Circuitos Resonantes

TEMA 4
Circuitos Resonantes
4.1 Repaso sobre resonancia.
4.2. Resonancia en líneas de transmisión.
4.3. Resonancia transversal.
4.4. Excitación de resonadores.
4.5. Filtros de microondas.
Bibliografía:
•D. M. Pozar. “Microwave Engineering”. Capítulos 6 y 8.
•R. E. Collin. “Foundations for Microwave Engineering”. Capítulos 7 y 8
Circuitos Resonantes
1
TEMA 4
• Objetivos:
– Comprender el fenómeno de la resonancia en líneas de
transmisión.
– Mostrar un ejemplo de un circuito formado únicamente
por líneas de trasmisión con comportamiento
equivalente a un circuito formado por elementos
concentrados (R, L, C).
– Aplicar el fenómeno de la resonancia al diseño de
filtros de microondas.
Circuitos Resonantes
2
4.1 Repaso de conceptos sobre resonancia.
• Índice:
–
–
–
–
4.1.1. Introducción.
4.1.2. Circuito RLC resonante serie.
4.1.3. Circuito RLC antiresonante paralelo.
4.1.4. Factor de calidad con carga.
Circuitos Resonantes
3
4.1.1. Introducción
• Aplicaciones de los resonadores de microondas:
– Filtros, osciladores, amplificadores sintonizados, ....
• Tipos de resonadores de microondas:
– Líneas de transmisión.
– Guía de ondas rectangulares o circulares.
– Cavidades dieléctricas.
• Cerca de resonancia, el comportamiento del resonador
de microondas es modelable como un circuito RLC.
Circuitos Resonantes
4
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
R
Z ent
1
= R + jω L − j
ωC
L
+
V
C
I
–
Zent
Pconsumida
[
[ ]
]
1
1
1
1
V
2
2
= ℜ e VI * = ℜ e Z ent I = R I = R
2
2
2
2 Z ent
2
media
Wm =
1
LI
4
• Energía
eléctrica
media
almacenada en el condensador.
We =
1
1 2 1
2
C Vc = I
ω 2C
4
4
• Energía
magnética
almacenada en la bobina.
2
Circuitos Resonantes
5
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
• En resonancia, el circuito RLC cumple que:
– Las energías medias magnética/eléctrica son iguales:
Wm = We
1
1 2 1
2
LI = I
ω 2C
4
4
⇒
– La impedancia de entrada es resistiva pura:
Z ent = R ∈ ℜ
⇒
ωL =
1
ωC
• Ambas condiciones se cumplen para la frecuencia de resonancia:
ωr =
Circuitos Resonantes
1
LC
6
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
• En resonancia el circuito RLC presenta una impedancia de
entrada igual a R.
• La potencia consumida en el resonador (es decir sus
pérdidas) dependen de R.
Pentreg =
1
2
RI
2
• En general, R será un valor bajo (idealmente CC) de forma
que en resonancia la Zent es muy baja y las pérdidas
también.
• Al alejarnos de la resonancia, aumenta la impedancia.
Circuitos Resonantes
7
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
• Factor de calidad de un circuito resonante.
⎛ Energía media almacenada
Q = ⎜⎜ ω
Potencia consumida
⎝
⎞
⎟⎟
⎠ ω =ω r
• Para el caso del circuito RLC resonante serie.
1
1 2 1
2
LI + I
1
W + We
ω r2 C ω r L
4
4
= ωr
=
=
Q = ωr m
1
2
Pconsumida
R
ω r RC
RI
2
Circuitos Resonantes
8
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
• Una vez conocido el comportamiento para la frecuencia de
resonancia, ¿cuál es la respuesta del circuito en el entorno de
la frecuencia de resonancia?
