sen 30 – W = 0
∑ FX = TB cos 45 - TA cos 30 = 0
0,707 TB - 0,5 TA = 200
0,707 TB = TA 0,866
(Ecuac 2)
(Ecuac 1)
Nótese que tomamos 300 ya que este es el ángulo que TA forma con el eje de las x.
Reemplazando ecuac 1 en ecuac 2
0,707 TB - 0,5 TA = 200 (Ecuac 2)
(TA 0,866) - 0,5 TA = 200
62
0,366 TA = 200
TA = 200 / 0,366
370
TA = 546,45 Kg.
Pero:
0,707 TB = TA 0,866
370
TB
A
530
TB = TA 0,866 / 0,707
C
TB = 669,34 Kg.
TC
530
M
Caso d)
TAY TA
TB
530
TC
TB = (546,45 ) * 0,866 / 0,707
TA
W
370
TAX
530
TCY
TCX
FIGURA 2.8
Como el sistema se halla en equilibrio. Aplicando las condiciones de equilibrio a cualquier punto, en
este caso el nudo o entre C y A tenemos:
De la figura 2.8
∑ FX = 0
TAX – TB – TCX = 0
∑ FY = 0
TAY – TCY = 0
Pero: TAX = TA cos 37
TCX = TA cos 53
Pero: TAY = TA sen 37
TCY = Tc sen 53
∑ FX = TAX cos 37 – TB – TCX cos 53 = 0
∑ FY = TA sen 37 – TC sen 53 = 0
Ecuac 1
De la figura 2.9 tenemos:
∑ FX = 0
TCX - TCX = 0
∑ FX = Tc cos 53 – Tc cos 53 = 0
TA sen 37 = TC sen 53
(Ecuac 2)
∑ FY = 0
TCY + TCY – W = 0
Pero: TCY = TC sen 53
∑ FY = TC sen 53 + TC sen 53 – W = 0
∑ FY = 2 TC sen 53 – W = 0
(Ecuac 3)
63
De la ecuac 3 tenemos:
2 TC sen 53 – W = 0
2 TC sen 53
= 200
2 TC (0,799)
= 200
TC 1,598
Ecuac 3
= 200
TC = 200 / 1,598
TC = 125 Kg.
Reemplazando en la ecuac 2
TA sen 37 – TC sen 53 = 0
Pero:
TC = 125 Kg.
TA sen 37 = TC sen 53
TA sen 37 = (125) * sen 53
TC
TCY
0
53
TCX
TC
TCY
0
53
TCX
W
FIGURA 2.9
TA sen 37 = (125) * 0,799
TA sen 37 = 99,875
TA = 99,875 / sen 37
TA = 99,875
/ 0,602
TA = 165,88 Kg.
Reemplazando en la ecuac 1
TA cos 37 – TB – TC cos 53 = 0
TA cos 37– TC cos 53 = TB
Pero:
TC = 125 Kg.
TA = 165,88 Kg.
TB = 165,88 * cos 37 – 125 cos 53
TB = 165,88 * 0,8 – 125 * 0,602
TB = 57,29 Kg.
64
Problema 2.6 sears – zemansky
Calcular la tensión del cable y el valor y sentido de la fuerza ejercida sobre el puntal por el pivote, en
los dispositivos esquematizados en la figura 2-15, siendo en todos los casos 1000 Kg. el peso del
objeto suspendido. Despréciese el peso del puntal ?
Caso a
Sea W = 1000 kg el peso suspendido. T la tensión del cable
y C la fuerza del pivote. Las condiciones del equilibrio de los sistemas exigen para cada punto.
Condición que la tomaremos en la unión del puntal con la cuerda.
∑ FX = 0
pero: TCX = T cos 30
∑ FY = 0
pero: TCY = T sen 30
∑ FX = C - TCX = 0
∑ FX = C - T cos 30 = 0
∑ FY = TCY – W = 0
∑ FY = T sen 30 – W = 0
C = T cos 30
(Ecuac 1)
T sen 30 = W
T = 1000 / 0,5
Ecuac 2
T sen 30 = W
T
(Ecuac 2)
TCY
0
30
T = 2000 KG.
TCX
Reemplazando
C = T cos 30
(Ecuac 1)
C = (2000) * cos 30 = 2000 * 0’866
Caso a
C
C
W
W
C = 1,732 KG.
Caso b )
∑ FX = 0
pero: CX = C cos 30
∑ FY = 0
pero: CY = C sen 30
∑ FX = CX - T = 0
∑ FX = C cos 30 - T = 0
∑ FY = CY – W = 0
∑ FY = C sen 30 – W = 0
T = C cos 30
(Ecuac 1)
T
C sen 30 = W
(Ecuac 2)
C sen 30 = W
(Ecuac 2)
C = W / sen 30 = 1000 / 0,5
C = 2000 KG.
Reemplazando
T = C cos 30
T = 2000 * 0,866
T = 1732 kg.
65
T
300T
Caso b
T
C
C
CY
300
W
Cx
300
W
Caso C)
∑ FX = 0
∑ FY = 0
∑ FX = C cos 30 - T cos 45 = 0
∑ FY = C sen 30 + T sen 45 - W = 0
C sen 30 + T sen 45 - W = 0
Ecuac 2
T 0,707 = W - C 0,5
Ecuac 2
Ecuac 1
T cos 45 = C cos 30
T 0,707 = C 0,866
Ecuac 1
Igualando las ecuaciones
T 0,707 = C 0,866
Ecuac 1
T
T 0,707 = W - C 0,5 Ecuac 2
C 0,866
C 0,866
C 0,866
1,366 C
= W - C 0,5
= 1000 - C 0,5
+ C 0,5
= 1000
= 1000
TY
30
0
450
CY
0
45
C = 1000 / 1,366
C = 732,7 Kg
C
T
300
TX
CX
W
Caso C
C
300
W
Reemplazando
T 0,707 = C 0,866
Ecuac 1
T 0,707 = (732,7) * 0,866
Ecuac 1
T = (732,7) * 0,866 / 0,707
T = 896,7 Kg.
66
Caso d)
T
C
CY
0
W
C
300
450
45
TX
300
CX
TY
T
30
0
W
∑ FX = 0
Pero: CX = C cos 45
TX = T cos 30
∑ FY = 0
Pero: CY = C sen 45
TY = T sen 30
∑ FX = CX - TX = 0
∑ FX = C cos 45 - T cos 30 = 0
∑ FY = CY
T cos 30 = C cos 45
T 0,866 = C 0,707 (Ecuac 1)
Igualando las ecuaciones
T 0,866 = C 0,707
C 0,707 = W + T 0,5
– TY - W = 0
∑ FY = C sen 45 – T sen 30 - W = 0
C 0,707 = W + T 0,5
(Ecuac 2)
(Ecuac 1)
(Ecuac 2)
T 0,866 = W + T 0,5
T 0,866 - T 0,5
=W
T 0,366 = 1000
T = 1000 / 0,366
T = 2720 kg.
Reemplazando en la ecuac 1
C 0,707 = T 0,866
C 0,707 = 2720 * 0,866
C = 2720 * 0,866 / 0,707
C = 3340 KG
Problema 2.8 S sears – zemansky
Una viga horizontal de 8 dm de larga se encuentra empotrada en una pared vertical por uno de sus
extremos.
En el otro extremo hay suspendido un peso de 500 kg.
La viga esta sostenida en su extremo libre por un cable tenso, sujeto a un punto de la pared situado
en la misma vertical que el extremo empotrado de la barra.
a) Si la tensión en este cable no puede exceder de 1000 kg. ¿Cuál será la altura mínima por
encima de la viga a la cual ha de estar sujeto a la pared.
67
b) En cuantos Kg aumentaría la tensión del cable si se sujetase 1 dm por debajo de dicho
punto, permaneciendo la viga horizontal? (Despreciar el peso de la viga).
Σ FY = 0
TY – W = 0 (Ecuación 1)
TY = W pero: W = 500 kg.
TY = 500
h
TY = T sen θ
Pero T = 1000 Kg.
T = 1000 kg
T
Reemplazando en la ecuacion1
TY = T sen θ
500 = (1000) * sen θ
500
sen θ =
= 0,5
1000
TY
X = 80 cm
θ
P = 500 kg
TX
sen θ = 0,5
θ = arc sen 0,5
θ = 300
P = 500 kg
h h
=
X 80
h
tg 30 =
80
tg θ =
h = 80 * tg 30
h = 46,18 cm
Problema 2.9 Sears – Zemansky
Uno de los extremos de una cuerda de 15 m de longitud esta sujeto a un automóvil. El otro extremo
esta atado a un árbol. Un hombre ejerce una fuerza de 50 kg en el punto medio de la cuerda,
desplazándola lateralmente 60cm.
Cual es la fuerza ejercida sobre el automóvil?
sen θ =
Y 0,6
=
= 0,08
X 7,5
sen θ = 0,08
D = 15 metros
X = 7.5 metros
X = 7.5 metros
T1X
T1
θ
T1Y
T2Y
θ
T2X
Y = 60 cm
F = 50 Kg
68
Σ FX = 0
T2X -T1X = 0
T2X = T1X
Pero T1X = T1 cos θ T2X = T2 cos θ
T1 cos θ = T2 cos θ (Ecuación 1)
T 1 = T2
Σ FY = 0
T 2y + T1y - F = 0 (Ecuación 1)
T 2Y + T1Y = F pero: F = 50 kg.
T 2Y + T1Y = 50
T 2Y = T2 sen θ
T 1Y = T1 sen θ
T 2Y + T1Y = 50
T2 sen θ + T1 sen θ = 50 (Reemplazando Ecuación 1)
T1 = T2
T2 sen θ + (T2 ) sen θ = 50
2T2 sen θ = 50
T2 =
50
50
50
=
=
= 312,5 Kg.
2 sen θ 2 * 0,08 0,16
T2 = 312,5 Kg
T1 = T2 = 312,5 Kg
Problema 2.10 Sears – Zemansky
Calcular el máximo peso W que puede soportar la estructura de la figura, si la máxima tensión que la
cuerda superior puede resistir es de 1000 Kg. y la máxima compresión que puede soportar el puntal es de
2000 kg. La cuerda vertical es lo bastante fuerte para poder resistir cualquier carga.
CX = C . cos 45
CY = C . sen 45
T = 1000 kg
TY
TX = T . cos 30
TY = T . sen 30
300
T = 1000 kg
300
Σ FX = 0
CX – TX = 0 (Ecuación 1)
45
C
CY
450
TX
CX
0
W
CX = TX
C . cos 45 = T . cos 30
C. 0,707 = (1000) . 0,866
C
W
69
C. 0,707 = 866
C=
866
= 1224,89 Kg.
0,707
Σ FY = 0
CY + TY – W = 0 (Ecuación 2)
CY + TY = W
C . sen 45 + T . sen 30 = W
(1224,89) * 0,707 + (1000) * 0,5 = W
865,99 + 500 = W
W = 1365,99 Kg.
CONCLUSION: Nótese que aisladamente la cuerda no puede resistir un peso superior a 1000 kg. Pero
al formar la estructura podemos superar la tensión máxima. Esto se debe a que en la estructura es el
conjunto el que se distribuye el peso a resistir y no la cuerda aisladamente.
Problema 2.11 Sears – Zemansky
El bloque A pesa 100 kg. El coeficiente estático de rozamiento entre el bloque y la superficie sobre la
cual reposa es 0,3. El peso W es de 20 kg. y el sistema esta en equilibrio. Calcular la fuerza de
rozamiento ejercida sobre el bloque A.
BLOQUE WA = 100 Kg.
Σ FX = 0
T2 – FR = 0 (Ecuación 1)
T 2 = FR
Σ FY = 0
N – WA = 0 (Ecuación 2)
N = WA Pero: WA = 100 Kg.
N = 100 Kg.
Pero: μ = 0,3
FR = μ * N (Ecuación 3)
FR = (0,3) * 100
FR = 30 Kg.
N
T2
FR
Pero: T2 = 30 Kg.
T1X = 30 Kg.
T1X = T1 cos 45
T1 =
T1X
30
=
= 42,426 Kg
cos 45 0,707
450
WA
W2
Pero: T2 = FR
T2 = 30 Kg.
BLOQUE W2
Σ FX = 0
T1X – T2 = 0
T1X = T2 (Ecuación 4)
T1
T2
WA
W2
N
FR
T2
T1Y
T2
WA
T1
450
T1X
W2
70
T1 = 42,426 Kg.
Σ FY = 0
T1Y – W2 = 0
T1Y = W2 (Ecuación 5)
Pero T1Y = T1 sen 45
T1Y = W2 = T1 sen 45
W2 = T1 sen 45
W2 = (42,426) sen 45
W2 = 30 kg.
Problema 2.12 Sears – Zemansky
Un bloque es arrastrado hacia la derecha a velocidad constante por una fuerza de 10 kg. que actúa
formando un ángulo de 300 por encima de la horizontal. El coeficiente cinético de rozamiento entre el
bloque y la superficie es 0,5.
Cual es el peso del bloque. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque.
BLOQUE W = 100 Kg.
Σ FX = 0
FR - FX = 0 (Ecuación 1)
F R = FX
N
F
300
Pero: FX = F cos 30
FX = 10 . 0,866
FX = 8,66 kg.
Pero FR = FX 8,66 Kg.
FR = μ N (Ecuación 2)
FR = 0,5 N = 8,66 Kg
W
N
FR
F = 10 Kg
F
300
FY
FX
W
F
8,66
N= R =
= 17,32 Kg.
0,5 0,5
N = 17,32 KG.
Σ FY = 0
N + FY – W = 0 (Ecuación 3)
Pero: FY = F sen 30
FY = (10) 0,5
FY = 5 Kg.
Reemplazando en la ecuación 3
N + FY – W = 0
Pero: FY = 5 Kg. N = 17,32 KG.
W = N + FY
W = 17,32 + 5 = 22,32 Kg.
W = 22,32 Kg.
71
Problema 2.13 Sears – Zemansky
Un bloque que pesa 14 kg. esta colocado sobre un plano inclinado y ligado a otro bloque de 10 kg.
por una cuerda que pasa por una pequeña polea sin rozamiento. El coeficiente cinético de
rozamiento entre el bloque y el plano es 1/7. Para que dos valores de θ se moverá el sistema a
velocidad constante. Supóngase que todas las fuerzas actúan en el centro del bloque.
Bloque P1 = 14 Kg.
Σ FX = 0
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = P1 sen θ
P1X = 14 sen θ
Bloque m1
Pero: P1Y = P1 cos θ
P1Y = 14 cos θ
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 14 cos θ
P1 = 14 kg
N1
T
T
T
FR
P1X
FR = μ * N1 (Ecuación 3)
FR = 1/7 * (14 cos θ)
FR = 2 cos θ
Bloque m2
Σ FY = 0
P2 – T = 0 (Ecuación 4)
P2 = T Pero: P2 = 10 kg
T = P2 = 10 kg
P1Y
FR
θ0
θ0
P1 = m1 * g
P1 = 14 kg
P2 = 10 kg
Bloque m2
T
Reemplazando en la ecuación 1
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0
pero : sen2 θ + cos2 θ = 1
1/ 2
cosθ = 1 - sen 2θ = ⎛⎜1 - sen 2 θ ⎞⎟
⎝
⎠
P2 = m2 * g
P2 = 10 kg
Reemplazando
10 – 14 senθ - 2 cos θ = 0
10 – 14 senθ - 2 (1-sen2 θ)1/2 = 0
5–
5–
7 senθ - (1-sen2 θ)1/2 = 0
7 senθ = (1-sen2 θ)1/2
Elevando al cuadrado en ambos lados
72
1/ 2 ⎤
⎡
[5 − 7 senθ ]2 = ⎢⎛⎜1 - sen 2 θ ⎞⎟ ⎥
⎠
⎢⎣⎝
⎥⎦
2
25 – 70 senθ + 49 sen2 θ = 1 – sen2 θ
49 sen2 θ + sen2 θ – 70 senθ + 25 – 1 = 0
50 sen2 θ – 70 sen θ + 24 = 0
Aplicando la formula para ecuaciones de segundo grado.
a = 5 b =-70 c= 24
sen θ =
- (- 70) ±
( - 70) 2 - 4 (50) 24
2 (50)
sen θ =
70 ± 100
70 ± 10
=
100
100
sen θ1 =
70 + 10 80
=
= 0,8
100
100
=
70 ± 4900 - 4800
100
T
θ1 = arc sen 0,8
sen θ 2 =
70 − 10 60
=
= 0,6
100
100
T
P1 = 14 kg
θ1 = 53,130
FR
θ2 = arc sen 0,6
θ2 = 36,860
53,130
θ1 = 53,130 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la derecha.
P2 = 10 kg
θ2 = 36,860 Cuando el cuerpo se desplaza hacia la izquierda.
Problema 2.14 Sears – Zemansky
Un bloque que pesa 100 kg esta colocado sobre un plano inclinado de 300 y conectado a un
segundo bloque de peso W pendiente de una cuerda que pasa por una pequeña polea sin
rozamiento. El coeficiente estático de rozamiento es 0,4 y el coeficiente cinético 0,3.
a) Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg se eleva por el plano a velocidad
constante.
b) Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante.
c) Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo?
Calcular el peso W para el cual el bloque de 100 kg
se eleva por el plano a velocidad constante.
Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la derecha)
Σ FX = 0
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = P1 sen 30
73
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
La fuerza de rozamiento
actua en sentido contrario
al movimiento.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
T
P1 = 100 kg
T
FR
Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento
se utiliza el coef. cinetico
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento)
FR = 0,3 * (86,6)
FR = 25,98 Kg.
300
Bloque P1
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
T – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.
T = P1X + FR = 0
T = 50 + 25,98
T = 75,98 Kg.
BLOQUE W
Σ FY = 0 (por que se desplaza a velocidad constante)
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
Pero T = 75,98 Kg.
W = 75,98 Kg.
W= ?
N1
T
FR
P1X
P1Y
300
Bloque W
T
P1 = 100 kg
W = m2 * g
W= ?
Hállese el peso W para el cual se mueve hacia abajo a velocidad constante.
Bloque P1 (Cuando se desplaza hacia la izquierda)
Σ FX = 0
- T + P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = P1 sen 30
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
74
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
T
P1 = 100 kg
Nota: Cuando el cuerpo esta en movimiento
se utiliza el coef. cinetico
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,3 (Coeficiente cinético de rozamiento)
FR = 0,3 * (86,6)
FR = 25,98 Kg.
T
FR
300
W= ?
Bloque P1
Para hallar la tensión en la cuerda
se reemplaza en la ecuación 1.
N1
-T + P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.
T = P1X - FR = 0
T = 50 - 25,98
T = 24,02 Kg.
T
FR
P1X
P1Y
La fuerza de rozamiento
actua en sentido contrario
al movimiento.
Bloque W
0
30
BLOQUE W
(por que se desplaza a velocidad constante)
Σ FY = 0
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
T
P1 = m1 * g
P1 = 100 kg
W = m2 * g
W= ?
Pero T = 24 Kg.
W = 24 Kg.
Para que intervalo de valores de W permanecerá el bloque en reposo?
SI el cuerpo intenta moverse hacia la derecha, la fuerza de rozamiento actúa hacia la
izquierda
Bloque P1 (Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la derecha)
Σ FX = 0
T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
Bloque P1
Pero: P1X = P1 sen 30
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
Pero:
P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0
(Ecuación 2)
N1
T
FR
P1X
La fuerza de rozamiento actua en
sentido contrario al movimiento.
Cuando el cuerpo no se desplaza se
utiliza el coef. estatico
P1Y
300
P1 = 100 kg
75
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento)
FR = 0,4 * (86,6)
FR = 34,64 Kg.
