Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 1 Matemática Financiera TEMA 11 OPERACIONES DE AMORTIZACION O PRESTAMO (II) 1. Préstamos indiciados 2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo Alemán 3. Valor financiero del préstamo. Usufructo y nuda propiedad Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 2 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 1. Préstamos indiciados Son operaciones en las que el tipo de interés no se conoce al contratar la operación, ya que depende de la evolución de un índice Ir. El tipo de interés aplicable a cada periodo se determina en función del índice que se tome como referencia, por ejemplo el euribor a un año, al que se le añade un diferencial constante, que ha de fijarse al inicio de la operación y mantenerse para toda su duración. Normalmente se fija el rédito a aplicar en el primer periodo y los restantes se obtienen i s = Ι rs − 1 ± d i1 Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 3 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 1. Préstamos indiciados Las operaciones más habituales son con períodos de interés prefijados, en el momento de la contratación se especifica la duración de los períodos en los que el tipo de interés permanece fijo, modificándose sólo al final de cada período según la evolución del índice de referencia. También hay operaciones a tipo de interés flotante, sin períodos de interés prefijados, cuando el rédito aplicable a la operación varía cuando lo hace el índice de referencia. La resolución de estas operaciones depende de cómo se definan los términos amortizativos: - Si la cuantía de los términos amortizativos de toda la operación es predeterminada (fija o variable), la duración del préstamo será variable, acortándose respecto a la inicial, si la evolución del índice es decreciente y alargándose en caso contrario. Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 4 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 1. Préstamos indiciados - Si se establece un plan de amortización fijando las cuotas de amortización periódicas, la duración del préstamo será la establecida a priori, y los términos amortizativos resultaran variables. - Si la cuantía de los términos amortizativos es predeterminada para cada periodo de interés, se utiliza un procedimiento iterativo que consiste en calcular los términos amortizativos para toda la operación en base al rédito del primer período, transcurrido éste, y con la deuda pendiente, vuelven a calcularse los términos amortizativos según el nuevo rédito para la duración restante, y así sucesivamente hasta concluir la duración inicialmente prevista para el préstamo. Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 5 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán Se trata de operaciones en las que el pago de los intereses de cada periodo se realiza al principio del mismo. Se utiliza para su cálculo el rédito de contracapitalización i*s cuya relación con el rédito de capitalización is equivalente, es la siguiente: (1 +i s ) = (1 − is* ) −1 de donde podemos obtener is* is= 1 − is* is i = 1 + is * s Estas operaciones tienen una terminología específica para designar las variables básicas y establecer relaciones con sus homologas en el caso de intereses vencidos o pospagables. Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 6 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán Se denomina capital vivo nominal en ts , al capital (C*s;ts) cuya cuantía es igual al valor de la reserva matemática a la izquierda de ts+1 es decir, en el extremo superior del intervalo [ ts, ts+1 ) . Cs* = Cs (1 + is +1 ) = Cs (1 − is*+1 ) −1 Cs = Cs* (1 − is*+1 ) = Cs* − C s* is*+1 El capital vivo neto o liquido se obtiene deduciendo del capital vivo nominal los intereses anticipados del periodo siguiente. El saldo por el método recurrente puede deducirse de la ecuación de recurrencia del capital neto de donde resulta Cs*−1 = Cs* (1 − is*+1 ) + as Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 7 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán De forma que el término amortizativo as se descompone en as = Cs*−1 − Cs* + Cs*is*+1 = As* + I s*+1 Cuota de amortización nominal del periodo (ts-1, ts], Cuota de interés anticipada del periodo [ts, ts+1), As* I s*+1 Al ser C*n=0 , el último término amortizativo se destina únicamente a amortizar, an=A*n , ya que los intereses se abonaron anticipadamente. Al igual que en el resto de los prestamos se verifica n C0* = ∑ Ah* h =1 Cs* = n * A ∑ s h = s +1 Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 8 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán - Método alemán Se trata de una operación de amortización con pago de intereses anticipados, mediante términos amortizativos constantes y réditos de contracapitalización i* constantes para todos los periodos. Este método coincide con el francés a rédito i, aunque en el método alemán se utilizan las variables nominales y en el francés las netas, además de variar la composición de los términos amortizativos. La ecuación de equivalencia en el origen, o a la izquierda de 1 permite obtener la cuantía constante de los términos amortizativos n C0* = C0*i * + ∑ a (1 − i * ) r r =1 * n 1 − ( 1 − ) i * * r −1 C0 = a ∑ (1 − i ) = a i* r =1 n Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 9 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 2. Préstamos con intereses anticipados. Préstamo alemán -Método alemán La cuantía del capital vivo nominal al principio del periodo s+1 * n−s n es i 1 − ( 1 − ) * * r − ( s +1) Cs = a ∑ (1 − i ) r = s +1 =a i* La ecuación dinámica o de recurrencia en dos periodos consecutivos C s*−1 = Cs* (1 − i * ) + a Cs* = Cs*+1 (1 − i * ) + a Permite obtener restando miembro a miembro la recurrencia de las cuotas nominales de amortización As* = As*+1 (1 − i * ) = A1* (1 + i * ) n − s = a (1 − i * ) n − s Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 10 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 3. Valor financiero del préstamo. Usufructo y nuda propiedad Para transferir el préstamo o cancelar por anticipado la operación en un punto ts intermedio de su duración, será preciso valorar los derechos y obligaciones pendientes en base a las condiciones de mercado vigentes en ese momento. El valor financiero del préstamo es el valor actualizado en ts de los términos amortizativos pendientes valorados con la ley de mercado o ley externa L´(t; p) Vs = n ∑ r = s +1 r ar ∏ (1 + ih' ) −1 h = s +1 Vs representa la cuantía que ofrecería el prestatario por cancelar sus obligaciones o la que demandaría el prestamista a cambio de sus derechos. Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 11 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 3. Valor financiero del préstamo. Usufructo y nuda propiedad La descomposición del término amortizativo en sus dos componentes, cuota de interés y cuota de amortización permite diferenciar en el valor del préstamo los valores financieros del usufructo y de la nuda propiedad. Vs = U s + N s El valor financiero del usufructo, Us , es el valor actualizado, con la ley de mercado, de las cuotas de interés futuras. Mientras el valor financiero de la nuda propiedad, Ns , se calcula actualizando las cuotas de amortización pendientes con la ley que rija en el mercado en ese momento. Facultad de CC.EE. – Dpto. de Economía Financiera I Diapositiva 12 Matemática Financiera.Tema 11– Operaciones de amortización o préstamo (II) 3. Valor financiero del préstamo. Usufructo y nuda propiedad En el caso particular de que los réditos de la ley interna i y de la ley de mercado i´ sean constantes, puede obtenerse una relación entre los valores del usufructo y la nuda propiedad a través de la formula de Achard. Que junto con i U s = (Cs − N s ) i' Vs = U s + N s Constituyen un sistema lineal básico de gran utilidad para obtener dos de las variables, una vez calculadas las otras dos que resulten más sencillas en cada caso particular.