ProblemaspropuestosOscilaciones

PROBLEMAS PROPUESTOS DE OSCILACIONES
1. La posición de un cuerpo puede describirse mediante x =A cos(ωt + δ). La frecuencia angular
ω, la posición inicial x0 y la velocidad v0 son conocidas. Encuentre la amplitud A y la constante
de fase δ en términos de ω, x0 y v0. Solución: 𝐴𝐴 = �𝑥𝑥0 2 +
𝑣𝑣0 2
𝜔𝜔2
2. Una partícula ejecuta movimiento armónico simple. Su desplazamiento es x = A cos(ωt + δ),
donde, como es usual, la amplitud A es una constante positiva. En t = 0, la partícula está en el
origen y se mueve en la dirección x positiva. ¿Cuál es la elección adecuada de la constante de
fase δ en este caso? Solución: δ = 3π/2.
3. La frecuencia de una masa unida a un resorte es de 3,0 Hz. En el tiempo t = 0, la masa tiene
un desplazamiento inicial de 0,20 m y una velocidad inicial de 4,0 m/s.
a) ¿Cuál es la posición de la masa como función del tiempo?
Solución: x = 0,929 cos(6π t – 0,815)
b) ¿Cuándo llegará por primera vez la masa a un punto de retorno? ¿Cuál será su aceleración
en dicho tiempo? Solución: 0,043 s; -103 m/s2.
4. El cable de levantamiento de una torre está hecho de acero, con un diámetro de 5,0 cm. Su
longitud desde el suelo hasta la carga es de 160 m. Si se considera como un resorte ¿Cuál es su
constante de resorte efectiva? ¿Cuál es la frecuencia de oscilación cuando una masa de
7,1·103 kg se une al extremo inferior del cable y se le permite oscilar arriba y abajo? La masa
del cable no se considera. Solución: 2,8·106 N/m; 3,16 Hz.
5. Un monitor de grosor es un instrumento de laboratorio que se utiliza para determinar el
grosor de una película delgada que se deposita sobre la superficie de un cristal de cuarzo. El
cristal puede tratarse como un sistema resorte-masa con k = 6,0·105 N/m y m = 0,50 g. ¿Cuál es
la frecuencia de oscilación de este sistema? Esta frecuencia cambia ligeramente conforme se
agrega masa al cristal. Si la frecuencia disminuye 0,010%, ¿Cuánta masa se ha depositado? Si el
área del cristal es de 2,0 cm2 y la densidad de masa del material de la película es de 7,5 g/cm2,
¿Cuál es el grosor de la película depositada? Solución: 5,51·103 Hz; 1,0·10-4 g; 6,7·10-6 cm.
6. Una masa m se desliza sobre un plano sin fricción inclinado a un ángulo θ con la horizontal.
La masa se une a un resorte, de constante k, paralelo al plano ¿Cuánto se estira el resorte en el
equilibrio? ¿Cuál es la frecuencia de las oscilaciones de la masa arriba y abajo sobre el plano?
Solución:
𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 1
𝑘𝑘
; �
𝑘𝑘
2𝜋𝜋 𝑚𝑚
7. Dos masas m1 y m2 se unen mediante un resorte con constante de resorte k. Demuestre que
la frecuencia de vibración de estas masas a lo largo de la línea que las conecta es
𝑘𝑘(𝑚𝑚1 + 𝑚𝑚2
𝜔𝜔 = �
𝑚𝑚1 𝑚𝑚2
(Sugerencia: El centro de masa permanece en reposo.)
8. Un reloj de péndulo, controlado por un péndulo de 0,9932 m de largo, mantiene bien el
tiempo en Nueva York (g = 9,803 m/s2).
a) Si este reloj se lleva a Austin, Texas (g = 9,793 m/s2), ¿Cuántos minutos por día se retrasará?
b) Con la finalidad de ajustar el reloj, ¿En cuántos milímetros debe acortarse el péndulo?
Solución: a) 0,73 min/día; b) 1 mm.
9. Para probar que la aceleración de la gravedad es la misma para un trozo de hierro y un trozo
de latón, un experimentador toma un péndulo de 1,800 m de largo con una lenteja de hierro y
otro péndulo de la misma longitud con una lenteja de latón y los pone a balancear al unísono.
Después de balancear durante 12,00 min, los dos péndulos no están más que un cuarto de
balanceo (en una ruta) fuera de paso. ¿Cuál es la diferencia más grande entre los valores de g
para el hierro y el latón consistente con estos datos? Exprese su respuesta como una
diferencia fraccional. Solución: 9,8·10-3 m/s2.
10. Se taladra un orificio en la marca de 30 cm de un metro que se cuelga sobre una pared
mediante un clavo que pasa a través de este orificio. Si al metro se le da un empujón, de modo
que se balancee en torno del clavo, ¿Cuál es el periodo del movimiento? Solución: 1,6 s.
11. Un péndulo físico consiste de una barra sin masa de longitud 2L que rota alrededor de un
eje que pasa por su centro. Una masa m1 se une al extremo inferior de la barra y a una masa
menor m2 en el extremo superior. ¿Cuál es el periodo de este péndulo?
