Razones trigonométricas

"Unidad II"
Razones trigonométricas
Ing. Arnoldo Campillo Borrego.
1
ÍNDICE
Definición de funciones trigonométricas………………………….pag. 3
Conversión de ángulos……………………………………………..pag. 3
Conversión de grados a radianes…………………………………pag. 3
Conversión radianes a grados…………………………………….pag. 4
Razones trigonométricas…………………………………………..pag. 5
Razones trigonométricas complementarias……………………..pag. 8
Cálculo de razones trigonométricas………………………………pag. 8
Obtención de las razones trigonométricas
de los ángulos de 30°, 45° y 60°………………………………...pag. 10
Resolución de triángulos rectángulos utilizando
ángulo de elevación y de depresión………………………….…pag. 13
Ángulo de depresión…………………………………………..….pag. 13
Ángulo de elevación…………………………………………..….pag. 13
Bibliografía……………………………………………………..….pag. 14
2
1.2 definiciones.
Funciones trigonométricas.
Trigonometría es el área de las matemáticas que estudia los triángulos y las
relaciones entre sus elementos. Aunque aparentemente sólo estudia los triángulos
y las relaciones entre sus elementos, esta rama de las matemáticas nace de la
necesidad de solucionar varios problemas como el cálculo de áreas, distancias y
trayectorias, cuya solución se observó a partir de la resolución de triángulos.
Como ejemplos claros están: el tener métodos de navegación para no perderse y
seguir la mejor trayectoria, el cálculo del tiempo a partir del desarrollo de
calendarios, el conocimiento del Universo en cuanto a la posición y distancia de
los objetos celestes en, y general, toda la astronomía está fundamentada en esta
parte de las matemáticas.
Conversión de ángulos en grados a radianes y viceversa.
Un radián se define como la medida del arco sobre la circunferencia de radio 1
que mide exactamente lo mismo que la longitud del radio de la circunferencia, es
decir, 1; los radianes se miden directamente sobre la circunferencia.
Esto es lo que se utiliza para realizar las equivalencias, por lo tanto:
2 π radianes = 360°. Por lo cual: π radianes = 180°
Como sabes, el valor de π tiene un número infinito de decimales que no son
predecibles. Sin embargo, y por cuestiones prácticas se entenderá como valor
aproximado de esta constante: 3.1416
3
Por lo tanto para convertir grados a radianes sólo debes aplicar una simple regla
de tres. El número de grados se multiplica por el valor de π y se divide entre 180°.
Ejemplo: Convertir 45° a radianes.
Solución: Se realiza la siguiente operación:
45 x π = 45 x 3.1416 = 0.7854
180
180
Esto quiere decir que 45° = 0.7854 radianes.
Cabe hacer una aclaración, en algunas ocasiones que quiere ser más exacto, en
vez de usar 3.1416 se deja indicado el valor de en los radianes.
Por ejemplo, como lo viste anteriormente, 45° podría escribirse de la siguiente
manera: simplificando primero y obteniendo tercera a 45 y 180 se obtiene 15 y 60.
Como todavía pueden simplificarse, se les saca quinceava a 16 y 60 y sus
respectivos resultados son 1 y 4; el 1 no es necesario escribirlo, por eso queda
como se indica a continuación:
45 π = 15 π = π
180
180
4
Haciendo todas las simplificaciones 45° sería lo mismo que π rad.
4
Así como pueden convertirse grados a radianes, también pueden convertirse
radianes a grados de una manera muy similar.
Para hacer la conversión, la cantidad en radianes se multiplica por 180° y se divide
4
entre el valor de π.
Por ejemplo, si se quiere saber cuántos grados son 3.5 radianes, se hacen las
siguientes operaciones:
3.5 x 180 = 630 = 200.534
3.1416
3.1416
Que escrito en unidades es:
3.5 rad = 200.534° = 200° 32´ 2"
En la última expresión ya se convirtió a minutos y segundos.
1.3 Razones trigonométricas
Cuando dos triángulos rectángulos son semejantes como los que se presenta en
la imagen, significa que al dividir cualquier pareja de sus lados correspondientes
se obtiene un valor fijo, al que se le llama constante de proporcionalidad. En
términos de sus lados, lo anterior se representa así:
AB = CB = AC
AE
DE
AD
5
Al sustituir los valores respectivos de las medidas de los lados se obtiene:
5.5 = 3.63 = 6.6 = 2.75
2
1.32
2.4
Si tomas sólo una igualdad, haciendo operaciones simples, encontrarás otras
relaciones que van más allá de la semejanza de los triángulos.
