Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUÁREZ Ricardo Duarte Jáquez Rector David Ramírez Perea Secretario General Manuel Loera de la Rosa Secretario Académico Juan Ignacio Camargo Nassar Director del Instituto de Ciencias Sociales y Administración Luis Enrique Gutiérrez Casas Coordinador General de Investigación y Posgrado Ramón Chavira Chavira Director General de Difusión Cultural y Divulgación Científica UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CIUDAD JUÁREZ Caracterización Del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale Rubén Germán Almanza Rodríguez Cely Celene Ronquillo Chávez Ciencias Sociales y Administrativas Coordinación General de Investigación y Posgrado Lisbeily Domínguez Ruvalcaba Coordinadora de la colección Almanza Rodríguez, Rubén Germán; Ronquillo Chávez, Cely Celene. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale / Rubén Germán Almanza Rodríguez, Cely Celene Ronquillo Chávez. Ciudad Juárez, Chih. : Universidad Autónoma de Ciudad Juárez, 2013. (Colección Reportes Técnicos de Investigación) 40 p.; 30 cm. Incluye bibliografía Colección Reportes Técnicos de Investigación Isbn: 978-607-7953-80-7 Serie ICSA, Vol. 12. isBn: 978-607-520-004-0 Contenido: 1.– Introducción. 2.– Planteamiento. 3.– Metodología. 4.– Resultados. 5.– Conclusiones. 6.– Referencias. D. R. © Almanza Rodríguez, Rubén Germán; Ronquillo Chávez, Cely Celene. La edición, diseño y producción editorial de este documento estuvo a cargo de la Dirección General de Difusión Cultural y Divulgación Científica, a través de la Subdirección de Publicaciones Índice Resumen Abstract Palabras clave Usuarios potenciales Reconocimientos 9 11 12 12 13 I. Introducción 1.1. Antecedentes 1.2. Planteamiento de Debreu 1.3. Respuesta de Smale 15 15 16 II. planteamiento 2.1. Espacio de bienes y función de utilidad Definición 1 Observación 1 Definición 2 2.2. Economía de intercambio Definición 3 2.3. Modelo matemático 2.4. El espacio W como una n variedad 2.5. Función multi-objetivo y punto Pareto óptimo Definición 4 (Pareto óptimo) 17 18 18 18 18 20 20 21 22 22 III. Metodología 3.1. Supuestos de una economía de intercambio puro 23 3.2. Cálculo en variedades Definición 5 (homeomorfismo) Definición 6 (n-variedad) Teorema 3.3. Topología diferencial Teorema 3.4. Álgebra lineal Teorema 23 23 23 24 24 24 24 24 VI. Resultados 4.1. Cono convexo Definición 7 (cono) Definición 8 (cono convexo) Definición 9 (hemi-espacio) Figura 5: Cono convexo en el espacio tangente TxiW Observación 2 4.2. Curva que maximiza la utilidad Observación 3 Observación 4 4.3. Conjunto Pareto crítico Definición 11 (Pareto crítico) Proposición 1 Demostración Corolario 1 Definición 12 (crítico estable) 4.4. Condición necesaria Teorema (condición necesaria) Demostración Observación 6 Observación 7 4.5. Hessiano generalizado Definición 13 (hessiano generalizado) 4.6. Condición suficiente Teorema (condición suficiente) Observación 8 4.7. Ejemplos de funciones multi-objetivo Ejemplo 4 Figura 6: Gráfica de las funciones u1(x,y) y u2(x,y) donde x0 = 5 Ejemplo 5 Figura 7: Conjunto θ estable 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 30 30 31 31 31 31 32 32 32 33 33 V. Conclusiones VI. Referencias E Resumen n el periodo de 1973 a 1975, S. Smale presentó tres artículos, en donde aborda el problema de optimización de una función de utilidad multi-objetivo u : W → Rm con dim (W) = n ≥ m. Las publicaciones (Smale, 1973) y (Smale, 1975a) son de carácter expositorio y carentes formalización, en donde se presentan condiciones necesarias para que la función de utilidad sea Pareto óptima, en el artículo [Sma75b] demuestra las condiciones de suficiencia. El trabajo principal de este artículo es dar los argumentos que justifican las definiciones de Smale y presentamos las demostraciones completas de los teoremas y ejemplos que mencionamos. En nuestras demostraciones utilizamos argumentos de sistemas dinámicos, topología diferencial, cálculo superior y álgebra lineal. Este reporte técnico consiste de cinco secciones: I. Introducción: Presentamos los antecedentes históricos del problema de optimización de varias funciones de utilidad. Mencionamos brevemente los avances técnicos y conceptuales que se han desarrollado en la teoría de optimización de una función de utilidad y en la teoría de equilibrio general. También mencionamos el planteamiento del problema principal, i.e. la pregunta planteada a S. Smale por G. Debreu. Posteriormente discutimos la respuesta de Smale al planteamiento de Debreu, en la que la teoría de análisis global es la herramienta principal en la solución del problema de optimización de varias funciones de utilidad, más aún Smale tuvo que hacer cambios considerables en algunos conceptos clásicos de economía; por ejemplo la relación de orden en la función de utilidad y formalización en los axiomas de una economía de intercambio puro. II. Planteamiento: Esta sección es la parte fundamental en nuestro trabajo, porque exponemos las hipótesis necesarias en el problema de optimización de varias funciones de utilidad. Discutimos los elementos que asignan la topología del espacio euclideano de dimensión n, al espacio de Bienes, posteriormente la relación de preorden de la función de utilidad. Finalizamos esta sección con la definición de conjunto Pareto óptimo en un contexto más general. 