un sólo archivo

1.- Primitiva de una función (28.01.2015)
1.1. Definición. Sea f : I → R. Se dice que F : I → R es una primitiva de f si F
es derivable y F 0 = f en I. En ese caso escribimos
Z
F (x) = f (x)dx
Si F es una primitiva de f en I, entonces f admite como primitivas a las funciones
F + K, ∀K ∈ R, y sólo a ellas. En efecto:
a) Si F es primitiva de f, (F + K)0 = F 0 = f .
b) Si G0 = f , entonces (G − F )0 = G0 − F 0 = 0 =⇒ G − F = K =⇒ G = F + K.
1.2. Condición necesaria para la existencia de primitiva.
• En “La derivada como lı́mite de derivadas” (CI1, tema IV) se demostró lo siguiente:
Sea f : I → R, definida en I = [a, a + δ). Si f es continua en I, derivable en I \ {a}
y ∃ lı́m+ f 0 (x), entonces f es derivable en a+ y se cumple: f 0 (a+ ) = lı́m+ f 0 (x)
x→a
(análogamente para el caso correspondiente con a− ).
x→a
Esta es una condición suficiente. Si existe lı́mite, f es derivable. Pero puede ocurrir
que no exista lı́mite y f sea derivable.
0 −
0
• Sea f derivable en I. Entonces ∃f 0 (x0 ) ∀x0 ∈ I, luego ∃f 0 (x+
0 ) = f (x0 ) = f (x0 ).
En este caso existen dos opciones:
- ∀x0 ∈ I existen los lı́mites laterales de f 0 (x), que deben coincidir con f 0 (x0 )
por el teorema anterior, y la función f 0 es continua en I.
- En algún punto de I no existe alguno de los lı́mites laterales, con lo que f 0
tiene en dicho punto una discontinuidad de 2a especie.
• Ası́ pues, si una función es derivable, su derivada puede ser discontinua en algún
punto, porque no exista algún lı́mite lateral; pero no puede tener discontinuidades de salto (lı́mites laterales distintos). Por lo tanto, que una función sea
discontinua no impide que tenga primitiva, pero si f tiene una discontinuidad
de salto en un punto a ∈ I, no tiene primitiva en I.
(
1 , x 6= 0
x2 sen x
• Ejemplo 1: Sea la función f (x) =
0,
x = 0.
1 − cos 1 , ∀x 6= 0 y f 0 (0) = 0.
Calculando la derivada, obtenemos f 0 (x) = 2x sen x
x 1
0
0
Esta función f no es continua en x = 0, pues: lı́m f (x) = lı́m − cos
.
x→0
x→0
x
A pesar de ello, tiene primitiva (f ), continua y derivable en todo R.


