Herramientas para el análisis de líneas de transmisión: Carta de Smith

C ít l 3:
Capítulo
3
Herramientas para el análisis de líneas de
transmisión: Carta de Smith
En el presente capítulo se va presentar la carta de Smith que
constituye una herramienta básica en el análisis y diseño de
cualquier circuito de microondas
microondas.
El fundamento de la carta de Smith es la transformación de
impedancias y coeficientes de reflexión haciendo uso de una
representación polar en el plano de los coeficientes de
reflexión. De esta forma se obtiene una representación
acotada del conjunto de todas las impedancias pasivas
existentes
existentes.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 1
Propiedades del coeficiente de reflexión y
de la onda estacionaria
•
•
•
•
•
•
•
Como consecuencia de la reflexión en la carga, las amplitudes de voltaje y
d corriente
de
i t permanecen estacionarias
t i
i a llo llargo d
de cada
d abscisa
b i d
de lla
línea.
Los máximos ocurren cuando θ − 2 β l = 2 nπ.
Los mínimos ocurren cuando θ − 2 βl = 2 n −1 π
Máximos de voltaje coinciden con mínimos de corriente y viceversa.
En una línea sin pérdidas el módulo del coeficiente de reflexión permanece
constante. Γ(l ) = Γ(0 )e −2 jβl Este lugar geométrico es una circunferencia en el
plano complejo
p
p j de Γ(l )
Existe una transformación bilineal entre impedancias y coeficientes:
Z (l ) − Z 0
1 + Γ(0 )e −2 jβl
1 + Γ(l )
(
)
l
Z (l ) =
⋅
Z
=
⋅
Z
⇒
Γ
=
o
o
1 − Γ(0 )e − 2 jβl
1 − Γ(l )
Z (l ) + Z 0
(
(
)
) (
)
A cada coeficiente de reflexión le corresponde uno, y sólo uno, valor de
impedancia
impedancia.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 18
Carta de Smith
1 + ΓL
ZL =
1 − ΓL
Correspondencia
biunívoca
Plano complejo de impedancias.
Representación cartesiana.
Plano semiinfinito.
semiinfinito
Z L − Zo Z L −1
ΓL =
=
Z L + Zo Z L + 1
Plano complejo de coeficientes ΓL.
Representación polar.
Plano limitado por la circunferencia | ΓL|=1.
|=1
2 familias de rectas perpendiculares
2 familias de circunferencias perpendiculares
x
Im(Γ)
Biyección
Re(Γ)
r
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 19
Carta de Smith
1 + Γ(l )
Z (l ) =
Zo
1 − Γ(l )
Normalización
w = u + jv = ΓL e −2 jβl
ΓL =
Z L − Zo Z L −1
=
Z L + Zo Z L + 1
(
)
2 2
1− u + v
r=
(1 − u )2 + v 2
2
2v
x=
(1 − u )2 + v 2
Z (l ) =
Z (l )
= r + jjx
Zo
1 + (u + jv)
r + jx =
1 − (u + jv)
2
r ⎞
1
⎛
2
u
−
+
v
=
⎜
⎟
(1 + r )2
⎝ 1+ r ⎠
(u − 1)2 + ⎛⎜ v − 1 ⎞⎟
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
⎝
x⎠
2
=
1
x2
Microondas-3- 20
2
r ⎞
1
⎛
2
⎜u −
⎟ +v =
2
1
+
r
(
)
r
+
1
⎝
⎠
Familia
F
ili d
de circunferencias
i
f
i
con r como parámetro
r=0
v
r=1
1
(0,0)
⎛ r
⎞
Centro ⎜
,0 ⎟
⎝1+ r ⎠
1
Radio
1+ r
(1,0)
u
r=∞
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 21
(u − 1)2 + ⎜⎛ v − 1 ⎟⎞
⎝
x⎠
2
=
1
x2
Familia de circunferencias
con x como p
parámetro
⎛ 1⎞
Centro ⎜1, ⎟
⎝ x⎠
1
Radio
x
v
x=1
x=0.5
05
x=2
x=0
(1 0)
(1,0)
(0 0)
(0,0)
u
x 1
x=-1
x=-0.5
x=-2
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 22
¿Significado del sentido
d l movimiento
del
i i t en lla carta?
t ?
