Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DIFERENCIALES Definiciones Básicas. Es aquella ecuación diferenciales. que contiene derivadas o • Ecuación diferencial: • Orden en una En una ecuación diferencial es el de la derivada más alta contenida en ella. ecuación diferencial: • Grado de una En una ecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial: ecuación diferencial este dada en forma polinomial Clasificación de las ecuaciones diferenciales. Tipo Grado Ordinarias La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Parciales La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de 1 o mas variables dependientes, respecto a 2 o mas variables independientes. Lineales La variable dependiente Y y todas sus derivadas son de primer grado. Cada coeficiente de Y y sus derivadas depende solamente de la variable independiente X (puede ser constante). No lineales Las que no cumplen las propiedades anteriores 1 Ecuaciones Diferenciales Solución General Es la función que contiene una o más constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas integraciones). Particular Es la función cuyas constantes arbitrarias toman un valor específico. Ejemplo 1. Comprobar que la función ecuación diferencial x y = e 2 (1) 2 y ' + y = 0 (2) es solución particular de la siguiente Solución Se deriva a la función (1) en una primera ocasión para obtener la primera derivada, como se muestra a continuación: x d x 2 2 y = e * dx x 1 y = e 2 2 1 x y = e 2 ......(3) 2 Sustituyendo (1) y (3), en (2) tenemos: 2 y ' + y = 0......(2) 1 x x 2 e 2 + e 2 = 0 2 x e 2 +e 0+0 = 0 0=0 x 2 =0 La función (1) es solución de la ecuación diferencial (2) dada. 2 Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias de 1er orden Definición. La ecuación diferencial de variables separables es de la forma siguiente: f(x)dx+g(x)dy=0 donde cada diferencial tiene como coeficiente una función de su propia variable, o una constante. Si una ecuación diferencial ordinaria es de la forma: dy = f (ax + by + c ) b0 dx entonces puede llevarse a la forma ed una ecuación diferencial e variables separables empleando la sustitución: u=ax+by+c 3