0≤x<1
0,
• Ejemplo 2: Compruébese que la función continua F (x) = x − 1,
1≤x<2


2x − 3,
2≤x<3
es primitiva de y = E(x) en los intervalos (0,1),(1,2) y (2,3). Sin embargo, F no
es derivable en los puntos de discontinuidad de E(x).
Condiciones suficientes de integrabilidad
a) Toda función monótona en [a, b] es integrable en [a, b].
Supongamos que f es monótona creciente y f (b) > f (a) (si f (b) = f (a) la función
es constante y la demostración de su integrabilidad resulta trivial). Entonces, en
cada subintervalo [xi−1 , xi ],
mi = inf f (x) = f (xi−1 ),
Mi = sup f (x) = f (xi ).
Elegido ε > 0, tomamos una partición / 4xi <
S(P ) − s(P ) =
n
X
i=1
ε
, con lo que
f (b) − f (a)
n
X
ε
(Mi − mi ) 4xi <
(Mi − mi ) =
f (b) − f (a) i=1
ε
[f (xn ) − f (xn−1 ) + f (xn−1 ) − f (xn−2 ) + · · · + f (x1 ) − f (x0 )] = ε.
f (b) − f (a)
con lo que se cumple la condición de integrabilidad.
b) Toda función continua en [a, b] es integrable en [a, b].
Si f es continua en [a, b], será uniformemente continua en [a, b], por lo que dado
un ε > 0 cualquiera, existirá un δ tal que, para x, x0 ∈ [a, b] se cumple
|x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − f (x0 )| <
ε
.
b−a
(1)
Sea P (x0 , x1 , . . . , xn ) una partición de [a, b] / 4xi < δ. Como f es continua, en
cada intervalo [xi−1 , xi ] alcanzará valores máximo y mı́nimo, es decir mi = f (x0i )
y Mi = f (x00i ) para ciertos x0i , x00i de [xi−1 , xi ].
Entonces, al ser xi − xi−1 = 4xi < δ, será x0i − x00i < δ; luego, debido a (1),
Mi − mi = |Mi − mi | = |f (x00i ) − f (x0i )| <
ε
.
b−a
Por tanto, para la partición P ,
S(P ) − s(P ) =
n
X
i=1
n
ε X
ε
(Mi − mi ) 4xi <
4xi =
(b − a) = ε,
b − a i=1
b−a
con lo que se cumple la condición de integrabilidad.
c) Toda función continua a trozos en [a, b] es integrable en [a, b].
Se dice que f es continua a trozos si tiene un número finito de puntos de discontinuidad, en ellos existen los lı́mites laterales y son finitos. La demostración puede
verse en J. Burgos, 296.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Test de Autoevaluación
Tema I. Integración
(6 minutos)
Nota: Se marcarán con V las afirmaciones que se consideren correctas y con F
las consideradas falsas. Se puntuarán con +1 los aciertos, –1 los fallos y 0 las
respuestas en blanco.
• 1.- Una función discontinua en I = [a, b] puede tener primitiva en I. La primitiva debe
ser continua.
• 2.- Si la función f : I → IR tiene una discontinuidad de salto en el punto a ∈ I, f no
tiene primitiva en I. Es decir, 6 ∃F : I → IR / F 0 = f en I.
• 3.-
Una función es integrable en I = [a, b] si y sólo si es continua.
• 4.- Si f y g son integrables en I = [a, b], y se cumple f (x) ≤ g(x), ∀x ∈ I, entonces
Z b
Z b
g(x)dx.
f (x)dx ≤
a
a
• 5.-
Si f es continua en I = [a, b], su función integral F es primitiva de f en I.
• 6.-
La Regla de Barrow puede aplicarse a la función Parte Entera de x.
Nota (sobre 6):
.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Tema I. Integración
Test de Autoevaluación
(6 minutos)
SOLUCIONES
• 1.- V. Una función discontinua en I = [a, b] puede tener primitiva en I, siempre que la
discontinuidad no sea de salto (ver apdo. 1.2, Condición necesaria para la existencia de
primitiva). Pero si una función tiene primitiva, ésta será derivable; luego será también
continua.
• 2.- V. La derivada de una función puede ser discontinua, siempre que la discontinuidad
no sea de salto. Entonces, si f tiene una discontinuidad de salto, no puede ser la derivada
de otra función, luego no tendrá primitiva (ver apdo. 1.2, Condición necesaria para la
existencia de primitiva).
• 3.- F. Si es continua, es integrable; pero no viceversa. Por ejemplo, la función Parte
Decimal y = x − E(x) es discontinua en los puntos correspondientes a valores enteros de
x. Y es integrable entre a y b, ∀a, b ∈ IR.
• 4.- V. La integración de funciones conserva el orden (ver apdo. 2.4, Propiedades de la
Integral de Riemann)
• 5.- V. Es lo que afirma el primer Teorema Fundamental del Cálculo (apdo. 4).
• 6.- F. La Regla de Barrow se aplica a funciones continuas.
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Cuestión de autoevaluación
Tema I. Integración
(5 minutos)
Cuestión.
Hemos obtenido el concepto de integral definida para funciones acotadas en un intervalo
compacto. ¿Cómo procedemos para estudiar la integral de una función en un intervalo no
acotado? Aplı́calo a la integral impropia
Z 0
−∞
ex dx
CÁLCULO INFINITESIMAL 2
Solución a la cuestión
Tema I. Integración
(5 minutos)
Cuestión.
Hemos obtenido el concepto de integral definida para funciones acotadas en un intervalo
compacto. ¿Cómo procedemos para estudiar la integral de una función en un intervalo no
acotado? Aplı́calo a la integral impropia
Z 0
ex dx
−∞
Solución.
En estos casos obtenemos la integral definida en un intervalo genérico [m, n] y calculamos
el lı́mite de dicha expresión cuando el o los extremos tienden a los valores no acotados. Si
existe lı́mite finito, la integral impropia es convergente.
Z 0
−∞
ex dx
Z 0
=
lı́m
m→−∞ m
ex dx
=
lı́m
m→−∞
e0
− em
=1−
lı́m em = 1
m→−∞