Sentido horario:
hacia generador
Sentido antihorario:
hacia la carga
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema 3:
Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 23
Doble carta de Smith ZY
El coeficiente Гv = - ГI
Pasar de impedancias a admitancias
supone girar 180º en la carta anterior.
o hacer una doble lectura en la carta
doble ZY.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 24
Adaptación de impedancias
•
•
•
Supone pasar de un punto de coeficiente
de reflexión ((impedancia)
p
) original
g
a otro
final.
Normalmente, aunque no siempre, el
punto final es el origen:
p
g
coeficiente de
reflexión 0 ó impedancia normalizada 1.
Para realizar ese movimiento sólo nos
podemos mover por circunferencias de
un parámetro constante:
– Movimiento a lo largo de la línea sin
pérdidas: circunferencia de módulo de
p
coeficiente de reflexión constante.
– Inclusión de una celda de adaptación sin
pérdidas: movimiento por una
circunferencia
i
f
i d
de r ó g constante.
t t
– Inclusión de una celda de adaptación sólo
con pérdidas: movimiento por una
circunferencia de reactancia constante
(no es lo habitual).
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 25
Adaptación de impedancias
Ejercicios de la carta de Smith
S
Adaptadores simples
Stub simple
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Doble stub
Microondas-3- 26
Adaptadores
p
simples
p
jX
ZL = 50 +j10
Zo = 70
d
Encontrar la posición y el valor de la reactancia para conseguir
adaptación en la línea…
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 27
ZL
ZL
ZL =
= 0.714 + j 0.142
Zo
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009. Tema
3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 28
ZL
ZL =
= 0.714 + j 0.142
Zo
Solución A:
Azimut = 0.141 λ
Impedancia vista = 1 + j0.38
d = (0.141-0.043)λ = 0.098 λ
Solución B:
Azimut = 0.359
0 359 λ
Impedancia vista = 1 - j0.38
d = (0
(0.359-0.043)λ
359-0 043)λ = 0
0.316
316 λ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 29
Stub simple
jB
Zo
YL = 0.4 + j1.35
d
l
Encontrar l y d p
para conseguir
g adaptación
p
en la línea…
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 30
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 31
Solución A:
Azimut = 0.193 λ
d = (0.193-0.153)λ = 0.04 λ
Admitancia vista = 1 + j2.3
Azimut de -j2.3 = 0.315 λ
l = (0.315 – 0.25) λ = 0.065 λ
Solución B:
Azimut = 0.307 λ
d = (0.307-0.153)λ = 0.154 λ
j
Admitancia vista = 1 - j2.3
Azimut de j2.3 = 0.185 λ
l = ((0.25 + 0.185)) λ = 0.435 λ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 32
Doble stub
λ/4
Zo
jB2
jB1
Zr
Zo = 200 Ω
Zo
l2
Zo
SWR = 6.5
65
l1
Dmin voltaje a la carga = 0.168 λ
Zr ??
l1 y l2 para adaptación de la línea ??
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 33
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 34
Desplazándose 0.168 λ hacia la carga:
Zr = Zo(0.6 – j1.6) = 120 – j320 Ω
Yr = 0.21 + jj0.55
Solución A:
Yr = 0.21 + j 0.41
Solución B:
Yr = 0.21 - j 0.41
Admitancia del stub = j0.41 – j0.55 = -j 0.14 Admitancia del stub = -j0.41 – j0.55 = -j 0.96
Azimut de –j0.14 = 0.478 λ
Azimut de –j0.96 = 0.379 λ
l1 = (0.478-0.25) λ = 0.228 λ
l1 = (0.379-0.25) λ = 0.129 λ
Yin = 1 – j1.95
Yin = 1 + j1.95
Azimut de j1.95 = 0.174 λ
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
3: Líneas
de transmisión
y carta
de Smith
l =Tema
(0.25
+ 0.174)
λ=
0.424
λ
Azimut de -j1.95 = 0.326 λ
Microondas-3- 35
l = (0.326
– 0.25) λ = 0.076 λ
Criterio de Bode
Bode-Fano
Fano
La demostración del criterio es muy compleja:
H. W. Bode, Network Analysis and Feedback Amplifier Design, NY, 1945.
R. M. Fano, Theeoritical limitations on the broad band matching of arbitrary
p
, Journal of the Franklin Institute,, vol. 249,, pp.
pp 57-83,, Januaryy 1950,,
impedances,
and pp. 139-154 February 1950.
