Productos Escalar y Vectorial - Matemáticas en el IES Valle del Oja

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o e s c a l a r d e d o s v e c t o r e s e s u n nú m e r o r e a l q u e r e s u l t a a l m u l t i p l i c a r
el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman si los vectores
s o n n o nu l o s y c e r o s i u n o d e l o s d o s ve c t o r e s e s n u l o .
0
 Como
si
o
so n n o nulo s
si
o
es el vector nulo
;
s o n n ú m er o s r e a l e s e l pr o d u c to e s c a l a r d e d os v e c t o r e s
e s u n n ú m er o r e a l qu e p u e d e s e r p o s i tiv o , n e g a t i v o o n u l o .
 E l p r o d u c t o e s c a l a r e s n u l o e n e l c a s o d e q u e l o s v e c t o r e s s e a n p e r p e n d i c ul a r e s
u o r t o g o n a l e s y a q ue e n t o n c e s
Interpretación geométrica del producto escalar
El valor absoluto del producto escalar de dos vectores no nulos es igual al
m ó d u l o d e u n o d e e ll o s p o r l a pr o y e c c i ó n d e l o tr o s ob r e é l .
En
la
figura
vectores
se
representan
dos
. A l pr o y ec t a r e l v e c t o r
s o b r e l a dir e c c i ó n d e l v e c t or
obtiene el vector
, se
cuyo módulo
c o i n c i d e c o n l a m ed i d a d e l s e g m e n t o
OA´.
Se cumple:
Teniendo en cuenta:
O A ´ = pr o y d e
sobre
=
Entonces
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Matemáticas II 1
Ejemplo
H a l l a r l a pr o y e c c i ó n d e l v e c t or
= ( 2 , 1) s ob r e e l v e c t o r
= (−3, 4).
Propiedades del producto escalar
1Conmutativa
2 Homogénea
3 Distributiva del producto escalar respecto de la suma en V 3
4 E l p r o d u c t o e s c a l a r d e u n v e c t o r no n u l o p o r s í m is m o s i e m p r e e s p o s i ti v o .
Algunas bases especiales
B as e n o r m a d a
u3
B as e o r t o g o n a l
u2
u3
Base ortonormal
u2
u3
u1
V e c t o r e s u n i t ar i o s
u1
Vectores ortogonales
u2
u1
Vectores unitarios
y ortogonales
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Matemáticas II 2
Expresión analítica del producto escalar
Sea
u n a b as e c ua l q u i er a d e l e s p a ci o
V3
y
d o s v e c t o r es
c u a l e s q u i er a . C o m o c a d a v e c t o r s e de s c o m p o n e d e m o d o ú n i c o e n f u n c i ó n d e l o s
v e c t o r e s d e l a b as e , s e t i e n e :
y
A p l i c a n d o l a s pr o p ie d a d e s d e l pr o du c t o e s c a l a r , r e s u l t a:
E s t a e x p r e si ó n s e si m p l i f i c a e n e l c as o d e qu e l a b as e s e a d e c i er t o s t i p os :

S i l a b a s e B e s n o rm a d a (v e c t o r e s u n it a r i o s)
ya que cos 0 = 1
ya que cos 90 = 0

S i l a b a s e B e s o r t o g o n a l ( v e c t o r e s pe r p e n d i c u l ar e s)
; cos 0 = 1

S i l a b a s e B e s o r t o n o r m a l ( v e c t o r e s u n i t a r i o s y p er p e n di c u l a r es )
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Matemáticas II 3
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES
E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o re s e s o t r o v e c t o r
o
1º Si
y
q u e s e d e si g n a p o r
y qu e s e o b t i e n e d e l s i gu i e n t e m o d o :
son dos vectores no nulos y no proporcionales
es un vector
de:
2º Si

M ó d u l o e s i g u a l a:

D i r e c c i ó n e s p e r p en d i c u l a r a l o s d o s ve c t o r e s

S e n t i d o ig u a l a l a v an c e d e u n s a c a c o r ch o s a l g ir ar d e
ó
ó
y
a
.
s o n p r o p o r ci o n a l e s s e ti e n e q u e
x
Interpretación geométrica del producto vectorial
G e o m é t r i c a m e n t e , e l m ó d u l o d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c t o r e s c o i n c id e
c o n e l á r e a d e l p a ra l e l o g r a m o q u e t i e ne p o r l a d o s a e s os v e c t o r e s .

