Resumen de Test de Hipótesis Test de Medias Exactos 2 Caso 1: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( ; Hipotesis N ula H0 : = Z= 0 Donde PH0 (Z X S2 = X = X2 = n 2 2 ) con desconocida Estad{stico Bajo H0 T = 0 Hipotesis Alternativa H1 : < 0 H1 : > 0 H1 : 6= 0 : N (0; 1) 0 p z )=1 n 1P = Xi n i=1 Hipotesis N ula Donde X Criterios de Rechazo zobservado z zobservado z jzobservado j z a2 Caso 2: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( ; = conocida. Estad{stico Bajo H0 Hipotesis Alternativa H1 : < 0 H1 : > 0 H1 : 6= 0 H0 : 2 ) con X S p n t(n 0 Criterios de tobservado tobservado jtobservado j PH0 (T t(n n 1 P Xi n 1 i=1 n 1P Xi n i=1 n 1P X2 n i=1 i 1) 1) Rechazo t(n 1) t(n 1) t(n 1) a2 )=1 X 2 = n n 1 h X2 X 2 i Caso 3: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( X ; 2X ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Ym iid N ( Y ; 2Y ) con 2X y 2Y conocidas. Con Xi independiente de Yj para todo i y para todo j 1 Hipotesis N ula H0 : X Y = Estad{stico Bajo H0 X Y o Z=r N (0; 1) 2 2 0 X n Hipotesis Alternativa H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y 6= Donde PH0 (Z X Y + Y m Criterios de Rechazo zobservado z zobservado z jzobservado j z a2 z )=1 n 1P = Xi n i=1 m 1 P Yi = m i=1 Caso 4: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( X ; 2X ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Ym iid N ( Y ; 2Y ) con 2X y 2Y desconocidas e iguales. Con Xi independiente de Yj para todo i y para todo j Hipotesis N ula H0 : X Y = 0 Hipotesis Alternativa H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y 6= Estad{stico Bajo H0 T = X pY 1 1o tn+m SP n+m Criterios de Rechazo tobservado t(n+m 2) tobservado t(n+m 2) jtobservado j t(n+m 2) a2 2 2 Donde : X = Y = SP2 = 2 SX = SY2 = X2 = Y2 = PH0 (T n 1P Xi n i=1 m 1 P Yi m i=1 t(n+m 2) )=1 2 1)SX + (m 1)SY2 n+m 2 n 1 P n h 2 2 Xi X = X n 1 i=1 n 1 m n h 2 1 P 2 Y Yi Y = m 1 i=1 n 1 n 1P X2 n i=1 i m 1 P Y2 m i=1 i (n X Y 2 2 i i Caso 5: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( X ; 2X ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Yn iid N ( Y ; 2Y ). Con Xi no necesariamente independientes de Yj para todo i y para todo j: Entonces Xi Yi = Di i = 1; 2; 3:::; n Di N ( D ; 2D ) i = 1; 2; 3:::; n E(Di ) = D 2 V (Di ) = D conocida H0 : Hipotesis N ula X Y = D = 0 Estad{stico Bajo H0 r o Z=D N (0; 1) 2 D n Hipotesis Alternativa H1 : X 0 Y = D H1 : X = 0 Y D H1 : X = 0 Y D Donde PH0 (Z D Criterios de Rechazo zobservado z zobservado z jzobservado j z a2 z )=1 n 1P = Xi n i=1 3 Caso 6: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( X ; 2X ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Yn iid N ( Y ; 2Y ). Con Xi no necesariamente independientes de Yj para todo i y para todo j: Entonces Xi Yi = Di i = 1; 2; 3:::; n Di N ( D ; 2D ) i = 1; 2; 3:::; n E(Di ) = D 2 V (Di ) = D desconocida Hipotesis N ula H0 : X Y = Estad{stico Bajo H0 T = X Yp 1 o tn 1 0 S Hipotesis Alternativa H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y 6= Donde : D = 2 SD = D2 = n Criterios de tobservado tobservado jtobservado j PH0 (T t(n n 1P Di n i=1 n 1 P Di n 1 i=1 n 1P D2 n i=1 i 1) Rechazo t(n 1) t(n 1) t(n 1) a2 )=1 D 2 = n n 1 h D2 D 2 i Test de Medias Asintóticos Caso 7: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid Be(p) con p desconocida y n grande. Hipotesis N ula H 0 : p = p0 Estad{stico Bajo H0 p0 Z = qpbp(1 N (0; 1) b p) b n Hipotesis Alternativa H1 : p < p 0 H1 : p > p 0 H1 : p 6= p0 Criterios de Rechazo zobservado z zobservado z jzobservado j z a2 Donde PH0 (Z z )=1 n 1P Xi pb = n i=1 4 Caso 8: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid F (x) tal que E(Xi ) = discretas o continuas) y n grande. Hipotesis N ula H0 : = Estad{stico Bajo H0 Z= 0 Hipotesis Alternativa H1 : < 0 H1 : > 0 H1 : 6= 0 Donde : S2 = X = X2 = (Pueden ser X S p n N (0; 1) 0 Criterios de Rechazo zobservado za zobservado za jzobservado j t(n 1) a2 PH0 (Z za ) = 1 n 1 P Xi X n 1 i=1 n 1P Xi n i=1 n 1P X2 n i=1 i 2 = n n 1 h X2 X 2 i Caso 9: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid Be(pX ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Ym iid Be(pY ) con pX y pY desconocidas. Con Xi independiente de Yj para todo i y para todo j: Con m y n grandes Hipotesis N ula H 0 : p X pY = 0 Estad{stico Bajo H0 Z= q Hipotesis Alternativa H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y 6= p bX p bY o p bY (1 p bY ) p bX (1 p bX ) + n m N (0; 1) Criterios de Rechazo zobservado z zobservado z jzobservado j z a2 Donde PH0 (Z pbX pbY z )=1 n 1P = Xi n i=1 m 1 P = Yi m i=1 5 Caso 10: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid FX (x) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Ym iid FY (y) tal que E(Xi ) = X y E(Yi ) = Y (Pueden ser discretas o continuas) con n y m grande. Con Xi independiente de Yj para todo i y para todo j Hipotesis N ula H0 : X Y = 0 Estad{stico Bajo H0 X Y o N (0; 1) Z=r 2 2 S X n Hipotesis Alternativa H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y H1 : X 0 Y 6= Donde : X = Y = 2 SX = SY2 = X2 = Y2 = + S Y m Criterios de Rechazo zobservado za zobservado z jzobservado j z 2 PH0 (z za ) = 1 n 1P Xi n i=1 m 1 P Yi m i=1 n 1 P Xi X n 1 i=1 m 1 P Yi Y m 1 i=1 n 1P X2 n i=1 i m 1 P Y2 m i=1 i 2 2 = = n n 1 n n 1 h h X2 X Y2 Y 2 2 i i Test de Varianzas Caso 11: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( ; Hipotesis N ula H0 : 2 = 20 2 ) con conocida. Estad{stico Bajo H0 2 2 C = nb2 n 0 Hipotesis Alternativa Criterios de Rechazo 2 2 H1 : 2 Cobservado 0 (n)1 2 2 2 Cobservado H1 : 0 (n) 2 2 2 H1 : 6= 0 Cobservado (n) a o Cobservado 2 6 2 (n)1 a 2 2 (n) n 1P Donde PH0 (C b = 2 2 (Xi ) ) con desconocida. n i=1 Caso 12: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( ; Hipotesis N ula H0 : 2 = 20 )=1 Estad{stico Bajo H0 2 2 C = (n 1)S 2 (n 1) 0 Hipotesis Alternativa Criterios de Rechazo 2 2 H1 : 2 Cobservado 0 (n 1)1 2 2 2 H1 : Cobservado 0 (n 1) 2 H1 : 2 6= 20 Cobservado (n 1) a o Cobservado 2 (n 1)1 2 2 (n 1) Donde PH0 (C S2 = X = a 2 )=1 n P 1 Xi n 1 i=1 n 1P Xi n i=1 X 2 Caso 13: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( X ; 2X ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Ym iid N ( Y ; 2Y ) con X y Y desconocidas e iguales. Con Xi independiente de Yj para todo i y para todo j Hipotesis N ula H0 : 2X = 2Y Estad{stico Bajo H0 S2 F = SX2 F(n 1);(m 1) Y Hipotesis Alternativa 2 H1 : 2X Y 2 2 H1 : X Y H1 : 2 X 6= 2 Y Fobservado Fobservado F(n 7 1);(m 1)( 2 ) Criterios de Rechazo F(n 1);(m 1)(1 ) = F(m Fobservado F(n 1);(m 1)( o Fobservado F(n 1 1);(n 1)( ) ) 1);(m 1)(1 2) h = F(m 1);(n 1)( 2 ) i 1 Donde PH0 (F 2 SX = X = SY2 = Y = F(n 1);(m 1)( ) ) = 1 n 1 P 2 Xi X n 1 i=1 n 1P Xi n i=1 m 1 P 2 Yi Y m 1 i=1 m 1 P Yi m i=1 Caso 14: Sean X1 ; X2 ; :::; Xn iid N ( X ; 2X ) y sean Y1 ; Y2 ; :::; Ym iid N ( Y ; 2Y ) con X y Y conocidas e iguales. Con Xi independiente de Yj para todo i y para todo j Hipotesis N ula H0 : 2X = 2Y Estad{stico Bajo H0 b2 F = bX F(n);(m) 2 Y Hipotesis Alternativa 2 H1 : 2X Y 2 2 H1 : X Y H1 : 2 X 6= 2 Y Criterios de Rechazo Fobservado F(n);(m)(1 ) = F(m);(n)( Fobservado F(n);(m)( ) Fobservado Donde PH0 (F b2X b2Y X F(n);(m)( 2 ) o Fobservado F(n 1);(m n 1P (Xi = n i=1 m 1 P = (Yi m i=1 = Y 8 1)( ) ) 2 X) 2 Y ) =1 F(n);(m)(1 2) 1 ) h i = F(m);(n)( 2 ) 1