ω = ω r + Δω
1 ⎞
1 ⎞
⎛
⎛
Z ent = R + j ⎜ ω L −
⎟ = R + jω L ⎜ 1 − 2
⎟=
ωC ⎠
ω LC ⎠
⎝
⎝
⎛ ω 2 − ω r2
= R + jω L ⎜⎜
2
⎝ ω
⎞
⎟⎟
⎠
Circuitos Resonantes
9
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
• En el entorno de ωr, Δω es pequeño y se puede aproximar
ω 2 − ω r2 = (ω − ω r )(ω + ω r ) = Δ ω (2ω − Δ ω ) ≈ 2ω Δ ω
⎛ 2ω Δ ω ⎞
Z ent ≈ R + jω L ⎜
⎟ = R + j 2 LΔ ω
2
⎝ ω
⎠
• Luego, en el entorno de la resonancia, el circuito RLC es como una
resistencia R, que tiene una parte imaginaria que aumenta con la frecuencia y
que depende de L (o de C).
• El comportamiento también se puede modelar a partir de ωr, R y Q.
Z ent ≈ R + j
Circuitos Resonantes
2 RQ Δ ω
ωr
10
4.1.2. Circuito RLC resonante serie
Z ent (ω )
BW
R 2
R
ωr −
Ancho de banda
BW =
ωr
2Q
ωr +
ωr
ωr
ω
2Q
BW rel =
Q
BW
ωr
=
1 Δf
=
Q
fr
Circuitos Resonantes
11
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
I
Yent
+
1
1
= + jω C − j
R
ωL
Pconsumida
R
V
C
L
–
[
[ ]
Zent
1
1
*
= ℜ e VI * = ℜ e Yent
V
2
2
2
]
2
1 V
1
=
=
IZ ent
2 R
2R
2
media
Wm =
1
1 2 1
2
L IL = V
ω 2L
4
4
• Energía
eléctrica
media
almacenada en el condensador.
We =
1
CV
4
• Energía
magnética
almacenada en la bobina.
Circuitos Resonantes
2
12
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
• En resonancia, el circuito RLC cumple que:
– Las energías medias magnética/eléctrica son iguales:
Wm = We
1 2 1
1
= CV
V
2
4
ω L 4
⇒
2
– La impedancia de entrada es resistiva pura:
Z ent = R ∈ ℜ
⇒
ωL =
1
ωC
• Ambas condiciones se cumplen para la frecuencia de resonancia:
ωr =
1
LC
Circuitos Resonantes
13
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
• En resonancia el circuito RLC presenta una impedancia de
entrada igual a R.
• La potencia consumida en el resonador (es decir sus
pérdidas) dependen de R.
Pentreg
1V
=
2 R
2
• En general, R será un valor alto (idealmente CA) de forma
que en resonancia la Zent es muy alta y las pérdidas serán
bajas.
• Al alejarnos de la resonancia, aumenta la admitancia.
Circuitos Resonantes
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4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
• Factor de calidad de un circuito RLC antirresonante
paralelo.
Q = ωr
Wm + We
= ωr
Pconsumida
1 1
1
2
V + CV
2
4 ωr L
4
1V
2 R
2
2
= ω r RC =
R
ωrL
Circuitos Resonantes
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4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
• Una vez conocido el comportamiento para la
frecuencia de resonancia, ¿cuál es la respuesta del
circuito en el entorno de la frecuencia de
ω = ω r + Δω
resonancia?
Yent =
=
Circuitos Resonantes
1
1 ⎞ 1
1 ⎞
⎛
⎛
+ j⎜ ωC −
⎟ = + jω C ⎜ 1 − 2
⎟=
ωL ⎠ R
ω LC ⎠
R
⎝
⎝
⎛ ω 2 − ω r2 ⎞
1
⎟⎟
+ jω C ⎜⎜
2
R
⎝ ω
⎠
16
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
• En el entorno de ωr, Δω es pequeño y se puede aproximar
ω 2 − ω r2 = (ω − ω r )(ω + ω r ) = Δ ω (2ω − Δ ω ) ≈ 2ω Δ ω
Yent ≈
1
⎛ 2ω Δ ω ⎞ 1
+ jω C ⎜
⎟ = + j 2C Δ ω
2
R
⎠ R
⎝ ω
• En el entorno de la resonancia, el circuito RLC paralelo es como una
conductancia 1/R, con una reactancia en paralelo que aumenta con la
frecuencia y que depende de C (o de L).
• El comportamiento también se puede modelar a partir de ωr, R y Q.