9 10 III. Metodología: En esta parte del reporte mencionamos los teoremas de matemáticas que utilizamos para abordar el problema de optimización de varias funciones de utilidad y los axiomas de economía de intercambio puro. También damos una lista importante de referencias en donde se discuten generalidades de los teoremas que utilizamos. IV. Resultados: Esta sección es la aportación principal de nuestro reporte. Introducimos cuatro definiciones fundamentales en el estudio de optimización de varias funciones de utilidad en una economía de intercambio puro. El primero de estos conceptos es Cono Convexo que está definido en términos de función de utilidad; más precisamente, definimos el cono convexo como un subconjunto en el espacio tangente del espacio de bienes. Esta definición asegura los supuestos de una economía de intercambio puro. Curva que maximiza la utilidad, matemáticamente este es un argumento utilizado en topología diferencial que lo introducimos en el planteamiento del problema, porque es un argumento fuerte en la demostración de los teoremas principales. Además la curva que maximiza la utilidad aporta una idea sobre una trayectoria en el espacio de bienes que converge al punto óptimo y esta se puede entender como una negociación entre los distintos agentes que lleva al punto Pareto óptimo. El conjunto Pareto crítico, es una definición más general que el concepto utilizado en la teoría clásica y tiene los elementos necesarios para abordar el problema principal, presentemos dos resultados que caracterizan topológica y analíticamente a este conjunto que son importantes en la demostraciones de los teoremas que representamos, El Hessiano Generalizado es la última definición que introducimos, en realidad es un concepto utilizado en teoría de singularidades que se estudian con una generalización del concepto clásico y aplicado en variedades de dimensión alta, el hessiano generalizado los utilizamos para dar la condición análoga al criterio de la segunda derivada en cálculo elemental. Finalmente presentamos dos teoremas, Teorema de Condición Necesaria que es el análogo a encontrar el punto crítico para una función de una variable, solo que en este caso consideramos el conjunto Pareto crítico. Finalmente, enunciamos el Teorema de Suficiencia, que involucra al Hessiano generalizado. V. Conclusiones: Finalizamos este reporte enunciando solo tres resultados que consideramos relevantes. El primero que son los teoremas de condiciones necesarias y suficientes, que responden a la pregunta de Debreu y los otros dos son conceptos matemáticos que se introducimos para abordar el problema principal y pensamos que son de gran importancia en la teoría económica. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale D Abstract uring the years of 1973 to 1975, S. Smale published three papers, about the problem of “optimizing” a multi-objetive utility function u : W → Rm such that dim (W) = n ≥ m. the Smale paper’s (Smale, 1973) and (Smale, 1975) are only expository and with out formalization, he give a sketch of a sufficient condition for a multi-objective function be Pareto optimum, in the paper we show the complety proof and necessary definitions involve into the Smales theorems and examples. In our proof we use theorems of dynamical systems, differential topology and linear algebra. I. Introduction: We give the historical antecedents of optimization of several utility functions problem. We discuss briefly technical and conceptual progresses which have been developed into the theory of optimization utility function and theory of general equilibrium. Moreover we discuss the statement of the main problem, i.e. the question proposed to S. Smale by G. Debreu. After that we discuss the answer of Smale to the question of Debreu, where the global analysis theory is the principal mathematical tool in the solution of optimization of several utility functions, moreover Smale had made fundamental exchange into the classical concept in economy theory; like order relation in the utility function, and he introduces a more formal definition of a pure exchange economy. II. Approach: This section is fundamental part of our work, because we explain the necessary hypothesis of the optimization of several utility functions. We discuss the elements that give the topology of a n dimentional Eucliden Space to the commodity space, after that the pre-order relation into the utility function. We finished this section with the definition of Pareto optimum set in a more general sense. III. Methodology: In this part of the report we discuss the mathematical theorems which are used into the resolution of the optimization of several utility functions and axioms of the pure exchange economy. Also we give an important reference of principal book that attended the theorems of the subject we used in the main proof of our result. 11 12 IV. Results: This section is the main contribution in this report. We introduce four definitions which are fundamental in the study of optimization of several utility functions into a pure exchange economy. The first of them is convex cone which is defined in terms of the utility function; more precisely, we defined the convex cone like a subset in the tangent space of the commodity space. This definition assure the assumptions of a pure exchange economy. Curve that maximize the utility, mathematically this is an argument used in differential topology and we introduced into the approach of the main problem, because is a strong argument in the proof of the main theorems. Moreover, the curve that maximize the utility function introduces an idea of a path that converge into the optimum point in the commodity space and we may thought this curve as a trade that lead the Pareto optimum point to our agents whose are playing in this economy. The Pareto critical set, is a more general definition that the one used in the classical theory, our definition have the needs to deals with the main problem, we also prove two statements one is a topological characterization of this set and the other is an analytical characterization of set, both of them are very important in the proof of our theorems. The Generalized Hessian is the last definition we introduced, actually this is an framework in the theory of singularities which is studied like a generalization of the classical definition and is applied into high dimensional algebraic manifolds, but we used to give an analogous condition of the second derivative