5.5 = 3.63
2
1.32
Si cada denominador se pasa multiplicando hacia el otro lado, queda la siguiente
igualdad:
(5.5 x 1.32) = (2 x 3.63)
Comprueba la relación anterior.
Y también al pasar dividiendo, la siguiente igualdad se mantiene.
5.5 = 2 = 1.5151
3.63
1.32
Esta última relación es la división entre dos lados del mismo triángulo, si lo
escribimos en términos del nombre de los lados, la expresión queda:
AB = AE = cateto grande
CB
DE
cateto chico
Esas relaciones son denominadas como razones trigonométricas.
En el ejemplo anterior, para diferenciar a los catetos se les denominó cateto
grande y cateto chico, pero podría ocurrir que ambos fueran iguales.
Entonces, una forma de diferenciar los catetos es señalándolos con respecto a
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uno de los ángulos fijos.
Ahora fija el ángulo agudo al cateto que está enfrente de él y denomínalo cateto
opuesto y al que está al lado de α llámale cateto adyacente.
Los catetos quedarían de la siguiente manera:
Por otro lado, si se toma el mismo triángulo, pero ahora se toma como referencia
el ángulo β, cambiarán los lugares del cateto opuesto y del adyacente, porque el
cateto opuesto será aquel que se encuentra al lado del ángulo β y el cateto
adyacente el que se encuentra al lado del ángulo.
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Si observas, el triángulo es el mismo, pero a cuál se le llama cateto opuesto y a
cuál cateto adyacente, dependerá del ángulo de referencia que se tome. Los
ángulos de referencia siempre serán los agudos, y el lado que se encuentra en
frente del ángulo recto siempre será la hipotenusa.
Como cada pareja de lados de un triángulo rectángulo puede dividirse y el orden
es importante, si se toma uno de los ángulos agudos fijo existen seis divisiones
posibles, cada una de las cuales tiene un nombre particular. En general se les
denomina como razones trigonométricas de un ángulo.
A partir del siguiente triángulo y el ángulo de referencia α, se definen de la
siguiente manera:
Seno de alfa es: sen α = cateto opuesto
hipotenusa
Coseno de alfa es: cos α = cateto adyacente
hipotenusa
Tangente de alfa es: tan α = cateto opuesto
cateto adyacente
Cotangente de alfa es: cot α =
Secante de alfa es: sec α =
hipotenusa
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
Cosecante de alfa es: csc α =
hipotenusa
cateto opuesto
2.3 Razones trigonométricas complementarias.
Si observas las razones trigonométricas. te darás cuenta que teniendo sólo las
tres primeras seno, coseno y tangente, denominadas como básicas, las demás
pueden calcularse de manera muy sencilla a partir de ellas. En lenguaje
matemático:
cot α = cateto adyacente = 1 =
1
cateto opuesto
tan
cateto opuesto / cateto adyacente
Asi mismo, puede aplicarse para secante y cosecante:
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sec
csc
=
hipotenusa
= 1 =
1
cateto adyacente
cos
cateto adyacente / hipotenusa
=
hipotenusa
= 1 =
1
cateto opuesto
sen
cateto opuesto / hipotenusa
Cálculo de razones trigonométricas.
De esta manera puede observarse que:
 La razón trigonométrica recíproca de seno es cosecante.
 La razón trigonométrica recíproca de coseno es secante.
 La razón trigonométrica recíproca de tangente es cotangente.
Por lo tanto:
 La razón trigonométrica recíproca de cosecante es seno.
 La razón trigonométrica recíproca de secante es coseno.
 La razón trigonométrica recíproca de cotangente es tangente.
Al conocer el valor de las tres razones trigonométricas básicas, podrás calcular las
recíprocas a partir de ellas.
Si conoces cuánto vale alguna de las funciones trigonométricas con respecto a un
ángulo podrás identificar cuánto vale el ángulo.
Para lograrlo, se utilizan funciones trigonométricas inversas que no debes
confundir con las recíprocas.
Estas funciones son conocidas como arco seno, arco coseno y arco tangente.
En una calculadora científica comparten botón con seno, coseno y tangente, por lo
que hay que emplear la segunda función (2df, o shift o inv), y aparecen como sen1, cos-1 y tan-1.
En la siguiente página de internet encontrarás una calculadora científica en la que
puedes usar en forma directa los modos deg para grados y rad para radianes.
Además podrás calcular funciones trigonométricas inversas con las funciones
asin, acos y atan.
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www.ayudadigital.com/Documentos-formularios/calculadora_cientifica.htm
2.5 Obtención de las razones trigonométricas de los ángulos de
30°, 45° y 60°
Para obtener los valores de las funciones trigonométricas sobre ángulos de 30°,
45° y 60° las calculadoras dan un valor aproximado, esto debido a los números
irracionales.