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
T – P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.
Bloque W
T = P1X + FR = 0
T = 50 + 34,64
T
T = 84,64 Kg.
BLOQUE W
Σ FY = 0
T–W=0
W = m2 * g
W= ?
T = W (Ecuación 4)
Pero T = 84,64 Kg.
W = 84,64 Kg.
SI el cuerpo intenta moverse hacia la izquierda, la fuerza de rozamiento actúa hacia la
derecha
Σ FX = 0 Cuando el cuerpo intenta desplazamiento hacia la izquierda)
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
Bloque P1
Pero: P1X = P1 sen 30
N1
Pero: P1Y = P1 cos 30
P1Y = 100 * 0,866
P1Y = 86,6 Kg.
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0
T
FR
P1X = 100 * (0,5)
P1X = 50 kg.
P1X
P1Y
300
(Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 86,6 Kg.
P1 = m1 * g
P1 = 100 kg
FR = μC * N1 (Ecuación 3)
μC = 0,4 (Coeficiente estático de rozamiento)
FR = 0,4 * (86,6)
FR = 34,64 Kg.
La fuerza de rozamiento actua en
sentido contrario al movimiento.
Cuando el cuerpo no se desplaza
se utiliza el coef. estatico
Para hallar la tensión en la cuerda se reemplaza en la ecuación 1.
76
T – P1X + FR = 0 (Ecuación 1)
Pero:
P1X = 50 kg. FR = 25,98 Kg.
T = P1X - FR = 0
Bloque W
T = 50 - 34,64
T = 15,36 Kg.
T
BLOQUE W
Σ FY = 0
T–W=0
T = W (Ecuación 4)
W = m2 * g
W= ?
Pero T = 15,36 Kg.
W = 15,36 Kg.
Problema 2.15 Sears zemanski
El bloque A pesa 4 kg y el bloque B pesa 8 kg. El coeficiente cinético de rozamiento entre todas las
superficies es 0,25. Calcular la fuerza P necesaria para arrastrar el bloque B hacia la izquierda a
velocidad constante.
a) Si A queda sobre B y se mueve con el?
Bloque B
La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B.
∑ FY = 0
NB - WB – WA = 0
NB = WB + WA
NB = 8 kg + 4 kg
NB = 12 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Pero: μC = 0,25
FR1 = μC NB
FR1 = 0,25 * 12 kg
FR1 = 3 kg.
B
B
B
B
B
B
B
B
Bloque B
B
B
NB
B
FR1
B
B
B
B
P
B
A = 4 kg.
WA
B
WB
B
P
B = 8 kg.
FR1 es la fuerza de rozamiento
cinético entre la masa inferior B y el
piso.
B
B
0
B
∑ FX = ma (por que se desplazan a velocidad constante, no existe aceleración)
∑ FX = 0
B
B
B
B
77
P - FR1 = 0
P = FR1
B
B
B
B
P = 3 kg.
b) Si A se mantiene en reposo?
A = 4 kg.
T
Bloque A
P
NA
B
FR2
FR2 es la fuerza de rozamiento
cinético entre los 2 cuerpos.
B
B = 8 kg.
B
T
B
WA
B
Bloque A
0
B
FR1 es la fuerza de rozamiento
cinético entre la masa inferior B y el
piso.
B
B
B
∑ FX = ma
B
(por que el bloque “A” no se desplaza, por que esta atado a la cuerda)
B
∑ FX = 0
FR2 - T = 0
FR2 = T
B
B
B
B
B
B
∑ FY = 0
NA – WA = 0
NA = WA
NA = 4 kg
B
B
B
B
B
B
B
Bloque B
B
B
B
B
NB
B
B
FR1
B
Pero: μC = 0,25
FR2 = μC NA
FR2 = 0,25 * 4 kg
FR2 = 1 kg.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
P
FR2
B
WA
B
WB
B
Bloque B
La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B.
∑ FY = 0
NB - WB – WA = 0
NB = WB + WA
NB = 8 kg + 4 kg
NB = 12 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de
rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B.
Pero: μC = 0,25
FR1 = μC NB
FR1 = 0,25 * 12 kg
FR1 = 3 kg.
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
78
0
B
B
∑ FX = ma
B
(por que el bloque “B” se desplaza hacia la izquierda a velocidad
constante)
B
∑ FX = 0
P - FR2 – FR1 = 0
P = FR2 + FR1
P = 1 kg + 3 kg
P = 4 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
c) Si A y B están unidos por una cuerda ligera flexible que pasa por una polea fija sin
rozamiento.
FR2 es la fuerza de rozamiento
cinético entre los 2 cuerpos.
B
A = 4 kg.
B
T
P
B = 8 kg.
T
FR1 es la fuerza de rozamiento
cinético entre la masa inferior B y el
piso.
B
B
Bloque A
0
B
B
∑ FX = ma
B
(por que el bloque “A” se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE)
B
∑ FX = 0
FR2 - T = 0
FR2 = T
B
B
B
B
B
B
∑ FY = 0
NA – WA = 0
NA = WA
NA = 4 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
NA
B
B
B
B
B
B
B
B
FR2
T
B
B
B
B
WA
FR1
P
B
B
Pero: μC = 0,25
FR2 = μC NA
FR2 = 0,25 * 4 kg
FR2 = 1 kg.
B
NB
B
B
B
Bloque B
Bloque A
B
T
WA
FR2
B
B
B
B
WB
B
FR2 = T
T = 1 kg.
B
B
Bloque B
La normal del bloque es igual a la suma de los pesos del cuerpo A y del cuerpo B.
∑ FY = 0
NB - WB – WA = 0
NB = WB + WA
NB = 8 kg + 4 kg
NB = 12 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
79
Al moverse el bloque B hacia la izquierda a velocidad constante, se ejercen dos fuerzas de
rozamiento en sentido contrario al movimiento del bloque B.
Pero: μC = 0,25
FR1 = μC NB
FR1 = 0,25 * 12 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
FR1 = 3 kg.
B
B
0
B
B
∑ FX = ma
B
(por que el bloque “B” se desplaza hacia la izquierda a velocidad
constante)
B
∑ FX = 0
P - FR2 – FR1 – T = 0
P = FR2 + FR1 + T
P = 1 kg + 3 kg + 1 kg
P = 5 kg
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
Problema 2.16 Sears zemanski
El bloque A, de peso W, desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano inclinado S
cuya pendiente es 370 mientras la tabla B, también de peso W, descansa sobre la parte superior de
A. La tabla esta unidad mediante una cuerda al punto mas alto del plano.
a) Dibujar un diagrama de todas las fuerzas que actúan sobre el bloque A.
b)Si el coeficiente cinético de rozamiento entre las superficies A y B y entre S y A es el mismo,
determinar su valor.
sen 37 =
WBX
WB
T
WBX = WB sen 37 = m g sen 37
WAX = WA sen 37= m g sen 37
cos 37 =
FR1 = fuerza de
rozamiento entre los B
dos bloques
FR2 = fuerza de
A
rozamiento entre
el bloque B y el
370
plano inclinado
WBY
WB
WBY = WB cos 37 = m g cos 37
WAY = WA cos 37 = m g cos 37
Bloque B
∑ FX = 0 Por que el bloque B no se desplaza por que la cuerda no lo permite.
T - WBX – FR1 = 0
Pero: FR1 = μ NB
T
NB
∑ FY = 0
NB – WBY = 0
NB = WBY = m g cos 37
NA
∑ FY = 0
NA – WAY – WBY = 0
NA = WAY + WBY
FR2
FR1
WBY
WBX
Bloque A
Bloque A
Bloque B
37
0
WAX
WBX
FR1
WAY
WA = m g
WBY
WB = mB g
WB = m g
80
NA = WB cos 37 + WB cos 37
NA = m g cos 37 + m g cos 37
NA = 2m g cos 37
Por que el bloque A se desplaza a VELOCIDAD CONSTANTE,
la aceleración es cero.
∑ FX = 0
FR1 + FR2 - WBX – WAX = 0
WBX = WB sen 37 = m g sen 37
WAX = WA sen 37= m g sen 37
Pero : WAX = WBX
FR1 + FR2 = WBX + WAX
FR1 + FR2 = m g sen 37 + m g sen 37
FR1 + FR2 = 2 m g sen 37
FR1 = μ NB
FR2 = μ NA
(Ecuacion 1)
(+)
FR1 + FR2 = μ NB + μ NA
FR1 + FR2 = μ (NB + NA)
(Ecuacion 2)
Pero: NA = 2m g cos 37
NB = m g cos 37
Reemplazando en la ecuacion 2
(Ecuacion 2)
FR1 + FR2 = μ (NB + NA)
FR1 + FR2 = μ (m g cos 37 + 2m g cos 37 )
FR1 + FR2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3)
Igualando la Ecuación 1 y la Ecuación 3
FR1 + FR2 = 2 m g sen 37 (Ecuacion 1)
FR1 + FR2 = μ (3m g cos 37 ) (Ecuación 3)
2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 )
Cancelando los terminos semejantes
2 m g sen 37 = μ (3m g cos 37 )
2 sen 37 = μ (3 cos 37 )
Despejamos μ
μ=
2 sen 37 2
= tg 37
3 cos 37 3
81
μ = 0,666 tg 37
Problema 2 – 17 Sears - Zemansky
Dos bloques A y B están dispuestos como indica la figura 2-21 y unidos por una cuerda al bloque C.
El bloque A = B = 20 Newton. y el coeficiente cinético de rozamiento entre cada bloque y la
superficie es 0,5. El bloque C desciende con velocidad constante.
a) Dibujar dos diagramas de fuerzas distintos que indiquen las fuerzas que actúan sobre A y B.
b) Calcular la tensión de la cuerda que une los bloques A y B
c) Cual es el peso del bloque C?
Bloque A
∑ FX = 0 Por que se desplaza
a velocidad constante, luego la aceleración es cero.
T1 – FR1 = 0 (Ecuación 1)
T1 = FR1
∑ FY = 0
WA – N1 = 0
WA = N1
WA = N1 = 20 Newton
Pero: FR1 = μ N1
FR1 = μ 20 = 0,5 * 20
FR1 = 10 Newton
T2
T1
Bloque A
FR1
Bloque C
FR2
T1
370
Bloque A
N1
T1
T1 = FR1
T1 = 10 Newton
FR1
Bloque B
T1
WA
FR1
Por que se desplaza a velocidad constante
hacia la derecha, luego la aceleración es cero.
∑ FX = 0
T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2)
Pero:
WBX = WB sen 37
WBX = 20 sen 37 = 12,036 Newton
WBX = 12,036 Newton
T2
Bloque B
WA
N2
T2
FR2
Bloque B
T1 = 10 Newton
∑ FY = 0
WBY – N2 = 0
WBY = N2 = WB cos 37 = 20 cos 37
WBY = N2 = 15,972 Newton
T1
WBX
370
WBY
WB
Pero: FR2 = μ N2
FR2 = μ 20 = 0,5 * 15,972
FR2 = 7,986 Newton
Reemplazando en la ecuación 2, hallamos la tensión T2
82
T2 – WBX – T1 – FR2 = 0 (Ecuación 2)
T2 = WBX + T1 + FR2
T2 = 12,036 + 10 + 7,986
T2 = 30 Newton
Bloque C
Bloque C
T2
Por que se desplaza a velocidad constante hacia
la derecha, luego la aceleración es cero.
∑ FY = 0
W C – T2 = 0
WC = T2 = 30 Newton
WC
WC = 30 Newton
Problema 2.18 Sears - Zemansky
Una cadena flexible de peso W cuelga entre dos ganchos situados a la misma altura, como indica la
figura 2-22. En cada extremo la cadena forma un ángulo θ con la horizontal
a) Cual es el valor y dirección de la fuerza ejercida por la cadena sobre el gancho de la
izquierda?
b) Cual es la tensión de la cadena en el punto mas bajo?
θ
∑ FX = 0
FX – FX = 0
θ
F
FY
F
θ
∑ FY = 0
W – FY – F Y = 0
W – 2FY = 0
W = 2FY
θ
FX
W
FY
FX
W
Pero:
FY = F sen θ
W = 2FY = 2(F sen θ)
W = 2 F sen θ
F =
θ
T
θ
W
2 sen θ
∑ FX = 0
T - FX = 0
T = FX
F
FY
T
w/2
FX
w/2
Pero:
FX = F cos θ
T = FX = F cos θ
T = F cos θ
Pero:
F =
W
2 sen θ
83
Reemplazando
T = F cos θ
⎛ W ⎞
T =⎜
⎟ cos θ
⎝ 2 sen θ ⎠
⎛ W ⎞ cos θ
T=⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ sen θ
⎛W⎞
T = ⎜ ⎟ ctg θ
⎝2 ⎠
Problema de Sears – Zemansky
Un bloque de 8 kg y otro de 16 kg están suspendidos en los extremos opuestos de una cuerda que
pasa por una polea. Calcular:
a) La aceleración del sistema?
b) La tensión de la cuerda
c) La tensión de la cuerda que sostiene la polea. Desprecie el peso de esta.
T1
∑ FY = m1 a
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
∑ FY = m2 a
m2 g - T = m2 a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
T - m1 g = m1 a
m 2 g - T = m2 a
(Ecuación 1)
(Ecuación 2)
T
m1
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a
m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a
16 * 9,8 – 8 * 9,8 = (8 + 16) a
156,8 – 78,4 = 24 a
78,4 = 24 a
m2
T
T
a = 3,266 m/seg2
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
W1 = m1 g
W2 = m2 g
T = m1 a + m1 g
T = 8 * 3,266 + 8 * 9,8
T = 26,128 + 78,4
T = 104,528 Newton
T1 = 2 T = 2 * 104,528
84
T1 = 209,056 Newton
Problema 5.9 Resnick – Halliday Pág. 139
Dos bloques están en contacto como se muestra en la figura 5-14 en una mesa sin fricción. Se
aplica una fuerza horizontal a un bloque. Si m1 = 1 kg. m2 = 2 kg. y F = 3 Newton. Encuentre la
m2 = 2 kg
fuerza de contacto entre los dos bloques?.
m1 = 1 kg
mT = m1 + m2 = 1 + 2 = 3 kg.
mT = 3 kg.
Bloque m2
F = mT * a
kg
F
3 Newton
a =
=
=1
mT
3 kg
m
F=3N
FC
seg 2
m
=1
kg
seg 2
La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques?
Bloque m1
Σ FX = F – FC = m1 a
Bloque m1
donde FC es la fuerza de contacto.
FC
F – FC = m1 a
FC = 3 - 2 * 1
F=3N
FC = 1 Newton.
Problema 5.10 Resnick – Halliday Pág. 139
Tres bloques están conectados como muestran en la figura 5 – 15 en una mesa horizontal sin
fricción y se jalan a la derecha con una fuerza T3 = 60 Newton. Si m1 = 10 kg. m2 = 20 kg. m3 = 30
kg. Encuentre las tensiones TA y TB.
TA
m1 = 10 kg
Bloque m1
TA
TB
TA
TB
T3 = 60 N
m2 =Bloque
20 kg m2
TA
TBm3 = 60 kg
Bloque m3
TB
T3
mT = m1 + m2 + m3 = 10 + 20 + 30 = 60 kg.
mT = 60 kg.
85
F = mT * a
kg
a =
F
60 Newton
=
=1
mT
60 kg
m
seg 2
m
=1
kg
seg 2
Bloque m1
Σ FX = m1 * a
TA = m1 * a (Ecuación 1)
TA = 10 * 1 = 10 Newton
Bloque m2
Σ FX = m2 * a
TB - TA = m2 * a (Ecuación 2)
Reemplazando el valor de TA = 10 N, se halla TB
TB - T A = m 2 * a
TB - 10 = 20 * 1
TB = 20 + 10 = 30
TB = 30 Newton.
Problema 5.11 Resnick – Halliday Pág. 139
Una esfera cargada de masa 3 * 10-4 kg. esta colgada de un hilo. Una fuerza eléctrica actúa
horizontalmente sobre la esfera, de tal manera que el hilo hace un ángulo de 370 con la vertical
cuando queda en reposo.
Encuentre: a) La magnitud de la fuerza eléctrica.
a) La tensión del hilo?
FE = Fuerza eléctrica
Σ FX = 0
Σ FX = FE – TX = 0
FE = TX
Pero: TX = T * cos 53
Σ FY = 0
Σ FY = TY – m g = 0
TY = m g
Pero: TY = T * sen 53
370
T
530
Fuerza eléctrica
P=m*g
Remplazando se halla la tensión del hilo.
T * sen 53 = m g
86
⎛⎜ 3 *10 - 4 ⎞⎟ * 9,8
m g
29,4 *10 - 4
⎠
⎝
T=
=
= 3,681 * 10 - 3 Newton
=
0,7986
sen 53
0,7986
T = 3,681 * 10-3 Newton
Esfera
T
Remplazando se halla la magnitud de la fuerza eléctrica
FE = TX = T * cos 53
FE = (3,681 * 10-3 Newton) * cos 53
TY
530
Fuerza eléctrica
TX
FE = (3,681 * 10-3 Newton) * 0,6018
P=m*g
FE = 2,215 * 10-3 Newton
PARTE 1 RESNICK – HALLIDAY Pág. 139
Problema 5 – 12 Calcúlese la aceleración inicial ascendente de un cohete de masa 1,3 * 104 kg. Si
el empuje inicial hacia arriba de su motor es 2,6 * 105 Newton.
Puede ud. Omitir el peso del cohete ( la atracción hacia debajo de la tierra sobre el?)
Σ FY = 0
Σ FY = F – m g = m * a
2,6 * 105 Newton. – (1,3 * 104 kg.) * 9,8 = (1,3 * 104 kg.) * a
2,6 * 105 – (12,74 * 104 kg.) = (1,3 * 104 kg.) * a
260000 – 127400 = 132600 = (1,3 * 104 kg.) * a
a =
F = 2,6 * 105 N
m
132600
= 10,2
4
seg 2
1,3 * 10
P=m*g
a = 10,2 m/seg2
El peso del cohete no se puede omitir por que es una fuerza que se opone al despegue del cohete.
Problema 5.13 Resnick – Halliday Pág. 139
Un bloque de masa m1 = 43,8 kg. en un plano inclinado liso que tiene un ángulo de 300 esta unido
mediante un hilo que pasa por una pequeña polea sin fricción a un segundo bloque de masa m2 =
29,2 kg que cuelga verticalmente (Figura 5 – 17).
a) Cual es la aceleración sobre cada cuerpo?
b) Cual es la tensión en la cuerda?
Pero: P1X = P1 * sen 30
P1 = m1 * g
P1X = m1 * g * sen 30
P1X = 43,8 * 9,8 * 0,5
P1X = 214,62 Newton
Bloque m1
Σ FX = m1 * a
T – P1X = m1 * a
T – 214,62 = 43,8a (Ecuación 1)
T
Bloque m1
T
m1 = 43,8 kg
T
P1X
300
P1Y
300
m2 = 29,2 kg
P1 = m1 * g
87
Bloque m2
Bloque m2
Σ FY = m2 * a
P2 - T = m2 * a
T
P2 = m2 * g
P2 = 29,2 * 9,8
P2 = 286,16 Newton
Reemplazando
P2 - T = m2 * a
286,16 - T = 29,2 * a (Ecuación 2)
P2 = m2 * g
Resolviendo la ecuación 1 y ecuación 2,
hallamos la aceleración del sistema.
T – 214,62 = 43,8a (Ecuación 1)
286,16 - T = 29,2a (Ecuación 2)
-214,62 +286,16 = 43,8a + 29,2a
71,54 = 73 a
a =
71,54
m
= 0,98
73
seg 2
a = 0,98 m/seg2
Cual es la tensión en la cuerda?