used in elemental calculus. Finally we introduce two theorems, Necessary conditions theorem which is the analogous to find a critical point for a one variable function, upto in this case we are concerning with the Pareti critical set. The last statement is the Sufficient condition theorem which involves the generalized Hessian. V. Conclusions: We finish this report putting forward the results we consider economically relevant. The first is the theorems of necessary and sufficient conditions, which are the answer to the Debreu’s question and the others are a mathematical concepts that we introduced to deal whit the main problem and we though those are very important in economic theory. Palabras clave Pareto óptimo, función multiobjetivo, funciones de utilidad. Usuarios potenciales Investigadores en las áreas de: Economía Matemática, Métodos cuantitativos de economía, Teoría de Equilibrio General, Matemáticas Aplicadas, Optimización; estudiantes de Economía con particular interés en modelos matemáticos aplicados en economía; estudiantes de físico-matemáticas interesados en aplicaciones. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale Reconocimientos Expresamos nuestros más profundo agradecimiento al comité organizador del XLIV Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana, y al Dr. Leobardo Plata coordinador de la sección Matemáticas Financiera, Economía Matemática y Administración de Riesgos, por habernos permitido espacio para presentar por vez primera en un foro de especialistas estos avances. También estamos en deuda con nuestras estudiantes: Erika Herminia Arredondo García y Maritza Rodríguez Gutiérrez, y nuestro muy apreciado amigo Enoch Montaño Raygoza, quienes valientemente aceptaron ayudarnos a darle el formato requerido por la Coordinación General de Investigación y Posgrado de la UACJ ya que nosotros elaboramos este trabajo con el editor de Texto Científico LaTex. 13 I. Introducción 1.1. Antecedentes El estudio de la optimización o eficiencia de los mercados, es un tema que se ha estudiado desde principio del siglo XX. El italiano Vilfredo Pareto cf. [Par09], fue el pionero en estudiar matemáticamente un escenario donde E es una economía y cada punto Pareto óptimo1 x0 ∈ W está asociado con el vector de precios P, de modo que x0 es un punto de equilibrio relativo a P, entonces el conjunto de precios adquiere importancia y permite encon­trar el conjunto Pareto óptimo aplicando teoremas elementales de cálculo diferencial en la función de utilidad u : W → R. Posterior a los trabajos de Pareto, en la década de 1940, Oskar Lange (Lange, 1942) y Maurice Allais (Allais, 1943) formalizaron las ideas de Pareto en un contexto más amplio; sin embargo, fue hasta la década de 1950 cuando Kenneth Arrow (Arrow, 1951) y Gerard Debreu (Debreu, 1951) observaron que este problema se puede resolver utilizando Análisis Convexo, y con esta teoría dieron una demostración más rigurosa, más gene­ ral y más simple que las primeras demostraciones de cálculo diferencial. Sin embargo, el análisis convexo introducido por Arrow y Debreu, se volvió un recurso básico en el estudio de equilibrio general, más precisamente el análisis convexo es un recurso indispensable en la teoría de optimización. 1.2. Planteamiento de Debreu En el verano de 1968, G. Debreu planteó a S. Smale el problema sobre la optimización de varias funciones de utilidad cf. (Debreu, 1993), (Smale, 1973) y (Smale, 1984). La idea de optimizar a la vez varias funciones de utilidad no se había con­ siderado hasta ese momento. El contexto matemático en el que se plantea el problema es bastante riguroso y nada trivial. Más precisamente, Debreu planteó a Smale el siguiente escenario. 15 16 Consideremos una economía formada por l distintos bienes y m agentes dotados cada uno de un conjunto P i de estos bienes, el índice i denota la dotación del agente i ésimo, con i = 1, 2,..., m; los bienes los intercambian entre ellos y así buscan obtener la mayor ganancia/satisfacción. Sea W =1Pi P2 ×···×Pm el conjunto de todos los bienes de esta economía. Si cada agente determina su preferencia con una función de utilidad ui : Pi → R, para cada i = 1,2,...,m. Asumiendo que la función de utilidad satisface las hipótesis de una economía de intercambio puro. ¿Es posible optimizar todas las funciones de utilidad de manera simultánea en el espacio W?, i.e. ¿hay alguna manera de obtener el punto Pareto que optimiza simultáneamente todas las funciones ui : W → Rm, con i = 1, 2,..., m 1.3. Respuesta de Smale Entre los años de 1973 a 1975, S. Smale publicó tres artículos (Smale, 1973), (Smale, 1975) y (Smale, 1975), con los que da respuesta a la pregunta planteada por G. Debreu. Los artículos de Smale están centrados en la teoría de Análisis Global, la aplicación de estos teoremas en el problema de Debreu llevó a definir en un lenguaje más formal algunos conceptos de la teoría económica como: función de utilidad, el conjunto Pareto óptimo y los axiomas de economía de intercambio puro. Una discusión más amplia sobre Análisis Global se puede consultar en (Smale, 1969). Una idea fundamental para introducir la teoría de análisis global a la teoría económica fue cambiar la relación de preferencia x x' en la fun­ción de utilidad por la < ∼ relación de pre-orden usual en R ui (x) ≤ui (x') para elementos x ∈ W. Con este planteamiento, las preferencias de los agentes son cuantificables en el campo de los números reales R. Más aún, la repre­sentación en R de la función de utilidad asigna una estructura topológica al espacio de bienes W, lo cual permite estudiar al espacio W y las funciones de utilidad desde la perspectiva de análisis global. De modo que la funciones de utilidad se pueden identificar como la función multi-objetivo u : W → Rm, con dim(W)= n ≥ m, donde la función u es el vector u= (u1, u2,...,um) con ui: W → R V. Pareto introdujo la idea de optimización de una función de utilidad, en el sentido de la preferencia del consumidor. Para conseguir esto utilizó una relación de preorden definida en el espacio de bienes W. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale E II. planteamiento n esta sección exponemos los elementos que intervienen en el problema de optimización de varias funciones de utilidad, esta exposición es en un lenguaje formal hacemos uso de elementos de cálculo superior, álgebra lineal, topología diferencial y microeconomía. 2.1. Espacio de bienes y función de utilidad Consideramos una economía donde existen ı número de bienes y que el mercado de cada uno de los bienes ha definido una unidad de medida específica para cada bien, de tal modo que cada bien es cuantificable y se corresponde con un número real. Estamos considerando únicamente los bie­nes que se poseen; es decir, sólo R1 consideramos montos positivos. Denotamos R1+:= {x∈Rx > 0} el ortante positivo de yP al espacio de bienes,2 por lo tanto, P se identifica con un subconjunto abierto de R1+, i.e. existe un mapeo ı : P→ R1+ que es una inclusión. La coordenada x ∈ P representa un conjunto de bienes3 que le pertenecen o desea obtener un consumidor entre los distintos ı bienes a escoger. Supongamos que existen m agentes, denotamos xi al conjunto de bienes que pertenecen al i-ésimo agente, de modo que xi∈ P para i = 1,2,... ,m denota la propiedad del i-ésimo agente. El estado real de la economía consi­derando los bienes de los m agentes, lo representamos con el punto x ∈ Pm; es decir, el estado de la economía toma en cuenta el producto cartesiano de los m espacios de bienes. En el modelo económico que planteamos supone­mos que los recursos son agotables y como éstos son cuantificables; podemos definir el siguiente espacio. Nos referimos como “espacio de bienes” lo que en lengua inglesa se le conoce como “commodity space”, esto es el conjunto de productos que el consumidor puede adquirir en la economía £, en nuestro estudio consideramos / distintos bienes. 3 En la lengua inglesa se le llama “bundle of commodities”. 2 17 18 Definición 1 Sea p ∈ P el total de recursos que los agentes pueden obtener, llamamos espacio de recursos alcanzables4 al conjunto m W= {x∈ pm | ∑ xi = p} donde x= (x1, x2...Xm), i-1 en este espacio intervienen los m agentes y representa el espacio total de posibilidades de consumo/elección. Observación 1 El espacio W denota el total de recursos que los distintos agentes desean obtener. Recordemos que W está identificado con Rm donde3 n = l · m; por lo tanto, podemos considerar a W una n variedad. Una pro­piedad de W como espacio topológico es que tiene cerradura compacta. El teorema de Heine-Borel muy básico en análisis matemático cf. (Apostol, 1983) dice que: en Rn los conjuntos compactos son cerrados y acotados. El significado económico de este teorema en el espacio W, es que: los bienes de cualquier agente pueden aumentar o disminuir en forma equitativa, hasta obtener o agotar la combinación de bienes deseada. Cada agente está dotado de una función con la cual representa su prefe­rencia en el espacio de bienes, recordemos que la preferencia es cuantificable; por lo tanto, la preferencia está representada con el pre-orden usual en R. Esto nos permite estudiar la preferencia de cada agente en términos de la siguiente función de utilidad. Definición 2 La preferencia del i-ésimo agente está definida por la función de utilidad ui : P → R donde ui (x') u (x) denota la preferencia absoluta de x' sobre x y ui (x') ≥i u (x) denota que el bien x' satisface igual o más que x. En la siguiente sección presentamos las hipótesis de contexto económico que estamos asumiendo en nuestro estudio. 2.2. Economía de intercambio Los resultados de optimización que presentamos asumen los supuestos de una economía de intercambio puro, en esta sección no vamos a discutir los elementos de una economía de intercambio, estos se pueden consultar en (Debreu, 1959), (Moore, 2007), 4 En la literatura de lengua inglesa se le llama “attainable space”. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale (Varian, 1978). Sólo mencionaremos las condiciones necesarias en una economía de intercambio, que son el contexto teórico de los teoremas que vamos a mencionar. Sea W el espacio de recursos alcanzables, asumimos que la función de utilidad u : W →R es al menos de clase C2. (1) Para c∈R+ definimos la superficie de inferencia u-1 (c) ⊂ W, este con­junto representa los distintos bienes que los agentes pueden obtener utilizando c∈ R. Sea g{x) el vector normal unitario orientado a la superficie de inferen­cia u-1 (c) en x, donde u(x) = c. Observemos que g(x) es el mapeo definido por g: W Sn-1 tal que g (x)= grad (u(x)) . || grad (u(x))|| El mapeo g(x) es un elemento importante en el estudio de la teoría de de­manda y preferencias del consumidor cf. (Debreu, 1972). La siguiente condición es una versión fuerte de diferenciabilidad, también conocido como monoticidad; cuyo significado en la teoría económica es la libre adquisición o “más bienes, es mayor satisfacción”, esto es g(x) ∈W ∩ Sn-1 = int(s-1) para cada x ∈ W. (2) ∂u(x) la notación int(S-1) significa que > 0 ∂xi para toda i = {1,2,...,n}. Denotamos g(x)⊥ al complemento ortogonal de g(x), y consideramos el mapeo lineal Dg(x) : Rn → g(x)⊥, g(x)⊥ se puede pensar como: • el espacio tangente T g(x) (S n-1), • o la hipersuperficie tangente a la superficie de indiferencia en x. La figura 1 representa la acción de estos mapeos. La restricción Dg (x): g(x)⊥ → g(x) es un mapeo lineal simétrico. La convexidad es una condición necesaria en la teoría de optimización, aquí presentamos una versión fuerte en términos de la diferenciabilidad de g{x) Dg (x): g(x)⊥ → g(x)⊥ tiene eigenvalores negativos. (3) La condición anterior es conocida en la literatura clásica como “diferencia­bilidad convexa” cuando se enuncia en términos del Hessiano o la segunda derivada, i.e. II. Planteamiento 19 20 D2u(x) : W → R, es una matriz definida negativa. (3) g(x) Tg(x) S n-1 g(x)⊥ W x u(x) = c Figura 1: Acción de g(x) y g(x)⊥ en W. La última condición en u es sobre la frontera de Rn+. La curva de inferencia u-1 (c) es cerrada en Rn para cada c. (4) Esta condición se puede interpretar de modo que cada agente desea mantener al menos poco en cada bien disponible en W cf. (Debreu, 1959), (Debreu, 1972) y (Smale, 1981). Definición 3 Una economía de intercambio puro consiste de lo siguiente: ɶɶ existen m agentes que son comerciantes y están asociados al mismo espacio de bienes W, ɶɶ el agente i para i = {1, 2,..., m} tiene una preferencia representada por la función de utilidad ui: P→R que satisfacen las condiciones (1) a (4). ɶɶ Además el i agente le pertenece una dotación ei∈P, de modo que en el sistema de precios p ∈ Rn+ el ingreso o bienestar del i agente es p · ei. Este modelo lo podemos interpretar como una economía donde cada agen­te busca negociar su dotación de productos, a partir de un vector de bienes con el cual busca “mejorar” o incluso “maximizar” su satisfacción (contrario a los modelos de restricción). 2.3. Modelo matemático El contexto teórico en el que planteamos el problema de optimizar a la vez varias funciones de utilidad es bastante riguroso teóricamente; pero la aplica­ción matemá- Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale tica resulta muy interesante ya que este planteamiento envuelve a varias teorías matemáticas. Por otra parte, el problema de optimización de varias funciones es de interés no solo en economía, también es interesante en otras áreas de las ciencias sociales como: elección racional, administración gerencial, comportamiento social, por mencionar algunas. En ingeniería es un problema de estudio la optimización de recursos; por lo tanto, aunque solo vamos a presentar el problema de optimización para varias funciones de utilidad (en contexto de teoría económica), los resultados que se presentan son generales y en lenguaje abstracto, de modo que se pueden adecuar al contexto de estudio que satisfaga las hipótesis de los teoremas. Enseguida presentamos el contexto general del planteamiento del problema. 2.4. El espacio W como una n variedad Hemos denotado por W al espacio de recursos alcanzables, existe un homeomorfismo h : W → U, donde U es un subconjunto abierto del ortante positivo de Rn. Por lo tanto, el homeomorfismo h induce la topología de Rn en W. Suponemos una economía de l bienes y m agentes que intervienen en ella, además cada agente cuenta con una dotación P de los l bienes, el producto cartesiano Pm = P×···×PP denota la colección de bienes que los m agentes poseen, por lo tanto existe una inclusión natural ı : W → Pm y los respectivos homeomorfismos ϕn : Pm →U y ϕ : P→ V, donde U y V son abiertos del ortante Rn y Rl respectivamente. Denotamos las proyeccio­nes canónicas πi : Pm → P que representa el espacio de bienes del i ésimo agente y pi : Rm → R que denota la preferencia del i ésimo agente. Por lo tanto, los mapeos de estudio son u{x) = ũ o h(x) y ui(x) = ũi o ˜�i o h(x), que actúan como en el diagrama (5). i Pm ϕn W h U ⊂ Rn+ u ũ Rm ˜i π πi P ϕ V ⊂ Rl+ pi ũi II. Planteamiento R 21 22 2.5. Función multi-objetivo y punto Pareto óptimo Por lo tanto, W es una n variedad y buscamos optimizar en el sentido de Pareto la función multi-objetivo u: W → Rm, donde m ≥ dim(W), con u al menos de tipo C2 (6) La función u(x) se puede descomponer como una función vectorial de modo ui: P → R donde u{x) = (u1 , u2 ,...,um)(x) con ui al menos de tipo C2 para toda i = 1, 2,..., m. Finalmente, se asume que u(x) satisface las propiedades (1) a (4) de la sección §2.2. El planteamiento anterior nos permite dar la siguiente definición. Definición 4 (Pareto óptimo) Diremos que el punto x ∈W es Pareto óptimo, si no existe un x' ∈ W tal que ui (x') ≥ ui (x) ≥ ui para todo 1 < i < m, y (x') > uj(x ) para algún j. Si existe una vecindad5 U(x) ⊂ W de x, donde x es Pareto óptimo, entonces llamaremos a x Pareto óptimo local. Estos conjuntos los denotaremos simplemente como PO y POL respectivamente. En una función multi objetivo como en la ecuación (6), el punto Pareto óptimo no es único, forma un conjunto que generalmente no es conexo y por lo tanto los supuestos de convexidad requeridos en la función de utilidad no4 siempre se satisfacen para las funciones multi-objetivo y consecuentemente, el conjunto Pareto óptimo tampoco las satisface. En general el conjunto PO es disconexo de dimensión menor que dim(W). 4 Abusando de la notación denotaremos U a un conjunto abierto y U(x) a una vecindad del punto x, en caso de que en el texto no haya ambigüedad denotaremos a la vecindad simplemente como Ux. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale III. Metodología El problema que estudiamos es un modelo matemático que responde a un problema de teoría económica; por lo tanto, abordamos el problema en lenguaje matemático y la metodología utilizada es la siguiente. 3.1. Supuestos de una economía de intercambio puro El problema es: optimizar a la vez varias funciones de utilidad planteadas en la ecuación 6, asumiendo los supuestos de una economía de intercambio puro expuestas en la sección §2.2. 3.2. Cálculo en variedades Un elemento importante para abordar el problema de optimización fue dotar de una topología de n variedad al espacio de bienes alcanzables, y de esta manera aplicamos a la función multi-objetivo un teorema de cálculo en variedades que mencionamos enseguida. Antes damos la definición de una variedad. Definición 5 (homeomorfismo) Sean X y Y dos subconjuntos, si el mapeo ϕ: X → Y es biyectivo con ϕ-1: Y → X continua, entonces lo llamamos homeomorfiso. Si dos conjuntos son homeomorfos significa que “son parecidos” geométri­camente. En un contexto más amplio significa que ambos conjuntos tienen las “mismas propiedades” o características que les identifica. 