Un número irracional es todo tipo de número que no se puede escribir como una
fracción y que tiene expansión decimal infinita e impredecible.
Por ejemplo, si trazas un rectángulo donde uno de sus lados mida 2 unidades y
otro de sus lados 1 unidad, y después trazas su diagonal, usando el teorema de
Pitágoras puede verse que la diagonal mide:
Diagonal = √12 + 22 = √1 + 4 = √ 5
Y la raíz de 5 no es exacta, de hecho es infinita.
A pesar de que aritméticamente no es posible encontrar todos los decimales,
geométricamente se tiene un segmento que mide exactamente √5, la siguiente
imagen la distancia es √5 entre los dos puntos verdes, que es algo más que 2.
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El siguiente triángulo es semejante a los triángulos formados al dividir el cuadrado
de lado 1 por una de sus diagonales.
Aplicando el Teorema de Pitágoras encontramos la hipotenusa en términos de a.
√12 + 12 =
√1 + 1 =
2
Con los valores de los lados del triángulo anterior, calcula las funciones
trigonométricas de 45°. Como ambos ángulos son iguales, es indistinto cual tomes
como referencia para elegir el cateto opuesto y el adyacente.
sen 45° = cateto opuesto = a = 1
hipotenusa
a √2 √2
cos 45° = cateto adyacente = a = 1
hipotenusa
a √2 √2
tan 45° = cateto opuesto = a = 1 = 1
cateto adyacente
a
1
cot 45° = cateto adyacente = a = 1 = 1
cateto opuesto
a
1
11
sec 45° =
hipotenusa
= a √2 = √2 = √2
cateto adyacente
a
1
csc 45° =
hipotenusa = a √2 = √2 = √2
cateto opuesto
a
1
Calculemos las funciones trigonométricas tanto para el ángulo de 30°, como para
el ángulo de 60°.
Para encontrar el otro cateto aplicamos el Teorema de Pitágoras y nos da como
resultado z√3/4
sen 30° = cateto opuesto = z / 2 = z = 1
hipotenusa
z
2z 2
cos 30° = cateto adyacente = z√3/4 = √3/4
hipotenusa
z
tan 30° = cateto opuesto = z / 2 = z
= 1
cateto adyacente z√3/4 2z√3/4 2√3/4
cot 30° = cateto adyacente =z√3/4 = 2√3/4
cateto opuesto z / 2
sec 30° =
hipotenusa = z = 1
cateto adyacente z√3/4 √3/4
csc 30° =
hipotenusa = z = 2z = 2
cateto opuesto z / 2 z
sen 60° = cateto opuesto = z √3/4 = √3/4
hipotenusa
z
cos 60° = cateto adyacente = z / 2 = z = 1
hipotenusa
z 2z 2
tan 60° = cateto opuesto = z √3/4 = 2z √3/4 = 2 √3/4
cateto adyacente z / 2
z
cot 60° = cateto adyacente = z / 2 = z
= 1
cateto opuesto
2 √3/4 2z√3/4 2√ 3/4
sec 60° =
hipotenusa = z = 1
cateto adyacente z / 2 z
csc 60° =12 hipotenusa = z = 1
cateto opuesto
2√3/4 √3/4
2.6 Resolución de triángulos rectángulos utilizando ángulo de
elevación y de depresión.
Ángulo de depresión.
Ángulo formado por la horizontal y la línea imaginaria entre el observador y el
objeto. Cuando éste mira hacia abajo.
Ángulo de elevación.
Ángulo formado por la horizontal y la línea imaginaria entre el observador y el
objeto, cuando este mira hacia arriba.
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Tanto en el ángulo de elevación como en el de depresión, se aplican las mismas
funciones trigonométricas para encontrar el valor buscado, sea el ángulo o un
lado, el nombre que se le da a cada ángulo se debe simplemente a la apreciación
que tenga el observador con respecto al objeto, esto es, si se encuentra el
observador viendo hacia arriba o hacia abajo, básicamente los nombres se
emplean dependiendo del evento en cuestión, si se tratara del lanzamiento de un
misil o la altura de un edificio, estando en tierra, hablaríamos de un ángulo de
elevación en cambio si queremos calcular la distancia entre la tierra y el sol,
tomando como referencia la sombra proyectada por el mismo sol en un objeto,
diríamos que se trata de un ángulo de depresión.
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BIBLIOGRAFÍA
Geometría y trigonometría
Baldor
Matemáticas 2
Progreso Editorial
Matemáticas 2
Fernández Editores
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