¿Se puede conseguir una adaptación perfecta para un ancho de banda especificado?
Si no se puede,
d ¿cuál
ál es lla relación
l ió entre
t ell máximo
á i
coeficiente
fi i t d
de reflexión
fl ió
que nos podemos permitir en la línea y el ancho de banda?
¿Se
S puede
d evaluar
l
lla complejidad
l jid d d
de lla red
dd
de adaptación?
d t ió ?
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 36
1
π
Δw ln
l
≤
Γm RC
∞
1
π
d ≤
∫0 lln Γ(w) dw
RC
Módulo Γ
Γm
w
Δ
Δw
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 37
Principales conclusiones del criterio de Bode-Fano
Para una carga dada,
P
d d se puede
d conseguir
i un
ancho de banda elevado a expensas
de aumentar el coeficiente de reflexión
reflexión….
El coeficiente de reflexión sólo puede ser cero
a frecuencias discretas….
Circuitos con Q mayor son más difíciles de
adaptar que los de Q menor:
(Q alta equivale a valores de R y/o C altos)
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 38
Conclusiones (I)
• Se ha presentado la línea de transmisión finalizada que
origina una onda estacionaria.
• Dicha
Di h onda
d estacionaria
t i
i viene
i
caracterizada
t i d por ell
coeficiente de reflexión en cada punto de la línea.
– En una línea sin pérdidas es constante el módulo
módulo. Esto supone
una circunferencia.
– En una línea con pérdidas hay un decrecimiento del módulo con
l variación
la
i ió d
de ffase. E
Esto supone una espiral.
i l
– Al haber una aplicación biyectiva entre cada coeficiente de
reflexión y cada impedancia,
p
, a cada coeficiente de reflexión le
corresponde una y sólo una impedancia.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 45
Conclusiones (II)
• La carta de Smith constituye la herramienta básica para
ell análisis
áli i d
de cualquier
l i circuito
i it d
de microondas.
i
d
• Consiste en una representación en el PLANO POLAR
de los coeficientes de reflexión
reflexión.
• Por la aplicación biyectiva entre coeficientes de reflexión
e impedancias a cada coeficiente de reflexión en el
plano polar le corresponde un valor de impedancia o
admitancia.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 46
Conclusiones (III)
• Funcionalidades de la carta de Smith:
– Lectura directa del coeficiente de reflexión en módulo y fase
(mediante la superposición de curvas de resistencia –
conductancia- y reactancia –susceptancia-,
p
, también se lee el
valor de la impedancia).
– Obtención del valor del coeficiente de reflexión en cualquier
punto de una línea sin más que hacer una rotación a través de
una circunferencia de coeficiente de reflexión constante (centro
el origen y radio R).
– Representación de admitancias/impedancias sin más que hacer
un giro de 180º (en la carta de Smith convencional).
– Adaptación de impedancias mediante movimientos en,
principalmente, dos familias de circunferencias: coeficientes de
reflexión constantes y resistencias (conductancias) constantes.
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 47
Referencias
1. David M.Pozar: "Microwave Engeneering" Second
Edition 1998, John Wiley&Sons. (capítulo 5)
2 Robert
2.
R b tE
E. C
Collin:
lli "F
"Foundations
d ti
ffor microwave
i
engineering" New York McGraw-Hill, 1992. (capítulo 5)
3 Bahl y Bhartia: "Microwave
3.
Microwave Solid State Circuit Design"
Design ,
Wiley Interscience, 1988, segunda edición. (capítulo 4).
Grupo de Radiofrecuencia, UC3M, Septiembre 2009.
Tema 3: Líneas de transmisión y carta de Smith
Microondas-3- 48