Reemplazando
286,16 - T = 29,2a (Ecuación 2)
286,16 - T = 29,2 * 0,98
286,16 - T = 28,61
T = 286.16 – 28,616
T = 257,54 Newton
Problema 5.20 Resnick – Halliday Pág. 141
Remítase a la figura 5 -5. Sea la masa del bloque 29,2 Kg. (2 slugs) y el ángulo θ = 300 .
a) Encuentre la tensión en la cuerda y la fuerza normal que obra en el bloque.
b) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción
Pero: P1X = P1 * sen 30
P1 = m1 * g
P1X = m1 * g * sen 30
P1X = 29,2 * 9,8 * 0,5
P1X = 143,08 Newton
Bloque m
Σ FX = 0
T – P1X = 0 (Ecuación 1)
T – 143,08 = 0
T = 143,08 Newton.
T
N
T
m = 29,2 kg
P1X
0
30
P1Y
300
P1 = m1 * g
88
Σ FY = 0
N – P1Y = 0
N = P1Y
Pero: P1Y = P1 * cos 30
P1 = m1 * g
P1Y = m1 * g * cos 30
N = P1Y = m1 g cos 30
N = 29,2 * 9,8 * 0,866
N = 247,82 Newton
c) Si la cuerda se corta, encuentre la aceleración del bloque. No considere la fricción
Σ FX = m a
P1X = m a (Ecuacion 1)
N
Pero: P1X = P1 * sen 30
P1 = m1 * g
P1X = m1 * g * sen 30 (Ecuacion 2)
P1X
Reemplazando la ecuacion 2 en la ecuacion1
P1X = m a (Ecuacion 1)
m1 * g * sen 30 = m a
300
P1Y
P1 = m1 * g
Cancelando terminos semejantes
m1 * g * sen 30 = m a
g * sen 30 = a
a = 9,8 * 0,5
a = 4,9 m/seg2
Problema 5.21 Resnick – Halliday Pág. 141
Remítase a la figura 5 – 7 a. Sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg. Encuentre la aceleración del bloque. No
considere la fricción.
Bloque m1
Σ FX = m1 * a
T = m1 * a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FY = m2 * a
P2 - T = m2 * a
P2 = m2 * g
m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1)
m1
T
T
T
m2 g
m2
89
Sumando las ecuaciones, hallamos la aceleración.
T = m1 * a (Ecuación 1)
m2 * g - T = m2 * a (Ecuación 1)
N1
m2 g = m1 a + m2 a
m2 g = (m1 + m2 ) a
a=
T
m2 g
0,5 * 9,8
4,9
=
=
m1 + m 2
1 + 0,5
1,5
m1 g
a = 3,26 m/seg2
Problema 5.22 Resnick – Halliday Pág. 141
Remítase a la figura 5 -8 a. sea m1 = 1 kg y m2 = 0,5 kg Encuentre la aceleración de los dos bloques
y la tensión de la cuerda
∑ FY = m1 a
m1 g - T = m1 a (Ecuación 1)
T1
∑ FY = m2 a
T - m2 g = m2 a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
T
m1 g - T = m1 a (Ecuación 1)
T - m2 g = m2 a (Ecuación 2)
m 1 g – m 2 g = m1 a + m2 a
m1 g – m2 g = (m1 + m2 ) a
T
m2
m1
1 * 9,8 – 0,5 * 9,8 = (1 + 0,5) a
9,8 – 4,9 = 1.5 a
4,9 = 1,5 a
a = 3,26 m/seg2
T
T
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
W2 = m2 g
T - m2 g = m2 a
T - 0,5 * 9,8 = 0,5 * 3,26
T – 4,9 = 1,63
W1 = m1 g
T = 4,9 + 1,63
T = 6,53Newton
90
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC y BD sabiendo que el
sistema se encuentra en equilibrio.
A
TAY = TA . sen 30
TCY = TC. sen 53
C
300
530
TAX = TA . cos 30
TCX = TC . cos 53
TC
Σ FX = 0
TCX - TAX = 0 (ecuación 1)
TCX = TAX
TA
B
W = 40 N
TC . cos 53 = TA . cos 30
TC . 0,601 = TA . 0,866
TC =
0,866
* TA = 1,44 TA (ecuación 1)
0,601
Σ FY = 0
TAY + TCY –
TAY + TCY =
TAY + TCY =
TA . sen 30
W = 0 (ecuación 2)
W pero: W = 40 N
40
+ TC. sen 53 = 40
0,5 TA + 0,798 TC = 40 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
0,5 TA + 0,798 TC = 40
0,5 TA + 0,798 * (1,44 TA ) = 40
0,5 TA + 1,149 TA = 40
1,649 TA = 40
TA =
40
= 24,25 Newton
1,649
TA = 24,25 N.
TA TAY
0
30
T AX
TC
T CY
530
TCX
Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1.
TC = 1,44 TA
TC = 1,44 * (24,25)
TC = 34,92 Newton.
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el
sistema se encuentra en equilibrio.
TAY = TA . sen 65
TCY = TC. sen 60
TAX = TA . cos 65
TCX = TC . cos 60
Σ FX = 0
91
TCX - TAX = 0 (ecuación 1)
TCX = TAX
C
TC . cos 60 = TA . cos 65
TC . 0,5 = TA . 0,422
0
60
0,422
TC =
* TA = 0,845 TA (ecuación 1) A
0,5
Σ FY = 0
TAY + TCY –
TAY + TCY =
TAY + TCY =
TA . sen 65
650
250
W = 0 (ecuación 2)
W pero: W = 70 N
70
+ TC. sen 60 = 70
TA
TC
B
W = 70 N
0,906 TA + 0,866 TC = 70 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TAY
0,906 TA + 0,866 TC = 70
0,906 TA + 0,866 * (0,845 TA ) = 70
T CY
TA
0,906 TA + 0,731 TA = 70
1,638 TA = 70
TA =
TC
650
TAX
70
= 42,73 Newton
1,638
600
TCX
W = 70 N
TA = 42,73 N.
Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1.
TC = 0,845 TA
TC = 0,845 * (42,73)
TC = 36,11 Newton.
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el
sistema se encuentra en equilibrio.
TAY = TA . sen 60
TAX = TA . cos 60
TCY = TC. sen 30
TCX = TC . cos 30
Σ FX = 0
TCX - TAX = 0 (ecuación 1)
TCX = TAX
TC . cos 30 = TA . cos 60
TC . 0,866 = TA . 0,5
TC =
0,5
* TA = 0,577 TA (Ecuación 1)
0,866
A
600
TA
300
C
TC
B
W = 100 N
Σ FY = 0
92
TAY + TCY –
TAY + TCY =
TAY + TCY =
TA . sen 60
W = 0 (Ecuación 2)
W pero: W = 100 N
100
+ TC. sen 30 = 100
0,866 TA + 0,5 TC = 100 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1
en la ecuación 2
0,866 TA + 0,5 TC = 100
0,866 TA + 0,5 *(0,577 TA) = 100
TA
TAY
0,866 TA + 0,288 TA = 100
1,154 TA = 100
TA =
100
= 86,6 Newton
1,154
TC
0
60
300
TAX
TCX
T CY
W = 100 N
TA = 86,6 N.
Para hallar TC se reemplaza en la ecuación 1.
TC = 0,577 TA
TC = 0,577 * (86,6)
TC = 50 Newton.
En cada uno de los diagramas, calcular la tensión de las cuerdas AB, BC, BD sabiendo que el sistema se
encuentra en equilibrio.
TAY = TA . sen θ
TCY = TC. sen θ
TAX = TA . cos θ
TCX = TC . cos θ
A
θ
TC
TA
B
TCX = TAX
TC =
TA
TAY
Σ FX = 0
TCX - TAX = 0 (Ecuación 1)
TC . cos θ = TA . cos θ
C
θ
W
TC
T CY
θ0
θ0
TCX
TAX
W
cos θ
* TA = TA (Ecuación 1)
cosθ
TC = TA
Σ FY = 0
TAY + TCY – W = 0 (Ecuación 2)
TAY + TCY = W
TA . sen θ + TC. sen θ = W (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
93
TA . sen θ + TC. sen θ = W
TA . sen θ + TA. sen θ = W
2 TA sen θ = W
TA =
W
2 sen θ
Pero TC = TA
Tc =
W
2 sen θ
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que
el sistema se encuentra en equilibrio.
CY = C. sen 60
CX = C. cos 60
AY = A. sen 45
AX = A. cos 45
Σ FX = 0
AX - CX = 0 (Ecuación 1)
AX = CX
A. cos 45 = C. cos 60
A =
cos 60
* C = 0,707 C (Ecuación 1)
cos 45
C
C
Σ FY = 0
CY + AY – W = 0 (Ecuación 2)
CY + AY = W pero: W = 50 kg-f
CY
60
A
AY
0
300
CY + AY = 50
C. sen 60 + A. sen 45= 50
0
60
45
CX
AX
0
W = 50 Kg-f
0,866 C + 0,707 A = 50 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
0,866 C + 0,707 A = 50
C
B
0,866 C + 0,707 (0,707 C) = 50
0,866 C+ 0,5 C = 50
1,366 C = 50
C =
50
= 36,6 Kg - f
1,366
450
A
C = 36,6 Kg-f.
W = 50 Kg-f
A
Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1.
A = 0,707 C
A = 0,707 * (36,6)
A = 25,87 Kg- f.
94
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que
el sistema se encuentra en equilibrio.
C
CY = C. sen 65
AY = A. sen 40
CX = C. cos 65
AX = A. cos 40
Σ FX = 0
AX - CX = 0 (Ecuación 1)
AX = CX
650
400
CY
650
C
AX
CX
A
A. cos 40 = C. cos 65
cos 65
A =
* C = 0,551 C (Ecuación 1)
cos 40
C
250
B
500
AY
60 Kg-f
Σ FY = 0
CY - AY – W = 0 (Ecuación 2)
CY - AY = W pero: W = 60 kg-f
400
A
60 Kg-f
CY - AY = 60
C. sen 65 - A. sen 40 = 60
0,906 C - 0,642 A = 60 (Ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
0,906 C- 0,642 A = 60
0,906 C - 0,642 (0,551 C) = 60
0,906 C - 0,354 C = 60
0,551 C = 60
C =
60
= 108,89 Kg - f
0,551
C = 108,89 Kg- f.
Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1.
A = 0,551 * (108,89)
A = 60 Kg - f.
A = 0,551 C
En cada uno de los diagramas, hallar la tensión de la cuerda BC y la fuerza en el pivote AB sabiendo que
el sistema se encuentra en equilibrio.
CY = C. sen 32
AY = A. sen 45
CX = C. cos 32
AX = A. cos 45
C
Σ FX = 0
AX - CX = 0 (Ecuación 1)
AX = CX
A. cos 45 = C. cos 32
B
W = 50 Kg-f
C
320
A
450
A
95
A =
cos 32
* C = 1,199 C (Ecuación 1)
cos 45
Σ FY = 0
AY – CY - W = 0 (Ecuación 2)
AY – CY = W pero: W = 50 kg-f
AY – CY = 50
A. sen 45 - C. sen 32 = 50
AY
A
450
CX
0,707 A - 0,529 C = 50 (Ecuación 2)
320
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
0,707 A - 0,529 C = 50
CY
AX
C
W = 50 Kg-f
0,707 (1,199 C) - 0,529 C = 50
0,848 C - 0,354 C = 50
0,318 C = 50
C =
50
= 157,23 Kg - f
0,318
C = 108,89 Kg- f.
Para hallar A se reemplaza en la ecuación 1.
A = 1,199 C
A= 1,199 * (157,23)
A = 188,51 Kg - f.
Se muestran 3 bloques de masas m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. m3 = 8 kg. Si se supone nulo el roce, calcular la
aceleración del sistema y las tensiones de las cuerdas.
Bloque m1
T1 – W1 = m1 * a
T1 – m 1 g = m 1 * a
Bloque m2
W2 – T2 = m2 * a
m 2 g – T2 = m 2 * a
Bloque m1
T1
Bloque m2
Bloque m3
N3
(Ecuación 1)
T2
T1
T2
(Ecuación 2)
Bloque m3
N3 – W3 = 0
N3 = W3 = m3 * g
T2 – T1 = m3 * a (Ecuación 3)
m1 = 2 kg
W1 = m1 * g
m 2 = 2 kg
W2 = m2 * g
m3 = 8 kg
W3 = m3 * g
T1 – m 1 g = m 1 * a
m 2 g – T2 = m 2 * a
T 2 – T1 = m 3 * a
m 2 g - m1 g = m 1 * a + m 2 * a + m3 * a
96
m2 g - m1 g = (m1 + m2 + m3) * a
a =
(m 2 - m1 ) g = (3 - 2) 9,8 = (1)9,8
(m1 + m 2 + m 3 ) (2 + 3 + 8) 13
a = 0,75 m
= 0,75 m
T1
seg 2
seg 2
T1
Para hallar la tensión T1
se reemplaza en la Ecuación 1.
T1 – m1 g = m1 * a (Ecuación 1)
T1 = m1 * a + m1 g
T2
m3 = 8 kg
T2
m1 = 2 kg
m2 =3 kg
T1 = 2 * 0,75 + 2 * 9,8 = 1,5 + 19,6 = 21,1 Newton
T1 = 21,1 Newton
Para hallar la tensión T2 se reemplaza en la Ecuación 3.
T2 – T1 = m 3 * a
T2 = m3 * a + T1
T2 = 8 * 0,75 + 21,1
T2 = 6 + 21,1
T2 = 27,1 Newton.
En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a
velocidad constante, en el sentido indicado.
a) No hay rozamiento
b) Existe rozamiento entre el cuerpo y la superficie (μ = 0,24)
T1
T2
Bloque m1
T1
T1
m2 = 15 kg
N2
T2
T2
T1
g = 10 m/seg2
m1 = 20 kg
Bloque m3
Bloque m2
T2
m3 = ?
m1 = 20 kg
W1 = m1 * g
m 2 = 15 kg
W2 = m2 * g
m3 = ?
W3 = m3 * g
No hay rozamiento, como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración.
Bloque m1
Σ FY = 0
T1 – W1 = 0
T1 – m1 g = 0
(Ecuación 1)
97
T1 = m1 g
Bloque m1
T1
T1 = 20 * 10 = 200 Newton
Bloque m2
Σ FX = 0
T 2 – T1 = 0
T2 = T1 (Ecuación 2)
T2 = 200 Newton
m1 = 20 kg
W1 = m1 * g
Bloque m3
Σ FY = 0
W3 – T2 = 0 (Ecuación 3)
W 3 = T2
m3 g = T2
T
200 Newton
m3 = 2 =
=
=
m
g
10
seg 2
kg m
m
seg 2
= 20 Kg
seg 2
m3 = 20 Kg.
W3 = m3 * g
W3 = 20 * 10 = 200 Newton
HAY ROZAMIENTO
Bloque m1
Σ FY = 0
T1 – W1 = 0
T1 – m1 g = 0
Bloque m3
Bloque m2
N2
T2
(Ecuación 1)
T1 = m1 g
T1 = 20 * 10 = 200 Newton
Bloque m2
Σ FX = 0
T 2 – T 1 - FR = 0
T1
T2
FR
m 2 = 15 kg
W2 = m2 * g
m3 = ?
W3 = m3 * g
Σ FY = 0
N2 – W = 0
N2 – m2 g = 0
N2 = m2 g = 15 * 10 = 150 Newton
N2 = 150 Newton
98
FR = μ * N2
FR = 0,24 *(150)
FR = 36 Newton
T 2 – T 1 - FR = 0
T2 = T1 + FR
pero: T1 = 200 Newton FR = 36 Newton
T2 = 200 +36
T2 = 236 Newton
Bloque m3
Σ FY = 0
m3 g - T2 = 0
m3 g = T2
W3 = m3 g = T2
W3 = 236 Newton
En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a
velocidad constante en el sentido indicado.
NO HAY ROZAMIENTO
Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración.
T1
m1 = 15 kg
Bloque m1
T1
Σ FX = 0
T1 – P1X = 0
Pero: P1X = P1 sen 40
400
P1 = m1 g
T1 – P1 sen 40 = 0 (Ecuación 1)
T1 – m1 g sen 40 = 0
T1 = m1 g sen 40
T1 = 15 * 9,8 * 0,642
T1 = 94,374 Newton
Bloque m2
Σ FY = 0
P2 – T1 = 0 (Ecuación 2)
P2 = T1
P2 = 96,418 Newton
SI HAY ROZAMIENTO
μ = 0,24
m2 = ?
P2 = m2 * g
Bloque m1
N1
T1
Bloque m2
T1
P1X
400
m1 = 15 Kg.
P1 = m1 * g
P1Y
m2 = ?
P2 = m2 * g
Bloque m1
Σ FX = 0
T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
99
Pero: P1X = P1 sen 40
P1X = m1 g sen 40
P1X = 15 * 9,8 * 0,642
P1X = 94,37 Newton
P1 = m1 g
Pero: P1Y = P1 cos 40
P1Y = m1 g cos 40
P1Y = 15 * 9,8 * 0,766
P1Y = 112,6 Newton
P1 = m1 g
Bloque m1
N1
T1
FR
P1X
400
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 112,6 Newton
m1 = 15 Kg.
P1 = m1 * g
μ = 0,24
FR = μ * N1 (Ecuación 3)
FR = 0,24 * 112,6
FR = 27,02 Newton
T1 – P1X – FR = 0 (Ecuación 1)
T1 = P1X + FR
P1Y
Bloque m2
Pero: P1X = 94,37 Newton
T1
T1 = 94,37 + 27,02
T1 = 121,39 Newton
Bloque m2
Σ FY = 0
P2 – T1 = 0 (Ecuación 4)
P2 = T1
P2 = 121,39 Newton
m2 = ?
P2 = m2 * g
En cada uno de los diagramas, hallar el valor del peso desconocido si los cuerpos se mueven a
velocidad constante en el sentido indicado.
NO HAY ROZAMIENTO
Como se desplaza a velocidad constante no hay aceleración.
Bloque m1
Bloque m1
Σ FX = 0
T – P1X = 0 (Ecuación 1)
P1X = P1 sen 30
P1 = m1 g
T – P1 sen 30 = 0
T – m1 g sen 30 = 0
T = m1 g sen 30
T = 60 * 9,8 * 0,5 = 300 Newton
T = 294 Newton
m1 = 60 kg
N1
T
T
T
P1X
P1Y
0
30
300
P2
530
m1 = 15 Kg.
P1 = m1 * g
100
Bloque m2
Bloque m2
Σ FY = 0
P2x – T = 0 (Ecuación 2)
P2x = T = 294 Newton
P2x = P2 sen 53
T
N2
P2X
P2Y
P
294
P2 = 2X =
= 368,14 Newton
sen 53
0,7986
530
P2 = 368,14 Newton
m2 = ?
P2 = m2 * g
SI HAY ROZAMIENTO
T
Bloque m1
Σ FX = 0
T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1)
Pero: P1X = P1 sen 30
P1X = m1 g sen 30
P1X = 60 * 9,8 * 0,5
P1X = 294 Newton
Pero:
P1Y = P1 cos 30
FR1
P1 = m1 g
300
N1
FR1
P2
530
La fuerza de rozamiento
actua en sentido contrario
al movimiento.
P1Y
300
Σ FY = 0
N1 - P1Y = 0 (Ecuación 2)
N1 = P1Y
N1 = 509,2 Newton
m1 = 15 Kg.
