MMII_CV_c5: Condiciones naturales Guión: En esta clase nos ocuparemos de las condiciones naturales. Como caso particular obtendremos las condiciones de Newmann homogéneas. Para su obtención podemos partir de las condiciones de fronteras móviles o directamente, imponiendo la definición de variación de primer orden del funcional. Después generalizamos la definición de condiciones naturales en dimensión 3, y veremos además que las condiciones Newmann no homogéneas dan lugar a la aparición de términos adicionales en el funcional extendido a las fronteras del dominio. La bibliografía es la misma que en las clases anteriores. Ejercicios recomendados: 1 (1 y '' 2 1. Obtener los extremales del funcional: J ( y ) y '2 ) dx para las 0 condiciones: y(0) 0; y(1) 1 , y tomando y’(1) que varíe arbitrariamente. Justificar la condición adicional a aplicar en x=1, utilizando directamente la definición de variación de primer orden. 2. Dado el problema: T (u 2 u '2 ) dt Min. J (u) T0 Con la condición de punto fijo u(T) = 0, con T , se pide: Extremales con u(T0) = u0, con T0 , u0 . Extremales con condición natural en t = T0. Extremales con u (T0 ) 1, T0 T , T0 libre. ______________________________________________________________________ Estas notas son solo una ayuda, que ni pretender ni pueden sustituir a la asistencia a clase, donde se desarrollan los conceptos, se aclararán las dudas y se subsanaran posibles erratas, y a la consulta de la bibliografía recomendada. 1 Casos particulares de Frontera Móvil 1) y2 y2 fijo, x2 libre y y2 0 fy' CT(d2): 2) x 0 y 1 f x f fy' y ' f y ' y ' x2 y x2 0 0 x2 fijo, y2 libre x x 2 0 Condiciones naturales fy' CT(d2): 3) x 1 y 0 f x f y ' x2 fy' y ' x2 y x2 0 0 x2, y2 libres e independientes f y ' x2 Deben cumplirse las dos condiciones anteriores: f x 2 0 0 CONDICIONES NATURALES EN DIMENSIÓN 2: Opt J ( y ) x2 x1 f ( x , y , y' ) dx ; y V1 C2 Las condiciones naturales se pueden obtener como caso particular de fronteras móviles (2 anterior), pero otra forma de obtener las condiciones naturales sin recurrir a las condiciones de frontera móvil, sino directamente del problema: d J J( y h) 0 0 , h V C 2 d d x2 f ( x, y h, y' h' ) 0 0 , h V C 2 d x1 x2 x1 x2 x1 fy h f y ' h' h f y f ' y' 0 , h hf y ' xx12 0 V 0 , C2 h V C2 0 Suponiendo independencia entre x1 y x2: LFCV: f y f ' y' 0, x hf y ' x1 0 h hf y ' x 2 0 h x1 , x 2 En el caso de funcional cuadrático: f f y ' ( x1 ) 2ay '( x1 ) 0 f y ' ( x1 ) f y ' ( x 2 ) 0 1 ay '2 by 2 2 2Fy : y '( x1 ) 0 2 f y ' ( x2 ) 2ay '( x2 ) 0 y '( x2 ) 0 se obtienen las condiciones de contorno tipo Newmann homogéneas. Condiciones naturales en dimensión 3: Opt J d d J f ( x, y, z, u, p, q, r ) D D f ( x, y , z, u hf u D h, p hx f p D g1 ( x, y, z, u) , hx , q hy fq hy , r hz f r hz ) D hg 1u u V1 D C 2 , p ux ; q u y ; r uz g 1 ( x, y, z, u 0 , h) 0 h V Haciendo uso del teorema de la divergencia: D h fu fp x y fq z fr D h g1u fp , fq , fr N 0 , h V Suponiendo independencia entre perturbaciones en D y D . fu fp x g1u y fp , fq , fr fq z fr 0 en D generalización de la ec. de Ostrogradski N 0 en D condiciones de contorno naturales: eu ; con a, b, c, e C0 2 2 2 f ap bq cr Nos quedan las condiciones de contorno Neumann no homogéneas: 2au x ,2bu y ,2cu z N e ( x, y , z ) D Es decir, en la formulación variacional de los problemas con condiciones de contorno tipo Neumann no homogéneas, aparece un término adicional en el funcional extendido a la frontera del dominio. Si fuera: g1 Veamos un ejemplo de aplicar la definición de cn10(ol) cuando faltan condiciones de contorno. Ej1: J 1 (1 y ' ' 2 )dx 0 y (0) 0 ; y ' (0) 1 ; y (1) 1 Aplicando la definición de la cn1o(ol) directamente. En primer lugar veremos que usando las cn10(ol) usuales nos faltan condiciones: fy ( fy ' )' ( fy '' )'' y C1 C2 x 0, x 0,1 C3 x 2 C4 x 3 (2y '')'' 0 yIV 0, x 0,1 3 0, h V y ( 0) 0 Cond. cont: y ' (0) 1 C1 C2 0 1 y y (1) 1 1 C 3 C 4 1 C 4 Aplicando ahora la definición: d x2 J 0 f(x, y h, y ' h', y '' d x1 h(0) 0 Como h V h'(0) 0 h(1) 0 J x2 x1 1 0 y ' ' h' ' fyh 1 fy 'h' fy ''h'' 1 0 y ' ' h' yIV y ''(1) 2 y ''h'' 0 1 0 y ' ' h' 0 , x y ' ' h' 1 0 0 , y''' h C3 ( x 2 x x3) C3 h'') h 1 0 0 , h V V 1 1 0 0 y IV h ( y ' ' h' )(1) hy IV 0, h V 0,1 0 Condición adicional para hallar el valor de C3 y x C3 ( x 2 x 3 ) y ' 1 2C3 x y ' ' (1) 0 2C 3 6C 3 0 C 3 0 3C3 x 2 y x y ' 2C3 6C3 x Veremos si el extremal es un mínimo global: J J J 1 0 1 ( y ' ' h' ' ) 2 1 0 1 y'' 2 1 0 h' ' 2 2y ' h' ' 0 Mínimo global 4