Investigación de Operaciones El Método Gráfico El método gráfico asocia una variable a cada eje coordenado, por esta razón solo se emplea en problemas de dos y tres variables. Los pasos básicos del método son: 1. Representación geométrica de las restricciones estructurales y las condiciones técnicas 2. Representación geométrica de la función objetivo. 3. Identificación geométrica de la solución óptima. Ejemplo: Supóngase que se desean fabricar dos tipos diferentes de artículos los cuales necesitan de tres procesos. El tiempo que se lleva cada proceso en cada producto, la capacidad productiva con la que se cuenta y la utilidad unitaria de cada artículo se resumen en la siguiente tabla: Departamento (Operación) Cortado Troquelado Esmaltado Utilidad ($/u) Índice de producción (hrs/u) Artículo 1 Artículo 2 10 5 4 10 20 5 2 15 Capacidad productiva hrs/período 4,000 1,500 800 ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 1 Investigación de Operaciones Solución: 1.-Para resolver este problema lo primero que se tiene que hacer es plantearlo correctamente. Sean X1 = Unidades a fabricar del artículo 1 por período. X2 = Unidades a fabricar del artículo 2 por período. Entonces el problema puede formularse como: maximizar X0 = 10 X1 + 15 X2 sujeta a: 10 X1 + 20 X2 5 X1 + 5 X2 4 X1 + 2 X2 X1, X2 4000 1500 800 (1) (2) (3) 0 (4) 2. Una vez planteado matemáticamente el problema, se grafican cada una de las restricciones junto con las condiciones de no negatividad. Para graficar las restricciones es necesario primero considerar sólo el signo de igualdad y posteriormente la desigualdad estricta, para así encontrar la región que represente la restricción. Así por ejemplo: 10 X1 + 20 X2 4000 X1 + 2 X2 X1 + 2 X2 = 400 X1 400 0 400 X1 = 400 - 2 X2 X2 0 200 Los puntos encontrados son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados. Así, uniéndolos se tiene la recta buscada. ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 2 Investigación de Operaciones Para encontrar la región correspondiente al signo de desigualdad absoluta, se sustituye el (0,0) en la desigualdad, y si la satisface, entonces la región solución será aquella que contenga al (0,0). En caso contrario, será la región que no lo contenga. X2 (unidades) 500 400 300 10x1 + 20x2 ≤ 4,000 200 100 X1 (unidades) 0 500 400 300 200 100 100 -200 -100 1 -200 Representación geométrica de la primera restricción del problema ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 3 Investigación de Operaciones X2 (unidades) 500 400 300 5X1 + 5X2 ≤ 1,500 200 100 X1 (unidades) 0 500 400 300 200 100 100 -200 -100 2 -200 Representación geométrica de la segunda restricción ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 4 Investigación de Operaciones Representación geométrica de la tercera restricción del problema ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 5 Investigación de Operaciones Conjunto de soluciones factibles para el problema 3.- Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible para encontrar el punto en el que ésta sea óptima. Los vértices de la región factible son: A (0,0) ; B (200,0) ; C ( ? , ? ); D (0, 200) Es decir, se desconocen las coordenadas del punto C, pero éstas se pueden encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las rectas (1) y (3). ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 6 Investigación de Operaciones 10 X1 + 20 X2 4000 (1) X1 + 2 X2 = 400 -2 X1 - 4 X2 = - 800 + 4 X1 + 2 X2 800 (3) 2X1 + X2 = 400 2X1 + X2 = 400 -3 X2 = - 400 X2 = 400 3 Por otra parte de la ecuación (1) se tiene: X1 = 400 - 2 X2 X1 = 400 - 2 X1 = 400 400 , Luego entonces las coordenadas del punto C son 3 3 400 3 y evaluando la función objetivo en todos los puntos: X0 = 10 X1 + 15 X2 X0 (0, 0) = 10 (0) + 15 (0) X0 (200, 0) = 10 (200) + 15 (0) X0(0, 200) = 10 (0) = 0 = 2 000 + 15 (200) = 3 000 400 400 10000 400 400 , X0 = 10 + 15 = 3 3 3 3 3 3 333.33 * Así, la solución óptima es X0 = 3 333.33 en el punto ____________________________________________________________________________________ Diana Cobos 7