El
área
del paralelogramo es el
producto de la base por la altura
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Matemáticas II 4
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa
2. Homogénea
3 . D i s t r ib u t iv a d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l r e s p e c t o d e l a s u m a d e v e c t o r e s
4 . E l p r o d u c t o v e c t o r i a l d e d o s v e c to r e s p a r a l e l o s e n i g u a l a l v e c t o r n u l o .

5. El producto vectorial
e s p e r p e n d ic u l a r a
y a
.
Expresión analítica del producto vectorial
Sea
u n a b as e or t o n o r m a l d e V 3 .
A p l i c a n d o l a d ef i n ic i ó n d e pr o d u c t o v ec t o r i a l
Siendo nulos
t o do s l o s p r o d u c t o s de u n v e c t o r
c o n s i g o m is m o
Sean
d o s v e c t o r e s c u a l e s qu i er a
y
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Matemáticas II 5
S u pr o du c t o v e c t o r i a l s er á :
Y s u s ti t u y e n d o l o s p r o d u c t o s e n t r e l o s v e c t or e s d e l a b as e s e l l e g a a:
E s t a e x p r e si ó n s e pu e d e e s cr ib ir c o m o e l si g ui e n t e d e t e r m i n a n t e d e or d e n 3
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Matemáticas II 6
Ejemplos
1.-
Calcular el producto vectorial de los vectores
2.- D a d o s
los vectores
y
= (1, 2, 3) y
, hallar el producto vectorial de
dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a
El producto vectorial de
3.- D a d o s
es ortogonal a los vectores
los vectores
que tiene por lados los vectores
y
y
= (−1, 1, 2).
y
y
.
.
, hallar el área del paralelogramo
·
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Matemáticas II 7
Área de un triángulo
Ejemplo
4.- D e t e r m i n a r
el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2,
−1, 5) y C(−3, 3, 1).
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Matemáticas II 8
PRODUCTO MIXTO DE TRES VECTORES
E l p r o d u c t o m i x t o d e tr e s v e c t o r e s l i b r e s d e l e s p a cio V 3 ,
número real que se designa por
es un
y qu e s e o b t i e n e d e l si g uie n t e m o d o :
Interpretación geométrica del producto mixto
C o n s i d e r e m o s l o s ve c t o r e s
de la
f i g ur a:
Como
es
paralelepípedo
la
c o n s t r ui d o
tres vectores y como
altura
del
sobre
lo s
e s e l ár e a
de la base resulta:
= Área de la base . h = V
El
valor
absoluto
del
producto
mixto
representa el volumen del paralelepípedo
cuyas
aristas
son
tres
vectores
que
concurren en un mismo vértice.
Expresión analítica del producto mixto
Sea
una
base
or t o n o r m a l
de
V 3,
,
y
t r e s v e c t o r es l i b r e s d e l e s p a c i o: a p li c a n d o l as e x pr e si o n e s a n a l í ti c a s
d e l p r o d u c t o v e c t o r i a l y d e l pr o d u ct o e s c a l a r , s e o b ti e n e n l a s d e l p r o du c t o
mixto:
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Matemáticas II 9
Propiedades del producto mixto
L a s p r o p i e d a d e s d e l p r o d u c t o m ix t o s e d e d u c e n d e l a s p r o p i e d ad e s d e l o s
determinantes
1.
2.
s i y s o l o si ,
3.
son linealmente dependientes
4.
5.
Ejemplos
1 . - C a l c u l ar e l p r o d u c t o m i x t o d e l o s v e c t o r e s :
2 . - H a l l a e l v o l u m en d e l p a r a l e l e p í p e d o f or m a d o p or l o s v e c t o r e s :
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Matemáticas II 10
Volumen de un tetraedro
El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor
absoluto.
3 .- O b t e n e r e l v o l um e n d e l t e t r a e d r o c u y o s v é r ti c e s s o n l o s p u n t o s
A ( 3 , 2 , 1 ) , B ( 1 , 2 , 4) , C ( 4 , 0 , 3) y D( 1 , 1 , 7 ) .
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Matemáticas II 11