23 24 Definición 6 (n-variedad) Sea W un conjunto, consideramos una colec­ción {Vj} de subconjuntos abiertos tales que W ⊂UVj , llamamos n-variedad a W si existen homeomorfismos ϕ-1: Vj → Uj para todo i, con Rn ⊂ UUi⋅ Si W es una n-variedad significa que “localmente” el espacio W se puede “pensar” como el espacio Rn; más aún, significa que W adquiere de manera local las propiedades de Rn, por lo tanto podemos aplicar en W los teoremas que conocemos para Rn. El siguiente teorema es fundamental en los resultados que presentamos, la demostración de éste se puede consultar en (Spivak, 1965). Teorema Sea f : Rn → RP diferenciable y continua en un subconjunto abierto que contiene el punto x0 , donde p ≤ n. Si f(x0) = 0 y la matriz m×p (Di . fi (x0) tiene rango p entonces existe un conjunto abierto U ⊂ Rn y una función diferenciable h : U → Rn con inversa diferenciable tal que f o h ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (x n -( p+ i),...,x n ). 3.3. Topología diferencial En topología diferencial hay una versión más fuerte del teorema anterior y se ajusta mejor al planteamiento de nuestro problema, aquí hacemos mención del teorema y los detalles se pueden consultar en (Guillemin-Pollack, 2010). Teorema Si las funciones f1, f2,… fn definidas en X son independientes en cada punto donde se anulen, entonces el conjunto Z de ceros comunes es una subvariedad de X con dimensión igual a dim(X) — n. 3.4. Álgebra lineal En la definición del Hessiano Generalizado es fundamental el uso del primer teorema de isomorfismos, enseguida lo enunciamos y los detalles se pueden consultar en (Roman, 2005). Teorema Sean G y H espacios vectoriales, y ϕ: G → H un homomorfismo. Entonces: i) Ker(ϕ) es un subgrupo normal de G, Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale ii) la imagen de ϕ es un subgrupo de H, y iii) la imagen de ϕ es isomorfa al espacio cociente G/Ker(ϕ). VI. Resultados 4.1. Cono convexo En este trabajo asumiremos que W es una n variedad y consideramos la función de utilidad u : W → Rm, donde u = (u1, u2,...,um) y ui : W → R son funciones al menos de clase C2 para toda i = l,2,...m, y asumimos m ≤ dim(W). Sea Du(x) la derivada en el punto x ∈ W y el operador diferencial en x lo denotamos por Du(x) : Tx W → Rm. Definición 7 (cono) Sea V un espacio vectorial, subconjunto C ⊂ V es un cono, si es cerrado bajo multiplicación por un escalar no negativo; en otras palabras, C es un cono si λ x ∈ C para todo x λ C y todo λ ≥ 0. Más aún, si el cono C es cerrado bajo adición, i.e. x + y ∈ C para todo x , y ∈ C, entonces llamaremos cono convexo a C. La función de utilidad tiene codominio en el cono positivo Pos ⊂ Rm, i.e., denotamos Pos := {y ∈ Rm|yi > 0 para todo i = 1,2,..., m}. Definición 8 (cono convexo) 25 26 Para cada x G W definimos al conjunto Cx := {v ∈TxW| Du(x) ⋅ v ∈ Pos}, en otros términos Cx = Du(Pos)-1 para cada x ∈ W. Como el operador Du(x) es lineal y Cx es la preimagen del cono Pos, llamamos cono convexo correspondiente a x al conjunto Cx. Para caracterizar a Cx introducimos un concepto de Álgebra lineal. Definición 9 (hemi-espacio) En un espacio vectorial V de dimensión finita, decimos que el conjunto de vectores {v1 , v2 ,...,vn} ∈V pertenece al mismo hemi-espacio, si existe una aplicación lineal p : V →R tal que p(vi) > 0 para toda i; donde el hemi-espacio es p_1(0, ∞). Figura 5: Cono convexo en el espacio tangente TxiW Du(x) Pos x1 Tx1 W T W x2 x3 x 4 x5 x2 Tx3 W Tx4 W Rm Tx5 W Observación 2 Decir que existe v G TXW tal que Du(x) ⋅ v ∈ Pos, i.e. D ui (x)⋅ v> 0 para todo i, equivale a decir que el conjunto {Dui (x)} pertenece al mismo hemi-espacio del espacio cotangente Tx*W para todo i. El conjunto Cx puede ser vacío; por ejemplo si Du(x) = 0 para x ∈ W, entonces no existe v ∈ Tx W tal que Du(x) ⋅ v ∈ Pos. Por lo tanto, existe un mapeo implícito x → Cx que define un campo de conos6 en W, para cada x tal que Cx≠Ø.5 4.2. Curva que maximiza la utilidad Enseguida introducimos un objeto muy utilizado en geometría diferencial. 6 El campo de conos está definido de manera análoga a un campo vectorial sobre una variedad diferenciable. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale Definición 10 (Curva admisible). Sea ϕ : [0,1) → W una función inyectiva, llamamos curva admisible a ϕ si d ui (ϕ (t) >0 para todo t ∈[0,1) y toda 1 ≤ i ≤ m. dt Diremos que la curva admisible comienza en x y termina en x0 si ϕ(0) = x y limϕ(t) = x0 t→1 Observación 3 Una curva admisible define una trayectoria donde la función de utilidad es estrictamente creciente; esto también lo podemos describir en términos del cono convexo, diremos que la curva ϕ : [0,1) → W es admisible si el vector tangente a ϕ (t) se encuentra en el campo de conos correspon­diente a ϕ (t), i.e. ϕ'(t) ∈ Cϕ(t). El hecho de que ϕ (t) es inyectiva, excluye la posibilidad de que la curva tenga auto-intersecciones, i.e. ϕ (s) ≠ ϕ (t) para todo s,t ∈[0,1]. Podemos entender a una curva admisible como una “comercialización” en la que, iniciando con el bien x ∈ W se alcanza el bien x0 , el cual da una mayor utilidad que x; i.e., el límite limϕ(t) = x0 donde ϕ(0) = x, define una sucesión continua en la que el bien x converge al Pareto óptimo local x0, de modo que u(x0) > u(x) para todo x ∈ U(x0). Observación 4 Resulta obvio que si x0 es un punto Pareto óptimo de cual­quier naturaleza (óptimo u óptimo local), entonces no existe curva admisible que pase por x0, i.e. ϕ(t) ≠ x0 para todo t ∈ [0,1); más aún, la observación 3 permite expresar de manera natural esta propiedad en términos del cono convexo. Esta característica permite hacer un estudio infinitesimal del con­junto Pareto óptimo; de hecho Smale generaliza el conjunto Pareto óptimo de manera siguiente. 