Yent ≈
1
2Q Δ ω
+ j
R
Rω r
Circuitos Resonantes
17
4.1.3. Circuito RLC antirresonante paralelo
Z ent (ω )
R
R/ 2
BW
ωr −
Ancho de banda
BW =
Circuitos Resonantes
ωr
2Q
ωr
Q
ωr +
ωr
ω
2Q
BW rel =
BW
ωr
=
1 Δf
=
Q
fr
18
4.1.4. Factor de calidad con carga
• El factor de calidad visto previamente corresponde al propio circuito
resonante cuando éste está aislado. ¿Qué pasa al conectar el resonador
con algún circuito externo que lo cargue?
• Ejemplo con RLC serie:
Factor de calidad del resonador aislado:
R
L
Q=
RL
ωrL
R
C
Análogamente, se define un factor de
calidad externo Q debido a la carga RL:
Circuito Resonante
Qe =
ωrL
1
1
1
=
+
Q L Qe Q
Factor de calidad del circuito
resonante con carga:
RL
Circuitos Resonantes
19
4.1.4. Factor de calidad con carga
• Para el RLC paralelo:
Q del cto resonante aislado:
Q=
RL
R
L
R
ωrL
C
Circuito Resonante
Análogamente, se define un factor
de calidad externo Q debido a la
carga RL:
Qe =
RL
ωrL
Al igual que en el caso del circuito RLC serie, el factor de calidad del circuito resonante
con carga vale:
1
1
1
=
+
Q L Qe Q
Circuitos Resonantes
20
4.2. Resonancia en líneas de transmisión
• Índice:
– 4.2.1. Introducción.
– 4.2.2. Línea de media onda acabada en
cortocircuito.
– 4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito
abierto
– 4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en
cortocircuito.
Circuitos Resonantes
21
4.2.1. Introducción
• Elementos concentrados no disponibles a altas
frecuencias.
• Elementos distribuidos más frecuentes.
• Secciones de línea de transmisión + CC ó CA se
comportan como resonadores.
• Estudiamos el Q (factor de calidad)
pérdidas.
Circuitos Resonantes
22
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
• Linea de λ / 2, Z 0 y cortocircuitada.
Z in
l = λ /2
Z in = Z 0 tanh(α + j β )l = Z 0
Si α = 0 (sin pérdidas)
tanh α l + j tan β l
1 + j tan β l tanh α l
Z in = jZ 0 tan β l
Circuitos Resonantes
23
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
αl
• Bajas pérdidas
l=
ωl
v
λ
2
=
=
Circuitos Resonantes
ω 0l
v
+
αl)
ω = ω 0 + Δω
• Desviación pequeña
βl =
1 (tanh α l
Δω l
v
v
πv
=
2f
ω0
βl = π +
Δ ωπ
ω0
24
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
⎛
Δ ωπ ⎞
Δ ωπ
tan β l = tan ⎜ π +
⎟ = tan
ω0 ⎠
ω0
⎝
tanh α l
Z0
ω0
αl
αl + j
Z in
Δ ωπ
Δ ωπ
ω0
Δ ωπ
1+ j
αl
ω0
⎛
Δ ωπ ⎞
Z0 ⎜α l + j
⎟
ω0 ⎠
⎝
Circuitos Resonantes
25
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito
• Circuito RLC serie:
⎛
Δ ωπ ⎞
Z0 ⎜α l + j
⎟
ω0 ⎠
⎝
Zπ
1
R = Z 0α l ; L = 0 ; C = 2
ω0 L
2ω 0
• Línea de transmisión:
• Identificando:
Circuitos Resonantes
Z in = R + j 2 L Δ ω
Z in
26
4.2.2. Línea de media onda acabada en cortocircuito.
• En resonancia:
Δ ω = 0 ⇒ Z in = R = Z 0α l
l=
• También ocurre resonancia en
nλ
; n = 1, 2, 3, …
2
• Factor de calidad (1ª resonancia):
Q=
• Si
ω0L
α ↑⇒ Q ↓
R
=
π
β
=
2α l 2α
Circuitos Resonantes
27
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
• Linea de λ
microstrip).