P1 = m1 * g
μ = 0,24
FR1 = μ * N1 (Ecuación 3)
FR1 = 0,24 * 509,2
FR1 = 122,2 Newton
Bloque m2
Σ FY = 0
N2 – P2Y = 0
T
P1X
P1Y = m1 g cos 30
P1Y = 60 * 9,8 * 0,866
P1Y = 509,2 Newton
T = 294 + 122,2
T = 416,2 Newton
FR2
Bloque m1
P1 = m1 g
T – P1X – FR1 = 0 (Ecuación 1)
T = P1X + FR1
Pero: P1X = 294 Newton
T
m1 = 60 kg
Bloque m2
T
FR2
N2
P2X
P2Y
530
m2 = ?
P2 = m2 * g
(Ecuación 4)
101
N2 = P2Y
Pero: P2Y = P2 cos 53 P2 = m2 g
N2 = P2Y = P2 cos 53
FR2 = μ * N2 (Ecuación 5)
FR2 = 0,24 * P2 cos 53
FR2 = 0,24 * P2 * 0,6018
FR2 = 0,144 P2
Pero:
P2X = P2 sen 53
T = 416,2 Newton
FR2 = 0,144 P2
Σ FX = 0
P2X – T - FR2 = 0 (Ecuación 6)
P2 sen 53 - 416,2 - 0,144 P2 = 0
0,7986 P2 - 0,144 P2 = 416,2
0,654 P2 = 416,2
P2 =
416,2
= 636,39 Newton
0,654
Un cuerpo esta apoyado sobre un plano inclinado de coeficiente de rozamiento dinámico μK . Al
dejarlo libre baja con velocidad constante. Cual es el coeficiente de rozamiento.
SI HAY ROZAMIENTO
Bloque m
Σ FX = 0
PX – FR = 0 (Ecuación 1)
FR = μK N (Ecuación 2)
N – PY = 0 (Ecuación 3)
N = PY
Pero: PY = P cosθ
N = PY = P cosθ
θ0
Reemplazando en la ecuación 2
FR = μK N
FR = μK P cosθ
Reemplazando en la ecuación 1
PX – FR = 0
P
N
FR
PX
PY
θ0
Pero: PX = P senθ
P
102
P senθ - μK P cosθ = 0
P senθ = μK P cosθ
μK =
sen θ
= tgθ
cos θ
μK = tgθ
Un cuerpo de peso W suspendido de un hilo forma un ángulo θ con la vertical. Cuando esta
sometido a una fuerza horizontal F. Cual es el valor de F?
Σ FY = 0
TY – W = 0
TY = W
Pero: TY = T cos θ
T cos θ = W (Ecuación 1)
Σ FX = 0
F – TX = 0
F = TX
β0
Pero: TX = T sen θ
T sen θ = F (Ecuación 2)
T =
θ0
Bloque m
T
F
T
W
cos θ
θ0
Reemplazando en la ecuación 2
T sen θ = F
TY
F
TX
⎛ W ⎞
⎜
⎟ * sen θ = F
⎝ cos θ ⎠
W
m= ?
W = m* g
F = W * tag θ
Sobre un cuerpo se aplica una fuerza de 20 newton con un Angulo de inclinación con
respecto a la horizontal de 300. Cual debe ser el valor de la fuerza de rozamiento para que el
cuerpo no se mueva?
T = 20 N
300
FR
FR
TX
300
TY
∑ FX = 0
Pero: TX = T cos 30 = (20) * 0,866
TX = 17,32 Newton
∑ FX = TX - FR = 0
T
W
103
∑ FX = 17,32 - FR = 0
17,32 = FR
Si el bloque A de la figura se encuentra en equilibrio, entonces Cual es el valor de la fuerza de
rozamiento?
W2 = 16 Newton
∑ FX = 0
∑ F X = T - FR = 0
T = FR (Ecuación 1)
T
FR
T
∑ FY = 0
∑ F Y = W1 - T = 0
W1 = T
(Ecuación 2)
Pero: W1 = 24 Newton
T = 24 Newton
W1 = 24 Newton
Reemplazando en la ecuacion1
T = FR (Ecuación 1)
FR = 24 Newton
Cual es el valor en Newton de la fuerza
normal ejercida por una superficie plana
sobre un objeto de 500 gr de masa. m = 0,5 Kg.
W = m*g
W = 0,5 * 9,8
W = 4,9 Newton
Bloque W1
Bloque W2
N
T
F R1
T
N
W2 = 16 N
W1 = 24 N
∑ FY = 0
W–N=0
W=N
N = 4,9 Newton
Un resorte se encuentra en equilibrio. Si al clocarle un peso de 2 Newton se estira 5 cm. Cual
es su constante de elasticidad? Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f.
F= K*Y
Pero: F = W = 2 Newton
Y = 5 cm = 0,05 metros
K =
F
2
Newton
=
= 40
Y 0,05
metro
Y = 5 cm
W= 2 Newton
104
Que distancia se estira si se coloca un peso de 50 gr – f.
F= K*Y
Un bloque cuyo peso es 400 Newton se encuentra en reposo sobre un plano inclinado.
Encuentre el valor de la fuerza normal y el valor de la fuerza de rozamiento.
Bloque W = 400 Newton.
Σ FX = 0
P1X - FR = 0 (Ecuación 1)
P1X = FR
Pero:
P1X = P1 sen 60
P1X = 400 * (0,866)
Bloque W
N
FR
FR
P1Y
P1X
600
600
P1X = 346,4 kg.
Pero: P1Y = P1 cos 60
P1Y = 400 * (0,5)
W
P1Y = 200 Kg.
Σ FY = 0
N - P1Y = 0
N = P1Y
(Ecuación 2)
N = 200Kg.
P1X = FR
Pero: P1X = 346,4 kg.
FR = 346,4 kg.
Que fuerza se debe ejercer sobre un cuerpo de 15 kg. de masa para que acelere a 4 m/seg2
F = m * a = 15 * 4 = 60 Newton.
F = 60 Newton.
Sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 5 newton y 12 newton que forman
entre si un ángulo de 900 . Calcular la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la
aceleración que experimentan?
FR
F1 = 5 N
900
FR = Fuerza resultante
FR =
(F1 )2
FR =
(5)2
+ (F2 )2
F2 = 12 N
F1 = 5 N
F2 = 12 N
+ (12 )2 = 25 + 144 = 169
FR = 13 Newton
FR = m * a
105
a =
FR
13
=
=
m
8
1,625
m
seg 2
Sobre un cuerpo de 4 kg inicialmente en reposo actúa una fuerza resultante de 32 newton.
Que velocidad lleva el cuerpo cuando ha recorrido 100 metros.
VO = 0
F = 32 Newton
VF = ?
F=m*a
a =
F
m
=
32
=
4
8
X = 100 metros
m
seg 2
El cuerpo parte del reposo, la velocidad inicial es cero. Vo = 0
Vf 2 = Vo2 + 2 a x
Vf 2 = 2 a x
VF =
2*a *x =
2 * 8 * 100 = 1600 = 40
VF = 40 m/seg2
Sobre los bloques de la figura, se aplica una fuerza horizontal F = 60 Newton . Considerando
que no existe rozamiento, calcular:
a) aceleración del conjunto
b) tensión de la cuerda B?
c) tensión de la cuerda A?
m1
TA
aceleración del conjunto
m1 = 2 kg.
m2 = 4 kg.
m3 = 6 kg.
m2
TA
TB
m3
TB
m1
F = 60 Newton
m2
TA
TA
m3
TB
TB
F = 60 N
mt = m1 + m2 + m3
mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg.
F = mt * a
a =
F
mt
=
60
=
12
5
m
seg 2
tensión de la cuerda A?
Bloque m1
Σ FX = 0
F = m1 * a
106
TA = m1 * a
TA = 2 * 5 = 10 Kg.
TA = 10 Kg.
Tensión de la cuerda B?
Bloque m2
Σ FX = 0
F=m*a
TB - TA = m * a
Pero: TA = 10 Kg. m2 = 4 Kg.
TB - 10 = m2 * a
TB - 10 = 4 * 5
TB = 20 + 10
TB = 30 Newton
Si entre los bloques y la superficie del problema anterior existe un coeficiente de rozamiento
de 0,25. Calcular:
a) aceleración del sistema
b) tensión de la cuerda B?
c) tensión de la cuerda A?
m1
TA
m1 = 2 kg.
m2 = 4 kg.
m3 = 6 kg.
Bloque m1
Σ FY = 0
N1 – W1 = 0
N1 = W1 = m1 * g
N1 = m1 * g = 2 * 10 = 20 Newton
N1 = 20 Newton.
m2
TA
TB
Bloque m1
N1
FR1
m3
TB
F = 60 Newton
Bloque m2
N2
TA
TA
FR2
W1 = m1 g
TB
W2 = m2 g
FR1 = μ * N1
FR1 = 0,25 * 20
FR1 = 5 Newton.
Σ FX = m1 * a
TA – FR1 = m1 * a (Ecuación 1)
Bloque m2
Σ FY = 0
N2 – W2 = 0
N2 = W2 = m2 * g
N2 = m2 * g = 4 * 10 = 40 Newton
N2 = 40 Newton.
Bloque m3
TB
N3
F = 60 N
FR3
W3 = m3 g
FR2 = μ * N2
FR2 = 0,25 * 40
107
FR2 = 10 Newton.
Σ FX = m2 * a
TB – FR2 - TA = m2 * a (Ecuación 2)
Bloque m3
Σ FY = 0
N3 – W3 = 0
N3 = W3 = m3 * g
N3 = m3 * g = 6 * 10 = 60 Newton
N3 = 40 Newton.
FR3 = μ * N2
FR3 = 0,25 * 60
FR3 = 15 Newton.
a) aceleración del conjunto
m1 = 2 kg. m2 = 4 kg.
m3 = 6 kg.
FR1 = 5 Newton. FR2 = 10 Newton.
FR3 = 15 Newton.
mt = m1 + m2 + m3
mt = 2 + 4 + 6 = 12 kg.
FX = mt * a
Σ FX = F - FR1 - FR2 - FR3
FX = 60 – 5 – 10 – 15 = 30 Newton.
FX = 30 Newton.
a =
FX
30
=
=
12
mt
2,5
m
seg 2
Resolviendo la ecuación 1 y la ecuación 2 hallamos TB
TA – FR1 = m1 * a
(Ecuación 1)
TB – FR2 - TA = m2 * a
(Ecuación 2)
TB – FR2 – FR1 = m1 * a + m2 * a
TB – 10 - 5 = a ( 2 + 4 ) pero a = 2,5 m/seg2
TB – 15 = 2,5 *(6)
TB = 15 + 15
TB = 30 Newton
c) tensión de la cuerda A?
Reemplazando en la ecuación 1
TA – FR1 = m1 * a
TA – 5 = 2 * 2,5
TA – 5 = 5
TA = 5 + 5 = 10 Newton.
Un cuerpo de masa m = 1 kg. se empuja mediante una fuerza horizontal F de modulo 15
Newton , desde el pie de un plano inclinado áspero que forma un ángulo de 370 con la
108
horizontal y cuyo coeficiente de roce cinético es 0,2. Si La fuerza F solo actúa durante 3
segundos, determine:
a) La distancia que alcanza a subir por el plano ?
b) El tiempo que demora en volver al punto de partida?
X1
Datos: m = 1 kg F = 15 Newton θ = 370 μ = 0,2
t = 3 seg.
a) La distancia que alcanza a subir por el plano ?
Σ FX = m * a
Σ FX = FX – FR – WX = m * a
X
Pero: FX = F cos θ
WX = W sen θ
W = m g F = 15 N
Σ FX = F cos θ - FR - m g sen θ = m * a
F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1)
θ = 370
Σ FY = 0
Σ FY = N – FY – W Y = 0
Pero: FY = F sen θ
WY = W cos θ
Σ FY = N - F sen θ - m g cos θ = 0
N = F sen θ + m g cos θ
N
FX
W=mg
Pero: FR = μ * N
FR = μ *( F sen θ + m g cos θ )
FR = 0,2 ( 15 sen 37 + 1 * 10 cos 37)
FR = 0,2 ( 9.0272 + 7,9863)
FR = 0,2 ( 17,0135)
FR = 3,4 Newton.
θ
FY
FR
F
θ
WY
W=mg
WX
Despejando la ecuación 1, hallamos la aceleración.
F cos θ - FR - m g sen θ = m * a (Ecuación 1)
15 cos 37 - 3,4 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a
11,9795 – 3,4 - 6,0181 = a
a = 2,56 m/seg2 durante los 3 seg. Que
el bloque sube por el plano inclinado.
El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 3 seg.
X = V0 t +
1
a t2
2
Pero: V0 = 0 arranca del reposo.
X =
1
1
1
a t2 =
2,56 * (3)2 = 2,56 * 9 = 11,52 metros
2
2
2
X = 11,52 metros
109
VF = V0 + a t pero V0 = 0
VF = a t = (2,56 m/seg2 ) 3 seg = 7,68 m/seg
VF = 7,68 m/seg
Como la fuerza de 15 Newton desaparece a los 3 seg. el cuerpo empieza a perder velocidad
hasta detenerse. Por lo tanto es necesario hallar la nueva aceleración después de los 3 seg.
N
Σ FX = m * a1
Σ FX = – FR – WX = m * a1
Pero: WX = W sen θ
W=mg
Σ FX = - FR - m g sen θ = m * a1
- FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3)
FR
Σ FY = 0
Σ FY = N – WY = 0
θ
WY
Pero: WY = W cos θ
W=mg
Σ FY = N - m g cos θ = 0
N = m g cos θ
N = 1 * 10 cos 37
N = 7,9863 Newton.
WX
W=mg
Pero: FR = μ * N
FR = 0,2 * 7,9863
FR = 1,5972 Newton
Reemplazando en la ecuación 3, hallamos la
aceleración retardatriz, hasta que el cuerpo se detiene.
- FR - m g sen θ = m * a1 (Ecuación 3)
- 1,5972 – 1 * 10 sen 37 = 1 * a1
- 1,5972 – 6,0181 = a1
a1 = - 7,6153 m/seg2
Enseguida se halla el tiempo hasta que el cuerpo se detiene
VF = V0 – a2 t2 pero VF = 0 V0 = 7,68 m/seg
V0 = a2 t2
t1 =
V0
7,68
=
= 1,01 seg
a2
7,6153
Hallamos la distancia que recorre hasta detenerse
X1 = V0 (t1 ) +
1
a 1 (t1 ) 2
2
Pero: V0 = 7,68 m/seg
X1 = 7,68 * 1,01 -
1
1
7,6153 (1,01) 2 = 7,7568 7,6153 = 7,7568 - 3,8841 = 3,8727 metros
2
2
110
X1 = 3,87 metros
La distancia total es = X + X1 = 11,52 + 3,87 = 15,39 metros
XT = 15,39 metros
Hallar el tiempo de bajada. TB ?
Pero: XT = 15,39 metros a1 = - 7,6153 m/seg2
V0 = 0 (parte del reposo hacia abajo).
1
a 1 (TB ) 2
2
1
XT =
a 1 (TB ) 2 = 15,39
2
(TB )2 = 15,39 * 2 = 30,78
a1
7,6153
X T = V0 (TB ) +
30,78
7,6153
TB =
4,041 = 2,01 Seg.
TB = 2,01 Seg. (Tiempo de bajada)
El tiempo de subida TS = t + t1 = 3 + 1,01 = 4,01 seg.
El tiempo que demora en volver al punto de partida = Tiempo de subida + tiempo de bajada
El tiempo que demora en volver al punto de partida = 4,01 + 2,01 = 6,02 seg.
Dos personas halan un cuerpo de 20 kg. apoyado en una mesa con fuerzas de 100 Newton y
200 Newton. Calcular la aceleración y el espacio recorrido en 6 seg.
a) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en el mismo sentido.
Σ F X = F1 + F 2 = m * a
100 + 200 = 20 * a
300 = 20 * a
a =
300
m
= 15
20
seg 2
El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg.
X = V0 t +
1
a t2
2
Pero: V0 = 0 (arranca del reposo).
X =
M = 20 Kg
F1 = 100 N
1
1
1
a t 2 = 15 * (6)2 = 15 * 36 = 270 metros
2
2
2
F2 = 200 N
X = 270 metros
b) Las fuerzas se ejercen horizontalmente en sentido contrario.
111
Σ F X = - F1 + F 2 = m * a
- 100 + 200 = 20 * a
100 = 20 * a
a =
100
m
= 5
20
seg 2
El siguiente paso es hallar la distancia que recorre en los 6 seg.
X = V0 t +
1
a t2
2
Pero: V0 = 0 (arranca del reposo).
X =
F1 = 100 N
M = 20 Kg
1
1
1
a t2 =
5 * (6 )2 = 5 * 36 = 90 metros
2
2
2
F2 = 200 N
X = 90 metros
Un carro de masa 2000 kg viaja sobre un camino horizontal con una velocidad de 72 km/hora.
Que fuerza ejercen los frenos si se detiene en una distancia de 25 metros.
v = 72
km
1000 m
1 hora
m
*
*
= 20
hora
1 km
3600 seg
seg
VF2 = V 2 - 2 a X Pero: VF = 0
0
2
V = 2 a X
0
m2
400
2
V2
seg 2
m
0 = (20 ) =
8
a =
50 m
2 * 25
2*X
seg 2
F=m *a
F = 2000 * 8
F = 16000 Newton
Dos bloques de 3 Kg. y 2 kg están en contacto entre si sobre una superficie horizontal (el
mayor a la derecha del menor). Si se aplica una fuerza de 20 Newton horizontal sobre el
menor y hacia la derecha. Encontrar:
b) Aceleración del sistema
Bloque m1
Bloque m2
mT = m1 + m2 = 2 + 3 = 5 Kg.
mT = 5 kg.
F = 20 N
F = mT * a
kg
a =
20 Newton
F
=
= 4
5 kg
mT
m
seg 2
m
= 4
kg
seg 2
b) La magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques?
112
Bloque m1
Bloque m1
Σ FX = F – FC = m1 a
donde FC es la fuerza de contacto.
F – FC = m1 a
Bloque m2
FC
F = 20 N
FC
FC = 20 - 2 * 4
FC = 12 Newton.
Una fuerza de 6 Newton empuja un cuerpo de 3 kg. Cual es la aceleración del cuerpo. Que distancia
recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo?
m1 = 3 kg
F=m*a
kg
a =
6 Newton
F
=
= 2
3 kg
m
V0 = 0
m
seg 2
m
= 2
kg
seg 2
F=6N
t = 10 seg
Que distancia recorre el cuerpo en 10 seg. si parte del reposo?
1
a (t )2 pero : V0 = 0
2
1
1
* 2 * (10 )2 = 100 metros
a (t )2 =
X =
2
2
X = V0 +
X = 100 metros
Un objeto de masa 5 kg tiene una aceleración de 8 m/seg2 en la dirección X y una aceleración
de 6 m/seg2 en la dirección Y. Cual es la fuerza total que actúa sobre el?
aR =
(a X )2 (a Y )2
=
82 + 62 =
64 + 36 = 10
m
seg 2
aY = 6 m/seg2
aR
F = m * aR
F = 5 * 10 = 50 Newton
aX = 8 m/seg2
F = 50 Newton
Un bloque de masa 2 kg. Parte con velocidad de 10 m/seg sobre una superficie rugosa horizontal y
cuando recorre 16 metros, su velocidad es 6 m/seg. Calcular la aceleración del bloque y el
coeficiente de rozamiento?
m = 2 kg
V0 = 10 m/seg
VF = 6 m/seg
V0 = 10 m/seg
X = 16 metros
VF = 6 m/seg
X = 16 m
113
La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo.