4.3. Conjunto Pareto crítico Definición 11 (Pareto crítico) Llamamos conjunto Pareto crítico al conjunto θ:= {x ∈ W | Cx = 0}. Observemos que existe una contención natural en los conjuntos Pareto que hemos definido. Si x ∈ PO, entonces no existe x' ∈ U(x) tal que uj (x') > uj (x) para algún j, por lo tanto x ∈ POL. VI. Resultados 27 28 Ahora, si x ∈ POL se tiene que no existe una curva admisible que pase por x y por lo tanto x ∈ θ. Esto muestra que PO ⊂ POL ⊂ θ Por otra parte, así como un punto x ∈ POL no necesariamente es Pareto óptimo, se sigue también que un x ∈ θ no es necesariamente un Pareto ópti­mo; por ejemplo, si u’i (x) = 0 para todo 1 ≤ i ≤ m, entonces x ∈ θ, i.e. θ contiene los puntos críticos de u y no todos los puntos críticos de u son puntos óptimos. Comenzamos caracterizando la topología del conjunto θ. Proposición 1 El conjunto θ es cerrado en W. Demostración Supongamos lo contrario, i.e. para todo x ∈ θ existe una vecindad U(x) ∈ W tal que U(x) ⊂ θ. Sea x0 ∈ U(x), en el caso de que ui(x0) ≥ ui (x0) para algún 1 ≤ i ≤ m, se sigue que ui(x0)=ui(x)para todo i, ya que x,x0 ∈ θ donde ui son funciones de utilidad no constantes. Sea ϕ : [0,1] → W una curva tal que (0) = x y ϕ(1) = x0. El teorema de Rolle sugiere que existe uní £ (0,1) tal que )) > 0; i.e. si ϕ(t) = xt y vt es el vector tangente en ϕ (t), por lo tanto Du(xt ) · vt ∈ Pos. De tal modo que existe CXt ≠ 0 para xt ∈ θ. Esto contradice la existencia de un abierto en θ para cualquier x ∈ θ. De la proposición anterior se sigue el siguiente resultado. Corolario 1 Si x ∈ θ entonces Im (Du(x)) ∩ Pos = 0. Para describir el conjunto θ consideremos los siguientes ejemplos. Análogamente a cálculo elemental, una condición necesaria para que x0 ∈W sea Pareto óptimo es que x0 ∈θ sea Pareto crítico. Como se ha mostrado en los ejemplos 4 y 5, el conjunto Pareto crítico θ es bastante grande y contiene puntos que no son necesariamente Pareto óptimo; por lo tanto, es necesario refinar o excluir de θ los puntos que no satisfacen la condición Pareto óptimo. Para lograr este propósito, Smale utiliza herramientas de sistemas dinámicos e introduce la noción de estabilidad de un punto para estudiar el comportamiento de las curvas admisibles en la vecindad de un punto Pareto crítico, una noción más amplia de estabilidad se puede consultar en (Smale, 1967). La idea es simple, una curva admisible es una trayectoria ϕ(t)∈W de puntos x=ϕ(t) que convergen a x0∈PO i.e. ϕ(t) → x0 para t → 1 con : x0 Pareto óptimo. Por otra parte, si existe una vecindad U(x0)∈W de x0∈θ que captura todas las curvas admisibles entonces x0 es PO. Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale Definición 12 (crítico estable) Decimos que x0 ∈θ es crítico estable si para cada vecindad U (x0)⊂ W de x0, existe una vecindad V(x0)⊂ U(x0) también de x0, tal que para cada curva admisible ϕ:[0,1) → W con ϕ(0) ∈ v(x0) se satisface ϕ(t) ∈ U(x0) para todo t ∈ [0,1); más aún ϕ(t) → PO cuando t → 1. Denotamos al conjunto crítico estable como θE· Resulta fácil observar que en el ejemplo 4 se tiene θ = θE y en el ejemplo 5 se tiene θE =θ +. Naturalmente el conjunto θE· tiene una gran importancia en el modelo económico, ya que θE· contiene al conjunto de puntos de acumulación de las curvas admisibles y esto representa el conjunto de bienes en donde la función de utilidad se máximiza. Observación 5. En el caso dim(W) = 1 se verifica que θ es el conjunto de puntos críticos de la función u : W→R, y el conjunto θE· corresponde a los puntos máximos locales de u. Se han mencionado una condición necesaria para que x ∈ W sea un punto Pareto óptimo. En la siguiente sección vamos a enunciar las condiciones necesarias y suficientes para que x sea Pareto óptimo. 4.4. Condición necesaria La idea para optimizar una función multiobjetivo es bastante simple pero nada trivial, la condición necesaria consiste en tomar el operador diferencial de primer orden para identificar el conjunto Pareto crítico y la condición de suficiencia es aplicar el operador diferencial de segundo orden para distinguir los puntos Pareto óptimos. En los siguientes teoremas vamos a considerar la función suave u : W →Rm, donde u = (u1, u2,...,um), con ui : W → R y W es una n variedad diferenciable con n ≥ m y para x ∈W. Teorema (Condición Necesaria) x∈θ si y sólo si i) el conjunto {D i(x) }m i=1 gente Tx*W· no pertenecen al mismo hemí-espacio del es­pacio cotan- ii) Existen λi para i = { 1 , 2 , . . . , m} no todos cero, tales que (7) m Σλ iD i(x)=0· i=1 Demostración La parte (i) del teorema resulta de la definición 8 y la obser­vación 2. En el caso (ii), por definición se tiene que x ∈θ si y sólo si x es punto crítico (en el sentido clásico) para más de una función de utilidad ui, por lo tanto existen λi≥ 0 (no todos cero) tales que VI. Resultados 29 30 Σ m λiDui =0. Por otra parte,de (i) se tiene que el conjunto {du (x)} m pertenece a diferentes i=1 i i=1 hemi-espacios del espacio cotangente, esto significa que grad (ui) apunta en diferentes direcciones para todo i, de modo que se pueden escoger λi ≥ 0 no todos cero, tales que satisfacen la condición (ii). Observación 6 La parte (ii) del teorema implica que el conjunto {Dui(x)} es linealmente dependiente y por lo tanto los vectores {Dui(x)} son opuestos entre sí. Una consecuencia inmediata del álgebra lineal es que Du(x) visto como una transformación lineal no es sobreyectiva. Observación 7 Como una métrica riemanniana es un forma bilineal del espacio tangente, por lo tanto para cualquier métrica riemanniana en W se tiene mmm Σ 〈grad (ui), v= Σ Dui (x).v= Σλi Dui (x), i=1 i=1 i=1 donde 〈,〉 es el producto interno inducido por la métrica Riemanniana, v∈ TxW con v = (λ1, λ2,...,λm). Esto da un sentido geométrico al teorema anterior, induciendo que el m conjunto {grad (ui)} i=1 apuntan en direcciones opuestas, los ejemplos 4 y 5 muestran que esto es cierto para dim(W) = 2 y (ii) del teorema anterior muestra que esto se satisface en general. 