/ 2, Z 0
y en circuito abierto (se suele usar en
Z in
l = λ /2
Z in = Z 0 coth(α + j β )l = Z 0
Si α = 0 (sin pérdidas)
Circuitos Resonantes
1 + j tan β l tanh α l
tanh α l + j tan β l
Z in = − jZ 0 cot β l
28
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
1 (tanh α l
αl
• Bajas pérdidas
ω = ω 0 + Δω
• Desviación pequeña
βl =
l=
ωl
v
λ
2
=
=
ω 0l
v
+
α l)
Δω l
v
βl = π +
v
πv
=
2 f ω0
Δ ωπ
ω0
Circuitos Resonantes
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4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
⎛
Δ ωπ ⎞
Δ ωπ
tan β l = tan ⎜ π +
⎟ = tan
ω0 ⎠
ω0
⎝
tanh α l
Circuitos Resonantes
Z0
ω0
αl
1+ j
Z in
Δ ωπ
Δ ωπ
ω0
αl + j
αl
Δ ωπ
ω0
Z0
Δ ωπ
αl + j
ω0
30
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
Z in =
• Circuito RLC paralelo:
• Línea de transmisión:
Z in
1
1
+ j 2C Δ ω
R
Z0
Δ ωπ
αl + j
ω0
• Identificando: R =
Z0
π
1
; C=
; L= 2
2 Z 0ω 0
αl
ω0C
Circuitos Resonantes
31
4.2.3. Línea de media onda acabada en circuito abierto
• En resonancia:
Δ ω = 0 ⇒ Z in = R =
• También ocurre resonancia en
l=
Z0
αl
nλ
; n = 1, 2, 3, …
2
• Factor de calidad (1ª resonancia):
Q = ω 0 RC =
• Si
α ↑⇒ Q ↓
Circuitos Resonantes
π
β
=
2α l 2α
32
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
• Linea de λ / 4, Z 0 y cortocircuitada.
Z in
l = λ /4
tanh α l + j tan β l
1 + j tan β l tanh α l
1 − j tanh α l cot β l
=Z 0
tanh α l − j cot β l
Z in = Z 0 tanh(α + j β )l = Z 0
Circuitos Resonantes
33
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
αl
• Bajas pérdidas
• Desviación pequeña
βl =
l=
ωl
λ
4
v
=
Circuitos Resonantes
=
ω 0l
v
+
Δω l
v
v
πv
=
4f
2ω 0
1 (tanh α l
αl)
ω = ω 0 + Δω
βl =
π
2
+
πΔω
2ω 0
34
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
⎛ π πΔω ⎞
πΔω
cot β l = cot ⎜ +
⎟ = − tan
2ω 0
⎝ 2 2ω 0 ⎠
tanh α l
πΔω
2ω 0
αl
α l Δ ωπ
2ω 0
Z0
πΔω
αl + j
2ω 0
1+ j
Z in
−
Z0
αl + j
πΔω
2ω 0
Circuitos Resonantes
35
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
•Circuito RLC paralelo :
•Línea de transmisión:
•Identificando: R =
Circuitos Resonantes
Z in =
Z in
1
1
+ j 2C Δ ω
R
Z0
αl + j
πΔω
2ω 0
Z0
π
1
; C=
; L= 2
αl
ω0C
4 Z 0ω 0
36
4.2.4. Línea de cuarto de onda acabada en cortocircuito
• En resonancia:
Δ ω = 0 ⇒ Z in = R =
• Factor de calidad:
Q = ω 0 RC =
• Si
Z0
αl
π
β
=
4α l 2α
α ↑⇒ Q ↓
Circuitos Resonantes
37
4.3. Resonancia Transversal..
• Secciones resonantes:
– Línea λ / 4 ( + nλ / 2) cortocircuitada en un extremo.
– Línea λ / 2 ( + nλ / 2)cortocircuitada en extremos.
– Línea λ / 2 ( + nλ / 2) abierta en extremos.
• Resonancia si reflexión total
– Impedancia de carga reactiva.
– Sección de longitud diferente de λ / 4 o λ / 2
Circuitos Resonantes
38
4.3. Resonancia Transversal.
• Resonancia en LT general:
– Onda estacionaria atrapada entre reflexiones totales.
– Se elige plano de referencia arbitrario.
– Las Z I , Z D son impedancias vistas hacia la izquierda y
derecha del plano.
– V + , V − son las amplitudes de onda positiva y negativa.
