Teorema de Cauchy Fórmula de Cauchy y Aplicaciones

Centro de Matemática
Facultad de Ciencias
Universidad de la República
Análisis complejo - Curso 2011
Práctico 6
Teorema de Cauchy
Ÿ1. Dado
R∞
2
e−πx · e−2πixξ dx asumiendo que
−∞
: Usar el Teorema de Cachy en un rectángulo.
ξ ∈ R,
probar que
e−πξ =
2
R∞
−∞
e−πx = 1.
2
Sugerencia
Comentario : Para funciones f : R → R satisfaciendo ciertas propiedades de regularidad y de decaimiento en
el innito, se dene la transformada de Fourier fˆ : R → R como:
Z
∞
fˆ(ξ) =
−∞
f (x) · e−2πixξ dx,
ξ ∈ R.
En el ejercicio anterior se prueba que la función exponencial e−πx coincide con su transformada de Fourier.
2
Ÿ2. Dado
f
Ÿ3.
w ∈ C, w 6= 0, sea Ω = C − {tw : t ≥ 0}. Probar que si f : Ω → C es holomorfa entonces
Ω.
tiene primitiva en
Prueba alternativa de la fórmula de Cauchy:
Supongamos que
f :Ω→C
es una función holomorfa, donde
un abierto que contiene la clasura de un disco
D.
Sea
C
Ω⊂C
es
la frontera del
disco.
a)
Dado
z∈Ω
jo, probar que la función
h(ζ) = f (ζ)/(ζ − z)
tiene
primitiva en el interior del conjunto ojo de llave (ver gura).
b)
R
f (ζ)
1
2πi C ζ−z dζ, z ∈ D ,
usando el teorema de Cauchy en el ojo de llave y luego pasando
Probar la fórmula integral de Cauchy
f (z) =
al límite.
3NS HI PPEZI
Fórmula de Cauchy y Aplicaciones
Ÿ4. Sea
a)
b)
c)
Ÿ5. Sea
f :D→C
Dado
holomorfa.
0 < r < 1,
probar que
2f 0 (0) =
Concluir que el diámetro d :=
0
siguiente desigualdad: 2|f (0)| ≤
1
2πi
R
|ζ|=r
f (ζ)−f (−ζ)
ζ2
supw, z∈D |f (w) − f (z)|
d.
Probar que la igualdad se satisface cuando
f
es lineal:
dζ .
de la imagen de
f (z) = az + b
con
f
verica la
a, b ∈ C.
Ω⊂C
un conjunto abierto y acotado, y sea ϕ : Ω → Ω una función holomorfa. Probar
z0 ∈ Ω tal que ϕ(z0 ) = z0 y ϕ0 (z0 ) = 1 entonces ϕ(z) = z .
n
n
: Asumiendo que z0 = 0, tenemos ϕ(z) = z + an z + O(z ). Observar que si
k
n
n
· · · ◦ ϕ (k -veces) entonces ϕ (z) = z + kan z + O(z ).
que si existe
Sugerencia
ϕk = ϕ ◦
Ÿ6. El teorema de Weierstras para funciones reales dice que toda función continua en
[0, 1]
puede
ser aproximada uniformemente por polinomios. ¾Es verdad que toda función continua en
es aproximada uniformemente por polinomios en la variable
1
z?
D
f
Ÿ7. Supongamos que
es analítica en todo
C yPverica que para cada z0 ∈ C se tiene que al
∞
n
n=0 an (z − z0 ) es igual a cero. Probar que f
menos uno de los coecientes del desarrollo
es un polinomio.
Ÿ8.
Principio de Reexión de Schwarz: Sea Ω ⊂ C un conjunto abierto. Decimos que Ω es simétrico
respecto al eje real cuando z ∈ Ω sii z ∈ Ω. Denotamos por Ω+ a la región que esta incluida en
el semiplano superior y
Ω−
a la región que esta incluida en el semiplano inerior. Si
Ω = Ω− ∪ I ∪ Ω+ . En lo que sigue suponemos
entonces tenemos la descomposición
a)
I = Ω∩R
I 6= ∅
f + y f − son funciones holomorfas en Ω+ y Ω− respectivamente, tales que se extieneden
I y f + (x) = f − (x) para todo x ∈ I , entonces la función f : Ω → C
+
+
+
−
−
−
denida por f = f
en Ω ; f = f (= f ) en I ; f = f
en Ω ; es holomorfa en Ω.
Si
continuamente a
Sugerencia : Usar teorema de Morera.
b ) Principio de Reexión de Schwarz: Supongamos que f
I
que se extiende continuamente a
F
una función
holomorfa en
Ω
y tal que
f
que extiende a
Sugerencia : Tomar un buen candidato.
es una función holomorfa en
toma valores reales en
I.
Ω+ ,
Entonces existe
f.
Ÿ9. Usar el principio de reexión de Schwarz para probar el siguiente resultado:
f : D → C continua, holomorfa en D y tal que no toma el valor 0.
f (∂D) ⊂ ∂D entonces f es constante.
Sugerencia : Extender f a todo C mediante f (z) = 1/f (1/z), |z| > 1.
Sea
Probar que si
Comentario: Ver ejercicio Ÿ14a . para otra prueba.
