Centro de Matemática Facultad de Ciencias Universidad de la República Introducción al Análisis Complejo - Curso 2012 Práctico 3 Funciones holomorfas 1. Estudiar en qué puntos son derivables las siguientes funciones y en dichos puntos calcular la derivada. a ) f (z) = |z| b ) f (z) = z c ) f (z) = 1 z d ) Sea f (z) = log(ϕ(z)), donde ϕ(z) = del argumento. 2. 3. 1+z 1−z . Tomando [0, 2π) como determinación Sea f (z) = |xy| con z = x+iy . Vericar que se cumplen las ecuaciones de CauchyRiemann en el origen pero f no es derivable en el origen. p a ) Sea f denida en todo C y g(z) = f (z). Probar que f es holomorfa en C si y sólo si g lo es. b ) Probar que si f es derivable en z = z0 y g es derivable en f (z0 ) entonces g ◦ f lo es en z0 . Calcuar la derivada (Sugerencia: adaptar la prueba en R). 4. 5. Mostrar que si f : C → C, f (z) = u(x, y)+iv(x, y) es derivable entonces el jacobiano de f (x, y) = (u(x, y), v(x, y)) es J(u,v) = |f 0 (z)|2 . Una región es un conjunto abierto y conexo. Sea f ∈ H(Ω) donde Ω es una región. Probar que cada una de las siguientes condiciones implica que f es constante en Ω. a ) |f (z)| constante en Ω. b ) f 0 (z) = 0 en Ω. c ) f (Ω) ⊂ R. d ) f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) con u, v : R2 → C tal que existen a, b, c con a2 + b2 6= 0 y au + bv = c 6. a ) Sea T : R2 → R2 una transformación lineal. Probar que existen A, B ∈ C tal que T (ω) = Aω + B ω̄ b ) Sea ω = f (z) = u + iv donde u(x, y) = Re(f (z)), v(x, y) = Im(f (z)) diferen∆ω ciable en z . Mostrar que o bien existe lı́m∆z→0 o estos valores acumelan ∆z sobre una circunferencia 1 7. Una función de variable compleja w = f (z) puede darse bajo la forma: w = u(r, ϕ) + iv(r, ϕ) con z = reiϕ . Mostrar que f (z) es holomorfa en una región Ω si y sólo si u y v son diferenciables respecto a r y ϕ en Ω y se verica ur = 1r vϕ , vr = − 1r uϕ (condiciones de Cauchy-Riemann en polares). Vericar que urr + 1r ur + r12 uϕϕ = 0. 8. Ejercicio del examen Febrero 2010 - Facultad de Ingeniería. a ) Encontrar una función holomorfa que transforme la faja vertical {z ∈ C : −1 < Re(z) < 1} en el semiplano {z ∈ C : Re(z) > 0}. b ) Sean a y b dos complejos diferentes. Llamemos Ω al conjunto que resulta de quitarle el segmento [a, b] al plano complejo. Hallar una función holomorfa que transforme Ω en el plano complejo menos la semirecta {(x, y) : y = 0, x ≤ 0}. c ) Mostrar que existe una función holomorfa que lleva Ω en el disco unitario. (Sugerencia: Observar que al denir la raíz cuadrada con argumento adecuado, se puede transformar el plano complejo menos una semirrecta en un semiplano abierto; y aplicar esto correctamente junto con las partes anteriores.) 9. Sea f : Ω −→ C una función holomorfa con f biyectiva y f 0 (x) 6= 0, ∀x ∈ Ω. Luego sean r y s segmentos de recta con r ∩ s = p ∈ Ω y que forman un ángulo θ. Probar que f (r) y f (s) son curvas que forman un ángulo θ en f (p). ¾Es cierto si f 0 (p) es 0? Un poco de funciones armónicas. 10. Consideremos Ω ⊂ R2 abierto, una función u : Ω 7→ R se dice armónica cuando ∆u = uxx + uyy = 0. El operador ∆ se llama Laplaciano. a ) Probar que si f : Ω 7→ C es una función holomorfa, entonces Re(f ) e Im(f ) son funciones armónicas. b ) Muestre que la función u(x, y) = cosh(y) sin(x) es armónica en el plano y construya otra función armónica v(x, y) tal que f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sea holomorfa en todo C. c ) 1) ¾Existe una función v : C → R tal que f (x + iy) = ex y 3 + iv(x, y) sea holomorfa? 2) ¾Que condición tiene que cumplir h para que ex h(y) sea parte real de una función holomorfa? 3) Muestre que las funciones holomorfas de la parte anterior son de la forma αez + β 2 p d ) Sea u : C − {0} 7→ R está denida por u(x, y) = log x2 + y 2 . Observar que si bien es armónica, no es posible encontrar f : C − {0} 7→ C holomorfa que cumpla Re(f ) = u. Ejercicios para entregar: Ejercicios 7, 8 y 9 Fecha límite: jueves 19 de Abril 3