Circuitos Resonantes
39
4.3. Resonancia Transversal.
• Si miramos a la derecha:
• Si miramos a la izquierda:
Circuitos Resonantes
V − ZD − Z0
=
V + ZD + Z0
V + ZI − Z0
=
V − ZI + Z0
40
4.3. Resonancia Transversal.
• Igualando los coeficientes:
⎧Z + Z D = 0
ZD − Z0 ZI + Z0
=
⇒⎨ I
ZD + Z0 ZI − Z0
⎩ Z I , Z D = ± j∞
• Basta con que se cumpla UNA de las dos
condiciones.
Circuitos Resonantes
41
4.3. Resonancia Transversal.
• Ejemplo: ¿Bajo que condiciones resuena el circuito?
⎛
l⎞
• Se cumple que Z I = Z D = jZ 0 tan ⎜ β ⎟ = ± j ∞ si
⎝ 2⎠
π
λ
l
β = (2 n + 1) ⇒ l = (2 n + 1)
2
Circuitos Resonantes
2
2
42
4.3. Resonancia Transversal.
• Se cumple que
(simetría)
ZI + ZD = 0
si ambas son cero
l
⎛ l⎞
jZ 0 tan ⎜ β ⎟ = 0 ⇒ β = nπ ⇒ l = nλ
2
⎝ 2⎠
• Las dos condiciones proporcionan
3λ
λ
, 2λ ,… ⇒ l = n
2 el plano
Comprobad si se2obtiene2el mismo resultado cogiendo
l=
•
λ
,λ,
en el cortocircuito de la izquierda (o derecha).
Circuitos Resonantes
43
4.4. Excitación de resonadores.
• Índice:
– 4.4.1. Acoplamiento crítico.
– 4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento
capacitivo.
Circuitos Resonantes
44
4.4.1. Acoplamiento crítico
• Acoplamiento crítico
– Para máxima transferencia de potencia, resonador y LT
que lo alimenta deben estar adaptados a la frecuencia de
resonancia.
– Se dice que el resonador está acoplado críticamente a
la alimentación.
Circuitos Resonantes
45
4.4.1. Acoplamiento crítico
• La impedancia de entrada cerca de la resonancia
es:
2 RQ Δ ω
Z in = R + j 2 L Δ ω = R + j
ω0
ω0L
• El Q del resonador vale Q = R
• En resonancia Z in = R y para adaptar línea y
resonador R = Z 0
• El Q externo vale Q = ωZ L = Q
0
e
0
Circuitos Resonantes
46
4.4.1. Acoplamiento crítico
• El factor de acoplamiento se define
g=
• Si resonador serie
• Si resonador paralelo
• Casos posibles:
g=
Q
Qe
Z0
R
g=
R
Z0
– g=1 (acoplamiento crítico)
– g<1 (subacoplamiento)
– g>1 (sobreacoplamiento)
Circuitos Resonantes
47
4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento capacitivo
• Consideremos un resonador microstrip en λ / 2 +CA
• Resonador acoplado a una línea de transmisión que lo alimenta.
Circuitos Resonantes
48
4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento
capacitivo
• Circuito equivalente
Z in ∈ ℜ
• Condición de resonancia
Z in = − j
tan β l + Z 0ω C
1
− jZ 0 cot β l = − j
ωC
ω C tan β l
⎛ l⎞
tan β l = − Z 0ω C ⇒ tan ⎜ ω ⎟ = − Z 0ω C
⎝ v⎠
• Solución gráfica
Circuitos Resonantes
49
4.4.2. Resonador microstrip con acoplamiento
capacitivo
• Desarrollando en serie de Taylor
– Caso sin pérdidas:
Z in
se obtiene:
Z0
jπ (ω − ω 1 )
Z in
≈
ω 1bc2
Z0
bc = Z 0ω C
– Caso con pérdidas:
π (ω − ω 1 )
Z in
π
=
+ j
2
Z 0 2Qbc
ω 1bc2
Z in (ω 1 ) = R = Z 0 ⇒ R =
g=
Circuitos Resonantes
Z 0π
= Z 0 ⇒ bc =
2Qbc2
π
2Q
R
π
=
Z 0 2Qbc2
50