4.5. Hessiano generalizado El siguiente resultado hace referencia a la Segunda Derivada Intrínseca, esta es una herramienta de la teoría de singularidades introducida por I. Porteous y J. Mather (Porteous, 1971) y (Mather, 1971). Antes de introducir este con­cepto vamos a mencionar un corolario del Teorema de la Función Implícita (Spivak, 1984) Teorema. Sea u : W → Rm una función de tipo al menos Cl, donde dim(W) = n ≥ m para n ≥ 2, con rango de Du(x) : TxW → Rm igual a m. Entonces, existe una vecindad Ux -1 R⊂ W de x tal que Ux ∩ u (u(x) )es una subvariedad suave de W de codimensión m; i.e. -1 M = Ux ∩ u (u(x) ) tiene dimensión (n — m). Denotamos Kx al kernel del mapeo Du(x) : TxW → Rm, i.e. m Kx := ∩ ker {Dui (x): TxW → R} TxW· Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale i=1 31 Por otra parte, el primer teorema de isomorfismos c.f. (Roman, 2005) permite definir el siguiente mapeo D2u(x) : KX × Kx Rm / Im (Du(x))· Una condición importante en el teorema de suficiencia es cuando el rango de Du{x) es m — 1 (i.e. corank(Du(x)) = 1); por lo tanto, si x θ se sigue que lm(Du(x)) ∩ Pos = 0, y esto induce un rayo canónico positivo en el espacio Rm/lm(Du(x)); más aún, si el rango de Du(x) es m — 1, el Teorema de la Imagen Inversa (Guillemin; Pollack, 2010) sugiere que dim(Rm/ImDu(x)) = 1. De lo anterior queda definida una forma bilineal, que precisamos enseguida. Definición 13 (hessiano generalizado) Llamamos hessiano generali­zado a la forma bilineal simétrica inducida por (8) y que denotamos Hx : Kx ×Kx →R . 4.6. Condición suficiente Antes de enunciar el teorema de suficiencia denotamos la frontera del conjunto Pareto crítico por ∂θ = {x ∈θIm Du(x)∩{cl(Pos) / 0}≠ 0}, donde cl(Pos) denota la cerradura de Pos. Teorema (condición suficiente). Sea x ∈θ∉, x ∉∂θ y corank(Du(x)) = 1, entonces i) si el hessiano Hx es negativo definido, entonces x∈θE · ii) Sea Xi > 0, para i = 1 , 2 , . . . ,m como en el teorema de la condición necesaria; entonces (salvo escalar positivo) Σ Hx = m i=1 λiD2ui(x), en ker Du(x). La demostración de este teorema se encuentra en [Sma75b]. Observación 8 El hessiano generalizado o segunda derivada intrínseca como lo introducen inicialmente Porter y Mather (c.f. (Porter-Mather, 1971)) es un invariante diferencial; pero VI. Resultados 32 además nos proporciona información dinámi­ca, i.e. Hx describe el comportamiento atractor/repulsor que tiene la curva admisible en la vecindad de un punto crítico, estos conceptos se pueden con­sultar en (Smale, 1967). 4.7. Ejemplos de funciones multi-objetivo Ejemplo 4 Sea W = R2, consideremos ui: R2 →R donde ui (x, y) = —x2 —y2, y u2 (x, y) = — (x — x0)2 — y2, con x0 > 0. Se tiene que D ui (x, y) = grad(ui) = (—2x, — 2y) y Du2(x, y) = grad(u2) = (—2{x— x0 ), — 2y). Buscamos las parejas (x,y) ∈ R2 tales que C(x,y) = 0, por lo tanto Du1{x,y) ⋅ v = {—2x, —2y) ⋅ (v1,v2) = — 2x ⋅ v1 — 2y ⋅ v2, Du2{x, y) ⋅ v = (—2(x — x0 ), —2y) ⋅ (^1,^2) = —2{x —x0 ) · v1 — 2y ⋅ v2. Es decir, buscamos (x, y) ∈ R 2 que no pertenecen al mismo hemiplano para —2x ⋅ v1 — 2y ⋅ v2 > 0, —2{x — x0) ⋅ v1 — 2y ⋅ v2 > 0. Por lo tanto θ = { (x,y) ∈ R2 0 < x < x0, y y=0}. Figura 6: Gráfica de las funciones u1(x,y) y u2(x,y) donde x0 = 5 5 0 grad(u1) -5 grad(u2) -50 -100 5 0 5 10 Caracterización del conjunto Pareto óptimo en el sentido de Smale Observemos que los puntos 0, x0 ∈ θ son puntos críticos y puntos Pareto ópti­mo de u1 y u2 respectivamente, además grad(ui) son colineales pero apuntan en direcciones opuestas. Ejemplo 5 Consideremos la esfera unitaria de dimensión 2, i.e. S2 := {(x, y, z) ∈ R3| x2 + y2 + z2 = 1} y u : S2 →R2 la proyección (x,y,z) (x,y). Se sigue que grad(u) = (1,1), por lo tanto las ternas (x,y,z) ∈ S2 para las que no existe v ∈ T(x,y,z)S2 tal que grad(u) • v = v1 + v2 > 0, i.e > — 1, v1 v2 es el conjunto θ = {(x,y, z) ∈ S2 | z = 0, xy >0} = { θ+ ∪ θ- }, donde θ+ = {(x,y) ∈ S1|(x,y) > (0,0)} y θ- = {(x,y) ∈ S1|(x,y) < (0,0)} corresponden al primer y tercer cuadrante de R2 respectivamente. Observemos que θ+ es el conjunto Pareto óptimo; más aún si consideramos u = (u1,u2), donde u i es la proyección sobre su coordenada, entonces grad (ui) apunta en direcciones opuestas. Figura 7: Conjunto θ estable 0+ 0- grad (u2) VI. Resultados 33 V. conclusiones Los avances que presentamos responden al problema de optimización de varias funciones de utilidad, en donde los argumentos de demostración que presentamos son más simples que las ideas que plantea Smale en sus artículos. Además, de los resultados que hemos presentado es importante señalar los siguientes puntos que son que tienen relevancia en la teoría económica: ɶɶ Los teoremas de condición necesaria y condición suficiente son análo­gos a los teoremas de cálculo elemental, en el sentido que para f : R → Rn, la condición necesaria para que x0 sea Pareto óptimo es que f'(x0) = 0, que equivale a la ecuación 7. La condición suficiente es que f"(x0) < 0 que equivale a la condición (i) en el teorema de condición suficiente. ɶɶ La curva admisible cf. definición 10, induce una “trayectoria” donde los bienes forman una secesión que converge al punto Pareto óptimo. Esto se puede entender como la existencia de una “negociación” que lleva al Pareto óptimo dentro del espacio de elementos alcanzables. ɶɶ La definición de conjunto Pareto crítico cf. definición 11, es una ge­neralización de la definición clásica, es más interesante ya que además de la teoría de Cálculo en Variedades y Topología Diferencial, permite introducir la teoría de Sistemas Dinámicos que en las últimas décadas ha tenido importantes avances teóricos y si seguimos por esta línea de investigación podríamos incorporar algunos elementos de estabilidad estructural y esto aportaría predicciones más confiables en los modelos económicos. 35 Referencias M. Allais. A la recherche d'une discipline economique, volume 5. Imprimerie Nationale, 1943. Tom M. Apostol. Análisis Matemático. Addison-Wesley, 1983. K. J. Arrow. An extension of the basic theorems of classical welfare economics. In J. Neyman, editor, Proc. Second Berkeley Symp. on Math. 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