VIII. Los Números Reales VIII.1. El cuerpo ordenado de los números

VIII. Los Números Reales
Fundamentos Matemáticos de la Ingenierı́a
Curso 2009-2010
VIII.1. El cuerpo ordenado de los números racionales
DEF. Conocidos los números enteros y los naturales, los números racionales se definen como los
“cocientes”
nm
o
Q=
: m ∈ Z, n ∈ N
n
Observaciones:
m
1. La expresión
se interpreta simplemente como una notación que indica que es posible definir
n
un número racional a partir de un entero m y un natural n.
2. La representación no es única:
m m0
y 0 representan el mismo número racional cuando mn0 = m0 n.
n
n
m
3. Cada número entero m se identifica con el número racional representado por . De esta forma
1
podemos decir que Z es un subconjunto de Q.
Operaciones habituales:
Suma:
m m0
mn0 + m0 n
+ 0 =
n
n
nn0
Producto:
m m0
mm0
· 0 =
n n
nn0
Q con las operaciones que se han definido es un cuerpo. Esto quiere decir que se cumplen las
siguientes propiedades:
1. Para la suma:
a) P. Conmutativa
b) P. Asociativa
c) Existe elemento neutro:
0
n
d) Existe elemento opuesto: ∀
m
∈ Q,
n
m −m
0
+
= =0
n
n
n
2. Para el producto:
a) P. Conmutativa
b) P. Asociativa
c) Existe elemento neutro: 1 =
n
n
 n

si m > 0
m
m n
m
d) Existe elemento opuesto: ∀ ∈ Q,
·
= 1;
=
−n

n
n m
n
si m < 0
−m
µ
¶
m m0 m00
m m0 m m00
3. El producto es distributivo respecto a la suma:
+
=
·
+
·
0
00
n n
n
n n0
n n00
³ m ´−1
Orden natural en Q
DEF. Se llaman números racionales positivos a los que se pueden representar como m
n donde m
y n son ambos números naturales.
nm
o
Q+ =
∈ Q : m, n ∈ N
n
DEF. Se dice que un número racional r es menor que un número racional s, y se escribe r < s, cuando
s + (−r) es un racional positivo: r < s si s + (−r) ∈ Q+
Observación:
s > r: “s es mayor que r”
r ≤ s: “r es menor o igual que s”
Caracterı́sticas del ordenamiento:
1. El orden es total: Dados dos números racionales cualquiera, uno siempre es menor o igual que
el otro.
2. El orden es compatible con las operaciones del cuerpo:
a) Si r, s, t ∈ Q entonces, r ≤ s ⇒ r + t ≤ s + t
b) Si r, s, t ∈ Q, t ≥ 0 entonces, r ≤ s ⇒ r · t ≤ s · t
DEF. Un cuerpo se dice que es ordenado si el orden es compatible.
Q y R son cuerpos ordenados, C no lo es.
3. El orden es denso: entre dos números racionales distintos siempre existe otro.
El orden en Z no es denso
VIII.2. El cuerpo ordenado de los números reales
R es un cuerpo:
ordenado (de la misma forma que en Q, la suma, el producto y el orden están definidos y son
compatibles). El orden es además total y denso, como en el caso de Q.
que contiene a Q (en el sentido de los elementos pero también de las operaciones y el orden).
en el que “las sucesiones de intervalos cerrados encajados siempre tienen intersección”. Esta es
una forma de expresar la completitud de R.
DEF. Se llaman números irracionales a los elementos del conjunto I = R − Q.
Algunas propiedades de los racionales e irracionales:
1. Sean r, s ∈ R,
a) Si r ∈ Q y s ∈ I entonces, r + s ∈ I
b) Si r 6= 0 ∈ Q y s ∈ I entonces, r · s ∈ I
2. Sean r, s ∈ R tales que r < s,
a) Existe q ∈ Q tal que r < q < s
b) Existe t ∈ I tal que r < t < s
Cotas: Sea A un subconjunto de R,
Un número real x es una cota inferior de A cuando x ≤ a para todo a ∈ A.
Un número real y es una cota superior de A cuando a ≤ y para todo a ∈ A.
Si A tiene alguna cota inferior se dice que está acotado inferiormente.
Si A tiene alguna cota superior se dice que está acotado superiormente.
Si A está acotado inferior y superiormente, se dice simplemente que está acotado.
Si una cota inferior x del conjunto A pertenece al propio conjunto A se dice que x es el mı́nimo
de A ( x = min(A)).
Si una cota superior x del conjunto A pertenece al propio conjunto A se dice que x es el máximo
de A (x = max(A))
Si A ⊂ R tiene mı́nimo (máximo), este es único
VIII.3. Valor absoluto y propiedades
DEF. Se define el valor absoluto de un número real x como:
½
x
si x ≥ 0
|x| =
= max {x, −x}
−x si x < 0
Propiedades:
1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 ⇔ x = 0
3. |xy| = |x||y|
4. Sea a ≥ 0, |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
5. Desigualdad Triangular: |x + y| ≤ |x| + |y|
6. ||x| − |y|| ≤ |x − y|