Aproximaciones Diofanticas Florian Luca Supongamos que α es un número real, irracional. Una aproximacion diofantica de α es un racional p/q tal que |α − p/q| sea muy pequeña. La teorı́a de las aproximaciones diofanticas estudia que tan pequeña puede ser la cantitad de arriba, o en otras palabras que tan bien podemos aproximar el número α por racionales. Un resultado de Dirichlet afirma que hay una infinidad de racionales p/q tal que |α − p/q| < 1/q 2 . En la practica, estos racionales se pueden encontrar usando fracciones continuas. Hay números α tales que para cada p/q tal que |α − p/q| < 1/q K . Un ejemplo PK > 0 existen de tal número es n≥1 1/10n! . Estos números se llaman de Liouville y ellos son transcendentes, es decir no son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales. Los números que si son soluciones de ecuaciones polinomiales con coeficientes racionales se llaman algebraicos. Un importante resultado de Roth afirma que si α es algebraico, entonces para cada ε > 0, hay cuando mucho un número finito de racionales p/q tal que |α − p/q| < 1/q 2+ε . En este cursillo, haremos una incursion en los teoremas de Dirichlet, Roth, y el teorema del subespacio, que es una generalización del teorema de Roth, y veamos algunas de sus aplicaciones. 1