Condición necesaria para la existencia de primitiva

Condición necesaria para la existencia de primitiva
• En “La derivada como lı́mite de derivadas” (T. IV) se demostró lo siguiente:
Sea f : I → R, definida en I = [a, a + δ) (respect. I = (a − δ, a]).
¡
¢
Si f es continua en I, derivable en I \ {a} y tal que ∃ lı́m+ f 0 (x) resp. lı́m− f 0 (x) ,
x→a
entonces f es derivable en a+ (respect. a− ) y se cumple
³
´
f 0 (a+ ) = lı́m+ f 0 (x) respect. f 0 (a− ) = lı́m− f 0 (x)
x→a
x→a
x→a
• Si f es derivable en I, entonces ∃f 0 (x0 ) ∀x0 ∈ I. En este caso existen dos opciones:
- ∀x0 ∈ I existen los lı́mites laterales de f 0 (x), que deben coincidir con f 0 (x0 )
por el teorema anterior, y la función f 0 es continua en I.
- En algún punto de I no existe alguno de los lı́mites laterales, con lo que f 0
tiene en dicho punto una discontinuidad de 2a especie.
• Ası́ pues, si una función es derivable, su derivada puede ser discontinua en algún
punto, porque no exista algún lı́mite lateral; pero no puede tener discontinuidades
de salto (lı́mites laterales distintos). Dicho de otro modo, si una función tiene
una discontinuidad de salto en un punto a ∈ I, no tiene primitiva en I.
(
1 , x 6= 0
x2 sen x
• Ejemplo 1: Sea la función f (x) =
0,
x = 0.
1 − cos 1 , ∀x 6= 0 y f 0 (0) = 0.
Calculando la derivada, obtenemos f 0 (x) = 2x sen x
x
µ
¶
1
0
0
Esta función f no es continua en el origen, pues: lı́m f (x) = lı́m − cos
. Sin
x→0
x→0
x
embargo tiene primitiva (f ), que es continua y derivable en el origen.


0≤x<1
0,
• Ejemplo 2: Puede comprobarse que la función F (x) = x − 1,
1≤x<2


2x − 3,
2≤x<3
es continua y es primitiva de y = E(x) en los intervalos (0,1),(1,2) y (2,3). Pero
no es derivable en los puntos de discontinuidad de E(x).