𝐿𝐿 𝑚𝑚 +𝑚𝑚
𝑔𝑔
1
2
Solución: 2𝜋𝜋� �𝑚𝑚1 −𝑚𝑚2 �
12. Un péndulo físico consiste en un largo cono delgado suspendido en su ápice. La altura del
cono es L ¿Cuál es el periodo de este péndulo? Solución: 2𝜋𝜋�
4𝐿𝐿
5𝑔𝑔
13. Cuando un columpio en movimiento no es impulsado, la amplitud angular de oscilación
disminuye debido al aire y otra fricción. El movimiento de un columpio de 3,0 m disminuye en
amplitud de 12° a 10° después de cinco ciclos completos. ¿Cuál es Q del sistema? Si el pasajero
y el asiento se tratan como una masa puntual con m = 25 kg, ¿A qué ritmo promedio se disipa
energía mecánica? Solución: 92; 0,32 W.
14. Con la litografía de haz de electrones, los ingenieros intentan fabricar osciladores de
sistemas nanoelectromecánicos (NEMS) con frecuencias tan altas como 100 GHz (para
comunicaciones y computadores de rapidez superior). Si la masa equivalente de tal oscilador
es de 1,0·10-18 g y se necesita una amplitud mínima de 0,10 nm para detectar una fuerza
armónica aplicada de 1,0·10-10 N de amplitud, ¿cuál debe ser el Q mínimo de tal oscilador?
Solución: 395.
15. En una sierra caladora eléctrica, el movimiento de rotación del motor eléctrico se convierte
en un movimiento de ida y vuelta de la segueta mediante un mecanismo similar al que se
muestra en la figura. Suponga que la espiga de la rueda giratoria se mueve alrededor de un
círculo de 3,0 cm de diámetro a 4.000 rev/min, y por consiguiente mueve el brazo ranurado al
que se atornilla la segueta ¿Cuáles son la amplitud y frecuencia del movimiento armónico
simple de ida y vuelta de la segueta? Solución: 1,5 cm; 66,7 Hz.
16. Suponga que dos partículas realizan movimiento armónico simple a lo largo del eje x, con
un periodo de 8,0 s. La primera partícula se mueve de acuerdo con la ecuación
𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑥𝑥 = 0,30 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 � �
4
y la segunda de acuerdo con la ecuación
𝜋𝜋𝜋𝜋
𝑥𝑥′ = 0,30 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 � �
4
donde la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos.
a) ¿Cuándo alcanza el punto medio la primera partícula? ¿Cuándo alcanza el punto de retorno?
Dibuje un diagrama que muestre a la partícula y su satélite en estos tiempos. Solución: Punto
medio en 2 s, 6 s, 10 s,… Punto de regreso en 0 s, 4 s, 8 s,…
b) ¿Cuándo alcanza el punto medio la segunda partícula? ¿Cuándo alcanza el punto de
retorno? Dibuje un diagrama que muestre a la partícula y su satélite en estos tiempos.
Solución: Punto medio en 0 s, 4 s, 8 s,… Punto de regreso en 2 s, 6 s, 10 s,…
c) Mediante algún argumento, establezca que, siempre que la primera partícula pase a través
de un punto sobre el eje x, la segunda partícula pasará a través de este mismo punto 2,0 s
después.
17. El movimiento del pistón en el motor de un automóvil es aproximadamente armónico
simple. Suponga que el pistón viaja de ida y vuelta sobre una distancia de 8,50 cm y tiene una
masa de 1,2 kg. ¿Cuáles son su aceleración y rapidez máximas cuando el motor funciona a
6.000 rev/min? ¿Cuál es la fuerza máxima sobre el pistón en ese caso? Solución: 26,7 m/s;
1,68·104 m/s2; 2,0·104 N.
18. Un oscilador armónico simple tiene una frecuencia de 1,5 Hz. ¿Qué ocurrirá con la
frecuencia si el resorte se corta por el centro y ambas mitades se unen a la masa de modo que
los dos resortes actúan conjuntamente (en paralelo)? Solución: 2,12 Hz.
19. Las sogas utilizadas por los montañistas son bastante elásticas y se comportan como
resortes. Una soga de 10 m tiene una constante de resorte k = 4,9·103 N/m. Suponga que un
montañista de 80 kg cuelga de esta soga, que se estira verticalmente hada abajo. ¿Cuál es la
frecuencia de oscilación arriba y abajo del montañista? Solución: 1,25 Hz.
20. Un oscilador armónico simple consiste en una masa de 3,0 kg unida a un resorte horizontal
con k = 6,0·102 N/m y que se mueve sobre una pista horizontal sin fricción. Inicialmente, la
masa se libera desde el reposo a una distancia de 0,25 m del punto de equilibrio ¿Cuál es la
energía de este oscilador armónico? ¿Cuál es la máxima rapidez que alcanza cuando pasa a
través del punto de equilibrio?