(VF )2
= (V0 )2 - 2 a X
Despejamos la aceleración
(V0 )2 - (VF )2
(V0 )2 - (VF )2
2aX =
a =
2 X
=
(10)2
- (6 )2
m
64
100 - 36
=
=
= 2
32
32
2 * 16
seg 2
a = μ * g
μ =
2
a
=
= 0,2
10
g
μ = 0,2
Cual es la distancia que recorre un auto con velocidad de 72 Km/hora hasta detenerse. Si el
coeficiente de rozamiento entre las llantas y la carretera es de 0,4.
V = 72
m
1000 metros
1 hora
km
*
*
= 20
seg
1 km
hora 3600 seg
V0 = 20 m/seg.
a = μ * g
a = 0,4 * 10 = 4 m/seg2
a = 4 m/seg2
La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo.
Datos: V0 = 20 m/seg.
a = 4 m/seg2
VF = 0
X = Distancia recorrida.
(VF )2
= (V0 )2 - 2 a X
0 = 202 – 2 * 4 * X
0 = 400 – 8 X
8X = 400
X = 50 Metros.
El sistema de la figura esta formado por los bloques A, B, C ligados por las cuerdas de masa
despreciable e inextensibles. La cuerda que une los cuerpos A y B, pasa por una polea de masa y
roce despreciable. El coeficiente de roce cinético entre el bloque A y el plano es 0,5 y la masa de A y
B es de 2 kg. c/u. y el ángulo del plano inclinado es de 300. Calcule
a) El valor de la masa del bloque C para que el bloque A suba con aceleración de modulo 2
m/seg2.
b) La tensión que actúa sobre el bloque C?
c) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto de
deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8.
114
Bloque A
Σ FX = mA * a
T – FR – WAX = mA * a (Ecuación 1)
Pero: WAX = WA sen 30
WAX = mA g sen 30
Σ FY = 0
N - WAY = 0
Pero: WAY = WA cos 30
WAY = mA g cos 30
WA = mA * g
WA = mA * g
N - mA g cos 30 = 0
N = mA g cos 30
T
T
mA = 2 kg
FR = μ N
FR = μ (mA g cos 30)
Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg.
FR = μ (mA g cos 30)
FR = 0,5 (2 * 10 cos 30)
FR = 8,66 Newton
B
A
mB = 2
TC
300
WAX = mA g sen 30
WAX = 2 * 10 sen 30
WAX = 10 Newton BLOQUE B + BLOQUE C
Σ FY = mB * a + mC * a (Por que existe una aceleración)
WB + WC – T = mB * a + mC * a
mc
N
WAX
T
FR
300
Pero: WB = mB * g
WC = mC * g
mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2)
Resolviendo la ecuación 1 con la ecuación 2, hallamos mC
WA
T – FR – WAX = mA * a
(Ecuación 1)
mB g + mC g – T = mB a + mC a (Ecuación 2)
– FR – WAX + (mB g) + (mC g) = (mA * a) + (mB a) + (mC a)
- 8,66 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = (2 * 2) + (2 * 2) + 2 mC
- 18,66 + 20 + 10 mC = 8 + 2 mC
1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC
8 mC = 8 - 1,34
8 mC = 6.66
mC = 0,83 KG
T
TC
c) La tensión que actúa sobre el bloque C?
BLOQUE C
Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración)
WC – TC = mC * a
Pero: WC = mC * g
WAY
WC = mC g
WB + WC
115
mC g – TC = mC a (Ecuación 3)
mC g - mC a = TC
(0,83 * 10) – (0,83 * 2) = TC
8,3 – 1,66 = TC
TC = 6,64 Newton
d) El mayor valor que puede tener la masa del bloque C para que el sistema este a punto
de deslizar. Si el coeficiente de roce estático es 0,8.
(El sistema esta en reposo, con tendencia a deslizar hacia la derecha, por lo tanto la fuerza de
rozamiento esta hacia la izquierda y se opone al movimiento)
Σ FX = 0
T - FR2 – WAX = 0 (Ecuación 4)
Pero: WAX = WA sen 30
WAX = mA g sen 30
WA = mA * g
WAX = mA g sen 30
WAX = 2 * 10 sen 30
Bloque A
WAX = 10 Newton
Bloque C
N
Σ FY = 0
N - WAY = 0
TC
TB
FR
Pero: WAY = WA cos 30
WAY = mA g cos 30
WA = mA * g
WAY
WA
WC = mC g
300
N - mA g cos 30 = 0
N = mA g cos 30
FR2 = μE N
μE = COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTATICO = 0,8
FR2 = μE (mA g cos 30)
Bloque B
FR2 = 0,8 (2 *10 cos 30)
FR2 = 13,85 Newton
BLOQUE B + BLOQUE C
Σ FY = 0 (Por que el sistema esta en equilibrio)
W B + WC – T = 0
Pero: WB = mB * g
WC = mC * g
mB g + mC g – T = 0 (Ecuación 5)
TB
TC
WB = mB g
116
Resolviendo la ecuación 4 con la ecuación 5, hallamos mC
T – FR2 – WAX = 0
m B g + mC g – T = 0
(Ecuación 4)
(Ecuación 5)
– FR2 – WAX + (mB g) + (mC g) = 0
- 13,85 - 10 + (2 * 10) + 10 mC = 0
- 23,85
+ 20 + 10 mC = 0
- 3,85 + 10 mC = 0
10 mC = 3,85
mC = 0,385 kg.
Otra forma de resolver el problema
Bloque A
Σ FX = mA * a
TB – FR – WAX = mA * a
Pero: WAX = WA sen 30
WAX = mA g sen 30
Σ FY = 0
N - WAY = 0
Pero: WAY = WA cos 30
WAY = mA g cos 30
WA = mA * g
WA = mA * g
N - mA g cos 30 = 0
N = mA g cos 30
FR = μ N
FR = μ (mA g cos 30)
mA = 2 kg
Datos: a = 2 m/seg2 μ = 0,5 mA = mB = 2 Kg.
FR = μ (mA g cos 30)
FR = 0,5 (2 * 10 cos 30)
FR = 8,66 Newton
WAX = mA g sen 30
WAX = 2 * 10 sen 30
WAX = 10 Newton
Reemplazando
TB – FR – WAX = mA * a
TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA * a
(Ecuación 1)
TB
TB
A
0
30
B
C
mB = 2
TC
mc
TC
117
BLOQUE B
Σ FY = mB * a (Por que existe una aceleración)
WB + TC – TB = mB * a
Pero: WB = mB * g
m B g + TC – T B = m B a
(Ecuación 2)
BLOQUE C
Σ FY = mC * a (Por que existe una aceleración)
WC – TC = mC * a
Pero: WC = mC * g
mC g – TC = mC a (Ecuación 3)
Sumando las 3 ecuaciones, se simplifican las tensiones y se halla mC
TB – μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 = mA a (Ecuación 1)
m B g + TC – T B = m B a
m C g – TC = m C a
(Ecuación 2)
(Ecuación 3)
– μ (mA g cos 30) – mA g sen 30 + mB g + mC g = mA a + mB a
+ mC a
g (– μ mA cos 30 – mA sen 30 + mB + mC ) = a (mA + mB + mC)
10 (- 0,5 * 2 cos30 – 2 sen 30 + 2 + mC) = a (2 + 2 + mC)
10 (- 0,866 – 1 + 2 + mC ) = 2 (4 + mC)
1,34 + 10 mC = 8 + 2 mC
10 mC - 2 mC = 8 + 1,34
8 mC = 6,66
mC =
6,66
= 0,832 Kg
8
Un bloque de 10 kg parte del reposo, arriba de un plano inclinado de longitud 4 metros y de altura
0,8 metros. Que tiempo emplea el bloque para recorrer el plano. (No hay rozamiento).
sen θ =
0,8
= 0,2
4
V0 = 0
sen θ = 0,2
θ = arc sen 0,2
θ = 11,530
a = g * senθ
a = 10 * sen 11,53
m = 10 kg
X = 4 metros
0,8 metros
θ
118
a = 2 m/seg2
Para hallar el tiempo, se despeja:
1
a (t )2
2
1
a (t )2
X =
2
X = V0 +
pero : V0 = 0
2 * X = a * t2
t=
2X
=
a
2*4
=
2
4 = 2 seg.
t = 2 seg.
0
VF = V0 + a * t
VF = a * t
VF = 2 * 2
VF = 4 m/seg
En la parte superior de una calle inclinada a 300 y de longitud de 90 metros. Se deja libre un carrito
de masa de 8 kg. Calcular la aceleración del carrito al dejarlo libre y el tiempo empleado en recorrer
el plano?.
Datos: θ = 300
a = g * senθ
a = 10 * sen 30
a = 5 m/seg2
Para hallar el tiempo, se despeja:
1
X = V0 + a (t )2
2
1
a (t )2
X =
2
2*X=a*t
t=
2X
=
a
V0 = 0
pero : V0 = 0
X = 90 metros
2
2 * 90
=
5
36 = 6 seg.
300
t = 6 seg.
Con que aceleración baja un cuerpo por un plano inclinado de 300. No hay rozamiento?
Datos: θ = 300 PX = m g sen 30
Σ FX = m a
m a = m g * senθ
a = g sen 30
a = 10 * sen 30
a = 5 m/seg2
PX
PY
300
300
119
Un bloque se desliza por un plano inclinado liso con aceleración de 6,4 m/seg2. Que ángulo forma el
plano con la horizontal?
Datos: a = 6,4 m/seg2
Σ FX = m a
m a = m g * senθ
a = g * senθ
PX
PY
6,4
a
sen θ =
=
= 0,64
10
g
θ0
sen θ = 0,64
θ = arc sen 0,64
θ = 39,790
Un cuerpo de masa m = 16 kg. se encuentra sobre una superficie horizontal áspera cuyos
coeficientes de roce estático y cinético son respectivamente 0,3 y 0,25. Si sobre el cuerpo se aplica
una fuerza horizontal F, durante 4 seg solamente. Determine:
a) La fuerza neta sobre el cuerpo si F = 45 Newton.
b) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento.
c) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton
N
Σ FY = 0
N–W=0
N=W=m*g
FR EST
N = 16 * 10 = 160 Newton
N = 160 Newton
Pero: FR EST = μEST * N
FR EST = 0,3 * 160
FR
W=m*g
m1 = 16 kg
EST = 48 Newton
Σ FX = m * a
Σ FX = F – FR
EST
F = 45 N
V0 = 0
F = 45 N
t = 4 seg
Como F = 45 Newton y la Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque es de 48
Newton, Se puede decir que la fuerza neta sobre el cuerpo es cero. Se necesita que F sea mayor
que la fuerza de rozamiento para que exista desplazamiento del bloque y por lo tanto fuerza neta
sobre el cuerpo.
c) La magnitud mínima de F para que el bloque este a punto de iniciar el movimiento.
Si la F = 48 Newton, el bloque esta en equilibrio.
Si F > FR EST se puede decir que el bloque se desplaza.
d) La distancia que recorre hasta llegar a detenerse? Si F = 50 Newton
N
FR cin
F = 50 N
Σ FY = 0
N–W=0
W=m*g
120
N=W=m*g
N = 16 * 10 = 160 Newton
N = 160 Newton
FR cin = μ cin * N
FR cin = 0,25 * 160
FR cin = 40 Newton
V0 = 0
m1 = 16 kg
F = 50 N
VF = V01 = 2,5 m/seg2
t = 4 seg
Σ FX = m * a
Σ FX = F – FR cin = m * a
X
50 – 40 = 16 * a
10 = 16 a
a =
VF1 = 0
X1
A partir de los 4 seg, se quita la F = 50 N.
Es necesario encontrar la velocidad en esta
posición y la distancia que recorre hasta
detenerse.
m
10
= 0,625
16
seg 2
a = 0,625 m/seg2 (Esta es la aceleración que tiene el bloque, mientras se ejerce la fuerza de 50
Newton.)
Ahora se calcula la velocidad final que alcanza el bloque cuando se le retira F = 50 Newton,
que es la misma velocidad inicial para el ultimo desplazamiento del bloque.
0
VF = V0 + a * t pero a = 0,625 m/seg2
VF = a * t
VF = 0,625 *4
t = 4seg.
VF = 2,5 m/seg
La ecuación tiene signo (+) por que el cuerpo va ganando velocidad, con el tiempo.
Datos: V0 = 0 m/seg.
0
(VF )2
a = 0,625 m/seg2
VF = 2,5 m/seg.
X = Distancia recorrida.
= (V0 )2 + 2 a X
(2,5)2 = 2 * 0,625 * X
6,25 = 1,25 X
X = 6,25/1,25
X = 5 Metros.
Cuando se le retira F = 50 newton, el bloque empieza a perder la velocidad hasta que la vF1 =
0, Es necesario encontrar la nueva aceleración para este movimiento.
FROZAMIENTO CINETICO = m * a1
Pero: FROZAMIENTO CINETICO = μ cin * N = μ cin * mg = 0,25 * 160
FROZAMIENTO CINETICO = 40 Newton.
FROZAMIENTO CINETICO = m * a1
40 = 16 * a1
121
a1 =
m
40
= 2,5
16
seg 2
a1 = 2,5 m/seg2
La ecuación tiene signo (-) por que el cuerpo va perdiendo velocidad, con el tiempo.
Datos: VF1 = 0 m/seg.
a = 2,5 m/seg2
V01 = 2,5 m/seg.
X1 = Distancia recorrida.
0
(VF )2
= (V0 )2 - 2 a X
0 = (2,5)2 – 2 * 2,5 * X
0 = 6,25 - 5 X
5X = 6,25
X = 6,25/5
X = 1,25 Metros.
La distancia total recorrida por el bloque = X +X1 = 1,25 + 5 = 6,25 Metros.
Un cuerpo de 6 kg, se lanza hacia arriba en la parte inferior de un plano inclinado 300 y sube
30 metros hasta detenerse. Con que velocidad se lanzo y el tiempo empleado en alcanzar este
punto.
Σ FX = m a
WX = m a
Pero: WX = W sen 30
W=mg
WX = m g sen 30
m g sen 30 = m a
g sen 30 = A
WX
WY
300
a = 10 sen 30
a = 5 m/seg2
0
2
(VF) = (V0)2 – 2 * a * X
2 a x = (V0)2
V0 = 2 a X =
2 * 5 * 30 = 300 = 17,32
m
seg
W
X = 30 metros
0
VF = V0 – a * t
V0 = a * t
t=
300
V0
17,32
=
= 3,46 seg.
5
a
Un cuerpo de 16 kg. esta apoyado sobre una mesa horizontal de coeficiente de rozamiento
0,2. Que fuerza horizontal debe aplicarse para que se mueva con aceleración constante de 3
m/seg2
122
Σ FY = N – m g = 0
N =mg
N = 16 * 10 = 160 Newton.
FR = μ N
FR = 0,2 * 160 = 32 Newton
FR = 32 Newton
m = 16 kg.
N
F
FR
Σ FX = F - FR = m * a
F - 32 = 16 * 3
F - 32 = 48
F
F
mg
= 48 + 32
F = 80 Newton.
Sobre una mesa horizontal se encuentran dos bloques de 2 kg. unidos por un hilo. Uno de ellos esta
unido mediante otro hilo que pasa por una polea a un tercer bloque que pende. El coeficiente de
rozamiento de los bloques con la mesa es 0,2.
a) Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en
movimiento
b) Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las
tensiones de los hilos?
Bloque m
∑ FX = m a
T1 – FR1 = m a
m = 2 kg
∑ FY = 0
W – N1 = 0
W = N1
W = m g = N1
FR2
T1
FR1 = μ N1
FR1 = μ m g
T1 – FR1 = m a
T1 – μ m g = m a (Ecuación 1)
Bloque m
∑ FX = m a
T2 - T1 – FR2 = m a
∑ FY = 0
W – N2 = 0
W = N2
W = m g = N2
FR2 = μ N2
FR2 = μ m g
T2
N2
T2
W= mg
m = 2 kg
T1
W3 = m3 g
m = 2 kg
T1
T2
FR1
FR2
T2
W3 = m3 g
123
T2 - T1 – FR2 = m a
T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2)
Bloque m3
∑ FY = m3 a
W 3 – T2 = m 3 a
m3 g – T2 = m3 a (Ecuación 3)
Sumando las tres ecuaciones
T1 – μ m g = m a
T 2 - T1 – μ m g = m a
m3 g – T2 = m 3 a
(Ecuación 1)
(Ecuación 2)
(Ecuación 3)
– μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + m3 a
– 2 μ m g + m3 g = 2 m a + m3 a
– 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a (Ecuación 4)
Hallar el mínimo valor que debe tener la masa colgante para que el conjunto se ponga en
movimiento. En el momento en que el sistema se pone en movimiento a = 0
– 2 μ m g + m3 g = (2 m + m3 ) a
– 2 μ m g + m3 g =
0
m3 g = 2 μ m g
(Ecuación 4)
2 μ m g
= 2 μ m = 2 * 0,2 * 2 = 0,8 kg
g
m3 = 0,8 kg.
m3 =
N1
T1
FR1
W= mg
Si a esa mínima se le superpone otra de 1 kg. Cual será la aceleración? Cuanto valdrán las
tensiones de los hilos?
m = 2 kg
m3 = 0,8 kg.
M3 = 0,8 kg. + 1 kg = 1,8 Kg.
Las ecuaciones siguen iguales, la única que cambia es
la tercera ecuación
Sumando las tres ecuaciones
T1 – μ m g = m a
T 2 - T1 – μ m g = m a
m3 g – T2 = M3 a
(Ecuación 1)
(Ecuación 2)
(Ecuación 3)
– μ m g – μ m g + m3 g = m a + m a + M3 a
– 2 μ m g + m3 g = 2 m a + M3 a
– 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a (Ecuación 4)
T2
m3 = 0,8 kg
1 kg
124
Reemplazando los valores, se halla la aceleración
– 2 μ m g + m3 g = (2 m + M3 ) a
(– 2 * 0,2 * 2 * 9,8) + 1,8 * 9,8 = (2 * 2 + 1,8 ) a
- 7,84 + 17,64 = 5,8 * a
9,8 = 5,8 a
a =
9,8
m
= 1,69
5,8
seg 2
a = 1,69 m/seg2
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión T1
T1 – μ m g = m a
(Ecuación 1)
T1 = μ m g + m a
T1 = (0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69
T1 = (3,92) + 3,38 = 7,3 Newton
T1 = 7,3 Newton
Se reemplaza en la ecuación 2 para hallar la tensión T2
T2 - T1 – μ m g = m a (Ecuación 2)
T2 = T1 + μ m g + m a
T2 = 7,3 + ( 0,2 * 2 * 9,8) + 2 * 1,69
T2 = 7,3 + 3,92 + 3,38
T2 = 14,6 Newton
Que aceleración horizontal hay que proporcionar al sistema de la figura para que la masa no
deslice?. Aplicarlo al caso en que el coeficiente de rozamiento estático entre las dos superficies sea
de 0,15 y el ángulo de inclinación sobre la horizontal 300
∑ F X = m aX
NX – FRX = m a
Pero:
NX = N cos 60
FR = μ N
FRX = FR cos 30
FRX = μ N cos 30
FR
FRY
N
NY
300
FRX
NX – FRX = m a
N cos 60 - μ N cos 30 = m aX (Ecuación 1)
NX
EJE X
P
300
∑ FY = m aY = 0 Si queremos que el cuerpo no deslice, aY = 0
P - NY - FRY = 0
Pero: NY = N sen 60
FR = μ N
125
FRY = FR sen 30
FRY = μ N sen 30
P - NY - FRY = 0
m g - N sen 60 - μ N sen 30 = 0
N sen 60 + μ N sen 30 = m g (Ecuación 2)
Dividiendo las ecuaciones
N cos 60 - μ N cos 30 = m aX
N sen 60 + μ N sen 30 = m g
(Ecuación 1)
(Ecuación 2)
m ax
N cos 60 - μ N cos 30
=
N sen 60 + μ N sen 30
mg
N
FRY
a
cos 60 - μ cos 30
= x
sen 60 + μ sen 30
g
600
FRX
EJE X
NX
0
60
300
NY
600
300
g * (cos 60 - μ cos 30 ) 9,8 (0,5 - 0,15(0,866))
ax =
=
sen 60 + μ sen 30
0,866 + 0,15(0,5)
ax =
300
FR
Aceleración
horizontal
P
9,8 * (0,3701) 3,62698
m
=
= 3,83
0,947
0,947
seg 2
Sobre un cuerpo de 5 kg, se aplica una fuerza hacia arriba de:
a) 70 Newton
b) 35 Newton
c) 50 Newton Calcular en cada caso la aceleración del cuerpo.
Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 70 Newton y esta dirigida hacia arriba
W=mg
F = 70 N
W = 5 * 10 = 50 Newton
∑ FY = m a
F–mg=ma
70 – 50 = 5 a
20 = 5 a
a = 20/5 = 4 m/seg2
a = 4 m/seg2
a
W=mg
Calcular la aceleración del cuerpo cuando
F = 35 Newton y esta dirigida hacia arriba
W=mg
W = 5 * 10 = 50 Newton
F = 35 N
∑ FY = m a
W=mg
a
126
F–mg=ma
35 – 50 = 5 a
- 15 = 5 a
a = - 15/5 = - 3 m/seg2
a = - 3 m/seg2
Calcular la aceleración del cuerpo cuando F = 50 Newton y esta dirigida hacia arriba
W=mg
F = 50 N
W = 5 * 10 = 50 Newton
∑ FY = m a
F–mg=ma
50 – 50 = m a
0=ma
No hay desplazamiento.
W=mg
Un cuerpo de masa M y peso W se encuentra dentro de un ascensor. Calcular la fuerza que ejerce
el ascensor sobre el cuerpo.
a) Si el ascensor sube con aceleración a
∑ FY = m a
F–W=Ma
F=W+Ma
F
a
b) Si el ascensor baja con aceleración a
W
∑ FY = m a
F+W=Ma
F= Ma-W
Ascensor
a
F
W
Si el ascensor sube o baja con velocidad constante.
Cuando un cuerpo se mueve a velocidad constante, se dice que la aceleración es cero.
En el caso que baja
∑ FY = m a = 0
F+W=0
F= -W
Ascensor
F
a
W
De los extremos de una cuerda que pasa por la garganta de una polea fija, penden dos cuerpos de
60 kg y otro de 100 kg. respectivamente. Calcular:
a) La aceleración de los cuerpos?
b) La tensión de la cuerda
∑ FY = m1 a
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
127
∑ FY = m2 a
m2 g - T = m2 a (Ecuación 2)
T1
Sumando las ecuaciones
T - m1 g = m1 a
m 2 g - T = m2 a
(Ecuación 1)
(Ecuación 2)
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a
m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a
T
m1
T
100 * 10 – 60 * 10 = (60 + 100) a
m2
1000 – 600 = 160 a
400 = 160 a
T
T
a = 2,5 m/seg2
Se reemplaza en la ecuación 1 para hallar la tensión
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
W1 = m1 g
W2 = m2 g
T = m1 a + m1 g
T = 60 * 2,5 + 60 * 10
T1
T = 150 + 600
T = 750 Newton
T1 = 2 T = 2 * 104,528
T
T
T1 = 209,056 Newton
Un cuerpo de 10 kg, cuelga de una bascula de resorte fijada al techo de un elevador. Cual es el
peso que marca la bascula
a)
b)
c)
d)
Ascensor
Si el elevador esta en reposo.
Si el elevador sube a 3 m/seg2
Si el elevador baja a 2,5 m/seg.
Si el elevador sube y baja con velocidad constante.
Bascula
Si el elevador esta en reposo.
∑ FY = m a = 0
F–W=0
F
F=W
m = 10 kg
Si el elevador sube a 3 m/seg2
∑ FY = m a
F–W=ma
W=m g
128
F=W+ma
F = 10 * 10 + 10 * 3
F = 100 +30
F = 130 Newton
Si el elevador baja a 2,5 m/seg.
∑ FY = m a
-F–W=ma
F=-W-ma
F = - 10 * 10 - 10 * 2,5
F = - 100 - 25
F = - 75 Newton
Si el elevador sube y baja con velocidad constante.
Si el elevador sube
∑ FY = m a = 0
F–W=0
F=W
F = - 10 * 10
F = 100 Newton
Entre los bloques y la mesa de la figura no hay rozamiento., hallar?
a) Aceleración del sistema
b) Tensión de la cuerda A?
c) Tensión de la cuerda B?
d) Tensión de la cuerda C?
TA
e) Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg.
Bloque m1
∑ FY = m1 a
TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
TA
m2
TA
m1
TA
m1 g
TB
TB
m4
m3
TB
m2 g
N2
TB
TC
TC
TD
TD
m5
Bloque m2
∑ FX = m2 a
TB – TA = m2 a (Ecuación 2)
Bloque m3
129
∑ FX = m3 a
TC – TB = m3 a (Ecuación 3)
Bloque m4
∑ FX = m4 a
TD – TC = m4 a (Ecuación 4)
TB
Bloque m5
∑ FY = m5 a
N3
TC
TC
m5 g - TD = m5 a (Ecuación 5)
m3 g
N4
TC
m4 g
TD
TD
m5 g
Sumando las 5 ecuaciones, hallamos la aceleración del sistema. m1 = 4 kg m2 = 2 kg m3 = 3 kg
m4 = 5 kg m5 = 16 kg
TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
TB – T A = m 2 a
(Ecuación 2)
T C – TB = m 3 a
(Ecuación 3)
T D – TC = m 4 a
(Ecuación 4)
m 5 g - TD = m 5 a
(Ecuación 5)
- m1 g + m5 g = (m1 + m2 + m3 + m4 + m5 ) a
- 4 * 10 + 16 * 10 = (4 + 2+ 3 + 5+ 16 ) a
- 40 + 160 = (30) a
120 = 30 a
a = 120/30
a = 4 m/seg2
Tensión de la cuerda A?
TA - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
TA = m1 a + m1 g
TA = 4 * 4 + 4 * 10
TA = 16 +40
TA = 56 Newton
Tensión de la cuerda B?
TB – TA = m2 a (Ecuación 2)
TB – 56 = 2 * 4
TB = 56 + 8
TB = 64 Newton
Tensión de la cuerda C?
TC – TB = m 3 a
(Ecuación 3)
TC = TB + m3 a
TC = 64 + 3 * 4
TC = 64 + 12
TC = 76 Newton
130
Cuanta distancia recorre cada bloque en 3 seg.
1
a * t2
2
1
1
X = a * t 2 = * 4 (3)2 = 18 metros
2
2
X = V0 * t +
X = 18 metros
Entre el bloque y la mesa de la figura no hay rozamiento m1 = 2 kg. m2 = 3 kg. Calcular:
a) Aceleración del sistema
b) Tensión de la cuerda
c) Que velocidad adquiere el cuerpo de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo.
Bloque m1
T = m1 * a
T = m1 * a
(Ecuación 1)
Bloque m2
m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2)
T
T = m1 * a
(Ecuación 1)
m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2)
m1 = 2 kg
m 2 g = m1 * a + m2 * a
m2 g = (m1 + m2 ) * a
a =
(m 2 ) g = (3 )10 = 30
(m1 + m 2 ) (2 + 3) 5
a =6 m
=6 m
T
m2 =3 kg
seg 2
seg 2
Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1.
T = m1 * a (Ecuación 1)
T = 2 * 6 = 12 Newton
T = 12 Newton
Bloque m1
N
VF = 30 m/seg
T
T
Que velocidad adquiere el cuerpo
de 3 kg en 5 seg. Si parte del reposo.
VF = V0 + a t pero V0 = 0
VF = a t = (6 m/seg2 ) 5 seg = 30 m/seg
Bloque m2
m1 = 2 kg
W1 = m1 * g
m 2 = 3 kg
W2 = m2 * g
131
Si entre el bloque de 2 kg y la mesa de la figura anterior existe una fuerza de rozamiento de 6
Newton, Calcular:
a) El valor del coeficiente de rozamiento
b) Aceleración del sistema
c) Tensión de la cuerda
Debemos hacer un diagrama que nos represente las condiciones del problema
que m1
∑ FX = m1 * a
T - FR = m1 * a
T - FR = m1 * a
T – 6 = m1 * a
T
(Ecuación 1)
m1 = 2 kg
T
∑ FY = 0
m1 * g – N = 0
m1 g = N
N = 2 * 10 = 20 Newton
m2 =3 kg
Bloque m2
m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2)
T - 6 = m1 * a
(Ecuación 1)
m2 g – T = m2 * a (Ecuación 2)
- 6 + m 2 g = m 1 * a + m2 * a
- 6 + m2 g = (m1 + m2 ) * a
a =
− 6 + (m 2 ) g - 6 + 3 * 10 24
=
=
= 4,8 m
5
(2 + 3)
(m1 + m 2 )
seg 2
a = 4,8 m
seg 2
Para hallar la tensión T se reemplaza en la Ecuación 1.
T – 6 = m1 * a (Ecuación 1)
T – 6 = 2 * 4,8
T = 9,6 + 6
T = 15,6 Newton
El valor del coeficiente de rozamiento
FR = μ * N PERO: FR = 6 Newton N = 20 Newton
6 = μ * 20
μ =
6
= 0,3
20
Bloque m1
Bloque m2
N
T
T
FR
m1 = 2 kg
W1 = m1 * g
m 2 = 3 kg
W2 = m2 * g
132
Bloque m1
Σ FY = m1 a pero el sistema esta en equilibrio,
luego la aceleración es cero.
W 1 - T1 = 0
T
m 1 g = T1
T1 = 9,8 * 5 = 49 Newton
T1 = 49 Newton
∑ FY = m1 a
T - T 1 - T1 = m a
pero el sistema esta en equilibrio,
luego la aceleración es cero.
T - 2T1 = 0
pero: T1 = 49 Newton
T – 2*49 = 0
Bloque m1
T
T1
m1 = 5 kg
W1 = m1 * g
T1
T1
m2
m1
T1
T1
m1
m2
T = 98 Newton
WX = W sen 30
WX = m g sen 30
WX = 5 * 9,8 sen 30
N
WX
WX = 24,5 Newton
Σ FX = 0
por que el sistema esta en equilibrio
T – WX = 0
T – 24,5 = 0
T
300
T
5 kg
WY
300
W1 = m*g
T = 24,5 Newton
La figura muestra dos bloques de igual masa M, unidos mediante una cuerda ligera inextensible que
pasa por una polea inextensible sin fricción.
El bloque se desliza sobre la superficie horizontal con coeficiente de rozamiento µ
FR
Bloque M
T
M
Bloque M
N
T
M
T
T
FR
M
W1 = M * g
M
W2 = M * g
133
Bloque M
Este bloque se desplaza horizontalmente hacia la derecha y la única fuerza que se opone al
movimiento, es la fuerza de rozamiento.
∑ FX = M * a
T - FR = M * a
T - FR = M * a
(Ecuación 1)
∑ FY = 0
m*g–N=0
Mg =N
pero: FR = µ N
FR = µ M g
Bloque M (Vertical)
∑ FY = 0
M g – T = M * a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
(Ecuación 1)
T - FR = M * a
Mg–T=M*a
(Ecuación 2)
- FR + M g = M * a + M * a
- µ M g + M g = (M + M ) * a
- µ M g + M g = (2M ) a
- µ g + g = (2 ) a
2a = g - µ g
a =
g - μ g g (1 - μ )
=
2
2
Reemplazando la aceleración en la ecuación 2, hallamos la tensión
Mg–T=M*a
(Ecuación 2)
⎛ g(1 - μ ) ⎞
Mg-T =M⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛1 - μ ⎞
Mg-T=Mg⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
⎛1 - μ ⎞
T=-Mg⎜
⎟+Mg
⎝ 2 ⎠
M g
M g μ
T=+
+Mg
2
2
T=
- M g+ Mgμ +2Mg
2
Mgμ+ Mg
2
M g (μ + 1)
T=
2
T=
134
Entre el bloque m1 = 12 kg. Y el plano de la figura no hay rozamiento. Φ = 370 Calcular:
a) Aceleración del conjunto.
b) Tensión de la cuerda
c) Cuanto sube el cuerpo de 12 kg en 4 seg.
NO HAY ROZAMIENTO
Bloque m1
Σ FX = m1 a
T – P1X = 0
Pero: P1X = P1 sen 40 P1 = m1 g
T – P1 sen 37 = m1 a
T – m1 g sen 37 = m1 a (Ecuación 1)
T
m1 = 12 kg
T
370
m2 = 20 kg
P2 = m2 * g
Bloque m2
Σ FY = 0
P2 – T = m2 a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
T – m1 g sen 37 = m1 a (Ecuación 1)
P2 – T = m2 a
(Ecuación 2)
- m1 g sen 37 + P2 = m1 a + m2 a
– 12 * 10 sen 37 + 20 * 10 = 12 * a + 20 * a
-72,217 + 200 = 32 a
127,78 = 32 a
Bloque m1
127,78
m
a =
= 4
32
seg 2
N1
T
Tensión de la cuerda?
Para hallar la tensión de la cuerda, se reemplaza en la ecuación 1.
T – m1 g sen 37
370
= m1 a (Ecuación 1)
T – 12 * 10 sen 37
= 12 * 4
T – 72,217= 48
P1X
P1Y
Bloque m2
T
m1 = 12 Kg.
P1 = m1 * g
T = 72,217 + 48
T = 120,21 Newton
Cuanto sube el cuerpo de 12 kg en 4 seg.
1
a * t2
2
1
1
64
2
X = a * t 2 = * 4 (4) =
= 32 metros
2
2
2
X = V0 * t +
m2 = 20 kg
P2 = m2 * g
X = 32 metros
135
La constante de elasticidad de un resorte es 28 N/cm y del resorte se suspende una masa de 14 kg.
Determinar la deformación del resorte?
Y=?
m = 14 kg
Σ FY = m a (pero como el resorte esta en equilibrio, la aceleración es cero)
F-W=0
F=W=mg
F = 14 * 10 = 140 Newton F =140 Newton
F= K*Y
140 = K Y
Y =
F 140
=
= 5 cm
K 28
Una persona de 60 kg se encuentra dentro de un ascensor sobre ella.
a) Si el ascensor sube con una aceleración de 3 m/seg2
F
Σ FY = m a
F-W=ma
Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton
F-W=ma
F - 600 = 60 * 3
F = 180 + 600
F = 780 Newton
mg
a
mg
b) Si el ascensor baja con una aceleración de 2 m/seg2
Σ FY = m a
F+W=ma
Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton
F+W=ma
F + 600 = 60 * 2
F = 120 - 600
F
mg
F
mg
a
F = - 480 Newton
C ) Si el ascensor sube o baja con movimiento uniforme?
Si sube y el movimiento es uniforma, la aceleración es cero
136
Σ FY = 0
F-W=ma
F
F
Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton
F-W=0
F - 600 = 0
F = 600 Newton
Si baja y el movimiento es uniforma, la aceleración es cero
Σ FY = 0
F+W=0
Pero: W = m g = 60 * 10 = 600 Newton
F+W=0
F + 600 = 0
F = - 600 Newton
mg
mg
mg
F
a
F
mg
a
Para que el bloque de la figura, se mueva hacia la derecha con aceleración de 5 m/seg2 . El valor de
F1 en Newton es:
Σ FX = m a
F – F1 = m a
20 – F1 = 3 * 5
20 – F1 = 15
F1 = 20 -15
m = 3 kg
F = 20 N
F1
F1 = 5 Newton
En la parte superior de un plano inclinado 370 se coloca un cuerpo de masa 5 kg. No existe
rozamiento. (g = 10 m/seg2)
a) La fuerza en Newton que el cuerpo ejerce sobre el plano es:
b) La aceleración en m/seg2 con que baja el cuerpo por el plano es:
c) La distancia en metros que baja el cuerpo en 4 seg es?
d) Si entre el bloque y el plano existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,25. La fuerza
en newton con que baja el cuerpo por el plano es ?
La fuerza en Newton que el cuerpo ejerce sobre el plano es:
En este caso la fuerza que el cuerpo ejerce sobre el plano es P1Y
P1y = P1 cos 37
P1y = m1 g cos 37
P1Y = 5 * 10 * cos 37
P1Y = 50 * 0,7986
P1Y = 40 Newton
La aceleración en m/seg2 con que baja el cuerpo por el plano es:
Σ FX = m1 a
P1X = m a
m1 = 5 kg
P1 = m1 * g
370
137
Pero : P1X = P1 sen 37
P1 sen 37 = m1 a
m1 g sen 37 = m1 a
g sen 37 = a
N
a = 10 * 0,6018
a = 6 m/seg2
P1X
La distancia en metros que baja el cuerpo en 4 seg es?
1
X = V0 + a (t )2
2
X =
FR
pero : V0 = 0
1
1
16
2
2
a (t ) = * 6 * (4 ) = 6 *
= 48 metros
2
2
2
X = 48 metros
P1Y
370
m1 = 5 Kg.
P1 = m1 * g
Si entre el bloque y el plano existe un coeficiente de rozamiento dinámico de 0,25. La fuerza
en newton con que baja el cuerpo por el plano es ?
µ = 0,25
P1Y = 40 Newton
P1X = P1 sen 37 = m1 g sen 37
P1X = 5 * 10 * 0,6018 =30 Newton
P1X = 30 Newton
Σ FY = 0
N - P1Y = 0
N = P1Y = 40 Newton
FR = µ * N = 0,25 * 40 = 10 Newton
FR = 10 Newton
F = P1X - FR
F = 30 Newton - 10 Newton
F = 20 Newton
Un carro de masa M viaja con una velocidad V sobre un piso horizontal. Al dejarlo libre se detiene
debido al rozamiento en una distancia X.
a) El valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es?
b) El valor de la fuerza de rozamiento es?
c) El tiempo que emplea el carro en detenerse es?
El valor del coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la superficie es?
Σ FX = M a
FR = M a (Ecuación 1)
Σ FY = 0
N-P =0
N =P =Mg
138
FR = µ * N = µ M g
FR = µ M g
Reemplazando en la ecuacion 1
FR = M a (Ecuación 1)
µMg=Ma
µ g= a
μ =
a
(Ecuación 2)
g
Pero:
FR
N
Mg
0
(VF)2 = (V0)2 – 2 * a * X
2 a x = (V0)2
a =
(V0 )2
2X
Reemplazando la aceleración en la ecuación 2.
μ =
a
(Ecuación 2)
g
(V0 )2
μ = 2X
g
=
(V0 )2
2Xg
El valor de la fuerza de rozamiento es?
FR = µ * N = µ M g reemplazando la ecuación 2 en esta ecuación
⎛a⎞
FR = μ M g = ⎜⎜ ⎟⎟ M g
⎝g⎠
FR = a M
Pero a =
(V0 )2
2X
(V )2
FR = a M = 0 M
2X
2
(V0 ) M
FR =
2X
El tiempo que emplea el carro en detenerse es?