Funciones meromorfas y Principio de Módulo Máximo
Ÿ10. Probar que las únicas funciones enteras e inyectivas son las funciones de la forma
para algún
a, b ∈ C
Ÿ11. Probar que si
k ≥ 0,
f
Ÿ12. Probar que si
θ < arg(z) < τ
f
es un polinomio de
es holomorfa en
cuando
|z| → 1,
D,
sup|z|=R |f (z)| ≤ ARk + B
grado menor o igual a k .
Ÿ14. Sea
a)
abierto tal que
Probar que si
Sugerencia :
D ⊂ Ω.
f (S 1 ) ⊂ S 1 ,
R > 0
y algún
f = 0.
w1 , . . . , wn puntos en S 1 := ∂D. Probar que existe z ∈ S 1
1
existe w ∈ S tal que Πi |w − wi | = 1.
Ω⊂C
para todo
acotada, y converge uniformemente a cero en el sector
entonces
Ÿ13. Sean
que
f (z) = az +b
a 6= 0.
es entera y satisface
f
entonces
con
Sea
f :Ω→C
entonces
D
Es suciente probar que
tal que
Πi |z −wi | ≥ 1. Concluir
holomorfa (no constante).
esta incluido en la imagen de
0
f.
esta en la imagen. Luego usar el principio de
módulo máximo.
b)
Si
|f (z)| ≥ 1
cuando
|z| = 1,
f.
y existe
contenido en la imagen de
2
z0 ∈ D
tal que
|f (z0 )| < 1,
entonces
D
esta
Ejercicios Complementarios sobre Funciones Armónicas
Ÿ1. Sea
f
a)
DR0 (0).
iθ R 2π
Re +z
iθ
f
(Re
)
Re
dθ,
0
Reiθ −z
holomorfa en el disco
Probar que
Sugerencia :
f (z) =
1
2π
Observar que si
2
w = R /z
para todo
0 < R < R0
entonces la integral de
y
|z| < R.
f (ζ)/(ζ − w)
en
∂DR (0)
es cero. Luego usar la fórmula de Cauchy.
b)
Mostrar que Re
Reiθ +z
Reiθ −z
=
R2 −r 2
R2 −2rR cos θ+r 2 .
u : D → R una función de clase C 2 y armónica. Recordar que u es armónica si ∆u(x, y) =
0, ∀ (x, y) ∈ D donde ∆ := (∂ 2 /∂x2 + ∂ 2 /∂y 2 ).
Ÿ2. Sea
a)
f : D → C holomorfa tal que Re(f ) = u, y mostrar que la
f esta unicamente denida a menos de una constante aditiva real.
∂/∂z = 21 (∂/∂x − i∂/∂y ), entonces f 0 (z) = 2∂/∂z Re(f )(z)
Probar que existe una función
parte imaginaria de
Sugerencia : Si
b)
Ÿ3.
Deducir la representación de la
Integral de Poisson :
Si u es armónica en D y continua en su clausura, entonces para
R 2π
1
2π 0 Pr (θ − ϕ)u(ϕ) dϕ, donde Pr (γ) es el
z = reiθ , se tiene u(z) =
2
Núcleo de Poission Pr (γ) = 1−2r1−r
cos γ+r 2 .
Funciones Holomorfas y Series de Fourier
Sea
f
una función holomorfa en el disco
DR (z0 ).
Sea
P∞
n=0
an (z − z0 )n
su desarrollo en serie
Dr (z0 ), r < R.
R 2π
1
que an verica an =
f (z0 + reiθ )e−inθ dθ, para todo n ≥ 0
n
2πr
0
R
2π
1
iθ −inθ
además que 0 =
dθ cuando n < 0.
2πr n 0 f (z0 + re )e
de potencia en
Probar
Probar
y
0 < r < R.
Comentarios : Consideremos la restricción de f al borde del círculo DR (z0 ), f (z0 + reiθ ). El ejercicio anterior
nos muestra que el desarrollo en serie de Fourier de la restricción de funciones holomorfas al borde del círculo
esta dado por los coecientes del desarrollo de serie de potencia (a menos de una constante multiplicativa rn
), y además que los coecientes de fourier para n < 0 son todos nulos.
f es holomorfa en DR (z0 ), entonces
u(z0 + reiθ ) dθ, para todo 0 < r < R.
Ÿ4. Concluir que si
1
2π
Ÿ5.
R 2π
0
su parte real
satisface
u(z0 ) =
Teorma de valor medio para funciones armónicas:
Probar el teorema de valor medio para funciones armónicas:
R 2π
1
si u es armónica en el disco D entonces u(z0 ) =
2π 0 u(z0 +
Ÿ6.
u = Re(f )
reiθ ) dθ,
para
0 < r < 1.
Principio de módulo máximo para funciones armónicas:
a)
Probar que si
u
b)
u : Ω → R es una función armónica, no constante, en una región Ω entonces
Ω.
no puede tomar un valor máximo (o mínimo) en
Suponiendo que
en
Ω
Ω es una región con clausura Ω compacta, y que a u : Ω → R es armónica
Ω entonces supz∈Ω |u(z)| ≤ supz∈Ω−Ω |u(z)|.
y continua en
3