21. Un péndulo físico consiste en una lenteja esférica uniforme de masa M y radio R
suspendida de una cuerda sin masa, de longitud L. Considerando el tamaño de la lenteja,
demuestre que el periodo de oscilaciones pequeñas de este péndulo es
2 2
𝑅𝑅 + (𝑅𝑅 + 𝐿𝐿)2
�
𝑇𝑇 = 2𝜋𝜋 5
𝑔𝑔(𝑅𝑅 + 𝐿𝐿)
22. Un columpio de 2,0 m de largo cuelga de una rama horizontal de un árbol. ¿Con qué
frecuencia debe mecer la rama para acumular oscilaciones del péndulo por resonancia?
Solución: 0,35 Hz.
23. La posición de una partícula viene dada por x = (7 cm) cos 6πt, donde t viene dado en
segundos. Determinar (a) la frecuencia, (b) el periodo y (c) la amplitud del movimiento de la
partícula. (d) ¿Cuál es el primer instante después de t = 0 en el que la partícula está en su
posición de equilibrio? ¿En qué sentido se está moviendo en ese instante?
Solución: (a) 3,00 Hz; (b) 0,333 s; (c) 7,0 cm; (d) 0,0833 s en la dirección – x.
24. Una partícula se mueve sobre una circunferencia de radio 40 cm con una velocidad
constante de 80 cm/s. Hallar (a) la frecuencia y el periodo del movimiento de la componente x
de su posición. (b) Escribir una ecuación para la componente x de la posición de la partícula en
función del tiempo t, suponiendo que la partícula está sobre el eje x en el instante t = 0.
Solución: (a) 0,32 Hz y 3,1 s; (b) x = (40 cm) cos[(2,0 s-1)t + (π/2)]
25. Un objeto de 1,5 kg oscila con movimiento armónico simple unido a un muelle de
constante de fuerza k = 500 N/m. Su velocidad máxima es 70 cm/s. (a) ¿Cuál es la energía
total? (b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación? Solución: (a) 0,368 J; (b) 3,83 cm.
26. Un objeto de 3 kg sujeto a un muelle horizontal oscila con una amplitud A = 10 cm y una
frecuencia f = 2,4 Hz. (a) ¿Cuál es la constante de fuerza del muelle? (b) ¿Cuál es el periodo del
movimiento? (c) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto? (d) ¿Cuál es la aceleración máxima
del objeto? Solución: (a) 0,68 kN/m; (b) 0,42 s; (c) 1,5 m/s; (d) 23 m/s2.
27. La figura muestra el péndulo de un reloj. La barra uniforme de longitud L = 2,0 m tiene una
masa m = 0,8 kg. Sujeto a la barra hay un disco de masa M = 1,2 kg y radio = 0,15 m. El reloj se
ha construido de modo que funcione con total precisión si el periodo del péndulo es
exactamente 3,50 s. (a) ¿Cuál debe ser la distancia d para que el periodo del péndulo sea 2,5 s?
(b) Supongamos que el reloj de péndulo se atrasa 5,0 min por día. ¿A qué distancia y en qué
sentido debe desplazarse el disco para conseguir que el reloj marque correctamente el
tiempo? Solución: (a) d = 1,64 m; (b) 2,31 cm.
28. Para medir indirectamente la viscosidad de ciertos aceites, se puede determinar el tiempo
que tardan en decaer las oscilaciones de un oscilador inmerso en dicho fluido, cuando se
conocen previamente las propiedades del oscilador. Puesto que la velocidad del oscilador es
más bien pequeña, no habrá turbulencia y la fuerza de arrastre del fluido sobre una esfera de
radio a que se mueve a velocidad v es Froz = 6πaηv, donde η es la viscosidad del fluido.
Supongamos que el oscilador está formado por un muelle de constante elástica 350 N/cm y
una esfera de oro de 6 cm de radio que cuelga del muelle. (a) ¿Cuál es la viscosidad del fluido si
la constante de tiempo es de 2,8 s? (b} ¿Cuánto vale el factor Q? Solución: (a) 5,5 Pa·s; (b) 125.
29. Determinar la frecuencia de resonancia de cada uno de los tres sistemas indicados en la
figura. Solución: (a) 1,0 Hz; (b) 2,0 Hz; (c) 0,35 Hz.
30. Un objeto de 2 kg oscila sobre un muelle de constante de fuerza k = 400 N/m. La constante
de amortiguamiento es b = 2,00 kg/s. Está forzado por una fuerza sinusoidal de valor máximo
10 N y frecuencia angular ω = 10 rad/s. (a) ¿Cuál es la amplitud de las oscilaciones? (b) Si se
varía la frecuencia de la fuerza impulsora, ¿A qué frecuencia se producirá la resonancia? (c)
Hallar la amplitud de las vibraciones en la resonancia. (d) ¿Cuál es la anchura Δω de la curva de
resonancia? Solución: (a) 4,98 cm; (b) 14,1 rad/s; (c) 35,4 cm; (d) 1,00 rad/s.