VF = V0 – a t
V0 = a t
pero VF = 0
139
V0
V0
V 2X 2X
=
= 0 2 =
2
a
(V0 )
(V0 ) V0
2X
2X
t =
V0
t =
Una polea fija cuelga del techo del salón, una cuerda de peso despreciable pasa por la garganta de
la polea. Los extremo de la cuerda se suspenden y no hay rozamiento entre la cuerda y la polea.
Calcular:
a) La aceleración de los cuerpos?
b) La tensión de la cuerda
∑ FY = m1 a
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
∑ FY = m2 a
m2 g - T = m2 a (Ecuación 2)
Sumando las ecuaciones
T - m1 g = m1 a
m 2 g - T = m2 a
T1
(Ecuación 1)
(Ecuación 2)
m 2 g - m1 g = m 1 a + m 2 a
m2 g - m1 g = (m1 + m2 ) a
8 * 10 – 2 * 10 = (2 + 8) a
80 – 20 = 10 a
60 = 10 a
a = 6 m/seg2
Se reemplaza en la ecuación 1
para hallar la tensión
T - m1 g = m1 a (Ecuación 1)
T
T
m1 = 2 kg
m2 = 8 kg
T
T
T = m1 a + m1 g
T = 2 * 6 + 2 * 10
T = 12 + 20
T = 32 Newton
T1
W1 = m1 g
W2 = m2 g
T1 = 2 T = 2 * 32
T1 = 64 Newton
T
T
Los cuerpos de la figura, tienen masa de: m1 = 4 kg m2 = 10 kg m3 = 6 kg. En ausencia de
rozamiento, al aplicar una fuerza horizontal F = 60 Newton . calcular:
a) aceleración del conjunto
b) tensión de la cuerda B?
c) tensión de la cuerda A?
140
m1
TA
TA
TB
m2
aceleración del conjunto
m1 = 4 kg.
m2 = 10 kg.
m3 = 6 kg.
m3
TB
m1
mt = m1 + m2 + m3
mt = 4 + 10 + 6 = 20 kg.
F = 60 Newton
m2
TA
TA
m3
TB
TB
F = 60 N
F = mt * a
a =
F
mt
=
60
=
20
3
m
seg 2
tensión de la cuerda A?
Bloque m1
Σ FX = 0
F = m1 * a
TA = m1 * a
TA = 4 * 3 = 20 Kg.
TA = 12 Kg.
tensión de la cuerda B?
Bloque m2
Σ FX = 0
F=m*a
TB - TA = m * a
Pero: TA = 12 Kg. m2 = 10 Kg.
TB - 12 = m2 * a
TB - 12 = 10 * 3
TB = 12 + 30
TB = 42 Newton
La cuerda se rompe para una tensión de 1000 N. Calcular la fuerza con la que hay que tirar de m 1 ,
para que se rompa la cuerda si μ2 = 0.1 entre los dos cuerpos, y μ1 = 0.2 entre m 1 y la superficie.
El rozamiento es una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos. El bloque inferior de masa
m1 es halado por una fuerza F hacia la izquierda, pero la fuerza de rozamiento entre el piso y los dos
bloques se denomina FR1 y es sentido contrario al movimiento del bloque.
FR2
F
m2
T
FR2
m1
T
FR1
141
Masa m1 (BLOQUE INFERIOR)
Σ FX = F – T – FR1 – FR2 = m1 a
a =
Bloque inferior
F - T - FR1 - FR2
(Ecuación 1)
m1
N
F
Datos: m 1 = 10 kg m 2 = 1 kg
FR1
Masa m2 (BLOQUE SUPERIOR)
Bloque superior
Σ FX = T – FR2 = m2 a
T - FR2
a =
(Ecuación 2)
m2
FR2
T
FR2
N
W2 = m2 g
W1 = m1 g
T
W2
Hay una fuerza de rozamiento FR2, sobre el bloque de masa m2 (el de arriba) en dirección contraria
al desplazamiento del bloque y una fuerza de reacción en sentido contrario sobre el bloque inferior
m1 .
Igualando las ecuaciones 1 y 2 hallamos la fuerza F necesaria para que la cuerda se rompa cuando
T = 1000 Newton.
F - T - FR1 - FR2
(Ecuación 1)
m1
T - FR2
a =
(Ecuación 2)
m2
F - T - FR1 - FR2
T - FR2
=
m1
m2
m 2 (F - T - FR1 - FR2 ) = m1 (T - Fr2 )
a =
Σ FY = 0 (BLOQUE INFERIOR). La normal total es la suma de los pesos de los bloques 1 y
bloque 2.
NBLOQUE 1 + NBLOQUE 2 = N1
NBLOQUE 1 + NBLOQUE 2 - m1 g - m2 g = 0
NBLOQUE 1 + NBLOQUE 2 = m1 g + m2 g
N1 = m1 g + m2 g
N1 = ( m1 + m2 ) g
FR1 = μ1 N1 Pero: μ1 = 0.2 entre m 1 y la superficie. m 1 = 10 kg m 2 = 1 kg
FR1 = μ1 N1 = 0,2 ( m1 + m2 ) g
FR1 =0,2 (10 +1 ) 10
FR1 =0,2 (11 ) 10
FR1 = 22 Newton
142
Σ FY = 0 (BLOQUE SUPERIOR)
N2 - m2 g = 0
N2 = m2 g
FR2 = μ2 N2 = 0,1 (m2 g )
FR2 = 0,1 (1 * 10 )
Pero: μ2 = 0.1 entre los dos cuerpos, m 2 = 1 kg
FR2 = 1 Newton
Pero: m 1 = 10 kg
m 2 = 1 kg
FR2 =1 Newton
FR1 = 22 Newton
T = 1000 N
Reemplazando
m 2 (F - T - FR1 - FR2 ) = m1 (T - FR2 )
1* ( F – 1000 – 22 – 1) = 10 * (1000 – 1)
F – 1023 = 10 * 999
F – 1013 = 9990
F = 9990 + 1013
F = 11003 Newton
Calcular el peso del bloque, sabiendo que la tensión de la cuerda es de 100 Newton.
Σ FY = 0
T–mg=0
T=mg
100 = m g = w
Bloque m
T
T = 100 Newton
W = 100 Newton.
w = m* g
w = m* g
143
Determinar la tensión de la cuerda, si la esfera de 200 Newton de peso esta en equilibrio y no existe
rozamiento.
Σ FX = 0
Σ FX = WX – T X = 0
30
T
Pero
WX = W sen 30
TX = T sen 60
TX
TY
0
N
600
T
WX
300
0
EJE X
WY
30
W = 200 Newton
W
W X – TX = 0
W sen 30 - T sen 60 = 0
200 * 0,5 – T * 0,866 = 0
0,866 T = 200 * 0,5
0,866 T = 100
T = 115,47 Newton
En el sistema mostrado se encuentra en equilibrio, determinar Q ?
Si w = 240 Newton
ECUACIONES PARA EL PUNTO B
Σ FX = 0
TBX – TAX = 0
Pero: TBX = TB cos 30
TAX = TA cos 60
TB cos 30 - TA cos 60 = 0
cos 30 TB = cos 60 TA
3
1
TB = TA
2
2
→
3 TB = TA (Ecuacion 1)
Σ FY = 0
TAY - TBY - W = 0 Pero W = 240 Newton.
TAY - TBY = W = 240
Pero: TBY = TB sen 30
TAY = TA sen 60
A
600
600
600
B
0
60
300
600
300
TAY - TBY = 240
TA sen 60 - TB sen 30 = 240
3
1
TA - TB = 240
2
2
3 TA - TB
= 240
2
D
C
W
Q
144
3 TA - TB = 480 (Ecuacion 2)
Reemplazando la ecuacion 1 en la ecuacion 2
3
(
)
PUNTO B
3 TB - TB = 480
TAX
3 TB – TB = 480
2 TB = 480
TB =
480
= 240 Newton
2
TA
TAY
600
ECUACIONES PARA EL PUNTO C
B
Σ FX = 0
TBX – TDX = 0
W
Pero: TBX = TB cos 30
TDX = TD cos 60
→
TBX
TBY
3 TB = TD (Ecuacion 3)
PUNTO C
TB
TBY
TB cos 30 - TD cos 60= 0
cos 30 TB = cos 60 TD
1
3
TB = TD
2
2
600
300
TB
300
TBX
TD
TDY
600
TDX
Q
Σ FY = 0
TDY + TBY - Q = 0
Pero: TBY = TB sen 30
TDY = TD sen 60
TDY + TBY = Q
TD sen 60 + TB sen 30 = Q
1
3
TD + TB = Q (Ecuacion 4)
2
2
Reemplazando la ecuacion 3 en la ecuacion 4
3
1
( 3 TB ) + TB = Q
2
2
3
1
( TB ) + TB = Q
2
2
2 TB = Q Pero TB = 240 Newton
2 * 240 = Q
Q = 480 Newton
145
Hallar F para que la cuña A suba con velocidad constante. Despreciar toda fricción.
FC es la fuerza de contacto que ejercen los cuerpos
NA es la fuerza normal de la cuña.
WA = 200 Newton
WB = 400 Newton
CUÑA A
Σ FX = 0
(Por que el desplazamiento es a velocidad constante.)
FCX - NA = 0
FCX = NA
300
300
F
300
Pero: FCX = FC cos 30
FC cos 30 = NA (Ecuacion 1)
WB
Σ FY = 0 (Por que el desplazamiento es a velocidad constante.)
FCY - WA = 0
FCY = WA = 200 Newton
BLOQUE B
Pero: FCY = FC sen 30
FC sen 30 = WA = 200
FCX
F
FC sen 30 = 200
200
FC =
= 400 Newton
sen 30
300
WB
FCY
FC
BLOQUE B
Σ FX = 0 (Por que el desplazamiento es a velocidad constante.)
F - FCX = 0
Pero: FCX = FC cos 30
F - FC cos 30 = 0
F = FC cos 30
3
F=
* 400
2
F = 200 3 Newton
CUÑA A
FCY
FC
300
FCX
NA
WA
Si el bloque se desliza a velocidad constante, determine el coeficiente de rozamiento, peso del
bloque 200 Newton
FR Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento del bloque, actúa en sentido contrario al
movimiento.
Σ FX = 0 (Por que el movimiento es a velocidad constante.)
146
FX – FR = 0
F = 100 N
F X = FR
Pero: FX = F cos 53
600
FX = FR = F cos 53
Pero: F = 100 Newton
N
FR
FX = FR = 100 cos 53
FX = FR = 60,18 Newton
F
FY
530
FX
W = 200 N
FR
Σ FY = 0
FY + N – W = 0
Pero: FY = F sen 53
F sen 53 + N = 200
N = 200 - F sen 53
N = 200 – 100 sen 53
N = 200 – 79,86
N = 120,13 Newton
FR = µ N Pero: FR = 60,18 Newton
N = 120,13 Newton
μ=
FR
60,18
=
= 0,5
N 120,13
Problema propuesto estatica jorge mendoza Dueñas
El coeficiente de rozamiento entre la cuña y la superficie horizontal es de 0,5 y todas las demás
superficies son lisas. Calcular la mínima fuerza P que levantara la carga Q.
Q = 1730 Newton
Σ FX = 0
P – FR - FCX = 0
Q
FR Fuerza de rozamiento que se opone al movimiento
del bloque, actúa en sentido contrario al movimiento.
FC es la fuerza de contacto que ejercen los cuerpos
F
sen 30 = CX
FC
P
600
300
FCX = Fuerza de contacto en el eje “x”
Pero: FCX = FC sen 30
FR
147
P – FR - FCX = 0
P = FR + FCX
P = FR + FC Sen 30 (Ecuacion 1)
Diagrama cuerpo libre triangulo rojo
N = normal
Σ FY = 0
N – FCY = 0
F
cos 30 = CY
FC
FCY = Fuerza de contacto en el eje “Y”
Pero: FCY = FC cos 30
N = FCY = FC cos 30
N = FC cos 30 (Ecuacion 2)
Diagrama cuerpo
libre triangulo rojo
N
Diagrama cuerpo
libre Q
FR
Diagrama cuerpo libre “Q”
NQ = normal del cuerpo Q
Σ FX = 0
FCX – NQ = 0
FCX = NQ
F
sen 30 = CX
FC
P
FC
300
0
60
NQ
FCY
FCX
Pero: FCX = FC Sen 30
FC Sen 30 = NQ (Ecuacion 3)
Diagrama cuerpo libre “Q”
Σ FY = 0
FCY – Q = 0
FCY = Q (Ecuacion 4)
FCY
600
FC
Q
0
60
FCX
F
cos 30 = CY
FC
Pero: FCY = FC cos 30
Pero: Q = 1730 Newton
Reemplazando en la ecuacion 4
FC cos 30 = Q
FC * 0,866 = 1997,63 Newton
FC = 1997,63 Newton
Reemplazando en la ecuacion 2 se halla la normal N
N = FC cos 30 (Ecuacion 2)
N = 1997,33 cos 30
148
N = 1997,33 * 0,866
N = 1730 Newton
FR = µ N µ = 0,5
FR = 0,5 * 1730
FR = 865 Newton
Reemplazando en la ecuacion 1
P = FR + FC Sen 30 (Ecuacion 1)
P = 865 + 1997,63 * 0,5
P = 865 + 998,815
P = 1863,815 Newton
Problema 4.24 Alonso Finn
Determinar las tensiones sobre las cuerdas
AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
A
500
TAY = TA . sen 50
TBY = TB. sen 50
TA
TAX = TA . cos 50
TBX = TB . cos 50
Σ FX = 0
TBX - TAX = 0 (ecuación 1)
TBX = TAX
B
500
TB
500
500
C
W = 40 lb-f
TB . cos 50 = TA . cos 50
TB = TA (ecuación 1)
Σ FY = 0
TAY + TBY –
TAY + TBY =
TAY + TBY =
TA . sen 50
W =0
W pero: W = 40 lb-f
40
+ TB. sen 50 = 40 (ecuación 2)
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TA . sen 50 + TA. sen 50 = 40
2 TA . sen 50 = 40
TA =
40
20
20
=
=
= 26,1lb − f
2 * sen 50 sen 50 0,766
TA = 26,1 lb-f
TB
TAY
T BY
TA
500
T AX
500
TBX
W = 40 lb-f
Para hallar TB se reemplaza en la ecuación 1.
TB = TA (ecuación 1)
149
TB = TA = 26,1 lb-f
Problema 4.24 Alonso Finn
Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
TAY = TA . sen 30
TBY = TB. sen 30
TAX = TA . cos 30
TBX = TB . cos 30
Σ FX = 0
TBX - TAX = 0 (ecuación 1)
TBX = TAX
A
TB . cos 30 = TA . cos 30
0
30
TB = TA (ecuación 1)
Σ FY = 0
TAY + TBY –
TAY + TBY =
TAY + TBY =
TA . sen 30
B
0
TA
TB
0
30
W =0
W pero: W = 40 lb-f
40
+ TB. sen 30 = 40 (ecuación 2)
30
T
CB
300
W = 40 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TA . sen 30 + TA. sen 30 = 40
2 TA . sen 30 = 40
TA =
40
20
20
=
=
= 40 lb − f
2 * sen 30 sen 30 0,5
TA = 40 lb-f
Para hallar TB se reemplaza en la ecuación 1.
TB = TA (ecuación 1)
TAY
TB
TA
300
300
T AX
T BY
TBX
W = 40 lb-f
TB = TA = 40 lb-f
Problema 4.24 Alonso Finn
Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
TAY = TA . sen 30
TBY = TB. sen 60
TAX = TA . cos 30
TBX = TB . cos 60
150
Σ FX = 0
TBX - TAX = 0 (ecuación 1)
TBX = TAX
A
TB . cos 60 = TA . cos 30
0
30
T cos 30
(Ecuación 1)
TB = A
cos 60
Σ FY = 0
TAY + TBY –
TAY + TBY =
TAY + TBY =
TA . sen 30
B
0
60
TA
TB
600
300
W =0
W pero: W = 40 lb-f
40
+ TB. sen 60 = 40 (ecuación 2)
C
W = 40 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TA . sen 30 + TB. sen 60 = 40
⎛ T cos 30 ⎞
TA sen 30 + ⎜⎜ A
⎟⎟ * sen 60 = 40
⎝ cos 60 ⎠
⎛ TA sen 30 cos 60 + TA cos 30 sen 60 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ = 40
cos 60
⎝
⎠
TAY
300
TA sen 30 cos 60 + TA cos 30 sen 60 = 40 cos 60
Pero: sen 30 =
1
2
cos 60 =
sen 60 =
3
2
⎛1⎞
TA ⎜ ⎟ *
⎝2⎠
⎛1⎞
⎜ ⎟ + TA
⎝2⎠
⎛3⎞
⎛1⎞
TA ⎜ ⎟ + TA ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎝4⎠
1
2
cos 30 =
TA
3
2
T AX
TB
T BY
600
TBX
W = 40 lb-f
⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞
⎜
⎟ *⎜
⎟ = 4 0* 1
⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟
2
⎝
⎠ ⎝
⎠
= 20
TA = 20 lb-f
Para hallar TB se reemplaza en la ecuación 1.
T cos 30
(ecuación 1)
TB = A
cos 60
T cos 30
TB = A
=
cos 60
3
40 3
2 =
2
= 20
1
1
2
2
20 *
3
TB = 20 √3 lb-f
151
Problema 4.24 Alonso Finn
Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
B
45 0
T BY
TB
TA
A
45 0
TA
C
TB
450
T BX
W = 40 lb-f
W = 40 lb-f
TBY = TB. sen 45
TBX = TB . cos 45
Σ FX = 0
TBX - TA = 0 (ecuación 1)
TB . cos 45 = TA
TB =
TA
(Ecuación 1)
cos 45
Σ FY = 0
TBY – W = 0
TBY = W pero: W = 40 lb-f
TBY = 40
TB sen 45 = 40 (ecuación 2)
TB =
40
sen 45
TB = 56,56 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TB cos 45 = TA
TA = 56,56 cos 45
TA = 40 lb-f
Problema 4.24 Alonso Finn
Determinar las tensiones sobre las cuerdas AC y BC (Fig. 4-28). Si M pesa 40 lb-f
TBY = TB sen 60
152
TBX = TB cos 60
TAX = TA cos 30
TAY = TA sen 30
B
0
60
Σ FX = 0
TBX - TAX = 0 (ecuación 1)
TB cos 60 = TA cos 30
TB
600
T cos 30
(Ecuación 1)
TB = A
cos 60
300
Σ FY = 0
TBY – TAY - W = 0
TBY – TAY = W pero: W = 40 lb-f
TBY – TAY = 40
TB sen 60 - TA sen 30 = 40 (ecuación 2)
TA
300
A
W = 40 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TB sen 60 - TA sen 30 = 40
⎛ TA cos 30 ⎞
⎜⎜ cos 60 ⎟⎟ * sen 60 - TA sen 30 = 40
⎝
⎠
T
cos
30
sen 60 - TA sen 30 cos 60 ⎞
⎛ A
⎜⎜
⎟⎟ = 40
cos 60
⎝
⎠
TA cos 30 sen 60 - TA sen 30 cos 60 = 40 cos 60
3
1
1
cos 30 =
cos 60 =
2
2
2
3 ⎞⎟
1
⎛1⎞ ⎛1⎞
− TA ⎜ ⎟ * ⎜ ⎟ = 4 0 *
⎟
2 ⎠
2
⎝2⎠ ⎝2⎠
sen 60 =
Pero: sen 30 =
⎛ 3⎞ ⎛
⎟* ⎜
TA ⎜
⎜ 2 ⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝
⎛3⎞
⎛1⎞
TA ⎜ ⎟ - TA ⎜ ⎟
⎝4⎠
⎝4⎠
3
2
TB
= 20
T BY
½ TA = 20
TA = 40 lb-f
Para hallar TB se reemplaza
T cos 30
TB = A
=
cos 60
600
TAX
40
1
2
3
2 = 40
TAY
3
TBX
300
TA
W = 40 lb-f
TB = 69,28 lb-f
Problema 4.25 Alonso Finn
El cuerpo representado en la figura 4-29 pesa 40 kg-f. Se mantiene en equilibrio por medio de una
cuerda AB y bajo la acción de la fuerza horizontal F suponiendo que AB = 150 cm. y que la distancia
entre la pared y el cuerpo es de 90 cm, calcular el valor de la fuerza F y la tensión de la cuerda.
153
cos δ =
90
= 0,6
150
A
δ = arc cos 0,6
δ = 53,130
150 cm
T
δ0
TX = T cos δ
TX = T cos 53,13
90 cm
W = 40 kg-f
Σ FX = 0
F - TX = 0
F - T cos 53,13 = 0
F = T cos 53,13 Ecuación 1
Σ FY = 0
TY – W = 0
T sen 53,13 – W = 0
T sen 53,13 = W
T sen 53,13 = 40 Ecuación 2
T =
F
B
TY = T sen δ
TY = T sen 53,13
TY
T
δ
0
F
TX
40
= 50 lb - f
sen 53,13
W = 40 kg -f
Reemplazando el valor de la tensión T en la ecuación 1, se halla F
F = T cos 53,13 Ecuación 1
F = 50 cos 53,13
F = 30 lb - f
4.26 Alonso Finn
Para la figura 4-30, calcular el ángulo υ y la tensión en la cuerda AB, si M1 = 300 lb-f
M2 = 400lb-f.
TX = T sen υ
TY = T cos υ
Σ FX = 0
F - TX = 0
F - T sen υ = 0
F = T sen υ Ecuación 1
Σ FY = 0
TY – W = 0
T cos υ – W = 0
T cos υ = W
T cos υ = 300 Ecuación 2
A
υ0
T
β0
F
F
B
M1 = 300 kg-f
M2 = 400 kg-f
154
BLOQUE M2
La F tiene igual magnitud que M2
F = M2 = 400 lb-f.
F = 400 lb-f.
Ecuación 3
υ0
TY
Reemplazar la ecuación 3 en la ecuación 1
F = T sen υ Ecuación 1
T
β0
F
TX
400 = T sen υ Ecuación 4
M1 = 300 kg-f
Haciendo una relación entre la ecuación 1 y la ecuación 4
400 = T sen υ Ecuación 4
T cos υ = 300 Ecuación 2
F
400
T senθ
=
= tg θ
300
T cos θ
4
tg θ =
3
BLOQUE M2
M2 = 400 kg-f
υ = arc tg 1,333
υ = 53,130
Para hallar la tensión T se reemplaza en la ecuación 2.
T cos υ = 300 Ecuación 2
T cos 53,130 = 300
T =
300
= 500 lb - f
cos 53,13
T = 500 lb – f
4.27 Alonso Finn
Un muchacho que pesa 120 lb-f se sostiene en una barra de levantamiento de pesas. ¿Qué fuerza
ejerce cada uno de sus brazos sobre la barra cuando
a) Sus brazos están en posición paralela.
b) Cuando cada brazo hace un ángulo de 300 con la vertical.
a) Sus brazos están en posición paralela.
Si los brazos están en posición paralela, cada brazo ejerce una fuerza igual a la mitad del peso de
su cuerpo.
F=
120
w
=
= 60 lb - f
2
2
300
300
155
b) Cuando cada brazo hace un
ángulo de 300 con la vertical.
B
A
0
0
60
60
TAY = TA sen 60
TBY = TB sen 60
300
300
TAX = TA cos 60
TBX = TB cos 60
TB
TA
600
600
Σ FX = 0
TBX - TAX = 0
C
TA
W = 120 lb-f
TB cos 60 - TA cos 60 = 0
TB
T BY
TAY
0
60
T B - TA = 0
TB = TA Ecuación 1
T AX
Σ FY = 0
TAY + TBY – W = 0
TAY + TBY = W
TA sen 60 + TB sen 60 = 120 Ecuación 2
0
60
TBX
W = 120 lb-f
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
TA sen 60 + TB sen 60 = 120
TB sen 60 + TB sen 60 = 120
2 TB sen 60 = 120
TB =
120
60
=
= 69,28 lb - f
2 sen 60
sen 60
TB = TA = 69,28 lb-f
4.28 Alonso Finn
Una cuerda ABCD cuelga de los puntos fijos A y D. En B hay un peso de 12 kg-f y en C un peso
desconocido. Si el ángulo que hace AB con la horizontal es de 600 BC es horizontal y CD hace un
ángulo de 300 con la horizontal, calcular el valor que P debe tener a fin de que el sistema se
encuentre en equilibrio.
TAX = TA cos 60
TAY = TA sen 60
Σ FX = 0
T – TAX = 0
T – TA cos 60 = 0
T = TA cos 60 Ecuación 1
Σ FY = 0
TAY – W = 0
TA sen 60 – W = 0
D
A
TD
TA
600
B
C
300
T
T
P
W = 12 kg-f
156
TA
TAY
TA sen 60 = W
TA sen 60 = 12
TA =
12
= 13,85 kg - f
sen 60
TA = 13,85 kg-f
TD
Reemplazar en la ecuación 1
T = TA cos 60 Ecuación 1
T = 13,85 cos 60
T = 6,92 kg-f
300
TDY
TDX
T
P
TDX = TD cos 30
TDY = TD sen 30
Σ FX = 0
TDX - T = 0
TD cos 30 – T = 0
TD cos 30 = T Ecuación 2
Reemplazar en la ecuación 2
TD cos 30 = T Ecuación 2
TD cos 30 = 6,92
TD =
6,92
= 8 kg - f
cos 30
Σ FY = 0
TDY – P = 0
TD sen 30 = P
8 sen 30 = P
P = 4 Kg-f
Ecuación 3
4.29 Alonso Finn
Tres cuerdas, situadas en un plano en un plano vertical, están fijas a puntos diferentes sobre el
techo. Los otros extremos están unidos en el nudo A y del cual cuelga un peso P. Los ángulos
formados por las cuerdas con la horizontal son: 350, 1000, 1600
Las tensiones en las dos primeras cuerdas son de 100 kg-f y 75 kg-f. Calcular la tensión en la
tercera cuerda y el peso P.
T1X = T1 cos 35
T1Y = T1 sen 35
T1 = 100 kg-f
T2X = T2 cos 80
T2Y = T2 sen 80
T3X = T3 cos 20
T3Y = T3 sen 20
Σ FX = 0
T2
T3
1600
800
350
200
A
P
T2X + T3X - T1X = 0
157
T2 cos 80 + T3 cos 20 - T1 cos 35 = 0
T2X
Pero T1 = 100 kg-f
T2 = 75 kg-f.
13,0236 + T3 cos 20 – 81,9152 = 0
T3 cos 20 = 81,9152 - 13,0236
T2
T2Y
75 cos 80 + T3 cos 20 - 100 cos 35 = 0
75 (0,1736) + T3 cos 20 - 100 (0,8191) = 0
T1
T1Y
35
200
T3X
T1X
P
T3 cos 20 = 68,8916
T3 =
T3
800
0
68,8916
68,8916
=
= 73,31 kg - f
0,9396
cos 20
T3 = 73,31 kg-f.
Σ FY = 0
T1Y + T2Y + T3Y – P = 0
T1 sen 35 + T2 sen 80 + T3 sen 20 - P = 0
Pero T1 = 100 kg-f
T2 = 75 kg-f.
100 * sen 35 +75 * sen 80 + 73,31 * sen 20 - P = 0
100 * 0,5735 +75 * 0,9848 + 73,31 * 0,342 - P = 0
57,35 +75 * 73,86 + 25,072 = P
P = 156,28 kg-f.
4.31 Alonso Finn
Una esfera cuyo peso es de 50 kg-f descansa sobre dos planos lisos, inclinados respectivamente
con respecto a la horizontal, ángulos de 300 y 450. Calcular las reacciones de los dos planos sobre la
esfera.
N1X = N1 cos 45
N1Y = N1 sen 45
N2X = N2 cos 60
N2Y = N2 sen 60
450
Σ FX = 0
N1X - N2X = 0
N1 cos 45 - N2 cos 60 = 0
N1 cos 45 = N2 cos 60
N1
N1 =
300
N2
P
300
450
600
N 2 cos 60
N 2 * 0,5
=
= 0,7071 N 2 Ecuación 1
cos 45
0,7071
Σ FY = 0
450
300
N1
N2
P
158
N1Y + N2Y – P = 0
N1Y + N2Y = P
N1 sen 45 + N2 sen 60 = 50
N2
N2Y
N1Y + N2Y = 50
N1
450
0
60
Ecuación 2
N2X
(0,7071 N2) * sen 45 + N2 sen 60 = 50
(0,7071 N2) * sen 45 + N2 sen 60 = 50
N1Y
N1X
P
0,5 N2 + 0,866 N2 = 50
1,366 N2 = 50
N2 =
50
= 36,6 kg - f
1,366
N2 = 36,6 kg –f.
Pero: N1 = 0,7071 N2
N1 = 0,7071 * 36,6
N1 = 25,88 kg – f.
4.32 Alonso Finn
Una esfera (fig. 4-31) que pesa 50 lb-f descansa sobre una pared lisa, manteniéndose en esa
posición mediante un plano liso que hace un ángulo de 600 con la horizontal. Calcular la reacción de
la pared y el plano sobre la esfera.
N2X = N2 cos 30
N2Y = N2 sen 30
Σ FX = 0
N1 - N2X = 0
N1 - N2 cos 30 = 0
N1 = N2 cos 30 Ecuación 1
N1
N2
P
300
0
Σ FY = 0
N2Y – P = 0
N2Y = P
60
N1
300
N2
P
N2 sen 30 = 50
N2
50
50
=
=
= 100 lb - f
sen 30
0,5
600
N2
N2Y
300
N2X
P
N1
159
Reemplazando en la ecuación 1
N1 = N2 cos 30 Ecuación 1
N1 = 100 cos 30
N1 = 100 * 0,866
N1 = 86,6 lb - f
4.33 Alonso Finn
Una esfera de peso W se sostiene mediante una cuerda AB. (fig. 4-32) y presiona una pared
vertical lisa AC. Si δ es el ángulo entre la cuerda y la pared, determinar la tensión en la cuerda y la
reacción de la pared sobre la esfera.
TX = T sen δ
TY = T cos δ
Σ FX = 0
N - TX = 0
N - T sen δ= 0
δ
T
TY
δ
N
N = T sen δ Ecuación 1
TX
W
Σ FY = 0
TY – W = 0
TY = W
T cos δ = W
T =
T
N
W
W
cos δ
Reemplazando en la ecuación 1
N=
W
* sen δ = W * tg δ
cos δ
N = W tg δ
4.34 Alonso Finn
Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa
40 kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables.
TX = T cos 45
TY = T sen 45
C
Σ FX = 0
F - TX = 0
F - T cos 45 = 0
F = T cos 45 Ecuación 1
450
Σ FY = 0
TY – M = 0
TY = M
T sen 45 = M
T
F
T
TY
B
450
A
0
45
TX
F
M
M
160
T =
M
40
=
= 56,56 kg - f.
sen 45 0,7071
T = 56,56 kg – f.
Reemplazando en la ecuación 1
F = T cos 45 Ecuación 1
F = 56,56 * cos 45 = 40 kg - f.
F = 40 kg –f.
4.34 Alonso Finn
Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa
40 kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables.
C
TY = T sen 40
TX = T cos 40
500
FX = F cos 40
FY = F sen 40
Σ FX = 0
FX - TX = 0
T
400
T
TY
F
0
40
0
40
M
500
TX
B
Fx
F cos 40 - T cos 40= 0
F -T =0
F = T Ecuación 1
A
400
FY
M
0
40
F
Σ FY = 0
TY + F Y – M = 0
TY + F Y = M
T sen 40 + F sen 40 = 40 Ecuación 2
Reemplazando la ecuación 1 en la ecuación 2
T sen 40 + F sen 40 = 40 Ecuación 2
T sen 40 + T sen 40 = 40
2 T sen 40 = 40
T =
40
20
=
= 31,11 Kg - f
2 sen 40
sen 40
T = F = 31,11 Kg – f.
4.34 Alonso Finn
Calcular las fuerzas (fig 4-33) que la viga AB y el cable AC ejercen en A, suponiendo que M pesa
40 kg f y que el peso del cable y la viga son despreciables.
TY = T sen 60
TX = T cos 60
T
TY
FX = F cos 30
600
Fx
TX
300
M
161
FY
F
FY = F sen 30
Σ FX = 0
FX - TX = 0
F cos 30 - T cos 60 = 0
0,866 F – 0,5 T = 0
Ecuación 1
300
Σ FY = 0
TY + F Y – M = 0
TY + F Y = M
T sen 60 + F sen 30 = 40
F
600
0,866 T + 0,5 F = 40 Ecuación 2
300
Resolver las ecuaciones 1 y 2.
0,866 F – 0,5 T = 0
Ecuación 1 * (0.866)
0,866 T + 0,5 F = 40 Ecuación 2
* (0,5)
0
60
T
300
300
A
0,75 F – 0,433 T = 0
0,433 T + 0,25 F = 40
M
0,75 F + 0,25 F = 40
F = 40 Kg – f.
Reemplazar en la ecuación 1
0,866 F – 0,5 T = 0
Ecuación 1
0,866 * 40 – 0,5 T = 0
34,64 – 0,5 T = 0
0,5 T = 34,64
T =
34,64
= 69,28 Kg - f
0,5
4.45 Alonso Finn
Calcular el peso P necesario para mantener el equilibrio en el sistema mostrado en la figura 4 – 39,
en la cual A pesa 100 kg-f. y Q = 10 kg-f. El plano y las poleas son lisas. La cuerda AC es horizontal
y la cuerda AB es paralela al plano. Calcular también la reacción del plano sobre el plano A. (Normal
N)
Bloque C
Σ FY = 0
T1 – Q = 0 pero: Q = 10 kg-f.
T1 = Q = 10 kg-f. Ecuación 1
Bloque A
T1X = T1 cos 30
T1Y = T1 sen 30
T2
T1
T1
C
T2
300
Q = 10 kg-f
T2
P
T1
AX = A sen 30
B
A = 100 kg-f
162
AY = A cos 30
Σ FX = 0
T2 – T1X - AX = 0
T2 – T1 cos 30 - A sen 30 = 0
Bloque A
T2
N
Ecuación 2
T1
T2 = T1 cos 30 + A sen 30
pero: A = 100 kg-f T1 = Q = 10 kg-f.
T1Y
300
T2 = 10 cos 30 + 100 sen 30
T2 = 8,66 + 50
T2 = 58,66 kg-f.
T1X
AY
0
A
30
AX
Σ FY = 0
N – AY + T1Y = 0
N – A cos 30 + T1 sen 30 = 0
Bloque C
pero: A = 100 kg-f T1 = Q = 10 kg-f.
N – 100 cos 30 + 10 sen 30 = 0
N – 86,6 + 5 = 0
N – 81,6 = 0
N = 81,6 kg-f
T1
Bloque B
T2
Q
P
Bloque B
Σ FY = 0
T2 – P = 0
Ecuación 2
T2 = P
pero: T2 = 58,66 kg-f.
P = 58,66 kg-f.
4.48 Alonso Finn
Dos esferas idénticas se colocan en el sistema mostrado en la figura 4-42. Calcular las reacciones
de las superficies sobre las esferas. Demostrar que cada esfera se encuentra independientemente
en equilibrio.
Esfera 2
ESFERA 2
Esfera 1
FY = F sen 20
FX = F cos 20
F1Y = F1 sen 45
F1X = F1 cos 45
F3
Σ FX = 0
FX – F1X = 0
F cos 20 - F1 cos 45 = 0
F1 cos 45 = F cos 20
F cos 20
F1 =
= 1,33 F
cos 45
200
F
F1
450
F2
163
F1 = 1,33 F
Ecuación 1
Esfera 1
F2
Σ FY = 0
F1Y + FY – W = 0
FX
F1 sen 45 + F sen 20 – W = 0
F1 sen 45 + F sen 20 = W
FY
Esfera 2
F1
F = 0,77 W
450
FY
200
F1X
F1X
Ecuación 2
W
FX
Pero: F = 0,77 W
- (0,77 W) * cos 20 = 0
- (0,77 W) * 0,9396 = 0
- 0,723 W = 0
= 0,723 W
Σ FY = 0
F 2 - FY – W = 0
F2 + F sen 20 – W = 0
F2
F2
F2
F2
F2
F
F1Y
ESFERA 1
FY = F sen 20
FX = F cos 20
F3
F3
F3
F3
F3
W
W
= 0,77 W
1,2824
Σ FX = 0
F 3 - FX = 0
F3 - F cos 20 = 0
20
F
Pero: F1 = 1,33 F
(1,33 F) * sen 45 + F sen 20 = W
(1,33 F) * 0,7071 + F 0,342 = W
0,9404 F + 0,342 F = W
1,2824 F = w
F =
0
Pero: F = 0,77 W
+ (0,77 W) * sen 20 = W
+ (0,77 W) * 0,342 = W
+ 0,263 W = W
= W - 0,263 W
= 0,737 W
Se reemplaza en la ecuación 1
F1 = 1,33 F
Ecuación 1 Pero: F = 0,77 W
F1 = 1,33 * (0,77 W)
F1 = 1,024 W
F1 = 1,024 W
F2 = 0,737 W
F3 = 0,723 W
4.47 Alonso Finn
Una varilla de masa de 6 kg. y longitud 0,8 metros esta colocada sobre un ángulo recto liso como se
muestra en la figura 4-41. Determinar la posición de equilibrio y las fuerzas de reacción como una
función del ángulo δ.
164
T2Y = T2 sen δ
T2X = T2 cos δ
Pero: sen (90 - δ) = cos δ
T1Y = T1 sen (90 - δ)
T1Y = T1 cos δ
δ
Pero: cos (90 - δ) = sen δ
T1X = T1 cos (90 - δ)
T1X = T1 sen δ
Σ FX = 0
T2X – T1X = 0
T2 cos δ - T1 sen δ = 0
T2
φ
δ
φ
W
Ecuación 1
90 - δ
T1
δ
90 - δ
Σ FY = 0
T1Y + T2Y – W = 0
T1 cos δ + T2 sen δ – W = 0
T1 cos δ + T2 sen δ = W
Ecuación 2
Resolviendo las ecuaciones
T2 cos δ - T1 sen δ = 0
* cos δ
T1 cos δ + T2 sen δ = W
* sen δ
Ecuación 1
Ecuación 2
T2 cos2 δ - T1 sen δ * cos δ = 0
T1 cos δ * sen δ + T2 sen2 δ = W sen δ
T2 cos2 δ + T2 sen2 δ = W sen δ
T2 (cos2 δ + sen2 δ) = W sen δ Pero: (cos2 δ + sen2 δ) = 1
T2 = W sen δ
Reemplazando en la ecuacion 2
T1 cos δ + T2 sen δ = W
Ecuación 2
T1 cos δ + (W sen δ) * sen δ = W
T1 cos δ + W sen2 δ = W
T1 cos δ = W - W sen2 δ
T1 cos δ = W (1 - sen2 δ)
Pero: (1 - sen2 δ) = cos2 δ
2
T1 cos δ = W cos δ
T1 =
T2
T1
T1Y
90 - δ
δ
T1X
T2Y
T2X
W
W cos 2 δ
= W cos δ
cos δ
T1 = W cos δ
165
166